微积分-数列的极限共23页
《数列的极限》课件
单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。
微积分 第二章 第一节 数列的极限
几何解释：
a
2 a
a2 a1 aN 1 a aN 2 aN x
当n N时, 所有的点an都落在(a , a )内, 至多只有有限个( N个) 落在其外.
12
极限定义的辨析：
lim
n
an
a：
0, N 0, 使n N时, 恒有 | an a | 2 .
N 0, 对 0，使n N时, 恒有 | an a | .
an
a,
或
an a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1. 不等式| an a | 刻画了an 与a 的无限接近;
2. N一般与任意给定的正数 有关.
11
“ N”定义:
lim
n
an
a：
0 , 正整数N ，使当n N 时 , 恒有 | an a | .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
定理2 收敛的数列必定有界.
注1 有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件. 有界数列不一定收敛. 例如：xn (1)n .
注2 无界数列必定发散. 例如：xn 2n.
19
性质3 收敛数列的保号性
定理3
设
lim
n
an
a, 且a
0
(a
0), 那 么 存 在
正 整 数N 0, 当n N时, 都 有an 0 (an 0).
,
只要 n N 时,
恒有 | an 1 | 成立.
10
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正整数N,使得对于 n N 时的一切 an ,不等式
| an a | 都成立, 那么就称常数 a 是数列{an } 的极限,
微积分PPT数列的极限
0 管接近的方式 不同。
1
我们研究数列就是研究它在自变量 n 的动态变 化过程中， 能否渐趋稳定，或是说，能否无限的
接近某一定数 a ？如果能，a 就叫 的极限。
数列极限的描述性定义：
给定数列 xn ，当 n 无限增大时， xn 无限的接近
yn
0,有
0, N ,当n
N
时, yn M .
从而， 0, N ,当n N时，
xn yn
xn yn
M ,
M
证得lim n
xn
yn
0.
例8.证明: lim 3n 1 3 n 2n 1 2
证:
3n 1 3 2n 1 2
(1)n1 1 1 nn
给定 1 , 100
由 1 1 , 只要 n 100时, n 100
有
xn
1
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1
1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,
有
xn
1
1, 10000
给定 0,
方法3. 0,N 0,当n N时,总有xn a .
0, N1 ,
N2 .使得 当n
N1时恒有 xn
a
; 2
当n
N
时
2
恒
有
xn
b
; 2
取N maxN1 , N2,
则当n N时有 a b ( xn b) ( xn a)Leabharlann xn b xn a
高等数学《数列的极限》课件
取
则存在 N ,
但因
交替取值 1 与－1 ,
内,
而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间
使当 n > N 时, 有
因此该数列发散 .
2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取
则
当
时,
从而有
取
则有
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立.
例如,
虽有界但不收敛 .
欲使
即
只要
因此 , 取
则当
时, 就有
故
例2. 已知
证明
证:
欲使
只要
即
取
则当
时, 就有
故
故也可取
也可由
N 与 有关, 但不唯一.
不一定取最小的 N .
说明:
取
例3. 设
证明等比数列
证:
欲使
只要
即
亦即
因此 , 取
, 则当 n > N 时,
就有
故
的极限为0 .
二、收敛数列的性质
证: 用反证法.
第一章
二 、收敛数列的性质
三 、极限存在准则
一、数列极限的定义
第二节
数列的极限
数学语言描述:
一 、数列极限的定义
引例.
设有半径为 r 的圆,
逼近圆面积 S .
如图所示 , 可知
当 n 无限增大时,
无限逼近 S .
当 n > N 时,
用其内接正 n 边形的面积
总有
(刘徽割圆术)
他对数学的贡献主要集中
在微积分学,
经济数学微积分 第二版第二章第一节 数列的极限ppt课件
n 1 ( 1 ) 当 n 无限增大时 ,x 1 无限接近 1 . n n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻画它.
x 1 (1 ) n
n1
1 1 n n
1 1 1 1 由 , x 1 , 只要 n 100 时 ,有 给定 , n n 100 100 100
1. 定义 : 以正整数集 N 为定义域的函数 f ( n) 按
f (1) , f ( 2) , , f ( n) ,排列的一列数称为数列，
通常用 x1 , x2 ,, xn ,表示，其中 xn f ( n)，
x n 称为通项
例如
2 , 4 , 8 , , 2, ; {2 n }
4. 子数列 (subsequence)
定义：将数列 x 在保持原有顺序情 ，任 n
列，简称子列．
, x , , x , x , 例如， x 1 2 i n
取其中无穷多项构成的 新数列称为 x 的子数 n
x , x , , x , n n n 1 2 k
注意：在子数列 x 中，一般项 x 是第 k 项， n n k k
2. 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为 X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X 2 2; 2 2
1 1 1 第 n 天截下的杖长总和为 X n; n 2 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
二、数列(sequence)的有关概念
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 , x , , x , . 动点在数轴上依次取 x 1 2 n
x3
x1
x2 x4
xn
微积分E课件2.1_数列的极限
阿基里斯追龟一位古希腊学者芝诺（Zenon，约公元前496 ―约前429）曾提出一个著名的“追龟”诡辩题。
大家知道，乌龟素以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希腊传说中的英雄和擅长跑步的神.芝诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追不上乌龟！ A B B B1 假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处.为了赶上乌龟，阿基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时，乌龟已前进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到B2点，如此等等。
当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！ B1 B2 设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，龟在前面10米.当阿基里斯跑了10米时，龟已前进了1米；当阿基里斯再追1米时，龟又前进了0.1米，阿再追0.1米，龟又进了0.01米…..把阿基里斯追赶乌龟的距离列出，便得到一列数：10，1，0.1，0.01，…，102－n，…这称为数列，an ＝102－n 为通项，数列常简记为｛ an ｝.所以阿基里斯追上乌龟所必须跑过的路程为所以，阿基里斯只要坚持跑到11.2米的路程就可以追上乌龟！ 2.1 数列的极限 . 数列极限的直观含义. 数列极限的严格定义. 收敛数列的性质 数列极限的直观含义当n无限增大时, 无限接近于1. 如何用数学语言刻划它. 什么叫” n 无限变大时，xn 无限接近于 1” n 足够大时， xn 与 1 的距离 | xn- 1| 可以任意小是吗？如果要求 | xn - 1| 0.01 能做到吗？能，只要 n 100 不论要求| xn - 1| 小于怎样小的一个整数ε, 总存在自然数 1 /ε,使得只要 n 1 / ε,就有| xn - 1| ε能，只要 n 10000 那如果要求 | xn- 1| 0.0001 能做到吗？不论要求| xn - 1| 小于怎样小的一个整数ε, 总存在自然数 1 /ε,使得只要 n 1 / ε,就有| xn - 1| ε不论要求| xn -1| 小于怎样小的一个整数ε, 总存在自然数 N,使得只要 n N,就有| xn -1| ε定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正整数N, 使得对于时的一切不等式成立. 收敛于a (converge to a) . 或称数列记为或那末就称常数a是数列的极限(limit), 如果数列没有极限, 就说数列发散(diverge). 极限的严格含义采用逻辑符号的定义可写为: 即注 {xn}有没有极限, 主要看“后面”的无穷多项.(3) “前面”的有限项不起作用, (1) 一般地说, (2) 例 6 证所以, 用定义证数列极限存在时，关键是给定任意寻找N，但不必要求最小的N. 例证所以, 说明常数列的极限等于同一常数. 例证明数列以 0为极限. 证要使有例7 证为了使只需使 收敛数列的性质 1. 唯一性证由定义, 故收敛数列极限唯一. 每个收敛的数列只有一个极限. 才能成立. 使得 2. 有界性定义若存在 M 0 ,使得对任意自然数 n , 恒有称为无界. 则称数列有界; 否则, 收敛的数列必定有界. 证由定义, 有界性是数列收敛的必要条件, 推论注收敛的数列必定有界. 无界数列必定发散. 不是充分条件. 数列数列极限收敛数列的性质极限思想, 精确定义有界性, 唯一性小结思考题“”恒有是数列收敛于a的( ). A. 充分但非必要条件 B. 必要但非充分条件 C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件 C。
微积分数列的极限
n
n
n
例2
设xn
C(C为常数),
证明 lim n
xn
C.
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn
C.
说明: 常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
列的项,xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如
(1)
1, 4 , 6 , ,
2n ,
2n {}
3 4 n1
n1
111 1 (2) , , , , ,
2 4 8 2n
{
1 2n
}
1 4 n (1)n1
(3) 2, , , ,
,
23
n
(4) 1,1,1, ,(1)n1 ,
有 1, 2
x a
n a 1),
2
1 成立, 2 区间长度为1.
而xn无休止地反复取1, 1两个数,
不可能同时位于长度为1的区间内.
事实上,{xn }是有界的, 但却发散.
3.保号性
定理3: 收敛数列的保号性.
若
lim
n
xn
a,且
a0
( 0),
则 N 0,
当n N 时, 有 xn 0 ( 0).
lim
n
xn
a,
或 xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1.不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近;
2.N与任意给定的正数有关.
微积分-数列的极限共23页
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任——迈克尔·F·斯特利
大学微积分第一节 数列的极限
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数
x n f ( n ).
6
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三、数列的极限
观察数列 { 1 ( 1) n
n1
} 当 n 时的变化趋势
.
观察结束 单击任意点开始观察
7
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【问题1】当 n 无限增大时, x n 是否无限接近于某一 确定的数值? 通过上面演示实验的观察: n 1
正六边形的面积 A 1 正十二边形的面积 A 2
R
正 6 2 n 1 形的面积 A n
A1 , A 2 , A 3 , , A n ,
S
3
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2.【截丈问题】
公元前300年左右，中国 古代思想家墨子语：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X 1 1 2 ;
第二节
数列的极限
一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限
四、数列极限的性质
五、小结 思考题
1 1
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一、概念的引入
【引例】 1.【割圆术】 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
单击任意点开始观察 观察完毕
2
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1 现取 N ,
则当 n N 时，有
, 即n
即可，
x n 0 成立 ,
所以,
lim
( 1)
n 2
n
( n 1)
0
【练习】证明常数列的极限等于它本身.（公式）