一次方程与方程组知识点
解方程的常见方法知识点总结
解方程的常见方法知识点总结一、一次方程的解法一次方程是指未知数的指数为1的方程。
解一次方程的常见方法有：1. 相加相减法：通过加减运算来消去未知数的系数，得到方程的解。
2. 乘法法则：通过乘法运算来消去未知数的系数，得到方程的解。
3. 代入法：将一个方程的解代入另一个方程中，求解未知数的值。
4. 变量转移法：通过将未知数的系数移到等号另一边，得到方程的解。
二、二次方程的解法二次方程是指未知数的指数为2的方程。
解二次方程的常见方法有：1. 因式分解法：将二次方程因式分解后，令各因式等于零，得到方程的解。
2. 公式法：使用二次方程的求根公式，直接计算出方程的解。
3. 完全平方式：将二次方程转换为完全平方式，求解方程的解。
4. 提取根号法：通过提取未知数的平方根，得到方程的解。
三、分式方程的解法分式方程是指未知数出现在分式中的方程。
解分式方程的常见方法有：1. 通分法：将分式方程的分母通分，然后进行运算，求解未知数的值。
2. 消元法：通过消去分式方程的分母，将方程转化为一次方程来求解。
3. 变量替换法：通过引入新的变量或替换未知数，将分式方程转化为一次方程或二次方程进行求解。
四、绝对值方程的解法绝对值方程是指方程中含有绝对值符号的方程。
解绝对值方程的常见方法有：1. 分类讨论法：根据绝对值的定义，分别讨论绝对值内外的正负情况，得到方程的解。
2. 去绝对值法：将方程的绝对值拆分成正负两部分，得到多个方程，分别求解并取并集。
五、方程组的解法方程组是指多个方程同时出现的一组方程。
解方程组的常见方法有：1. 消元法：通过消去方程组中的未知数，将方程组转化为简化的方程组来求解。
2. 代入法：通过将一个方程的解代入另一个方程中，求解未知数的值。
3. 变量替换法：通过引入新的变量或替换未知数，将方程组转化为简化的方程组进行求解。
六、无理方程的解法无理方程是指方程中含有无理数（如根号）的方程。
解无理方程的常见方法有：1. 平方去根法：通过平方运算，将方程中的根号消去，得到方程的解。
一次方程与方程组
一元一次一元二次方程及应用考点一 等式及方程的有关概念1．等式及其性质用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．等式的性质：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．2．方程的有关概念(1)含有未知数的等式，叫做方程．(2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解(只含有一个未知数的方程的解，也叫做根)．(3)求方程解的过程，叫做解方程． 考点二 一元一次方程 1．一元一次方程在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，叫做一元一次方程．ax ＋b ＝0(a ≠0)是一元一次方程的标准形式．2．解一元一次方程的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1. 考点三 二元一次方程组及解法1．二元一次方程组几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，叫做二元一次方程组； 2．解二元一次方程组的基本思路：消元3．二元一次方程组的解法：(1)代入消元法；(2)加减消元法； 考点四 列方程(组)解应用题1．列方程(组)解应用题的一般步骤：审、设、列、解、检验、答 2．列方程(组)解应用题的关键是：确定等量关系．一元二次方程及应用考点一 一元二次方程的定义在整式方程中，只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．考点二 一元二次方程的常用解法1．直接开平方法：如果x 2＝a(a ≥0)，则x ＝±a ，则x 1＝a ，x 2＝－ a. 2．配方法3．公式法：方程ax 2＋bx ＋c ＝0且b 2－4ac ≥0，则x ＝－b±b 2－4ac 2a.4．因式分解法考点三 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步．考点四 一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式为b 2－4ac.1．b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则x 1,2＝－b±b 2－4ac2a；2．b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b 2a ；3．b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根；考点五 一元二次方程根与系数之间的关系若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－ba ，x 1·x 2＝c a经典例题例一(1)已知⎩⎨⎧ x ＝2y ＝1是二元一次方程组⎩⎨⎧mx ＋ny ＝8nx －my ＝1的解，则2m －n 的算术平方根为( )A ．4B ．2 C.2 D ．±2(2)已知方程x 2－5x ＋2＝0的两个解分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值为( ) A ．－7 B ．－3 C ．7 D ．3例二(1)解方程：2x ＋13－10x ＋16＝1. (2)解方程组：⎩⎨⎧3x ＋4y ＝19，x －y ＝4.(2)解方程(x －3)2＋4x(x －3)＝0.例三如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC 边的长．考点训练题 一、选择题1．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝12x －y ＝5的解是( )A.⎩⎨⎧ x ＝－1y ＝2B.⎩⎨⎧ x ＝－2y ＝3C.⎩⎨⎧ x ＝2y ＝1D.⎩⎨⎧x ＝2y ＝－12、方程(x －3)(x ＋1)＝x －3的解是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝3C ．x ＝3或x ＝－1D ．x ＝3或x ＝03．以方程组⎩⎨⎧y ＝－x ＋2y ＝x －1的解为坐标的点(x ，y)在平面直角坐标系中的位置是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若|3a ＋b ＋5|＋(2a －2b －2)2＝0，则2a 2－3ab 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－45、．已知⎩⎨⎧ x ＝0y ＝－1和⎩⎨⎧x ＝1y ＝1是方程y ＝kx ＋b 的解，则k 、b 的值分别是( )A ．k ＝－2，b ＝1B ．k ＝2，b ＝3C ．k ＝－2，b ＝－1D ．k ＝2，b ＝－16．一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两根分别是x 1、x 2，则x 1＋x 2等于( ) A ．5 B ．6 C ．－5 D ．－67．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是( )A ．168(1＋a%)2＝128B ．168(1－a%)2＝128C ．168(1－2a%)＝128D ．168(1－a 2%)＝1288．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5的过程中，配方正确的是( ) A ．(x ＋2)2＝1 B ．(x －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＝9 D ．(x －2)2＝99．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<1 B ．a<1且a ≠0 C ．a ≤1 D ．a ≤1且a ≠010．在一幅长80 cm 、宽50 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸要制成一幅矩形挂图如下图所示，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是( )A ．x 2＋130x －1 400＝0B ．x 2＋65x －350＝0C ．x 2－130x －1 400＝0D ．x 2－65x －350＝011．若方程组⎩⎨⎧ 2m －3n ＝133m ＋5n ＝30.9的解是⎩⎨⎧ m ＝8.3n ＝1.2，则方程组⎩⎨⎧2(x ＋2)－3(y －1)＝133(x ＋2)＋5(y －1)＝30.9的解是( )A.⎩⎨⎧ x ＝8.3y ＝1.2B.⎩⎨⎧ x ＝10.3y ＝2.2C.⎩⎨⎧ x ＝6.3y ＝2.2D.⎩⎨⎧x ＝10.3y ＝0.212．若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝5k x －y ＝9k 的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值为( )A ．－34 B.34 C.43 D ．－43 二、填空题13．1．方程(x －1)2＝4的解是__________14．方程x 2－3x ＋1＝0的解是__________．15．阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为________．16．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是__________．17．设x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则x 21＋3x 1x 2＋x 22的值为________18、已知x ＝－1是方程x 2＋mx －5＝0的一个根，则m ＝________，方程的另一根为________．20．如图，在宽为20 m 、长为32 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为草坪，要使草坪的面积为540 m 2，求道路的宽．21．解方程(组)．(1)当m 取什么值时，代数式5m ＋14与5(m －14)的值互为相反数；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋1＝y ，2(x ＋1)－y ＝6.(3) x 2－6x －6＝0；（配方法）(4)解方程(x －3)2＋4x(x －3)＝0.（因式分解法）22、某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元23．为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1 228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%.(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？ (2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元，根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1 228台汽车用户共补贴了多少万元？答案1—5 DDADD 6-10ABDBB 11-12CB 13、【答案】120(1－x)2＝10014、【答案】x 1＝3＋52，x 2＝3－5215、【解析】∵x 1、x 2是x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，∴x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3，∴x 2x 1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2＝(－6)2－2×33＝10.16、【解析】∵方程有实数根，∴b 2－4ac>0，∴12－4(m －1)≥0,4m ≤5，m ≤54.∵方程是关于x 的一元二次方程，∴m －1≠0，∴m ≠1，∴m ≤54且m ≠1.17、【解析】由题意得x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－2，所以x 21＋3x 1x 2＋x 22＝x 21＋2x 1x 2＋x 22＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2＋x 1x 2＝33＋(－2)＝9－2＝7. 18、【答案】－4 x ＝519、【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－220、解：设道路的宽为x m ，根据题意，得(20－x)(32－x)＝540，∴x 2－52x ＋100＝0，∴x 1＝2，x 2＝50(不合题意，舍去)21、解：(1)由题意得5m ＋14＋5(m －14)＝0,5m ＋14＋5m －54＝0, ∴10m ＝1，m ＝110.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋1＝y ①2(x ＋1)－y ＝6 ②原方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－3 ①2x －y ＝4 ②，①×2得2x －6y ＝－6 ③，②－③得5y ＝10，∴y ＝2，把y ＝2代入②，得x ＝3，∴原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2. 3、【解答】(1)x 2－6x －6＝0 移项，得x 2－6x ＝6，配方，得(x －3)2＝15，∴x －3＝±15. ∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15. 4、(x －3)2＋4x(x －3)＝0换公因式，得(x －3)(x －3＋4x)＝0，(x －3)(5x － 3)＝0.∴x －3＝0或5x －3＝0.∴x 1＝3，x 2＝35.22、解：(1)设在政策出台前的一个月销售手动型和自动型汽车分别为x 台、y 台，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝960x (1＋30%)＋y (1＋25%)＝1 228，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝560y ＝400.。
方程主要知识点总结
方程主要知识点总结一、方程的定义在代数学中，方程是指含有一个或多个未知数的等式，通常用字母表示未知数。
方程的一般形式为：$a_1x^n + a_2x^{n-1} + ... + a_nx + a_{n+1} = 0$，其中$x$为未知数，$a_1,a_2, ..., a_{n+1}$为已知的常数，n为方程的次数。
方程的解即是使等式成立的未知数的值。
二、方程的类型1. 一元一次方程：一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，一般有形式：$ax + b = 0$，其中$a$和$b$为已知的常数，$x$为未知数。
2. 一元二次方程：一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，一般有形式：$ax^2+ bx + c = 0$，其中$a$、$b$和$c$为已知的常数，$x$为未知数。
3. 二元一次方程组：二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，一般有形式：$ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。
4. 二元二次方程：二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，一般有形式：$ \begin{cases} ax^2 + by^2 = c \\ dx + ey = f \end{cases}$，其中$a$、$b$、$c$、$d$、$e$和$f$为已知的常数，$x$和$y$为未知数。
5. 多元线性方程组：多元线性方程组是指含有多个未知数的一次方程组，一般有形式：$\begin{cases} a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b1\\ a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n =b_2 \\ \cdots \\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m \end{cases}$，其中$a_{ij}$和$b_i$为已知的常数，$x_i$为未知数，$i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., m$。
高中数学方程的知识点总结
高中数学方程的知识点总结一、一元一次方程一元一次方程是高中数学中首先接触到的一种方程类型，也是最基础的方程类型之一。
一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的基本方法是化简、变形，通过加减或乘除等运算得到方程的解。
1. 一元一次方程的解法（1）加减法，将方程化简成形如x=c的形式，即可求得x的值。
（2）代入法，将已知条件代入方程中，求出未知数的值。
（3）变形法，通过变形方程的形式或者将未知数移到方程的一侧，使方程等号两边相等，从而求得未知数的值。
（4）克莱姆法则，利用克莱姆法则可以得到一元一次方程的解，该方法通常适用于二元一次方程组求解。
2. 一元一次方程的应用（1）线性规划问题，通过建立一元一次方程模型，可以求解实际生活中的最优化问题。
（2）物品价格、消费等问题，通过一元一次方程可以解决生活中的购物、消费等实际问题。
二、一元二次方程一元二次方程是高中数学中比较重要的方程类型之一，一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
一元二次方程的求解需要利用一元二次方程的求根公式或者配方法等方法。
1. 一元二次方程的求根（1）求根公式，即利用一元二次方程的一般形式ax^2+bx+c=0，通过求解二次方程的根公式x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}，得到方程的解。
（2）配方法，将一元二次方程利用配方法化为全平方或者差平方的形式，然后根据公式求解方程。
2. 一元二次方程的图像一元二次方程在平面直角坐标系中表示为一个抛物线的图像，通过方程的系数可以看出抛物线的开口方向、开口大小等特征。
3. 一元二次方程的应用（1）物理问题，通过一元二次方程可以解决流体力学、电磁学等领域的问题。
（2）几何问题，一元二次方程可以求解几何问题中的距离、面积等问题。
三、高次方程高次方程是指次数大于二的方程，一般形式为a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0。
关于方程知识点总结
关于方程知识点总结一、方程的基本概念1. 方程的定义方程是数学中用等号连接的两个代数式，它表达了两个数学对象相等的关系。
一般地，方程可以表示为A＝B，其中A和B是代数式，等号表示它们相等的关系。
2. 方程的解方程的解是指能够使得方程成立的数值。
如果一个数满足方程，则称该数为方程的解。
对于一元方程来说，它的解是一个数；而对于多元方程来说，它的解是一组数值。
3. 方程的种类根据方程中含有的未知数的个数，方程可以分为一元方程和多元方程。
一元方程只含有一个未知数，而多元方程含有多个未知数。
二、一元一次方程1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。
一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b是已知数，a≠0。
2. 一元一次方程的解法解一元一次方程的最基本的方法是移项和合并同类项。
通过适当的变换和化简，可以得到方程的解。
3. 一元一次方程的实际应用一元一次方程在生活和工作中有着广泛的应用，比如解决物品的购买和销售问题、解决工程和技术中的实际问题等。
三、一元二次方程1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二的方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b和c是已知数，a≠0。
2. 一元二次方程的解法解一元二次方程的方法较多，包括用公式解法、配方法解法、因式分解法、完全平方公式等。
3. 一元二次方程的实际应用一元二次方程在现实生活和工作中也有很多应用，比如解决抛物线运动问题、解决生产和经济中的实际问题等。
四、多元方程组1. 多元方程组的定义多元方程组是指含有多个未知数的方程组。
它由多个方程组成，每个方程表示一个条件，多个方程表示多个条件。
多元方程组的求解过程比较复杂，需要运用适当的方法和技巧。
2. 多元方程组的解法解多元方程组的方法包括代入法、减法法、加法法、消元法、矩阵法等。
每种方法都有其适用的范围和特点。
一元一次方程组知识要点
一元一次方程知识要点一、知识框架二、知识梳理知识点一：一元一次方程及解的概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程;2、一元一次方程：在方程中,只含有一个未知数x 元,并且未知数的次数是1次,这样的方程叫一元一次方程;一元一次方程的标准形式：0=+b ax 其中x 是未知数,b a ,是已知数,且0≠a 要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：1只含有一个未知数；2未知数的次数是1次；3整式方程;3、解方程与方程的解：求出使该方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解;判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边,看两边是否相等; 知识点二：一元一次方程的解法1、等式的基本性质等式的性质1：等式两边加或减同一个数或式子,结果仍相等;即：如果b a =,那么c b c a ±=±;c 为一个数或一个式子 等式的性质2：等式两边乘同一个数,或除以一个不为0的数,结果仍相等; 即：如果b a =,那么bc ac =；如果b a =0≠c ,那么c b c a =; 要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数,分数的值不变; 即：）其中0(≠÷÷==m mb m a bm am b a 特别注意：分数的基本性质主要是用于将方程中的小数系数特别是分母中的小数化为整数,如方程：6.12.045.03=+--x x ,将其化为：6.12401053010=+=-x x ;方程的右边没有变化,这要与“去分母”区别开;2、解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1;⑴去分母时：①不含有分母的项也要乘以最小公分母；②区别于利用分数的性质将方程简化,此时不含分母的项不用扩大和缩小；③分数线相当于括号,去掉分母要将分子用括号括起来;⑵去括号时：与整式中去括号法则相同,注意括号外面的符号;⑶移项时：①区别于去括号,不论正负移项都要变号；②没有移项时不要误以为有移项,如x =-5得到5=x ,是错误的;⑷合并同类项时：把方程化成()0≠=a b ax 的形式;⑸系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a ,得到方程的解ab x =; 要点诠释：理解方程b ax =在不同条件下解的各种情况,并进行简单应用：①0≠a 时,方程有唯一解a b x =； ②0,0==b a 时,方程有无数个解；③0,0≠=b a 时,方程无解;知识点三：列一元一次方程解应用题1、列方程解应用题的步骤：1审题：认真审题,理解题意,弄清题目中的数量关系,找出其中的等量关系; 2找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系;3设出未知数,列出方程：设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程;4解方程：解所列的方程,求出未知数的值;5检验,写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解是否符合实际,检验后写出答案;2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→检验→答;3、常见的一些等量关系1和、差、倍、分问题:①较大量=较小量+多余量②总量=倍数×倍量2等积变形问题：Sh V Sh V a V abh V 31,,,3====椎体柱体正方体长方体 3行程问题： 时间速度路程追及问题相遇问题⨯=4工程问题： 工作总量=工作效率×工作时间5利润率问题：()利润率进价售价商品进价商品利润商品利润率商品进价商品售价商品利润+⨯=⨯==1%100- 6数字问题：设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别是a,b,则这个两个数可表示为10a+b;7储蓄问题： 利息=本金×利率×期数本金和=本金+利息=本金+本金×利率×期数×1-利息税率8按比例分配问题：甲:乙:丙=a:b:c9日历中问题： 日历中每一行上相邻两数,右边的数比左边的数大1；日历中每一列上相邻的数,下边的数比上边的数大7;注意：日历中的数a 的取值范围是,且都是正整数知识点四：方程与整式、等式的区别1从概念来看：整式：单项式和多项式统称为整式;等式：用符号来表示相等关系的式子叫做等式;如m n n m +===+,653121等都叫做等式,而像n m b a 2117,31-+ 不含等号,所以他们不是等式,而是代数式; 方程：含有未知数的等式叫做方程;如4543,1135=--=+a x 等都是方程;理解方程的概念必须明确两点：是等式；含有未知数;两者缺一不可;2从是否含有符号来看：方程首先是一个等式,它是用“=”将两个代数式连接起来的等式,而整式仅用运算符号连接起来,不含有等号;3从是否含有未知量来看：等式必含有“=”,但不一定含有未知量；方程既含有“=”,又必须含有未知数;但整式必不含有等号,不一定含有未知量,分为单项式和多项式;一元一次方程的应用解应用题的步骤1．审：分析好问题中的已知量和未知量,明确各数量之间的关系,从中找出能够表示实际问题全部含义的相等关系．要注意题中的相等关系有些是明显的,有些是不明显的,需要结合生活实际来发现；2．设：设未知数,一般求什么,就设什么为x,若有几个未知数,应恰当地选择其中的一个,用字母x表示出来．有时直接设不容易设得话,可采用间接设；3．找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系；4．列：根据这个相等关系列出方程；5．解：解所列出的方程,求出未知数的值；6．验：检验所求得的解是否符合题意；7．答：检验所求解是否符合题意,写出答案包括单位名称．。
第6讲 一次方程与方程组
值为( A ) A．8 B．4 C．－4 D．－8
4 ． (2014·襄 阳 ) 若 方 程
mx ＋ ny＝ 6
的
两
个
解
是
x＝1， y＝1，
xy＝ ＝－2，1，则 m，n 的值为( A )
A．4，2
B．2，4
C．－4，－2
D．－2，－4
5．(2014·绍兴)如图①，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有 一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有 2
两个方法 (1)代入消元法；(2)加减消元法．
1．(2014·咸宁)若代数式x＋4的值是2，则x等于( B )
A．2
B．－2
C．6
D．－6
2．(2014·无锡)某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2
元．该店在六一儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打八折出售，
圆珠笔按原价打九折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设
个各 20 克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘， 并拿走右侧秤盘的 1 个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②，则 被移动的玻璃球的质量为( A )
A．10 克 B．15 克 C．20 克 D．25 克
一元一次方程的解法
【例 1】 解下列方程： (1)12x－45＝170；
解：(1)5x－8＝7，5x＝8＋7，5x＝15，∴x＝3
x＝3 9＝0，x＝3，∴y＝－1 解法二：整理得(x＋y－2)a＝x－2y－5，
x＋y－2＝0，
x＝3
∴x－2y－5＝0，解得y＝－1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
七年级数学第3章一次方程与方程组知识点沪科版
第3章 一次方程与方程组知识点一次方程与方程组知识点知识点1：一元一次方程的概念只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,像这样的整式方程叫做一元一次方程。
（如:21,314223x x x x --=+=-) 特点：①等号两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的次数都为1。
判断方法：首先要将整式方程化简，然后再判断是否满足一元一次方程的三个特点。
知识点2：等式的基本性质1.等式的两边都加上（或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
即如果a b =，那么a c b c ±=±；2。
等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0）,所得结果仍是等式.即如果a b =，那么ac bc =,(0)ab c c c=≠； 3。
对称性：如果a b =，那么b a =；4。
传递性：如果a b =，b c =,那么a c =。
知识点3:一元一次方程的解法1。
移项法则把方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到方程的另一边，叫做移项法则.2。
解一元一次方程的步骤①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数； ②去括号：先去小括号,再去中括号，最后去大括号； ③移项:把含有未知数的项都移到方程的一边，其它项都移到方程的另一边(移项要变号）④合并同类项：把方程变成(0)ax b a =≠的形式⑤系数华为1：在方程两边都除以未知数的系数a ,得到方程的解b x a=。
知识点4：（1)二元一次方程的概念含有两个未知数，且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。
如：1,323,32m x y x y n +=-=+=都是二元一次方程。
（2）二元一次方程组的概念由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（如：2324x y x y +=⎧⎨-=⎩) 知识点5：二元一次方程组的解使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解。
知识点6:二元一次方程组的解法（1）用代入法求解二元一次方程组步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程;③解这个一元一次方程，求出x(或y）的值；④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中,求出另一个未知数的值；⑤把求得的x、y的值用“｛”联立起来,就是方程组的解.（2)用加减法解方程组步骤:①方程组中的两个方程中,如果同一个未知数的系数即不互为相反数又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数变为相反数或相等;②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用符号“{"联立起来.知识点7：用一次方程（或方程组）解决实际问题①行程问题:行程问题中涉及的量有路程、平均速度、时间。
一次方程与方程组知识点总结归纳
一次方程与方程组知识点总结归纳一、一元一次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
- 一般形式：ax + b=0(a≠0)，其中a是未知数x的系数，b是常数项。
例如2x + 3 = 0就是一元一次方程。
2. 方程的解。
- 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
例如x = - (3)/(2)是方程2x+3 = 0的解。
3. 等式的性质。
- 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果a=b，那么a±c = b±c。
- 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果a = b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么(a)/(c)=(b)/(c)。
- 利用等式的性质可以求解一元一次方程，例如解方程2x+3 = 0，首先根据等式性质1，两边同时减3得2x=-3，再根据性质2，两边同时除以2得x = - (3)/(2)。
4. 一元一次方程的解法步骤。
- 去分母（若方程中存在分母时）：根据等式性质2，在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，将分母去掉。
例如方程(x + 1)/(2)+(x - 1)/(3)=1，分母2和3的最小公倍数是6，方程两边同时乘以6得3(x + 1)+2(x - 1)=6。
- 去括号：根据乘法分配律将括号去掉。
如3(x + 1)+2(x - 1)=6去括号后变为3x+3 + 2x-2 = 6。
- 移项：把含未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边，移项要变号。
例如3x+3 + 2x-2 = 6移项后得3x+2x=6 - 3+2。
- 合并同类项：将方程中同类项合并。
如3x+2x=6 - 3+2合并同类项得5x = 5。
- 系数化为1：根据等式性质2，方程两边同时除以未知数的系数。
如5x = 5两边同时除以5得x = 1。
二、二元一次方程（组）1. 二元一次方程。
解方程的知识点归纳
解方程的知识点归纳解方程是数学中一个重要的概念和技巧，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将对解方程的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、方程的定义和基本性质方程是一个等式，其中包含未知数和已知数，并且需要通过求解来确定未知数的值。
方程可以分为一元方程和多元方程两种类型。
解方程的过程就是找到使得方程成立的未知数的值。
二、一元一次方程一元一次方程是最简单的方程形式，可以表示为ax+b=0，其中a和b是已知数，x是未知数。
解一元一次方程的关键是通过变换等式，使得未知数单独出现在一边，其他已知数单独出现在另一边，从而求得未知数的值。
三、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
解一元二次方程的常用方法有配方法、公式法和图像法。
配方法通过变形将方程转化为完全平方形式，公式法使用求根公式求解，而图像法则通过绘制二次函数的图像来找到方程的解。
四、高次方程和根的性质高次方程是指次数大于2的方程，如三次方程、四次方程等。
对于高次方程，一般没有通用的求根公式，解法相对复杂。
此时可以利用根的性质，如有理根定理、辗转相除法等来寻找方程的解。
五、方程组方程组是由多个方程组成的集合，其中每个方程都有相同的未知数。
解方程组的过程是找到满足所有方程的未知数的值。
常见的解方程组的方法有代入法、消元法和高斯消元法等。
六、参数方程参数方程是一种特殊的方程形式，其中未知数用一个或多个参数表示。
解参数方程的方法是将参数代入方程中，消去参数，从而得到与参数无关的方程。
综上所述，解方程是数学中的一个重要内容，具有广泛的应用。
通过掌握方程的基本性质和不同类型方程的解法，可以更好地应用解方程的知识解决实际问题。
在解方程的过程中，需要注意清晰的思路和流畅的表达，以确保文章的质量和阅读体验。
同时，避免出现与正文不符的标题、广告信息、侵权争议以及不良信息，保持文章的准确性和完整性。
方程与方程组知识点
第三章方程与方程组一、一元一次方程1•等式用等号表示相等关系的式子，叫做等式. 等式的性质：(1)等式的两边都加上 (或减去)同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. 即若a=b，贝U a_m 二b_m.(2) _______________________________________________ 等式的两边都乘以同一个数(或除以同一个不为 ________________________________________________ 的数)，所得结果仍是等式•即a b若a = b，贝U am = bm，或(m = 0)m m2.方程含有未知数的等式叫方程叫方程.使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.求方程的解的过程叫解方程.3•同解方程及方程的同解原理(1 )如果两个方程的解相同，那么两个方程叫同解方程.(2)方程的同解原理：①方程的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程.②方程的两边都乘以同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得方程与原方程是同解方程.4.一元一次方程在方程中，只含一个未知数，且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程.标准形式：ax • b = 0(a = 0) 最简形式：ax二b(a = 0)补含字母系数的方程ax=b的解(1)若a = 0，则方程有唯一解x = b；a(2)若a=0，且b=0,方程变为0 • x=0,则方程有无数个解；(3)若a=0，且0，方程变为0・x=b，则方程无解.5•解一元一次方程的一般步骤(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b; (5)方程两边同除以未知数的系数(系数化为1)，得出方程的解.6 .列方程解应用题的方法及步骤(1 )审题：明确己知是什么，未知是什么及相互关系，并用x表示题中一个合理未知数.(2 )根据题意找出能表示应用题含义的等量关系(关键一步)(3)据等量关系列出正确方程.(4 )解出方程：求出未知数的值.(5)检验、作答，检验应是：检验所求的解既能使方程成立，又能使它符合实际意7 •一兀一次方程应用题的主要类型(1)和差倍分问题 (2)等积变形 (3) 行程问题 (4 )百分比浓度问题(5)劳力调配 (6) 比例问题 (7 )工程问题(8)商品利润率问题(9) 数字问题&几个典型问题 储蓄问题 (1) 本金 顾客存入银行的钱叫本金 (2)利息 银行付给储户的酬金叫利息(3) 本息和 本息和=本金+利息 (4) 期数 存款的时间(年、月等) (5)利率 每个期数内的利息与本金之比.记本金为P,利率为i ，期数为n 则① 单利：本息和=本金+本金利率期数=本金 (1+利率期数)，即S=P (1+in )利息税=利息税率 =本金+ 利息一利息税率=本金+ 利息(1—税率) 最后金额=本息和一税金 市场经济问题 (2)进价，原价，售价，利润率的关系：利润原价汉0.1x —进价打x 折：实际售价=原价X 0.1x .此时，禾U 润率=——=——-----进价进价练习：原价为a ,实际售价为b ,则打 _______________ 折，折扣率为 __________ . 行程问题有相遇问题，追及问题、逆(顺)流问题，上坡、下坡问题等，在运动形式上分直线 运动及曲线运动(如环形跑道、时钟问题)基本量之间的关系：路程 =速度 时间(s =v t )(1)相遇问题：s 甲 ■ s^ = s (或V 甲t V z t 二S), t 为甲、乙相遇时间.(2)追及问题：s 甲=s 乙■ s 0 ( V 甲 v z ,s 0为追及初距离)，V 甲t=V 乙t ■ S 0义.②复利：本息和=本金(1+利率)n即 S=P (1+i )(1)利润=售价一进价 利润率=利润=售价进价进价 进价 〜S 甲B工程问题基本量之间的关系：工作量=工作效率X工作时间. 常见等量关系：甲的工作量+乙的工作量基本量之间的关系：现产量=原产量X （1+增长率）• 百分比浓度问题基本量之间的关系：溶质=溶液X浓度. 水中航行问题基本量之间的关系：V静-v水 =切顺,v静- v水二V逆，v顺-v逆= 2v水川顺-v^ = 2v静二、二元一次方程组1.二元一次方程组的相关概念含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.一般形式：ax by c 0 a 0,b = 0 .含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组. 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解. 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.2 .解二元一次方程组（1）代入消元法（代入法）：①用含有x（或y ）代数式表示y （或x），即变成y=ax，b（或x=ay，b）的形式;②将y =ax - b（或x =ay ■ b）代入另一个方程中，消去y （或x），得到一个关于x（或y）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；④把x（或y）的值代入y=ax，b（或x=ay，b）中，求出y （或x）的值，从而得到方程组的解.（2）加减消兀法（加减法）：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.I ------------ ----------------------------------------------- --------------------------------------------: 补三元一次方程组: 三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.; 由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.i 解三元一次方程组的一般步骤：[… ①利用代入法或加减法-把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，逍去两组______________《中考基础知识大扫描》中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元二次方程组; ■: ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；. : ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一i元一次方程；: ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值，从而得到方程组的解. iI __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ I3 •二元一次方程组的应用能分析出题目中的等量关系列二元一次方程组.*4 •二元一次方程与一次函数新课标要求：能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.(1)一次函数与二元一次方程(组)以二元一次方程ax + by=c ( a,b = 0 )的解为坐标的点组成的图象与一次函数a cy x 的图象相同.b b广二元一次方程组」a i X+ b,y = c,的解可以看作是两个一次函数y = _ a i X十G和耳x + b2 y = c2b, b| a? C2y -x -的图象的交点.b2b2(2)一次函数与二元一次方程(组)的应用在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程(组)求解.三、一元二次方程1•一元二次方程的概念方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程.含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：ax2bx c 二0(a = 0)其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.2•一元二次方程的解法(1)直接开平方法形如(x a)^ b的一元二次方程当b 一0时，x • a二.b , x二-a -、b，当b <0时，方程没有实数根.(2)配方法通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.用配方法解一元二次方程ax2 bx c 0的一般步骤：①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(X • m)2二n的形式;④用直接开平方法解变形后的方程.2 b c小2丄b cax bx c = 0 =x x 0= x x 二a a a a2 b , b 、2 c , b、2/ b、2b2「4ac一x x ()() =(x )二a 2a a 2a a4a(3)公式法用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.对于一元二次方程ax2bx c = 0(a = 0)，当b2 -4ac _ 0时，它的根是:f b2_4acx =2a用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化为一般形式，确定a,b,c的值;②求出b2 -4ac的值;③若b2 -4ac _0，则把a,b,c及b2 -4ac的值代入一元二次方程的求根公式:「b 二、b2—4ac 2x ，求出X i, X2;若b -4ac：：：0,则方程没有实数根.2a(4)分解因式法当一元二次方程的一边为0时，将另一边分解成两个一次因式的乘积，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；一④解这两个二元一次方程，它们的解就是原方程的解. ___________ ________ _________ ______ i 补判别式、韦达定理；:1 .一元二次方程根的判别式[: 我们就把b2 -4ac叫做一元二次方程ax2 bx 0的根的判别式，通常用“丄”; 来表示，即—c. I I '元二次方程根的情况与判别式 的关系：厶＞0=方程有两个不相等的实数根;二=0：=方程有两个相等的实数根；匚＜0：=方程没有实数根； / _0：=方程有两个实数根.2 •一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程ax 2 • bx • c = 0(a = 0)的两个实数根是 X i ,X 2，那么两根之和，等于方程i 的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数[I 所得的商，即为+x 2 =—b , X r X 2 =c .；a a:韦达定理的两个重要推论：:I I推论1：如果方程x 2 px ■ q = 0的两个根是x 1, x 2,那么x 1 x 2 - - p , x/2二q .I I推论2 :以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是I2x -（为 x 2）x x 1 x 2 = 0.一元二次方程的根与系数的关系的应用：(1) 验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根. (2) 由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数. ⑶不解方程，可以利用韦达定理求关于x 1,x 2的对称式的值，X 1,X 2互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数；式为关于x 1,x 2的对称式.i: (4)已知方程的两根，求作这个一元二次方程. : (5)已知两数的和与积，求这两个数.； (6)已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值. i (7)证明方程系数之间的特殊关系.: (8)解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等. :根的符号的讨论：I2X1X 2 ,2X 1 x 2X 1X 22 %「x 2 X 1 x 2说明：如果把含x 1, x 2的代数式中；利用韦达定理，还可进一步讨论根的符号，设一元二次方程ax2• bx • c = 0 (a = 0)III的两根为x1,x2，则II■⑴A >0,且X j X2 >0二两根同号.IIII二0,且X1X2 0, x i x2・0：=两根同正；II! 二0,且x1x2 0, x.) x2：：：0二两根同数.II»(2)也a 0,且x1 x2■< 0 二ac v 0二两根异号.II；ac c0，且为+x2=0二两根异号且正根的绝对值较大；II: ac c0，且％+x2 £0二两根异号且负根的绝对值较大.；补二元二次方程组i ；含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程.关；I I 于x, y的二元二次方程的一般形式为：ax2■ bxy cy2dx e^ f = 0( a,b,c至少有[2 2一个不为0). ax ,bxy,cy叫做二次项，a,b,c叫做二次项系数；dx , ey叫做一次项，d,e : 叫做一次项系数；f叫做常数项. [ ；由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组成[ 的方程组都叫做二元二次方程组. 1 : 二元二次方程组的解法：: :1.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法：: :(1)代入法[ : ①把二元一次方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示；: : ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元方程；1 ; ③解这个一元方程，求得一个未知数的值；[ ；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值，否则，如1果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现增解的问题；; ; ⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组合在一起，就是原方程组[ 的解. : :(2)逆用韦达定理法[ X ：卜y 二ai 对型如y 的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x, y看做一：: \Xy=b i元二次方程一_z2一二az…b 一二0 的两个根，一解这个方程'…求得的一z t,_z2的.值，就是一x, y .的值.所_：% = z 2；i 2 •由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法：；一般步骤：! ①先把方程组中的一个方程分解降次，化为两个一次方程；: ②将这两个一次方程分别与原方程组中的另一个方程联立， 方程和一个二元二次方程组成的方程组；一③解这两个新的方程组，所得的解都是原方程组的解:四、分式方程新课标要求：会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个) (1) 分式方程的概念分母里含有未知数的方程叫分式方程. (2) 分式方程的解法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” •它的一般解法是：① 去分母，方程两边都乘以最简公分母； ② 解所得的整式方程；③ 验根：将所得的根代入最简公分母，若等于 0就是增根，应该舍去；若不等于 0就是原方程的根. _______________________________________________________________________________' 补分式分式方程的特殊解法 换元法； 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种 ［特别形式，一般的去分母不易解决时，可考虑换元法. :用换元法解分式方程的一般步骤：；(1)设辅助的未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； ■ (2)解所得的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； ;(3)把辅助未知数的值代入原式中，求出原未知数的值； :(4)检验做答.以原方程的解是两组对称解:h组成两个由一个二元一次。
方程知识点整理归纳
方程知识点整理归纳一、什么是方程？方程是数学中的一种关系式，表示两个或多个量之间的相等关系。
它由等号连接的两个表达式组成，其中至少有一个未知数。
二、一元一次方程1. 定义：一元一次方程是只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
2. 解法：通过合并同类项、移项和化简等步骤，将方程化为形如ax+b=0的标准形式，然后求解未知数的值。
三、一元二次方程1. 定义：一元二次方程是只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
2. 解法：可以通过配方法、因式分解、求根公式或完全平方式等方法来解一元二次方程。
四、线性方程组1. 定义：线性方程组是由多个线性方程组成的方程组。
2. 解法：通过消元法、代入法、逆矩阵法或克拉默法则等方法，可以求解线性方程组的解。
五、二元二次方程1. 定义：二元二次方程是包含两个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
2. 解法：可以通过代入法、消元法或求根公式等方法，来求解二元二次方程的解。
六、指数方程1. 定义：指数方程是含有指数的方程。
2. 解法：可以通过取对数、变形等方法，将指数方程转化为对数方程或其他形式的方程来求解。
七、对数方程1. 定义：对数方程是含有对数的方程。
2. 解法：可以通过化简、变形或替换变量等方法，将对数方程转化为其他形式的方程来求解。
八、无理方程1. 定义：无理方程是含有无理数的方程。
2. 解法：可以通过平方等方法，将无理方程转化为有理方程或其他形式的方程来求解。
九、绝对值方程1. 定义：绝对值方程是含有绝对值的方程。
2. 解法：可以通过分情况讨论、化简或替换变量等方法，将绝对值方程转化为其他形式的方程来求解。
总结：方程是数学中研究量之间关系的重要工具，包括一元一次方程、一元二次方程、线性方程组、二元二次方程、指数方程、对数方程、无理方程和绝对值方程等。
每种方程都有不同的解法和特点，在数学问题的求解中起到重要作用。
理解方程的基本概念和解题方法，可以帮助我们更好地解决实际问题。
一元一次方程、二元一次方程(组)及应用
一元一次方程、二元一次方程（组）及应用知识点1：一元一次方程及应用1，系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程．一元一次方程的标准式是：ax ＋b=0(其中x 是未知数，a 、b 是已知数，并且a≠0）． 一元一次方程的最简式是：ax=b(a≠0)．【例1】下列方程是一元一次方程的是（ ）A.x2+1=5 B. 3(m -1)-1=2 ； C. x-y=6 D.都不是 【例2】选项中是方程的是（ ） B. a-1>2 C. a 2＋b 2－5 D. a 2+2a-3=5；解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；2．去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；3．移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；4．合并同类项：把方程化成ax=b(a ≠0）的形式；5．系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解。
【例3】解方程：(1)47815=-x ； (2) 21216231--=+--x x x ；解方程的问题。
【例4】甲、乙两个水池共蓄水50t,甲池用去5t ，乙池又注入8t 后，甲池的水比乙池的水少3t ，问原来甲、乙两个水池各有多少吨水？【例5】一份试卷共25道题，每道题都给出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确答案选出来，每题选对得4分，不选或选错扣1分，如果一个学生得90分，那么他选对几题？现有500名学生参加考试，有得83分的同学吗？为什么？知识点2：二元一次方程（组）及应用1，这样的方程，叫做二元一次方程．二元一次方程组：含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组．解：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方1、 代入消元法解二元一次方程组基本思路：未知数由多变少。
消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
2、 加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
七年级数学方程知识点总结
一、方程的概念及解法1.方程的定义：在等号两边含有未知数的式子。
2.方程的解：使方程成立的未知数的值。
3.方程的解法：a.逆运算法：通过逆向运算来求解方程。
b.移项法：通过移动项的位置来求解方程。
c.消元法：通过等式变形，将方程变为更简单的形式，再求解。
二、一元一次方程1.一元一次方程的定义：方程中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为12.一元一次方程的解法：a.逆运算法：通过逆向运算，将未知数单独求解。
b.移项法：将未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边，使方程变为等价方程。
三、一元二次方程1.一元二次方程的定义：方程中只有一个未知数，并且未知数的最高次数为22. 一元二次方程的标准形式：ax² + bx + c = 0。
3.一元二次方程的解法：a.因式分解法：将方程进行因式分解，使得两个括号中的内容相等。
b.完全平方法：将方程利用完全平方式变为平方形式。
c.配方法：通过配方法将方程变为平方形式后，利用公式求解。
d.根的性质法：通过根的性质进行求解，如求和、求积。
四、分式方程1.分式方程的定义：方程中含有分式，且未知数出现在分母或分子中。
2.分式方程的解法：a.求分母公倍数，将方程两边的分数化为通分后的形式，再进行等式变形求解。
b.消分母法：将方程两边的分数化为分母为1的形式，再进行等式变形求解。
五、绝对值方程1.绝对值方程的定义：方程中含有绝对值符号，未知数出现在绝对值内或外。
2.绝对值方程的解法：a.分类讨论法：根据绝对值的取正值和取负值分别讨论。
b.移项分组法：通过移项和分组，将方程变为绝对值为常数的形式。
六、方程组1.方程组的定义：由若干个方程组成的集合。
2.方程组的解法：a.代入法：将其中一个方程的解代入另一个方程，依次求解。
b.消元法：通过加减乘除等运算将方程组化简为更简单的形式，再求解。
c.矩阵法：通过矩阵的计算求解方程组。
d.图解法：将方程组转化为坐标系中的图形，通过图形的交点求解。
方程与方程组
方程与方程组一、知识点汇集：基础知识点：一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
（4）一元一次方程有唯一的一个解。
2、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0）（2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法。
（4）一元二次方程的根的判别式：当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时方程有两个相等的实数根；当Δ< 0时方程没有实数根，无解；当Δ≥0时方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两个根，那么：，（6）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：三、分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。
特殊方法：换元法。
（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
四、方程组1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。
2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组3、一次方程组：（1）二元一次方程组：一般形式：（不全为0）解法：代入消远法和加减消元法解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。
中考数学方程和方程式基础知识
中考数学方程和方程式基础知识基础知识点：一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
（4）一元一次方程有唯一的一个解。
2、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a ≠0）（2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法。
（4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=∆ 当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根；当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解；当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数的关系：若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：a bx x -=+21，a cx x =⋅21（6）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x三、分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。
特殊方法：换元法。
（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
方程专题知识点总结
方程专题知识点总结一、方程的定义方程是数学中用来描述两个数量之间关系的等式，通常用字母表示未知量，以及用数值或其他字母代表已知量。
在代数中，我们通常用x、y、z等字母表示未知量，用a、b、c等字母表示已知量。
通常方程可以表示为：f(x) = 0或者f(x) = g(x)其中f(x)和g(x)是任意表示未知量和已知量的表达式，而等号两边表示的是两个数量之间的关系。
二、方程的分类1. 一元一次方程：一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知的常数，x是未知数。
一元一次方程的解法通常包括直接代数法和图解法。
2. 一元二次方程：一元二次方程是形如ax^2 + bx + c =0的方程，其中a、b、c为已知数，x为未知数，且a不等于0。
解一元二次方程的方法是配方法、公式法、图解法等。
3. 多元一次方程组：多元一次方程组是若干个一元一次方程的集合，通常表示为：a1x1 + b1x2 + c1x3 + ... = d1a2x1 + b2x2 + c2x3 + ... = d2...anx1 + bnx2 + cnx3 + ... = dn多元一次方程组的解法通常包括消元法、代入法、矩阵法等。
4. 二元二次方程组：二元二次方程组是两个一元二次方程的集合，通常表示为：a1x^2 + b1xy + c1y^2 + d1x + e1y + f1 =0a2x^2 + b2xy + c2y^2 + d2x + e2y + f2 =0解二元二次方程组的方法通常是配方法、代数法、图解法等。
5. 三元一次方程组和三元二次方程组等依此类推。
三、方程的解法1. 代数法：代数法是通过变换方程的形式来求解方程的方法，包括配方法、公式法、因式分解法、根号法等。
2. 图解法：图解法是通过图像来求解方程的方法，通常利用坐标系或者函数图像来分析方程的解。
3. 消元法：消元法是通过对方程组进行适当的加减乘除运算，使得未知量的系数依次为0，从而求出未知量的值。
小学解方程全部知识点总结
小学解方程全部知识点总结一、什么是方程在数学中，方程是含有未知数的等式，它表示了一种数学关系。
方程的解就是能满足这个等式的未知数的值。
二、解方程的基本原则1. 相等原则：等号两边的数相等2. 加减原则：等式两边加减同一个数，等式仍成立3. 乘除原则：等式两边同时乘除同一个数，等式仍成立4. 变形原则：在等式两边同时作相同变形时，等式仍成立三、解一元一次方程1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数，并且该未知数的次数是1的方程。
一般写成形如ax + b = c的形式。
2. 解一元一次方程的步骤（1）将方程术语中的字母项移到一个方向，常数项移到另一个方向，使方程变为ax=b （a≠0）的形式。
（2）把b除以a，得到x的值。
3. 例题例1：3x + 5 = 17步骤1：将常数项5移到另一边，得到3x = 17 - 5步骤2：计算得到x = 4例2：2y - 7 = 11步骤1：将常数项-7移到另一边，得到2y = 11 + 7步骤2：计算得到y = 9四、解一元一次方程组1. 一元一次方程组的定义一元一次方程组是由若干个一元一次方程联立组成的方程组。
其一般形式为：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中a1，b1，c1，a2，b2，c2均为已知数，而x和y是未知数。
2. 解一元一次方程组的步骤（1）利用其中一个方程解其中一个未知数；（2）将求得的未知数代入另一个方程，得到另一个未知数的值；（3）将求得的未知数值代入另一个方程，检验结果。
3. 例题例1：求解方程组{2x - y = 13x + 2y = 10步骤1：用第一个方程解出x，得到x = 1 + y步骤2：将x代入第二个方程，得到3(1+y) + 2y = 10（3+y）+ 2y = 103y + 3 = 103y = 7y = 7/3步骤3：将y = 7/3代入x = 1 + y，得到x = 1 + 7/3 = 10/3五、解含有括号的一元一次方程1. 解法步骤（）去括号（2）去分母（3）合并同类项（4）移项2. 例题例1：3(x + 4) = 5步骤1：去括号，得到3x + 12 = 5步骤2：移项，得到3x = 5 - 12步骤3：计算得到x = -7/3例2：2(3y - 5) = 14 - 4y步骤1：去括号，得到6y - 10 = 14 - 4y步骤2：合并同类项，得到6y + 4y = 14 + 10 步骤3：移项，得到10y = 24步骤4：计算得到y = 24/10 = 12/5六、解含有分数的一元一次方程1. 解法步骤（1）通分（2）去分母（3）移项2. 例题例1：2/3x + 1/6 = 1/2步骤1：通分，得到4/6x + 1/6 = 3/6步骤2：去分母，得到4x + 1 = 3步骤3：移项，得到4x = 3 - 1步骤4：计算得到x = 2/4 = 1/2例2：5/6y - 2/3 = 1步骤1：通分，得到5/6y - 4/6 = 6/6步骤2：去分母，得到5y - 4 = 6步骤3：移项，得到5y = 6 + 4步骤4：计算得到y = 10/5 = 2七、总结解一元一次方程是小学数学学习中的一个重要环节。
初中数学方程知识点总结
初中数学方程知识点总结数学方程是初中数学中的重要内容之一，它是一种用符号表示的等式，通过找出未知数的值来解决问题。
在初中数学中，我们需要掌握各种类型的方程，包括一元一次方程、一元一次不等式、一元一次方程组等。
本文将对这些内容进行详细总结。
一、一元一次方程一元一次方程是最基本的方程类型，它由一个未知数和其系数构成。
一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b是已知数，a≠0。
解一元一次方程的基本步骤如下：1. 化简方程，消去系数。
2. 将方程两边同时乘以适当的数，使得未知数的系数变为1。
3. 通过逆运算求得未知数的值。
二、一元一次不等式一元一次不等式是由一个未知数和其系数构成的不等式。
解一元一次不等式的基本步骤如下：1. 将不等式化简，去掉绝对值等符号。
2. 根据不等式的性质，进行移项、合并同类项等操作。
3. 注意改变不等号的方向，找出满足不等式的解集。
三、一元一次方程组一元一次方程组是由两个以上的一元一次方程构成的方程组。
解一元一次方程组的基本步骤如下：1. 选择一方程，通过消元的方式使得此方程的未知数系数为1。
2. 将已经消元后的方程代入其他方程，求得未知数的值。
3. 将解代入原方程组，验证是否是真解。
4. 如果方程组无解或者有无穷多组解，需要进行特殊讨论。
四、二元二次方程二元二次方程是由二次项和一次项组成的方程。
二元二次方程的基本形式为ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0，其中a、b、c、d、e都是已知数且a与b不同时为0。
求解二元二次方程的方法有以下几种：1. 直接法：将其中一个未知数表示成另外一个未知数的函数，然后代入方程，得到关于一个未知数的一元二次方程，然后求解。
2. 消元法：通过消元将方程简化成只包含一个未知数的一元二次方程，然后求解。
3. 代入法：将方程中的某一个未知数表示成另外一个未知数的函数，然后代入方程，得到关于一个未知数的一元二次方程，然后求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识点1：一元一次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的整式方程叫做一元一次方程。
（如：21,314223
x x x x --=+=-） 特点：①等号两边都是整式②只含有一个未知数③未知数的次数都为1.
判断方法：首先要将整式方程化简，然后再判断是否满足一元一次方程的三个特点。
知识点2：等式的基本性质
1.等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
即如果a b =，那么a c b c ±=±；
2.等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。
即如果a b =，那么ac bc =，
(0)a b c c c
=≠； 3.对称性：如果a b =，那么b a =；
4.传递性：如果a b =，b c =，那么a c =。
知识点3：一元一次方程的解法
1.移项法则
把方程的某一项改变符号后，从方程的一边移到方程的另一边，叫做移项法则。
2.解一元一次方程的步骤
①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；
②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；
③移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其它项都移到方程的另一边（移项要变号）
④合并同类项：把方程变成(0)ax b a =≠的形式
⑤系数华为1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a
=。
知识点4：（1）二元一次方程的概念
含有两个未知数，且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。
如：1,323,32
m x y x y n +=-=+=都是二元一次方程。
（2）二元一次方程组的概念
由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（如：2324
x y x y +=⎧⎨-=⎩）
知识点5：二元一次方程组的解
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
知识点6：二元一次方程组的解法
（1）用代入法求解二元一次方程组
步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；
②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；
④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；
⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解。
（2）用加减法解方程组
步骤：①方程组中的两个方程中，如果同一个未知数的系数即不互为相反数又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数变为相反数或相等；
②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；
④将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用符号“{”联立起来。
知识点7：用一次方程（或方程组）解决实际问题
①行程问题：行程问题中涉及的量有路程、平均速度、时间。
它们之间的关系是：
路程=平均速度⨯时间
②储蓄问题：储蓄问题中涉及的量有本金、利率、期数、利息、本金和。
它们之间的关系是：
本金⨯利率⨯期数=利息
本金+利息=本金和
③利润问题：商品买卖问题中涉及的量有实际售价、成本（进价）、数量、利润。
它们之间的关系是：
实际售价-成本（进价）=利润
总利润=数量⨯利润
④工程问题：工程问题中涉及的量有工作总量、工作效率、工作时间。
它们之间的关系是：
工作效率=工作总量工作时间。