函数的凹凸性

任 意 的 x1, x2 (x1 x2 ) ， 有 如 下 结 论 ：
① f (x1 x2) f (x1) f (x2) ；
② f (x1 x2 ) f (x1) f (x2) ；
③ f (x1) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2) .
y log2 x 在 0 x 1内为凸函数。所以答案为 B。
点 评 :只 要 能 作 出 这 四 个 初 等 函 数 的 草 图 ,马 上 根 据 函 数 的 凹 凸 性 可 直 接 作 结 论 .
典 例 2 . （ 0 5 北 京 理 工 科 1 3 ）． 对 于 函 数 f ( x ) 定 义 域 中
2
2
当 f ( x ) lg x 时 ， 上 述 结 论 中 正 确 结 论 的 序 号
是
.
【详解】
对 于 ① ② 可 以 用 f ( x ) lg x
直接验证即可②满足题意 对于③④如右图所示：
对 于 f ( x ) lg x 图 象 上 任 意 不 同
两 点 A (x1, f (x1))B (x2, f (x2 ))
解析:答案为 B。要使 f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) 恒成
2
2
立，由函数值的定义及函数图象即需要函数在 0 x 1
内为凸函数。而 y 2x , y x2 在 0 x 1内为凹函数，
y cos 2x 在 0 x 1 内 先 凸 后 凹 函 数 。 只 有
k AB
f (x1) f (x2) 0 x1 x2
显
然
成
立
（
可
以
用
f '( x ) 1 0 ( x 0 ) ） 故 ③ 正 确 x ln 1 0
再 有 A B 中 点 C（ x 1 x 2 , f ( x 1 ) f ( x 2 ) ) 过 C
2
2
作
DC
x轴交
2
双曲 co 余 xse h x 弦 ex 2
y 1ex 2
D:(, ), 偶函数.
ysinxh
双曲 tax n 正 sh ix n 切 e x h e x co xs e xh e x
D:( , ) 奇函数, 有界函数,
双曲正切
shx exex
A
o
x
问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?
y
yf(x)
y yf(x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段（的中点）
位于所张弦的下方。
o x1
x2 x
图形上任意弧段（的中点）
位于所张弦的上方。
二、曲线的凹凸性与拐点
y
C
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
B
y
yf(x) f(x1) f(x2)
2
x
x2 4
x2 4
2 a 0 结合 a 0，a [2,0)。
指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的凹凸性。
1、指数函数 yax (a0 ,a1 ) y ex
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a1)
2、对数函数 y lo a x( g a 0 ,a 1 )ylnx
ooo
xx11
xx11xx22 22
xx22
xxx
【 知识背景】 函数的凹凸性是高等数学的数学分析中
的研究函数的一个概念，是用来研究函数图象的变化趋 势的。
【 高考联接】 在高考中常借助函数的凹凸性来考查基
本初等函数的图象及性质，这一知识点常渗透在与函数 的 图 象 与 性 质 的 选 择 填 空 题 中 。经 常 与 高 中 所 学 的 函 数 、 三角、不等式知识相结合。此类问题的常规处理思路有 数形结合法、导数分析法、增量分析法、估猜法等。
定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 ： 如 果 对 任 意 x , x R 都 有 12
x x 1
f ( 1 2 ) f (x ) f (x ) 则称函数 f (x)是R上的凹函数，已知二次函
2
2
1
2
数 f (x) ax2 x(aR且a 0)，
（1） 求证：当a 0时函数 f (x)是凹函数；
例9 求函数 f(x)1(exex)的反函数.
2
解
令 y1(ex ex), 则
2
e2x2yxe10
exy y21 (舍去“-”) xlny ( y21)
将字母x与 y互换,得 yln x ( x21)
即
f 1 (x ) ln x (x 2 1 )
f (x) 于
D（
x1
2
x2
,
yD
)
D
在
f (x)
上
有
：
yD
f ( x1 2
x2 )
yC

f ( x1) f ( x2 ) 故 ④ 不 正 确 2
点评:本题主要考查了 f (x) lg x 函数运算性质以及直
线斜率应用,题目较综合.判断④不正确也可直接利 用函数图象的上凸性作结论.
f ( x1)
f ( x1 x2 ) 2
f (x2)
o
x1
x1 x2 2
x2
x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
A
o
x
y
f ( x1 x2 ) 2
yf(x)
f(x1) f(x2) 2
f ( x1)
f (x2)
o x1 x1 x2 x2
x
2
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
二、曲线的凹凸与拐点
thx c
hxexex
定义域：(,) 奇函数 单调递增 有界
双曲余切 coxthcsh x x heex x ee x x
定义域：(,) 奇函数
y thx
ycotxh
双曲函数常用公式
sx i y n ) sh x i c n y ( o c h x s o sh y i ; s n h cx o y ) s cx h o cy o ( s sh x s i sn h y i ;n h co 2x s s hi2 n x h 1 ; si2 n x 2 h six n co h x ;sh co 2 x s ch 2 o x s si 2 h x n . h
定义 . 设函数 f (x) 在区间 I 上连续 ,x1,x2I,
(1) 若恒有 f(x1x2)f(x1)f(x2),则称 f (x)的
2
2
图形是凹的;
(2) 若恒有 f(x1x2)f(x1)f(x2),则称 f (x)的
2
2
图形是凸的 .
yyy
连续曲线上有切线的凹凸分界点
称为拐点 .

ax2 1

ax2 2

1 2
a(x2 1

x2 2

1
＝
2
a(x 1

x )2 2

0 ，
f
x (1
2
x 2)

1f
2
(x ) 1
f
(x ) 故函数 2
f
(x) 是
凹函数。
（2）由 f (x) 1 1 f (x) 1 1 ax2 x 1 ①
ax2 x 1
典例 1. （05 湖北卷）
在 y 2 x , y log2 x, y x 2 , y cos 2x 这 四 个 函 数
中 ， 当 0 x1 x2 1 时 ， 使
f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) 恒成立的函数的个数
2
2
是（ B ）
A．0 B． 1 C．2 D．3
（2） 如果x 0,1 时 f (x) 1，试求实数a的范围。
解析：（1）对任意的
x, 1
x 2

R,
a

0
，
f (x ) 1
f (x ) 2

2
f
(
x 1

x 2
)
＝
2
ax2 1

x 1

ax2 2

x 2

2a(
x 1
2
Βιβλιοθήκη Baidux 2
)2

x 1
2
x 2

一、曲线的凹凸性与拐点
如图，观察抛物线 yx2,y x ，它们
在区间[0，1]上都是单调增加的，但弯曲的方向
不一样。
y
这说明，在研究函数的图形时，
仅知道他们的单调性是不够的， 1
还需要考察曲线的弯曲方向及 扭转弯曲方向的点。
o1
x
二、凹凸与拐点的定义 y
C
B
定义: 若曲线段向上（下）弯曲，
则称之为凹（凸）的。
yloagx
(1,0)
•
(a1)
y log1 x
a
3、幂函数
yx y
y x2
1
(是常)数
yx y x
(1,1)
o1
x
y 1 x
6、双曲函数
由 ex, ex 构成.
ycosxh
双曲 si正 n xh ex 弦 ex
2 y 1ex
D:(, ), 奇函数.
当
x

0时， a R ，当
x (0,1]时①即 ax2

x
恒成立
1
a 即

a
1
x2 1

1
x 1

(1 1)2 x2
(1 1)2 1
1 4
恒成立，当
x (0,1]时
1 x
1，
x2 x x 2 4
当 1 1时， (1 1)2 1 取得最大值 2， (1 1)2 1 取得最小值0