catalan数列研究与应用

表 2 Catalan 数阵 f (i, j)（i=1~20）
f(i,j) i
1
j
0 1
1 1
2 undef
3 unde f
4 unde f unde f unde f
5 undef
6 undef
7 undef
8 undef
9 undef
10 undef
11 undef
2
1
2
2
Байду номын сангаас
unde f
undef
Catalan 数列探究与应用
戴明劼 摘要：
Catalan 数列是著名的计数序列之一，应用广泛。本文主要从科学问题探索、科学方 法研究两方面，分初探、深究与应用三个部分介绍了一个中学生对 Catalan 数列问题的初步 研究成果。在对 Catalan 数列的初探中，本文采用简单、直观、中学生通俗易懂的方法一步 一步推导出了 Catalan 数列的通项公式，这对理解和掌握 Catalan 数列的形成规律与内在结 构有很大的帮助； 在对 Catalan 数阵的深究中， 本文通过与组合数的类比简洁地导出了 Catalan 数阵的通项公式， 有助于更全面地理解 Catalan 数列的性质与特点； 在对应用实例的讨论中， 描述了如何应用 Catalan 数列来巧妙地求解一些常见难题，把数学研究真正运用于实际。
A(1,0)
B(5,0)
P(5,3) 图2
C(5,4)
表１ f (5,3)的实际计算过程 点（i, j） (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (3,3) (4,3) (5,3) f（i, j） 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 2 5 9 14 5 14 28 计算方法 f (i, j)=f (i, j-1)+f (i-1, j) 开始 f (1,0) 特殊点 f (2,0)=f (1,0) 特殊点 f (3,0)=f (2,0) 特殊点 f (4,0)=f (3,0) 特殊点 f (5,0)=f (4,0) 特殊点 f (1,1)=f (1,0) f (2,1)=f (1,1)+f (2,0) f (3,1)=f (2,1)+f (3,0) f (4,1)=f (3,1)+f (4,0) f (5,1)=f (4,1)+f (5,0) 特殊点 f (2,2)=f (2,1) f (3,2)=f(2,2)+f (3,1) f (4,2)=f (3,2)+f (4,1) f(5,2)=f (4,2)+f (5,1) 特殊点 f (3,3)=f (3,2) f(4,3)=f (3,3)+f (4,2) f(5,3)=f(4,3)+f(5,2)
undef undef undef undef undef 4862 16796 41990 90440 177650 326876 572033 961400 1562275 2466750
undef undef undef undef undef undef 16796 58786 149226 326876 653752 1225785 2187185 3749460 6216210
undef 42 132 297 572 1001 1638 2548 3808 5508 7752 10659 14364 19019 24794
undef undef 132 429 1001 2002 3640 6188 9996 15504 23256 33915 48279 67298 92092
10015005
2458228 5
20
1
20
209
1518
8602
40480
164450
592020
1924065
5722860
15737865
4032015 0
注：Undef 表无此数据
表 2（续） Catalan 数阵 f (i, j)（i=1-20） f(i,j) i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef 208012 742900 1931540 4345965 8947575 17298645 31865925 56448210 undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef 742900 2674440 7020405 15967980 33266625 65132550 12158076 0 20 96768360 21834912 0 463991880 927983760 173996955 0 undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef 2674440 9694845 25662825 58929450 124062000 245642760 undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef 9694845 35357670 94287120 218349120 463991880 undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef 35357670 129644790 347993910 811985790 undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef 129644790 477638700 128962449 0 302959404 0 4796857230 6564120420 65641 20420 undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef 477638700 1767263190 undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef 1767263190 undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef undef
图 1 阶梯状的城市街道图 为了导出 Catalan 数列的通项公式并熟悉 Catalan 数列的基本结构与形成规律，让我们 先从简单的、具体的问题开始。就比如说，计算从 A 点(1, 0)到 P 点（5, 3） ，共有多少种不 同的走法（如图 2） ，并用 f（i, j）表示从(1, 0) 点到（i, j）点的不同的走法总数。 由于最后一步的走法只能按箭头的方向向右或向下，所以从 (1, 0) 点到（5, 3）点的线 路必经过（4，3）点或（5，2）点，且经过（4，3）点或（5，2）点的线路互不相同，即 有 f (5,3)=f (4,3)+f (5,2)。同样地，对通过(4,3)点的路线可分为通过(3,3)点的部分和通过 (4,2) 点的部分，即有 f (4,3)=f (3,3)+f (4,2)。类似地，有 f (i, j)=f (i, j-1)+f (i-1, j)。 但是我们也必须注意到某些特殊点。 如考虑 f(3,3)时， 若认为 f (3,3)=f (3,2)+f (2,3)显然不 对，因为 f (2,3)根本不存在。同样地，求 f (3,0)时，也不存在 f (3,-1)。所以我们又有，当 j=0 时，f (i, 0)=f (i-1, 0)=f (i-2,0 )=„=f (1,0)=1；当 i=j 时，f (i, j)=f (i, j-1)。 表 1 具体地给出了求 f (5,3)的实际计算过程。 由此我们就得知了从 (1, 0) 到 (5, 3) 的走 法共有２８种。
一、初探——Catalan 数列
Catalan 数列的问题可用图 1 所示阶梯状的城市街道图来简洁表述， 即从图 1 中 A 点(1, 0) 出发，按箭头所示方向（即向右或向下）到达交叉点 F 点（i, j）共有多少种不同的走法？ A(1,0)
F(i, j)
B(n,0)
P(n, k)
C(n, n)
undef undef undef 429 1430 3432 7072 13260 23256 38760 62016 95931 144210 211508 303600
undef undef undef undef 1430 4862 11934 25194 48450 87210 149226 245157 389367 600875 904475
undef
undef
undef
undef
undef
undef
3
1
3
5
5
undef
undef
undef
undef
undef
undef
undef
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 14 20 27 35 44 54 65 77 90 104 119 135 152 170
14 28 48 75 110 154 208 273 350 440 544 663 798 950 1120
14 42 90 165 275 429 637 910 1260 1700 2244 2907 3705 4655 5775
总结一下前面的探索结果，我们有
f (i, j 1) f (i 1, j ) f (i, j ) 1 f (i, j 1)
i j0 j0 j i
（1） 从前面的探索过程中，我们同时也熟知了这种数阵（在本文中，我们姑且将它称之为 Catalan 数阵 f (i, j)）的一些基本特征和规律。 根据以上建立的经验规则（其实也是显而易见的） ，我们就可以依葫芦画瓢地计算出 i 较小时（i=1~20）的 f (i, j)的值（虽然有很大的计算量，但是我们可以借助于 TI-92 图形计算 器来完成） ，并以 Catalan 数阵 f (i, j)的形式列在表２中，而 Catalan 数列也就是由 Catalan 数 阵每一行的最后一个数 f (i, i)组成的。
undef undef undef undef undef undef undef 58786 208012 534888 1188640 2414425 4601610 8351070 1456728 0
19
1
19
189
1309
7084
31878
123970
427570
1332045
3798795
关键词：Catalan 数列，Catalan 数阵，找零问题，城市线路问题。
引言
在日常生活中，我们常常会遇到以下的一些问题： ①找零问题 某公园门票五元， 现有 2n 个人持有 n 张 10 元和 n 张５元纸币来购买门票， 而售票处开 始没有零钱。问这 2n 个人有多少种排队顺序使得售票处不发生找钱困难？ ②城市线路问题某城市的道路由若干条给定的相互垂直的街道组成，但由于各种地形、 建筑的影响， 有些地段路线并非完整。 问从任意指定地点到另一地点共有多少种不同的最短 路线？ 以上两个以及其他一些问题看似毫不相干， 可是却奇迹般地建立在同一个数学基础之上， 他就是我们在本文中所要探究的主题：Catalan 数列。 Catalan 数列是以英国数学家 Eugene Charles Catalan (1814-1894)命名的递推计数序列。 自从 18 世纪的 Segner 发现了 Catalan 数列并初步解决了它的计算问题以后，Eugene Charles Catalan 曾作出了更简明的解答。实际上，大数学家 L. Euler (1707-1783)早就发现了这组数， 并做出了相当好的结果。我国清代数学家李善兰叶对这组数作过深湛的研究。 Catalan 数列问题内涵丰富、应用广泛，对其进行真正意义上的科学研究并取得真正的 进展需要很深的功力。本文主要从科学问题探索、科学方法研究两方面，分初探、深究与应 用三部分介绍一个中学生对 Catalan 数列问题的研究成果。在第一部分“初探——Catalan 数 列”中，采用最原始（但最直观、最易理解）的方法一步一步推导了 Catalan 数列的通项公 式，这对理解和掌握 Catalan 数列的结构与形成有很好的帮助；第二部分“深究——Catalan 数阵”中，采用两种不同的方法，简洁地导出了 Catalan 数阵的通项公式，将有助于更全面 地理解 Catalan 数列的性质与特点；在第三部分“应用”中，讨论了如何应用 Catalan 数列 来巧妙地求解一些常见难题，把数学研究成果真正用于实际。