最新常微分方程及其应用
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常微分方程及其应用
第5章常微分方程及其应用
习题5.2
1．求下列各微分方程的通解：
（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...»；
（3）«Skip Record If...»；（4）«Skip Record If...»；
（5）«Skip Record If...»；（6）«Skip Record If...»．
2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；
（3）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；（4）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；
（5）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»；（6）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．
5.3 可降阶微分方程及二阶常系数线性微分方程
案例引入求微分方程«Skip Record If...»的通解．
解两边积分，得«Skip Record If...»
两边再积分，得«Skip Record If...»
所以，原方程的通解为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为任意常数．
5.3.1 可降阶微分方程
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1. 形如«Skip Record If...»的微分方程
特点：方程右端为已知函数«Skip Record If...»．
解法：对«Skip Record If...»连续积分«Skip Record If...»次，即可得含有
«Skip Record If...»个任意常数的通解．
2. 形如«Skip Record If...»的微分方程
特点：方程右端不显含未知函数«Skip Record If...»．
解法：令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．于是，原方程可化为«Skip Record If...»．这是关于«Skip Record If...»的一阶微分方程．设其通解为«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»．两边积分，即可得原方程通解«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为任意常数．
3. 形如«Skip Record If...»的微分方程
特点：方程右端不显含自变量«Skip Record If...»．
解法：令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．于是，原方程可化为«Skip Record If...»．这是关于«Skip Record If...»的一阶微分方程．设其通解为«Skip Record If...»，即
«Skip Record If...»．分离变量，得«Skip Record If...»．然后两边积分，即可得原方程通解
«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为任意常数．例5-7求微分方程«Skip Record If...»的通解．
解两边积分，得«Skip Record If...»
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两边再积分，得«Skip Record If...»
第三次积分，得«Skip Record If...»
所以，原方程的通解为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为常数．例5-8求微分方程«Skip Record If...»的通解．
解令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．原方程可化为«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»．这是关于«Skip Record If...»的一阶线性齐次微分方程．其通解为：
«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»．两边积分，即得原方程通解«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为任意常数．
例5-9求微分方程«Skip Record If...»的通解．
解令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．于是，原方程可化为
«Skip Record If...»．这是关于«Skip Record If...»的一阶线性非齐次微分方程．其通解为
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
即«Skip Record If...»．两边积分，即得原方程通解
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
其中«Skip Record If...»为任意常数．
例5-10求微分方程«Skip Record If...»的通解．
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解令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．于是，原方程可化为
«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»．这是关于«Skip Record If...»的一阶线性齐次微分方程．其通解为
«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»．
所以原方程通解为«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为任意常数．
5.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程
定义5.4形如
«Skip Record If...»（5-5）
的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程．
1. 二阶常系数齐次线性微分方程解的结构
定理5.1如果函数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»是方程（5-5）的两个解，那么
«Skip Record If...»（5-6）
也是方程（5-5）的解．（证明略）
定理5.1表明，二阶常系数齐次线性微分方程的解具有叠加性．那么叠加起来的解«Skip Record If...»就是通解吗？不一定．
例如，设函数«Skip Record If...»是方程（5-5）的一个解，则函数«Skip Record If...»也是方程（5-5）的一个解．由定理5.1可知，«Skip Record If...»是方程（5-5）的解．但«Skip Record If...»仍是一个任意常数，所以«Skip Record
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