第十四讲函数与方程PPT课件

并且f(a)•f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存 在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是零点.
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3.对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)•f(b)<0的函数y=f(x),通 过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的 两个端点逐步逼近函数的零点,进而得到零点近似值的方 法叫做二分法,求方程f(x)=0的近似解就是求函数f(x)零点 的近似值.
ax(2x+1)=0,得x=0或x=- .
答案:C
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4.(2010·福建)函数
的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
x2 2x 3 x≤0 f (x)
2 lnx x 0
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解析:令f(x)=0得
得x=-3或x=e2. 答案:C
x≤0 x2 2
x
3
0
或
2 lnx
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解析:由图可知答案为D. 答案:D
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2.下图的函数图象与x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横 坐标的是( )
答案:B
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3.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,那么g(x)=bx2-ax的零点是( )
A.0,2
B.0,
C.0,-
D.2,-
解析:由题意得2a+b=0得b=-2a,由bx2-ax=-2ax2-ax=-
x2
2 m
0,
x1x2
1 m
0,故f
(x)有两个负零点.
综上可知实数m的取值范围是m≤1.
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[点评] ①方程的根或函数零点的存在性问题,可以依据区间 端点处的函数值的正负来确定,但是要确定函数零点的个 数还需进一步研究函数在这个区间上的单调性,在给定区 间上如果是单调的,它至多有一个零点,如果不是单调的,可 继续分出小的区间,再类似作出判断;
• 第十四讲 函数与方程
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1.对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点,因 此方程的根与函数零点有如下关系:方程f(x)=0有实数根⇔ 函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
2.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,
答案:B
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题型三
利用二分法求方程的近似解
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【例3】 求方程2x3+3x-3=0的一个近似解(精确度0.1).
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[解] 设f(x)=2x3+3x-3. 经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0, 所以函数在(0,1)内存在零点, 即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有解. 取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0, 又f(1)>0,所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解,如此继续下去,
范围.
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[解] (1)∵f(-1)=-4+1+<0
f(1)=4+1-> 0, f(-1)•f(1)<0, 又f′(x)=4+2x-2x2=-2(x2-x+2)
2
x
1 2
2
7 4
当x∈[-1,1]时f′(x)<0,∴f(x)在[-1,1]上单调递减,
故函数f(x)=4x+x2-x3在区间[-1,1]上有一个零点.
(2)f(x)=x+
2 -3. x
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[解] (1)由x3-2x2-x+2=0, 得x2(x-2)-(x-2)=0, 即(x-1)(x+1)(x-2)=0, 得x=2或x=1或x=-1, 故函数f(x)的零点是2,1,-1.
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(2)由x+
2 x -3=0,
得x2-3x+2=0, 即(x-1)(x-2)=0, 得x=1或x=2. ∴函数f(x)的零点为1,2.
2
f
1
1
(m2
2)
m
m2
m
1
m
1 2
2
3 4
0,而f
1
1
(m2
2)
m
m
1 2
2
9 4
0,
f
( x)在 1,1 上必有一个零点.
答案:B
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题型二
零点的个数问题
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【例2】 (1)判断f(x)=4x+x2-x3在区间[-1,1]上的零点个数; (2)若函数f(x)=mx2+2x+1至少有一个负零点,求实数m的取值
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用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε; 第二步,求区间(a,b)的中点x1; 第三步,计算f(x1): ①若f(x1)=0,则x1就是函数f(x)的零点; ②若f(a)·f(x1)<0,则b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); ③若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b));
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(2)当m=0时,f(x)=2x+1,令f(x)=0得x=-符合题意.
当m<0时,∵Δ=22-4m=4-4m>0,
∴f(x)有两个零点x1,x2,
又x1
x2
2 m
0, x1x2
1 m
0,
∴f(x)有一个负零点,一个正零点符合题意. 当m>0时,由Δ=4-4m≥0得0<m≤1,
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此时x1
x
0
0
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5.若关于x的方程
3 2
x
2 3a 5a
有负数根,则实数a的取值范围是________.
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解析 :由0 2 3a 1,得 2 a 3 .
5a
3
4
答案
:
2 3
,
3 4
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重点难点突破
题型一
求函数的零点
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【例1】 求下列函数的零点. (1)f(x)=x3-2x2-x+2;
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[点评] 求函数f(x)的零点是通过转化求方程f(x)=0的根来实 现的.
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变式1:函数f(x)=x2+(m2+2)x+m在(-1,1)上的零点的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.不确定
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解析 :由于对称轴x m2 2≤1,故f (x) x2 (m2 2)x m在1,1上单调递增,又
②如果y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的曲线,且x0是函数 y=f(x)在(a,b)上的一个零点,却不一定有f(a)·f(b)<0.
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变式2:(2011·陕西摸底)f(x)=lnx+2x-5的零点一定位于以下的 区间为( )
A.(1,2)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.(4,5)
解析:∵f(2)=ln2+4-5=ln2-1<0,f(3)=ln3+6-5=1+ln3>0.
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第四步,判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则函数零点的近 似值为a(或b);否则重复第二步到第四步.
用二分法求方程的近似解的计算量较大,因此往往借助计算 器或计算机来完成.
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基础自测
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1.(2011·江西进贤摸底)若方程f(x)-2=0在(-∞,0)内有解,则 y=f(x)的图象是( )