二次函数与平行四边形综合PPT优秀课件
二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
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详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
《二次函数复习专题——平行四边形存在问题处理策略》教学PPT课件 初中数学公开课
A3
2,4
( ) 综上所述：A1( 2
47 7,
7
) 或A2(
27 ,4
7
7
)或
A3
2,4
例3.如图,抛物线y=−x2+2x+3与x轴相交于A. B两点(点A在点B的左侧)，与y轴 相交于点C，顶点为D. (1)直接写出点A. B. C三点的坐标和抛物线的对称轴； (2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作 PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m. ①用含m的代数式表示线段PF的长； ②当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形?
以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出满足条件的
点M,N的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）二次函数的表达式为 y = 1 x2 - 4 x+2 33
（3）由题得D(1，0)，E（3，1），
可设点N的坐标为（n， 1 n2 - 4 n+2 ）点M的坐标表
当M示N为为(对xM角，线yM时) ìïí
（1）二次函数的表达式为 y = 1 x2 - 4 x+2 33
（3）由题得D(1，0)，E（3，1），
可设点M的坐标为（2，m）点N的坐标表示为(xN，yN)
当MN为对角线时
ìï í
2 + xN
=1+3
ïî m + yN =1+0
解得 ìïí xN = 2 ïî yN =1- m
将N（2，1-m）代入点N所在的抛物线表达式
③当AD为对角线时，有 ìïí x1 + xD = x2 + x3 ïî y1 + yD = y2 + y3
探究二次函数中平行四边形的存在性问题 (共19张PPT)
点P、Q、B、O为顶点的四边形
为平行四边形，直接写出相应的 A
C
点Q的坐标．
33
①点AC为对角线
0
0
4 3
a
m
a
a
1 3
a
m2
2m
a
m
5 2
a
15 8
②点AN为对角线
0 a
4 3 1 3
a a
0m a m2
2m
a
am18255 （舍）
③点AP为对角线
0 a
先求出A(0，a)，C (0， -a)，设P(m，m2-2m+a) 根据A(0，a) ,M（1，a-1）,先求出 直线AM的解析式为y=-x+a,再根据 直线y = 0.5x - a与直线AM的交点为 N可求出点N的坐标。
N(4 a, 1 a) 33
先求出A(0,a)，C (0, -a)，N ( 4 a, 1 a) ， 设P(m,m2-2m+a)
为平行四边形的对角线三种情况进行讨论
例题图④
③根据平行四边形顶点规律列方程组求出点H的坐标；
解：存在，理由如下：假设存在满足条件的点H ， 已知A（1，０），Ｃ（０，３） 设G点坐标为(2,a)，H点坐标为(n，n2－4n＋3) 分三种情况： ①当AC为对角线时，
②当AG为对角线时，
③当GC为对角线时， 这种情况不存在
四边形？如果存在，请求出E点的坐标；如果不存在，请
说明理由； 解：存在；假设存在满足条件的点E，
已知D (2，－1)，B(3，0)，C(0，3) ，设E（ｘ，ｙ）
二次函数的图像与性质ppt课件
函数的凹凸性
当a>0时，函数凹；当a<0时，函数凸。
函数的零点和方程
零点是方程y=0的解，方程求解可以用二次公式。
二次函数的应用
1
抛物线运动
抛物线可以描述物体在空中的轨迹，如
弹性系数
2
抛出物体的运动轨迹。
二次函数可以表示材料的弹性特性，如
描述力和变形的关系。
3
跳水成绩预测
通过二次函数建模，可以预测跳水运动
二次函数的图像与性质 ppt课件
通过本课件，你将深入了解二次函数的定义和表达式，并学习二次函数的图 像特征，如开口方向、对称轴、最值点和零点等。还将探究二次函数的性质， 如增减性、凹凸性、最值和零点方程。从抛物线运动到报价模型，掌握二次 函数的应用。最后，了解二次函数的变形与拓展，包括平移、缩放、翻转和 混合运用。同时，我们将解决常见错误和实际问题应用。
常见错误和解决方法
1 符号错误
检查符号的正确使用，特别是a的正负。
3 图像理解错误
注意开口方向、对称轴和最值点的判断。
2 方程解法错误
仔细检查求解方程是否正确，特别是二次方 程。
4 实际问题应用
将数学模型应用到实际问题时，需考虑问题 的实际情况并合理使用二次函数。
开口方向
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时， 抛物线开口向下。
最值点
最值点是抛物线的最高点（当a>0）或最 低点（当a<0）。最值点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
二次函数的性质
函数的增减性
当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调 递减。
函数的最值
最值主要由最值点确定，注意开口方向和a的值 来确定最值。
《二次函数》优质PPT课件(共65页ppt)
抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树，这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的 汽车的刹车距离s（m）可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500
二次函数与平行四边形
我们先思考三个问题：1.已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？2.在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？3.在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？如图1，过△ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个D。
如图2，已知点A（0,3），B（-2,0），C（3,1），如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？点B先向右平移两个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D（5,4）。
如图3，如果平行四边形ABCD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直）。
点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等。
关系式和有时候用起来很方便。
1.(青海倒一)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交BE于点F，点D，E的坐标分别为（3，0），（0，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）猜想△EDB的形状并加以证明；（3）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2.（陕西倒二）在同一直角坐标系中，抛物线C1:y=ax2-2x-3与抛物线C2:y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．3.（宿迁倒一）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．4.（临沂倒一）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．5.（枣庄倒一）如图，抛物线y=－1/2x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C 坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．6.（烟台倒一）如图1，抛物线y=ax2bx+2与轴交于A,B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E.（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H.设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系是（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的M的坐标；若不存在，请说明理由.7.（邵阳倒一）如图所示，顶点为（1/2，－9/4）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y＝k/x （k＞0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．8.（岳阳倒一）如图，抛物线经过点B（3,0），C（0，-2），直线交y轴于点E，且与抛物线交于A、D两点.P为抛物线上一动点（不与A、D重合）.（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线下方时，过点P作PM∥轴交于点M，PN交y轴交于点N.求PM+PN的最大值（3）设F为直线上的点，以E、C、P、F,为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能求出点F的坐标；若不能，请说明理由.9.（湖北咸宁）如图，抛物线y=1/2x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6.⑴求抛物线的解析式及点D的坐标；⑵连接BD,F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；⑶平行于x轴的直线交抛物线于M,N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=1/2MN 时，求菱形对角线MN的长.10.（雅安倒一）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过A(1，0)，B(-3，0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD.（1）求抛物线的解析式．（2）若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F、N、G、M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．。
二次函数存在性——平行四边形
4、在平面直角坐标系中，抛物线经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐 标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式， 并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点， 判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边 形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
x1 x2 x ， 2
y1 y2 y ． 2
例1
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(－3，0)， B(2，－2)，C(5，2)，求顶点 D 的坐标．
分析：因为平行四边形的两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同． 解：设点 D 的坐标为 (x，y) ， ∵ A (－3，0)， B (2，－2)， C (5，2)， ∴线段AC中点为（1，1）线段BD中点为（ x 2
小结：确定两定点连接的线段为一边， 则两动点连接的线段应和已知边平行且相等
例2.如图，抛物线y=- x2+bx+c与x轴交于A、B两 点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，对称轴为 直线x=1/2 ，OA=2，OD平分∠BOC交抛物线于点D. （1）求抛物线的解析式和点D的坐标；
1 2
（2）点M是抛物线上的动点， 在x轴上是否存在点N，使A、D、 M、N四个点为顶点的四边形是 平行四边形？如果存在，求出 所有满足条件的M点坐标；如 果不存在，请说明理由．
ymyd即ymyd2两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时则这条线段可能为平行四边形的边或对角线两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时则这条线段可能为平行四边形的边或对角线变式
二次函数存在性
——平行四边形问题
知识储备：中点坐标公式
在坐标平面内，两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)
二次函数中的平行四边形问题
学习过程一、复习预习（一）利用待定系数法求抛物线解析式的三种常用形式： （1）【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解； （2）【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； （3）【交点式】已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为 。
（二）抛物线上两个点A （x 1，y ），B （x 2，y ）之间的关系： (1)如果两点关于对称轴对称，则有对称轴2x 21x x +=；(2)两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。
(3)中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。
练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则线段AB 的中点坐标是(4)如图：PG ∥X 轴，QG ∥Y 轴，P 点的横坐标为，G 点的横坐标为，纵坐标为，Q 点的纵坐标为，则线段PG=，QG=。
（三）求三角形的面积： （1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
B 铅垂高 水平宽haA（四）二次函数中三角形面积、周长的存在性问题解题思路：（1）如果是一个三角形面积为一个三角形面积的多少倍，则分别表示出每个三角形的面积去求解；如果是一个三角形面积为固定值，则用含有未知数的式子去表示面积去求解；如果是三角形周长最小，则做对称点去求解；如果是三角形面积最大，则划归为二次函数最值问题去求解。
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义(对点法——一招制胜)
向右平移6个单位长度向上平移2个单位长度二次函数与平行四边形存在性问题专题讲义一、知识链接：点P（x,y）的平移方式平移后点的坐标规律沿x轴平移向右平移a个单位长度(x+a,y)左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变向左平移a个单位长度(x-a,y)沿y轴平移向上平移b 个单位长度(x,y+b)上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减向下平移b 个单位长度(x,y-b)例1：如下图，线段AB平移得到线段BA''，已知A（-2,2）,B（-3，-1）B'（3,1）则：点A'的坐标是例2.在平行四边形ABCD中，其中已知A (-1，0)，B (1，-2)， C (3，1)，则D点坐标？二、知识迁移例3：如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标分别为()11,yxA、()22,yxB、()33,yxC、()44,yxD，已知其中任意3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？∵AB∥CD,AB=CD∴边CD可看成由边BA向右、向上平移n个单位长度得到三、对点法即：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等.①若点A与点B相对，则点D与点C相对②若点A与点D相对，则点B与点C相对③若点A与点C相对，则点B与点D相对四、典型例题学习例4.如图,平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(1,-2),C(3,1)点D是平面内一动点,若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标是五、小试牛刀1.抛物线中的平行四边形存在性问题（“三定一动”）例5.已知,抛物线2x y 2++-=x 与x 轴的交点为A 、B,与y 轴的交点为C,点M 是平面内一点,判断有几个位置能使以点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形,请写出相应的坐标.思路点拨：先求出A （-1,0）B （2,0）C （0,2）设点M （x,y ）①点A 与点B 相对⎩⎨⎧+=++=+-y x 200021 ∴⎩⎨⎧-==21y x②点A 与点C 相对⎩⎨⎧+=++=+-y x 020201 ∴⎩⎨⎧=-=23y x③点A 与点M 相对⎩⎨⎧+=++=+-200021y x ∴⎩⎨⎧==23y x∴ M （1，-2）或（-3,2）或（3,2）2.抛物线中的平行四边形存在性问题（“两定两动”）例6.如图,平面直角坐标系中,x x +-=241y 与x 轴相交于点B(4,0),点Q 在抛物线的对称轴上,点P 在抛物线上,且以点O 、B 、Q 、P 为顶点的四边形是平行四边形,写出相应的点P 的坐标.思路点拨：此题与上一题方法一样，但需设出两动点坐标设点P （m ,m m +-241）, Q(2,a)下面请您自己列出方程并解答：变式题:1.如图,平面直角坐标系中,421y 2-+=x x 与y 轴相交于点B(0,-4),点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线x y -=上的动点,判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q 的坐标.变试题:2.如图,平面直角坐标中,32x y 2--=x 与x 轴相交于点A(-1,0),点C 的坐标是(2,-3),点P 抛物线上的动点,点Q 是x 轴上的动点,判断有几个位置能使以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形,写出相应的点Q 的坐标.六、方法分享二次函数综合问题中，平行四边形的存在性问题，无论是“三定一动”，还是“两定两动”，甚至是“四动”问题，能够一招制胜的方法就是“对点法”，需要分三种情况，得出三个方程组求解。
二次函数中的平行四边形问题
学习过程一、复习预习（一）利用待定系数法求抛物线解析式的三种常用形式： （1）【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解； （2）【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； （3）【交点式】已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为 。
（二）抛物线上两个点A （x 1，y ），B （x 2，y ）之间的关系： (1)如果两点关于对称轴对称，则有对称轴2x 21x x +=；(2)两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。
(3)中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。
练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则线段AB 的中点坐标是(4)如图：PG ∥X 轴，QG ∥Y 轴，P 点的横坐标为，G 点的横坐标为，纵坐标为，Q 点的纵坐标为，则线段PG=，QG=。
（三）求三角形的面积： （1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
B 铅垂高 水平宽haA（四）二次函数中三角形面积、周长的存在性问题解题思路：（1）如果是一个三角形面积为一个三角形面积的多少倍，则分别表示出每个三角形的面积去求解；如果是一个三角形面积为固定值，则用含有未知数的式子去表示面积去求解；如果是三角形周长最小，则做对称点去求解；如果是三角形面积最大，则划归为二次函数最值问题去求解。
6二次函数与平行四边形综合
一、二次函数与平行四边形综合【例1】 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线364y x =-+与x 轴、y 轴的交点分 别为A B 、，将OBA ∠对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点.C （1）直接写出点C 的坐标，并求过A B C 、、三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T Q ，为线段BT 上一点，直接写出QA QO -的取值范围.【例2】 如图，点O 是坐标原点，点(0)A n ，是x 轴上一动点(0)n <.以AO 为一边作矩形AOBC ，点C 在第二象限，且2OB OA =．矩形AOBC 绕点A 逆时针旋转90︒得矩形AGDE ．过点A 的直线y kx m =+(0)k ≠交y 轴于点F ，FB FA =．抛物线2y ax bx c =++过点E 、F 、G 且和直线AF 交于点H ，过点H 作HM x ⊥轴，垂足为点M ． ⑴ 求k 的值；⑵ 点A 位置改变时，AMH ∆的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由．【例3】 如图1，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3tan 4B =，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函数，其图象是过点()1236，的抛物线的一部分（如图2所示）．（1）求AB 的长；（2）当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值．为了解决这个问题，孔明和研究例题精讲二次函数与平行四边形综合性学习小组的同学作了如下讨论： 张明：图2中的抛物线过点()1236，在图1中表示什么呢？李明：因为抛物线上的点(,)x y 是表示图1中AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系，那么()1236，表示当12AP =时，AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系. 赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！孔明：哦，这样就可以算出AB ，这个问题就可以解决了. 请根据上述对话，帮他们解答这个问题.R Q BCA【例4】 如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．（1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确 定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE ∆的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE ∆的周长；（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN =∠°？若存在，请直接写出点P 的坐标．【例5】 如图，已知抛物线1l ：24y x =-的图象与x 轴相交于A C 、两点，B 是抛物线1l 上的动点(B 不与A C 、重合)，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D ．（1）求2l 的解析式；（2）求证：点D 一定在2l 上；（3）平行四边形ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；如果不能为矩形，请说明理由．（注：计算结果不取近似值．）BD Ay=x 2-4【例6】 如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是()40A -，，()20B -，，()08E ，．（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)，顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，说明理由．【例7】 如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数214y x =在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为()01，，直线l 过()01B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴、直线l 于C Q 、，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ． ⑴ 求证：H 点为线段AQ 的中点； ⑵ 求证：四边形APQR 为菱形；⑶ 除P 点外，直线PH 与抛物线214y x =有无其它公共点？若有，求出其它公共点的坐标；若没有，请说明理由．x【例8】 如图，在平面直角坐标系内，以y轴为对称轴的抛物线经过直线2y =+与y 轴的交点A 和点0M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2）将（1）中所求抛物线沿x 轴平移．①在题目所给的图中画出沿x 轴平移后经过原点的抛物线大致图象；②设沿x 轴平移后经过原点的抛物线对称轴与直线AB 相交于C 点．判断以O 为圆心，OC 为半径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由；（3）P 点是沿x 轴平移后经过原点的抛物线对称轴上的点。
22.1.1 二次函数 课件(共26张PPT)
二次函数
22.1.1 二次函数
学习目标
1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式；（重点） 2. 会利用二次函数的概念解决问题； 3. 能根据实际问题列二次函数关系式.（难点）
22.1.1 二次函数
知识回顾
1. 什么是函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且
22.1.1 二次函数
想一想 问题 1~3 中函数关系式有什么共同点?
y = 6x2 m 1 n2 1 n
22
y = 20x2 + 40x + 20
函数都是用 自变量的二次整
式表示的
22.1.1 二次函数
归纳总结 二次函数的定义：
一般地，形如 y = ax²+ bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的 函数叫做二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式 的二次项系数、一次项系数和常数项.
(7) 次y=数x是²+1x³+25（否）
自变量的最高次数是3
(8) y =2²+2x （否） 自变量的最
高次数是1
22.1.1 二次函数
例2 y m 3 xm27.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
m2 7 1,
解：（1）由题可知,
m
3
0,
解得
温馨提示：
(1) a，b，c 为常数，且 a≠0； (2) 等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (3) 等式的右边自变量的最高次数为 2，可以没有一次项和常数项， 但不能没有二次项.
22.1.1 二次函数
典例精析
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小结
10
作业
试题研究63页第3题及65页第10题。
11
4
（2010陕西24题） 在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1,0）， B（3,0）， C（0，-1）三点。 （1）求该抛物线的表达式；
解：设抛物线的表达式为 ya(x1)x (3)
把C（0，-1）代入上式得 -1=a（-3）
a1 ∴抛物线的表达式为 y 1(x1)3角坐标系中，抛物线经过A（-1,0）， B（3,0）， C（0，-1）三点。 （1）求该抛物线的表达式；
解：设抛物线的表达式为 yax2bx1
把A（-1,0），B（3,0）代入上式得
0 a b 1 0 9a 3b 1
∴抛物线的表达式为
解
得
a
y 1b
=1 3
=-2 3
x2
2
x
1
33
6
（2010陕西24题） 在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1,0）， B（3,0）， C（0，-1）三点。 （2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、 A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足 条件的点P的坐标。
x轴上的点满足_纵__坐标为0； y轴上的点满足_横__坐标为0.
三、中点坐标公式
已 (_x1_2知 xA _2(,_xy11_,2y_y12).、 )_B _(_x2,_y2),则AB的中点
3
例1
若以 A、B、C、D为顶点的四边形四是边平形 且A（1,2）， B（2， -3）， C（5,1），则D点 的坐标 为______。__
二次函数与平行四边形综合
1
一、平行四边形的判定方法： 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； 5. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
2
二、坐标轴上的点的特征
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（变式1） 在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1,0）， B（3,0）， C（0，-1）三点。 （2）若抛物线上的点D为（2, -1），点E在x轴上 ，点F在抛物线上，是否存在以A、D、E、F为顶点 的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标 ；若不存在，说明理由。
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（变式2） 在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1,0）， B（3,0）， C（0，-1）三点。 （2）若该抛物线的顶点为G ，点N在该抛物线上 ，点M在x轴上，是否存在以G、N、M、B为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标 ；若不存在，说明理由。