微分几何期终试题
济宁学院 微分几何 期末试卷及参考答案
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济宁学院继续教育学院《微分几何》考试试卷一、填空题（每小题4分，共20分）1、 曲面上的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是 .2、平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络面是 .3、N M L ,,是曲面的第二类基本量，则02=-M LN 的点是曲面上的 .4、球面{}θϕθϕθsin ,sin cos ,cos cos R R R r =→的第二基本形式为 . 5、圆柱螺线{}bt t a t a r ,sin ,cos =→的自然参数表示式为 .二、选择题（每小题2分，共20分）6、下列属于曲面内蕴量的是 （ ）A 、主方向B 、共轭方向C 、高斯曲率D 、渐近方向7、空间曲线在一点的密切平面上的投影近似于 （ ）A 、直线B 、半立方抛物线C 、立方抛物线D 、抛物线8、空间曲面在抛物点邻近的形状近似于 （ ）A 、双曲抛物面B 、立方抛物线C 、椭圆抛物面D 、圆锥面9、曲线()r r t =r r在点()P t 处的挠率 （ ）A 、可正可负B 、一定为负C 、不可为负D 、 一定为正10、下列概念中,能刻画曲面上一点在某一方向上的弯曲性的是 （ ）A 、高斯曲率B 、曲率C 、挠率D 、法曲率11、曲面在一点处的高斯曲率a K =,平均曲率)(2a b b H ≥=,则曲面在该点处的主曲率为 ( )A 、a b b -+2B 、a b b --2C 、a b b -+2, a b b --2D 、无法知道 12、下列不是曲面的第一类基本量的是 （ ）A 、u u r r E →→⋅=B 、v u r r F →→⋅=C 、v v r r F →→⋅=D 、uv r n M →→⋅=13、曲面(,)r r u v =r r的曲纹坐标网的微分方程是 （ ）A 、0du dv -=B 、0du dv +=C 、0dudv =D 、220du dv -= 14、单位向量函数)(t r →关于t 的旋转速度等于 （ ）A 、)(t r →'B 、)(t r →'C 、)(t r →D 、)(t r →15、过2C 类空间曲线上一点最贴近曲线的平面是 （ ）A 、切平面B 、从切平面C 、密切平面D 、法面三、计算题（每小题10分，共20分）16、(10分)求曲面 22()z a x y =+在点(0,0)的主曲率.17、(10分)求双曲面axy z =在点0==y x 的平均曲率和高斯曲率。
微分几何期末试题及答案
微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪一项不是微分几何的研究对象？A. 流形B. 曲线C. 曲面D. 代数方程2. 在微分几何中，下列哪个概念是用来描述曲线的弯曲程度？A. 切线B. 曲率C. 法向量D. 微分3. 给定一个曲面上的点，其邻域内的所有点都可以通过该点的哪种向量场来到达？A. 切向量B. 法向量C. 零向量D. 任意向量4. 以下哪个是微分几何中研究曲面局部性质的重要概念？A. 拓扑B. 度量C. 群论D. 线性代数5. 在曲面上，高斯曲率的计算公式是什么？A. K = R/(2π)B. K = R^2/(2π)C. K = det(II - e^(-2u) * I)D. K = det(I - e^(-2u) * II)6. 以下哪个是微分几何中研究曲面全局性质的重要概念？A. 曲率B. 度量C. 测地线D. 向量场7. 给定一个流形，其上的每一个点都有一组局部坐标，这组坐标被称为该点的什么？A. 切向量B. 法向量C. 坐标图D. 邻域8. 在微分几何中，哪种类型的曲面可以通过一个平面曲线的旋转来生成？A. 圆柱面B. 抛物面C. 双曲面D. 椭球面9. 以下哪个是微分几何中研究曲面上最短路径的概念？A. 测地线B. 切线C. 法线D. 曲率10. 微分几何中的“黎曼几何”主要研究的是什么类型的几何结构？A. 欧几里得空间B. 黎曼流形C. 仿射空间D. 射影空间二、简答题（每题10分，共40分）11. 请简述什么是流形，并给出一个具体的例子。
12. 解释什么是度量张量，并说明它在微分几何中的作用。
13. 描述一下什么是测地线，并说明它在曲面上的性质。
14. 阐述高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）的意义及其在微分几何中的重要性。
三、解答题（每题15分，共30分）15. 给定一个曲面上的两点A和B，证明通过A点的任意一条测地线都可以延伸到B点。
微分几何期末复习题
A. ；B. ；C. ；D. 。
53.若在曲面上 一点 ,则曲面在该 点的高斯曲 率K()
A.>0；B.< 0；C.= 0；D.符号不确定。
54.对于圆柱面 ，以下结论不 正确的是()
A.坐标网是正 交网；B.沿同一直母 线的切平面 是同一个；
C.其上高斯曲率为零；D.其上没有抛 物点。
55.曲面是其单 位法向量，下列第二类 基本量的计 算中，不正确的是()
A. ；B. ；C. ；D. 。
56.球面上的大 圆不可能是 球面上的()
A.测地线；B.曲率线；C.法截线；D.渐近线。
45．曲面上的曲 纹坐标网为 共轭网的充 要条件是。
38．曲面上的曲 纹坐标网为正交网的充要条件是。
46．极小曲面是指的曲面。
47．曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的的最大值和最小值.
48．两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是。
49．设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的。
34.已知曲面的 第二类基本 量L、M、N，则曲面上渐 近曲线的微 分方程是。
35.若曲面的第 一基本形式 为 ，曲面在一点 的切向与u -线的夹角为 ,则曲面在这 点沿切方向 的测地曲率 =。
36.挠率的曲线其副 法向量是常向量。
37.曲线在点的 主法向量是 ，则曲线在P点的从切平 面方程是。
38.曲面上的曲 纹坐标网是 渐近网的充 要条件是
A.直线；B.平面曲线；C.抛物线；D.圆柱螺线。
33.在伪球面上 ，任何测地三 角形的内角 之和()
A.等于 ；B.小于 ；C.大于 ；D.不能确定。
微积分期末考试试题及答案
微积分期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是（）A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A2. 曲线 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的原函数是（）A. \( -\cos(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( x - \sin(x) \)D. \( x + \sin(x) \)答案：A4. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，且 \( f(x) = 3x^2 +1 \)，则 \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \) 等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：C5. 函数 \( g(x) = \ln(x) \) 在 \( x > 0 \) 时的反导数是（）A. \( e^x \)B. \( x^e \)C. \( e^{\ln(x)} \)D. \( x \ln(x) - x \)答案：D6. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \) 等于（）A. 2B. 1C. 4D. 0答案：A7. 函数 \( h(x) = e^x \) 的泰勒展开式在 \( x = 0 \) 处的前三项是（）A. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} \)B. \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} \)C. \( 1 + x + \frac{x^3}{3!} \)D. \( 1 + x + \frac{x^2}{3!} \)答案：B8. 若 \( \frac{dy}{dx} = 2y \)，且 \( y(0) = 1 \)，则 \( y(x) \) 是（）A. \( e^{2x} \)B. \( e^{-2x} \)C. \( 2^x \)D. \( 2^{-x} \)答案：A9. 函数 \( F(x) = \int_{0}^{x} e^t \, dt \) 的导数是（）A. \( e^x \)B. \( e^0 \)C. \( x \cdot e^x \)D. \( e^0 \cdot x \)答案：A10. 曲线 \( y = x^2 + 3x \) 与直线 \( y = 6x \) 交点的横坐标是（）A. 0B. 3C. -1D. 2答案：C二、填空题（每空3分，共15分）11. 若 \( f(x) = 2x - 1 \)，则 \( f''(x) \) 等于 _________。
微分几何测试题集锦(含答案)
微分几何测试题集锦(含答案)《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈向量r(t)??t,3t,a?具有固定方向，则a=___t__。
??? ⒉非零向量r(t)满足?r,r,r??0的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊设曲线在P点的切向量为?，主法向量为?，则过P由?,?确定的平面是曲线在P点的___密切平面__________。
⒋曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点的法平面方程是__________________________。
⒌曲线r?r(t)在t = 1点处有??2?，则曲线在t = 1对应的点处其挠率?(1)。
⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _ ⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。
)y点(x0,y0,z0的⒐曲面z?(z,x在)法线方程是_____________________。
1二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。
A、直线B、平面曲线C、球面曲线D、圆柱螺线12、曲线r?r(t)在P(t)点的曲率为k , 挠率为?，则下列式子___A___不正确。
A、k?13r??r??r?2 B、k?对于曲r??r??r?3 C、k?r D、??的第一基本?r?r??r???? 2?r??r???形式、面I?Edu2?2Fdudv?Gdv2,EG?F2__D___。
A、?0B、?0C、?0D、?0三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线r??cost,sint,t?，试求??0,1, ⑴在点???的切线和法平面。
?2? ⑵曲率和挠率。
22、对于圆柱面?:r???cos?,?sin?,u?，试求⑴?的第一、第二基本形式；2⑵?在任意点处沿任意方向的法曲率；⑶?在任意点的高斯曲率和平均曲率；⑷试证?的坐标曲线是曲率线。
2020年上学期《微分几何》期末考试试卷
2020年上学期《微分几何》期末考试试卷课程名称：1.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.答案：C.解析：无.2.(单选题)(本题1.0分)A.B.10C.答案：A.解析：无.3.(单选题)(本题1.0分)A.可去奇点B.本性奇点C.m级极点D.小于m级的极点4.(单选题)(本题1.0分)A.5B.4C.3D.25.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.解析：无.6.(单选题)(本题1.0分)A.1B.2C.3D.4答案：D.解析：无.7.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.答案：A.解析：无.8.(单选题)(本题A.1B.2C.D.9.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.10.(单选题)(本题1.0分)A.等于0B.等于1C.等于iD.不存在11.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.12.(单选题)下列级数中，绝对收敛的级数为（）。
(本题1.0分)A.B.C.D.答案：D.解析：无.13.(单选题)(本题1.0分)A.有界区域B.无界区域C.有界闭区域D.无界闭区域14.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.答案：C.解析：无.15.(单选题)(本题1.0分)A.不存在的B.唯一的C.纯虚数D.实数16.(单选题)(本题1.0分)A.8iB.-8iC.16iD.-16i17.(单选题)下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）。
(本题1.0分)A.B.C.D.答案：B.解析：无.18.(单选题)实数m=（），复数(本题1.0分)A.4B.3C.2D.519.(单选题)。
(本题1.0分)A.B.C.D.答案：D.解析：无.20.(单选题)(本题1.0分)A.B.C.D.答案：C.解析：无.21.(单选题)(本题1.0分) A.B.C.D.答案：A.解析：无.22.(单选题)下列数中，为实数的是（）。
(本题1.0分)A.B.C.D.答案：B.解析：无.23.(单选题)(本题1.0分)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件也非必要条件答案：B.解析：无.24.(单选题)。
微分几何期末复习题答案
微分几何期末复习题答案1. 曲面上的切向量和法向量的定义是什么？答：曲面上的切向量是与曲面在某点相切的向量，而法向量是垂直于该点切平面的向量。
2. 描述高斯曲率和平均曲率的计算方法。
答：高斯曲率是曲面上某点的主曲率的乘积，平均曲率是主曲率的平均值。
3. 什么是黎曼曲率张量？答：黎曼曲率张量是描述流形曲率的数学对象，它通过测量无穷小测地线之间的偏差来定义。
4. 请解释什么是测地线？答：测地线是在曲面或流形上两点间的最短路径，它是连接这两点的局部最小化曲线。
5. 什么是平行移动？答：平行移动是指在曲面或流形上沿着曲线移动一个向量，使得该向量在移动过程中保持不变。
6. 描述Christoffel符号的作用。
答：Christoffel符号用于描述在曲面或流形上如何沿着曲线平行移动向量，它们是黎曼几何中的基本组成部分。
7. 什么是度量张量？答：度量张量是一个对称张量，它定义了曲面或流形上两点间的距离和角度。
8. 请解释什么是联络形式？答：联络形式是描述在曲面或流形上如何平行移动向量的一种数学工具，它们与Christoffel符号紧密相关。
9. 什么是外微分？答：外微分是一种将微分几何中的函数或形式映射到更高阶形式的操作。
10. 描述Hodge星算子的作用。
答：Hodge星算子是一种将微分形式映射到其对偶形式的线性映射，它在微分几何和拓扑学中有着重要应用。
11. 什么是流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子？答：拉普拉斯-贝特拉米算子是定义在流形上的一个微分算子，它推广了欧几里得空间中的拉普拉斯算子。
12. 请解释什么是特征类？答：特征类是拓扑不变量，它们通过将流形上的向量丛与某些代数结构联系起来，提供了关于流形拓扑性质的信息。
13. 描述什么是测地线曲率？答：测地线曲率是描述测地线如何偏离直线的量度，它是衡量流形曲率的一种方式。
14. 什么是全纯曲线？答：全纯曲线是复流形上的一类特殊曲线，它们在复坐标系下保持全纯性。
微分几何试题及答案
微分几何试题及答案1. 曲线的微分几何描述- 给定曲线 \( r(t) = (x(t), y(t), z(t)) \)，求其速度向量\( \mathbf{v}(t) \) 和加速度向量 \( \mathbf{a}(t) \)。
2. 曲面的第一基本形式- 已知曲面 \( S \) 由参数方程 \( x(u,v), y(u,v), z(u,v) \) 给出，求曲面 \( S \) 的第一基本形式。
3. 高斯曲率和平均曲率- 对于曲面 \( S \)，给出其高斯曲率 \( K \) 和平均曲率 \( H \) 的定义，并说明它们之间的关系。
4. 测地线的性质- 解释什么是测地线，并给出测地线在曲面上的性质。
5. 曲面的第二基本形式- 已知曲面 \( S \) 的法向量场 \( \mathbf{n}(u,v) \)，求曲面 \( S \) 的第二基本形式。
6. 曲面的高斯映射- 给出曲面 \( S \) 的高斯映射的定义，并解释其几何意义。
7. 曲面的内蕴几何与外蕴几何- 描述曲面的内蕴几何与外蕴几何的区别，并给出一个例子。
8. 微分几何在物理学中的应用- 简述微分几何在广义相对论中的应用。
答案1. 曲线的微分几何描述- 速度向量 \( \mathbf{v}(t) = \frac{dr(t)}{dt} = (x'(t),y'(t), z'(t)) \)，其中 \( x'(t), y'(t), z'(t) \) 分别是\( x(t), y(t), z(t) \) 的导数。
- 加速度向量 \( \mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} = (x''(t), y''(t), z''(t)) \)。
2. 曲面的第一基本形式- 第一基本形式由曲面的度量张量给出，即 \( g_{ij} =\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u_i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u_j} \)。
微分几何试卷
德州学院数学系期末考试试卷 （ 200 至200 学年第 学期） 课程名称： 《微分几何》（每小题2分，共20分） ⒈ 非零向量{}()cos ,sin ,t r t t t e λ= 具有固定长，则λ=_______________。
⒉ 曲线{}2(),,t r t t t te = 在t=1处的切向量是__________________________。
⒊ 圆柱螺线{}()c o s ,s i n ,r t a t a t b t = 在6t π=处的法平面方程是__________________________ 空间曲线()r r t = 在t = 2处有3αβ= ，则曲线在t = 2处的曲率 ________________。
⒌ 曲面上的曲线，如果它在每一点的____ _______ ______，则称其为曲面上的 ⒍ 在空间曲线的切线与固定方向作固定角的曲线是_________________线。
⒎ 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是________ ______ _的夹角。
⒏ 对于曲面(,)r r u v = ,方程(,)()u v r u v t r r ρ=+⨯，（t 为参数），表示曲面 (,)P u v 的_____________________________。
⒐ 曲面的三个基本形式与高斯曲率K 平均曲率H 之间的关系是。
⒑ 曲面上曲线是曲率线的充要条件是__________________________组成可展曲面。
二、选择填空题：(每小题3分，共30分)11、曲线()r r s = 在P(s)点的基本向量是,,αβγ ，曲率为k(S)，则k(s)=_____。
A 、αβB 、βαC 、αβ D 、γβ 12、若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是________。
A 、平面曲线B 、球面曲线C 、一般螺线D 、直线13、以下说法正确的是_____。
微分几何期末试题及答案
微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 曲线在点处的切线方程为，若，则该点处的曲率是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 若函数在点处可微，则在该点处的切平面方程为（）。
A.B.C.D.答案：D3. 曲面在点处的法向量为，若，则该点处的高斯曲率是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的曲率是（）。
A.B.C.D.答案：A5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数是（）。
A.B.C.D.答案：B6. 曲面在点处的主曲率分别为，则该点处的平均曲率是（）。
A.B.C.D.答案：A7. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的挠率是（）。
A.B.C.D.答案：B8. 若函数在点处的Hessian矩阵为，则在该点处的二阶偏导数是（）。
A.B.C.D.答案：D9. 曲面在点处的切平面方程为，则该点处的法向量是（）。
A.B.C.D.答案：C10. 若函数在点处的Jacobi矩阵为，则在该点处的偏导数是（）。
A.B.C.D.答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 曲线在点处的挠率定义为______。
答案：曲线在点处的挠率定义为。
2. 若函数在点处的偏导数为0，则称该点为函数的______。
答案：临界点。
3. 曲面在点处的高斯曲率定义为______。
答案：曲面在点处的高斯曲率定义为。
4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的切向量为______。
答案：曲线在点处的切向量为。
5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数为______。
答案：函数在点处的方向导数为。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知曲线的参数方程为，求曲线在点处的切线方程。
答案：首先求出曲线的导数，然后利用点斜式方程求得切线方程。
2. 已知函数在点处的梯度为，求在该点处沿向量方向的方向导数。
答案：首先求出向量的单位向量，然后利用方向导数的定义求得结果。
微分几何试题及答案
微分几何试题及答案一、选择题1. 曲线在某点的曲率是该点处曲线的：A. 切线斜率B. 切线方向C. 法线方向D. 切线与法线夹角的正弦值答案：D2. 曲面在某点的第一基本形式是：A. 曲面的高斯曲率B. 曲面的平均曲率C. 曲面的法向量D. 曲面在该点的切平面答案：D二、填空题1. 给定曲线 \( y = x^2 \) ，求其在点 \( x = 1 \) 处的曲率。
答案：\( \kappa = 4 \) （在 \( x = 1 \) 处）2. 曲面 \( z = x^2 + y^2 \) 在点 \( (1, 1, 2) \) 处的高斯曲率\( K \) 是：答案：\( K = 4 \) （在点 \( (1, 1, 2) \) 处）三、简答题1. 简述微分几何中“切空间”的概念。
答案：切空间是微分几何中描述曲面或流形上某一点处所有可能的切向量的集合，它是一个线性空间，可以看作是曲面或流形在某一点的局部线性近似。
2. 解释什么是高斯映射，并说明其几何意义。
答案：高斯映射是曲面上每一点处法向量的映射，它将曲面的每一点映射到其对应的法线方向。
几何意义上，高斯映射描述了曲面在某一点处的局部弯曲程度。
四、计算题1. 给定曲线 \( \vec{r}(t) = (t, t^2, t^3) \) ，求其在 \( t =1 \) 处的曲率。
答案：首先求导得到速度向量 \( \vec{r'}(t) = (1, 2t, 3t^2) \)和加速度向量 \( \vec{r''}(t) = (0, 2, 6t) \) 。
在 \( t = 1 \) 处，速度向量为 \( (1, 2, 3) \) ，加速度向量为 \( (0, 2, 6)\) 。
曲率 \( \kappa \) 由公式 \( \kappa = \frac{||\vec{r'}\times \vec{r''}||}{||\vec{r'}||^3} \) 计算得到，代入数值得到\( \kappa = \frac{12}{27} = \frac{4}{9} \) 。
(完整word版)《微分几何》考试试卷与参考答案
《微分几何》结业考试试卷一、判断题：（正确打√，错误打×。
每题2分，共10分））1、等距变换一定是保角变换. （ ）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （ ）3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （ ） 4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （ ）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. （ ）二、填空题：（每空3分，共33分）1、 已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π<<，则α= ，β= ，γ= ，κ= ，τ= .2、已知曲面{c o s ,s i n ,6}r u v u v v =，0u >，02v π≤<，则它的第一基本形式为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率K = ，平均曲率 H = ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率 ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 。
三、计算题（每小题12分，共24分） 1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.密线封层次报读学校专业姓名四、综合题：（每小题11分，共33分）1、设空间两条曲线Γ和C的曲率处处不为零，若曲线Γ和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C在对应点的切线夹固定角.2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.3、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？《微分几何》参考答案一、判断题：1. √ 2. √ 3. ⨯ 4. ⨯ 5. √ 二、填空题：① 1{3cos ,3sin ,4}5x x -- ②{sin ,cos ,0}x x③1{4cos ,4sin ,3}5x x -- ④625sin 2x⑤825sin 2x⑥ 222(36)du u dv ++⑦du dv⑧2236(36)u -+ ⑨ 0⑩○11 66,3737- 三、计算题：1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.解 设33{,,}r u v u v =-则 2{1,0,3}u r u =，2{0,1,3}v r v =-，2243,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯==-⨯{0,0,6}uu r u =，0uv r =，{0,0,6}vv r v =-uu L n r =⋅=0uv M n r =⋅=，vv N n r =⋅=（6分）因渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdu dv Ndv ++=即22udu vdv =0=∴ 渐近曲线为33221u v C =+或33222()u v C -=+ （12分）2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地 曲率.解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E =（4分）u-线的测地曲率ug κ==（8分）v-线的测地曲率0vg κ== （12分）四、综合题：1. 设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.证 设 :()r r s Γ=，:()r r s **Γ=，则由//ββ*知ββ*=±，从而0αβ*⋅=，0αβ*⋅=，()0d ds ds dsαακβακαβ*****⋅=⋅+⋅= ∴ constant αα*⋅=，即 cos ,C α*=这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角. （11分）2. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.证 设 :(,)r r u v ∑=，:(),()u u s v v s Γ==，其中s 是Γ的自然参数，记,r n θ=，则cos r n θ⋅=，两边求导，得d 0d nn rsτβ-⋅+=， （4分） 由Γ为曲率线知d //d n r ，即d d //d d n r s s α=， 因此d d 0d d n n rn r r s sτβκ⋅=⋅=-⋅= 。
《微分几何》考试试卷与参考答案
《微分几何》结业考试试卷一、判断题：（正确打√，错误打×。
每题2分，共10分））1、等距变换一定是保角变换. （ ）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （ ）3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （ ）4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （ ）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. （ ）二、填空题：（每空3分，共33分）1、 已知33{cos ,sin ,cos2}r x x x =，02x π<<，则α= ，β= ，γ= ，κ= ，τ= .2、已知曲面{c o s ,s i n ,6}r u v u v v =，0u >，02v π≤<，则它的第一基本形式为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率K = ，平均曲率 H = ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率 ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 。
三、计算题（每小题12分，共24分） 1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.密线封层次报读学校专业姓名四、综合题：（每小题11分，共33分）1、设空间两条曲线Γ和C的曲率处处不为零，若曲线Γ和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C在对应点的切线夹固定角.2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.3、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？《微分几何》参考答案一、判断题：1. √ 2. √ 3. ⨯ 4. ⨯ 5. √ 二、填空题：① 1{3cos ,3sin ,4}5x x -- ②{sin ,cos ,0}x x③1{4cos ,4sin ,3}5x x -- ④625sin 2x⑤825sin 2x⑥ 222(36)du u dv ++⑦dv⑧2236(36)u -+ ⑨ 0⑩○11 66,3737- 三、计算题：1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.解 设33{,,}r u v u v =-则 2{1,0,3}u r u =，2{0,1,3}v r v =-，2243,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯==-⨯{0,0,6}uu r u =，0uv r =，{0,0,6}vv r v =-uu L n r =⋅=0uv M n r =⋅=，vv N n r =⋅=（6分）因渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdu dv Ndv ++=即22udu vdv =0=∴ 渐近曲线为331u v C =+或332()u v C -=+ （12分）2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地 曲率.解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E=（4分）u-线的测地曲率ug κ==（8分） v-线的测地曲率0vg κ== （12分）四、综合题：1. 设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.证 设 :()r r s Γ=，:()r r s **Γ=，则由//ββ*知ββ*=±，从而0αβ*⋅=，0αβ*⋅=，()0d ds ds dsαακβακαβ*****⋅=⋅+⋅= ∴ constant αα*⋅=，即 cos ,C αα*=这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角. （11分）2. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.证 设 :(,)r r u v ∑=，:(),()u u s v v s Γ==，其中s 是Γ的自然参数，记,r n θ=，则cos r n θ⋅=，两边求导，得d 0d nn rsτβ-⋅+=， （4分） 由Γ为曲率线知d //d n r ，即d d //d d n r s s α=， 因此d d 0d d n n r n r r s sτβκ⋅=⋅=-⋅= 。
大学数学微分几何期末试卷含参考答案
大学数学微分几何期末试卷含参考答案求曲线的曲率与挠率。
(10分)解：，，， ,,(4分)，(6分) .(10分)二、证明：若曲线的所有切线通过定点，则此曲线是直线。
(10分)证明：切线方程为：，不妨设定点为原点，则存在函数使得（4分）求导得：所以，（8分）因此即该曲线是直线。
（10分）三、证明曲线是平面曲线。
(10分)解：设，，，，，(6分)，即平面曲线。
(10分)或，，（这是一次方程，即平面方程，说明曲线22()(sin cos ,cos )r t t t t t =22(2sin cos sin ),2cos sin )(sin 22,sin 2)r t t t t t t t t t '=--=-2(cos 2,2,cos 2)r t t t ''=-4(sin 2,2,sin 2)r t t t '''=-22(1,0,1)r r '''⨯=--||2r '=3||2||r r k r '''⨯=='2(,,)0||r r r r r τ''''''=='''⨯)()(s T s rλρ+=)(s λ)()()(0s T s s rλ+=)()()()()()(0s N s k s s T s s Tλλ+'+=0)()(,0)(1=='+s k s s λλ0)(,)(0=⇒-=s k s s s λ22,4x z y z⎧=⎨=⎩2(,2,)r t t t =±(1,2,2)r t '=±(0,0,2)r ''=)0,0,0(='''r 0),,(=''''''r r r2(,,)0||r r r r r τ''''''=='''⨯224x y =2y x =±是平面曲线）曲面是否是可展曲面？说明理由。
微分几何期末考试试题
微分几何期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是微分几何中的基本概念？A. 流形B. 向量场C. 微分形式D. 群论2. 给定一个光滑曲线 \(\gamma: [a, b] \rightarrow\mathbb{R}^3\)，其参数化形式为 \(\gamma(t)\)，该曲线的切向量是：A. \(\gamma(t)\)B. \(\frac{d\gamma}{dt}\)C. \(\gamma'(t)\)D. 以上都不是3. 曲率（Curvature）是描述曲线局部性质的一个重要概念，以下哪个是曲率的正确定义？A. 曲线在某点的切向量的变化率B. 曲线在某点的法向量的变化率C. 曲线在某点的切线的变化率D. 曲线在某点的法线的变化率4. 在微分几何中，度量张量是用来描述空间的内在度量性质。
以下哪个是度量张量的属性？A. 正定性B. 反对称性C. 线性D. 以上都是5. 黎曼曲率张量是描述黎曼流形的内在曲率性质的量，以下哪个是黎曼曲率张量的属性？A. 对称性B. 反对称性C. 张量性D. 以上都是二、简答题（每题10分，共30分）1. 描述什么是流形的切空间，并给出一个具体的例子。
2. 解释什么是联络，并简述其在微分几何中的重要性。
3. 描述什么是测地线，并解释它在广义相对论中的应用。
三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定一个二维黎曼流形 \((M, g)\)，其度量张量 \(g\) 在局部坐标系 \((x^1, x^2)\) 下的分量为 \(g_{11} = 1, g_{12} = 0,g_{22} = x^1\)。
求该流形的黎曼曲率张量 \(R\)。
2. 考虑一个三维空间中的曲面 \(S\)，参数化表示为 \(\phi(u, v) = (u \cos v, u \sin v, v)\)。
计算曲面 \(S\) 的第一基本形式和第二基本形式，并求出其高斯曲率和平均曲率。
(完整版)微分几何期末1..
1、等距变换一定是保角变换 （×）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （√）3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线。
（×）4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 （×）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =,这里F 是第一基本量 （√）6、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。
（ √ )7、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。
( × ） 8、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向. （ √ ) 9、LN-M 2不是内蕴量。
( × ）10、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。
( √ ） 11、曲线→r =→r （s ）为一般螺线的充要条件为（r ，r ,....r ）=0 （√）12、主法向量正向总是指向曲线凹入的方向.(√）13、不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线.（×) 14、曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。
（× )15、每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线的切线曲面。
（√ ） 16、椭圆的曲率和挠率特征为k=1,τ=0。
( × ) 17、若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线。
( √ )18、球面曲线的主法线必过球心 （×） 19、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0。
（ × ) 20、曲面上的渐进网一定存在。
（×）21、在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一. （ √ ) 22、圆的曲率、挠率特征是：k=常数，τ=0. ( × ） 23、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。
（ √ ）24、高斯曲率 与第二基本形式有关，不是内蕴量. ( × ) 25、曲面上连接两点的最短线一定是测地线。
微分几何期末试卷
数学与信息科学学院 数学系2001级本科《微分几何》 试题（A）2005.1班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____1. (本题满分28分，每空2分)填空或选择填空(1) 距离单位球面球心距离为)10(<<d d 的平面与球面的交线的曲率为________________；法曲率为_____________________；测地曲率为__________________________.(2) 圆柱螺线},sin ,cos {)(bt t a t a t r =（其中为正常数，t 为参数）的弧长参数方程为__________________________________；自然方程为_________________________.b a ,(3) 设曲面的第一基本形式为，则它上面两条曲线和的交角余弦为__________________________；其上由三条曲线，相交所围成的三角形区域的面积为________________________________.22222)(dv a u du ds ++=0=+v u 0=−v u av u ±=1=v (4) 沿渐近曲线的切方向，法曲率=_______________；沿曲率线的切方向，法曲率=______________________；沿测地线的切方向，法曲率=______________________.n k n k n k (5) 脐点处，__________；平点处，___________；椭圆点处，______________.A. 高斯曲率B. 高斯曲率0≥K 0≡KC. 高斯曲率0≤KD. 高斯曲率E. 高斯曲率0>K 0<K(6) 设是两曲面与之间的等距对应，C 是上的光滑曲线，则下列说法正确的是______________________________.*:S S f →S *S S A. 若C 是上的渐近线，则是上的渐近线；S )(C f *S B. 若是上的曲率线，则是上的曲率线；C S )(C f *S C. 若是上的测地线，则是上的测地线；C S )(C f *S D. 与在对应点具有相同的测地曲率；C )(C f E. 与在对应点具有相同的曲率和挠率；C )(C f F. 与在对应点具有相同的Gauss 曲率；S *S G . 与在对应点具有相同的平均曲率；S *S H. 与具有相同的内蕴几何.S *S2. (本题满分12分)求正则参数曲线 r )(t =的基本向量、曲率和挠率. },sin ,cos {t t t e t e t e3. (本题满分12分)求抛物面在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判断原点是否为脐点？)(22y x a z +=4. (本题满分12分)设单位球面的参数方程为r }sin ,sin cos ,cos {cos ),(u v u v u v u =.是球面上由两条纬线Σ0 ,4/==u u π和两条经线2/ ,0π==v v 所围成的区域.在区域上分别计算Gauss-Bonnet 公式中各项的值.（Gauss-Bonnet 公式如下给出） Σπαπ2)( 41=−++∑∫∫∫=Σ∂Σi i g ds kdA K .5. (本题满分12分)若曲面上一条曲率线(不包含直线段)在每一点的密切平面与曲面在该点的切平面交于定角S S )0(00πθθ<<. 证明：这条曲率线必为平面曲线.6. (本题满分6分)证明：在圆柱面上不存在围成单连通区域的光滑闭测地线.7. (本题满分6分)证明：若曲面上曲率处处不为零的测地线是平面曲线，则它必为曲率线.8. (本题满分6分)证明：空间挠曲线的主法线曲面是不可展曲面.9. (本题满分6分)证明：极小曲面上的点都是双曲点或平点.。
微分几何试题及答案
微分几何试题及答案试题1.设曲线 C 的参数方程为x = \\cos t, y = \\sin t, z = t其中，\(0 \leq t \leq 2\pi\)。
求曲线 C 上一点 P 的切向量和法向量。
2.给定曲线 C：\(x = t^2, y = t^3\)，其中 \(t\) 是参数。
求曲线 C 在点 (4, 8) 处的切线方程。
3.设平面曲线 C 的参数方程为x = \\cos t, y = \\sin t, z = t其中，\(0 \leq t \leq 2\pi\)。
求曲线 C 上一点 P 的切平面方程。
4.设曲面 S 的方程为 \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\)，点 P 的坐标为 (1, 1, -1)。
求曲面 S 上点 P 的切平面方程。
5.已知曲面 S 的方程为 \(x^2 + y^2 - 2z = 0\)，点 P 的坐标为 (1, 1, 1)。
求曲面 S 上点 P 的法向量。
答案1.切向量的计算：曲线 C 上一点 P 的切向量为曲线的导数：\[ \begin{align} \frac{{d\mathbf{r}}}{{dt}} & =\frac{{dx}}{{dt}}\mathbf{i} + \frac{{dy}}{{dt}}\mathbf{j} + \frac{{dz}}{{dt}}\mathbf{k} \\ & = -\sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j} + \mathbf{k} \end{align} \]所以，曲线 C 上一点 P 的切向量为 \(-\sin t\mathbf{i} + \cos t \mathbf{j} + \mathbf{k}\)。
法向量的计算：曲线 C 上一点 P 的法向量垂直于切向量，可以选择切向量既是切线上的，也是切平面上的。
所以，曲线 C 上一点 P 的法向量为 \(-\sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j} + \mathbf{k}\)。
微分几何期终试题
《微分几何》 期终考试题（A）班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____一、 填空题（每空1分, 共20分）1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 .2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 .3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向.4. 距离单位球面球心距离为)10(<<d d 的平面与球面的交线的法曲率为 ； 测地曲率为 .5. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是 ；坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是 .6. 全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 和 .7. 圆柱螺线的自然方程是 },sin ,cos {)(bt t a t a t r =；自然参数方程是______ ________________.8. 根据曲线论的基本定理，在可以相差一个空间位置的情况下，唯一决定一条空间曲线的两个不变量是曲线的 和 .9. 脐点处，曲面的第一、第二类基本量满足关系 ；脐点的等距微分同胚像仍是脐点吗？ .10.按椭圆点，双曲点，抛物点进行分类，可展曲面上的点都是 点；极小曲面上除平点之外的其它点是 点.二、 单项选择题（每题2分，共20分）1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】A. 曲率B. 挠率C. 法曲率D. 测地曲率2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】A. 球面与柱面B. 柱面与平面C. 平面与伪球面D. 伪球面与可展曲面3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】A. 法平面B. 密切平面C. 从切平面D. 不存在4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】A. 直线B. 圆C. 圆柱螺线D. 平面曲线5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线B. 测地线具有等距不变性C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小D. 平面上测地线必是直线6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. NG k L E k ==21, C. v E G k k ∂∂−==ln 2121 D. u G E k k ∂∂==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n kA． B.n g k k k +=n g k k k +=C. D.222n g k k k +=222n g k k k +=8. 曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 【 】A. 2/πθ=B. 0=θC. πθ=D. 不确定9．下列关于特殊曲线的论断，不正确的是 【 】 A. 若曲线上有无穷多个点处曲率为零，则曲线必为直线B. 平面曲线的密切平面即曲线所在平面本身C. 沿渐近曲线，曲面的切平面与该渐近曲线的密切平面重合D. 沿测地线，曲面的切平面与该测地线的密切平面垂直10. 下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是 【 】A. 脐点处，任何方向都是主方向B. 非脐点处，主方向垂直C. 脐点处，无主方向D. 非脐点处，有且仅有两个主方向三、判断题（每题1分，共10分）1． 等距等价的两曲面在对应点具有相同高斯曲率，反之亦成立.【 】 2． 欧氏合同的两曲面必等距等价，反之，等距等价的两曲面必欧氏合同.【 】 3． 球面上任何方向既是主方向又是渐近方向.【 】 4． 球面上测地三角形的内角和大于1800.【 】 5． 曲面上直线（若存在）既是渐近线，又是测地线.【 】 6． 圆柱面的高斯映射球面像是单位球面上的单点集.【 】 7． 平面上，曲线的测地曲率即它作为平面曲线时的相对曲率. 【 】8． 测地线的切向量在Levi-Civita 平行移动意义下是平行的.【 】 9． 球极投影是球面（去掉北极点）与平面的等距对应. 【 】10． 旋转曲面的坐标曲线网是正交网. 【 】四、计算与证明题（每题10分，共50分）1. 求正则参数曲线 r )(t ={}的曲率和挠率，t t t 2cos ,sin ,cos 332/0π<<t .2. 证明螺旋面},sin ,cos {),(bv v u v u v u r =是极小曲面，但不是可展曲面.3. 若曲线的法平面包含非零常向量e . 证明：该曲线为直线或平面曲线.4. 证明: 在Gauss 曲率非正的单连通曲面上，不存在光滑闭测地线.5. 证明: 若曲面上曲率处处不为零的测地线是平面曲线，则它必为曲率线.。
微分几何练习试题库与参考答案解析(已修改)
《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限．232lim[(31)i j k]t t t →+-+= 138i j k -+2．设，，求 0 ．f ()(sin )i j t t t =+ 2g()(1)i j t t t e =++ 0lim(()())t f t g t →⋅= 3．已知 ，，，则{}42r()d =1,2,3t t -⎰，{}64r()d =2,1,2t t -⎰ {}2,1,1a ={}1,1,0b =- .4622()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰⎰{}3,9,5-4．已知（为常向量），则．()r t a '= a ()r t = ta c +5．已知，（为常向量），则 ．()r t ta '= a ()r t = 212t a c + 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____.7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ .8. 挠率恒等于零的曲线是_____平面曲线________ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 .10. 曲线在t = 2处有，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .()r r t = 3αβ= 11. 若在点处则为曲面的_ 正常______点.00(,)u v v 0u r r ⨯≠，00(,)u v 12． 已知，，，则．()(2)(ln )f t t j t k =++ ()(sin )(cos )g t t i t j =- 0t >40()d f g dt dt ⋅=⎰4cos 62-13．曲线在任意点的切向量为．{}3()2,,t r t t t e ={}22,3,t t e 14．曲线在点的切向量为．{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =0t ={}0,,a a 15．曲线在点的切向量为．{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =0t ={}0,,a b 16．设曲线，当时的切线方程为．2:,,t t C x e y e z t -===1t =2111-=--=-z ee y e e x 17．设曲线，当时的切线方程为.t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos 0t =11-==-z y x 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________.19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__.20. 在欧拉公式中，是 方向(d) 与u －曲线的夹角.2212cos sin n k k k θθ=+θ21. 曲面的三个基本形式、高斯曲率、平均曲率之间的关系是 .,,I II III K H 20H K III -II +I =22．已知，其中，则．{}r(,),,u v u v u v uv =+- 2,sin u t v t ==drd t={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+23．已知，其中，，则{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ= t =ϕ2t =θdr(,)d tϕθ=eg．{}sin cos2cos sin,sin sin2cos cos,cosa at a at aϕθϕθϕθϕθϕ---+24．设为曲面的参数表示，如果，则称参数曲面是正则的；如果(,)r r u v=u vr r⨯≠:()r G r G→是一一对应的，则称曲面是简单曲面．25．如果曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．u-v-26．平面的第一基本形式为，面积微元为．{}r(,),,0u v u v=22d du v+d d u v27．悬链面第一基本量是．{}r(,)cosh cos,cosh sin,u v u v u v u=22cosh0,coshE uFG u===，28．曲面上坐标曲线，的交角的余弦值z axy=x x=y y=29．正螺面的第一基本形式是．{}(,)cos,sin,r u v u v u v bv=2222d()du u b v++30．双曲抛物面的第一基本形式是{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv=+-．2222222222(4)d2(4)d d(4)da b v u a b uv u v a b u v+++-++++31．正螺面的平均曲率为0 ．{}(,)cos,sin,r u v u v u v bv=32．方向是渐近方向的充要条件是．(d)d:du v=22()020nk d Ldu Mdudv Ndv=++=或33.方向和共轭的充要条件是(d)d:du v=(δ)δ:δu v=．(,)0()0drδr Lduδu M duδv dvδu Ndvδv=+++=II或34.是主曲率的充要条件是．λ0E LF MF MG Nλλλλ--=--35.是主方向的充要条件是．(d)d:du v=22d d d d00d d d ddv dudv duE uF v L u M vE F GF uG v M u N vL M N-++==++或36. 根据罗德里格斯定理，如果方向是主方向，则(d)(d:d)u v=．n ndn k dr k=-，其中是沿方向(d)的法曲率37．旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面∏上的正投影曲线(C*)的曲率．39．之间的关系是．,,g nk k k222g nk k k=+40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0 ．41．正交网时测地线的方程为．ddsdudsdvdsθθθ⎧-⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩42．曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线.二、单项选择题1．已知，则为（ A ）．{}(),,t t r t e t e -=r (0)'' A. ； B. ； C. ； D. .{}1,0,1{}1,0,1-{}0,1,1{}1,0,1-2．已知，为常数，则为（ C ）．()()r t r t λ'= λ()r tA. ；B. ；C. ；D. .ta λ a λt e a λ e a λ 其中为常向量．a3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．A ．切线与固定方向成固定角； B ．副法线与固定方向成固定角；C ．主法线与固定方向垂直；D ．副法线与固定方向垂直．4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）A ．至少有两个； B ．只有一个； C ．只有两个； D ．可能没有.5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）A ．测地线；B ．曲率线；C ．法截线；D ．渐近线．.6. 已知，求为（ D ）．{}r(,),,x y x y xy = (1,2)drA. ；B. ；{}d ,d ,d 2d x y x y +{}d d ,d d ,0x y x y +-C. ； D. .{}d -d ,d +d ,0x y x y {}d ,d ,2d d x y x y +7．圆柱螺线的切线与轴（ C ）.{}cos ,sin ,r t t t =z A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夹角；D. 有固定夹角.4π3π8．设平面曲线，s 为自然参数，是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．:()C r r s =αβ ,A. 为单位向量； B. ； C. ； D. .α αα⊥ k αβ=- k βατγ=-+ 9．直线的曲率为（ B ）．A. -1；B. 0；C. 1；D. 2.10．关于平面曲线的曲率不正确的是（ D ）．:()C r r s =A. ；B. ，为的旋转角； ()()k s s α= ()()k s s ϕ= ϕ()s α C. ；D. .()k s αβ=-⋅()|()|k s rs = 11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件.12．下列论述不正确的是（ D ）．A. 均为单位向量；B. ；C. ；D. .,αβγ,αβ⊥βγ⊥αβA 13．对于空间曲线，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．C A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件； D. 充要条件.14．在点的切线与轴关系为（ D ）．2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=2π=t z A. 垂直； B. 平行；C. 成的角； D. 成的角.3π4π15．椭球面的参数表示为（ C ）．2222221x y z a b c++=A. ；{}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z ϕθϕθϕ=B. ；{}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b ϕθϕθϕ=C. ；{}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b c ϕθϕθϕ=D. .{}{},,cos cos ,sin cos ,sin 2x y z a b c ϕθϕθθ=16．曲面在点的切平面方程为（ B ）．{}2233(,)2,,r u v u v u v u v =-+-(3,5,7)M A. ； B. ；2135200x y z +-+=1834410x y z +--=C. ； D. .756180x y z +--=1853160x y z +-+=17．球面的第一基本形式为（ D ）．{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R u v R u v R u =A. ；B. ；2222(d sin d )R u u v +2222(d cosh d )R u u v +C. ； D. .2222(d sinh d )R u u v +2222(d cos d )R u u v +18．正圆柱面的第一基本形式为（ C ）．{}(,)cos ,sin ,r u v R v R v u =A. ；B. ；C ；D. .22d d u v +22d d u v -222d d u R v +222d d u R v -19．在第一基本形式为的曲面上，方程为的曲线段的222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 12()u v v v v =≤≤弧长为（ B ）．A ． ；B ． ；21cosh cosh v v -21sinh sinh v v -C ． ；D ． ．12cosh cosh v v -12sinh sinh v v -20．设为正则曲面，则的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）． M M A ． ；B ． ；C ． ；D ． ．0E =0F =0G =0M =21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．A ．极小曲面；B ．球面；C ．常高斯曲率曲面；D ．平面． 22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．A ． ；B ． ；C ．；D ． 3．01223．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ）．A ．； B ．C ． D ．24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．A ． 直线；B ． 平面曲线；C ． 抛物线；D ． 圆柱螺线．三、判断题（正确打√，错误打×）1. 向量函数具有固定长度，则. √()r r t = ()()r t r t '⊥2. 向量函数具有固定方向，则. √()r r t = ()()r t r t 'A 3. 向量函数关于t 的旋转速度等于其微商的模. × ()r t ()r t '4. 曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线. ×ΓΓ5. 若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线. √ΓΓ6. 圆柱面线是渐近线. √ {cos ,sin ,},r R R z θθ=z -7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. × 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √9. 等距变换一定是保角变换. √10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. ×12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． ×13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√ 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √ 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． ×16. 曲面上的直线一定是测地线．√17. 微分方程表示曲面上曲线族. ×A(,)B(,)0u v du u v dv +=18. 二阶微分方程总表示曲面上两族曲线. ×22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量. √0F =F 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √ 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. ×22. 球面上的圆一定是测地线. ×23. 球面上经线一定是测地线. √24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √四、计算题1．求旋轮线的一段的弧长．)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=π20≤≤t 解 旋轮线的切向量为，则在一{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =-- {}()cos ,sin r t a a t a t '=-π20≤≤t段的弧长为：．220()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰2．求曲线在原点的切向量、主法向量、副法向量．t te z t t y t t x ===,cos ,sin 解 由题意知 ，{}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+n t h n，{}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t t t e te ''=---+在原点，有 ，(0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r '''==又 ，，()(), r r r r r r r r r r r αβ'''''''''⋅-⋅=='''''⋅⨯r r r r γ'''⨯='''⨯ 所以有.αβγ=== 3．圆柱螺线为，{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =①求基本向量； ②求曲率k 和挠率.,,αβγτ解 ①，，{}()sin ,cos ,r t a t a t b '=- {}()cos ,sin ,0r t a t a t ''=--又由公式()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯}{}}sin ,cos ,,cos ,sin ,0,sin ,cos ,a t a t b t t b t b t a αβγ∴=-=--=-②由一般参数的曲率公式及挠率公式3()r r k t r '''⨯=' 2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯ 有，.22a k a b =+22b a b+=τ4．求正螺面的切平面和法线方程．{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =解 ，，切平面方程为{}cos ,sin ,0u r v v = {}sin ,cos ,v r u v u v b =-，cos sin cos sin 00sin cos x u v y u v z bv v v u v u vb---=-sin cos 0,b v x b u y uz buv ⇒⋅-⋅+-=法线方程为．cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-5．求球面上任一点处的切平面与法线方程．{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=解 ， ，{}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--{}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=- 312sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0e e e r r a a a a a ϕθϕθϕθϕϕθϕθ⨯=---{}2cos cos cos ,cos sin ,sin a ϕϕθϕθϕ=--- 球面上任意点的切平面方程为∴{}{}2cos cos ,cos sin ,sin cos cos cos ,cos sin ,sin 0,x a y a z a a ϕθϕθϕϕϕθϕθϕ---⋅---=即，cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=法线方程为2(cos cos,cos sin,sin)cos(cos cos,cos sin,sin), x a y a z a aϕθϕθϕλϕϕθϕθϕ---=⋅---即．cos cos cos sin sincos cos cos sin sinx a y a z aϕθϕθϕϕθϕθϕ---==6．求圆柱螺线在点处的密切平面.cos,sin,x a t y a t z t===(,0,0)a解(){sin,cos,1},r t a t a t'=-(){cos,sin,0},r t a t a t''=--所以曲线在原点的密切平面的方程为00sin cos10cos sin0x a y za t a t=a t a t------或即.sin)(cos)sin0t x t y az a t-+-=(7．求旋转抛物面的第一基本形式．22()z a x y=+解参数表示为，，，{}22(,),,()r x y x y a x y=+{}1,0,2xr ax={}0,1,2yr ay=，，，2214x xE r r a x=⋅=+24x yF r r a xy=⋅=2214y yG r r a y=⋅=+．2222222(d,d)(14)d8d d(14)dx y a x x a xy x y a y y∴=++++I8．求正螺面的第一基本形式．{}(,)cos,sin,r u v u v u v bv=解，，{}cos,sin,0ur v v={}sin,cos,vr u v u v b=-，，，．1u uE r r=⋅=u vF r r=⋅=22v vG r r u b=⋅=+2222(d,d)d()du v u u b v∴=++I9．计算正螺面的第一、第二基本量．{}(,)cos,sin,r u v u v u v bv=解，，{}cos,sin,0ur v v={}sin,cos,vr u v u v b=-，，，{}0,0,0uur={}sin,cos,0uvr v v=-{}cos,sin,0vvr u v u v=--，{}cos sin0sin,cos,sin cosu vi j kr r v v b v b v uu v u v b⨯==--，u vu vr rnr r⨯==⨯，，，1u uE r r=⋅=u vF r r=⋅=22v vG r r u b=⋅=+，，．uuL r n=⋅=uvM r n=⋅=vvN r n=⋅=10．计算抛物面的高斯曲率和平均曲率．22z x y=+解设抛物面的参数表示为，则{}22(,),,r x y x y x y=+，，，，，{}1,0,2xr x={}0,1,2yr y={}0,0,2xxr={}0,0,0xy yxr r=={}002yyr=，，i ，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y ⨯==--||x yx y r r n r r ⨯==⨯， ， ，214x x E r r x =⋅=+ 4x y F r r xy =⋅=214y y G r r y =⋅=+ ， ， ，xx L r n =⋅=0xy M r n =⋅=yy N r n =⋅=，222222222244441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++．2232222124422(441)GL FM EN x y H EG Fx y -+++=⋅=-++11. 计算正螺面的高斯曲率.{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =解 直接计算知，，，，，，1E =0F =22G u a =+0L =M =0N =．222222()LN M a K EG F u a -∴==--+12. 求曲面的渐近线.2z xy =解 ，则，，，， 2z xy =2z p y x∂==∂2z q xy y ∂==∂220z r x ∂==∂22z s y x y ∂==∂∂222z t x y ∂==∂所以，L =0， ，M =N =渐近线微分方程，20dxdy =化简得，(2)0dy ydx xdy +=020dy ydx xdy =+=或渐近线为y=C 1，x 2y =C 213. 求螺旋面上的曲率线.{}cos ,sin ,r u v u v bv =解 u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-2222u u v v E r 1,F r r 0,G r u b ,===⋅===+{}{}u vu v bsin v,b cos v,u r r n r r bsin v,b cos v,u -⨯===⨯-n d，{}{}{}uu uv vv r =0,0,0,r =sin v,cos v,0,r u cos v,u sin v,0-=--L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:或2222dv dudv du 10u b =00-+dubu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:12v ln(u c v u)c .=++=-+和14. 求马鞍面在原点处沿任意方向的法曲率.22{,,}r u v u v =-解 ，{1,0,2},{0,1,2}==-u v r u r v22214,4,14==+==-=+A u u v E r u F r r uv G v2222(14)8(14)=+-++u du uvdudv v dv Ⅰ ，u vu v r r n r r ⨯==⨯uu L n r == A uv M n r 0,== A vv N n r ==A ， .22=-Ⅱn k ==ⅡⅠ15. 求抛物面在(0,0)点的主曲率.22()z a x y =+解 曲面方程即22{,,()},=+r x y a x y{1,0,2},{0,1,2},==x y r ax r ay E(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,，{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===xx xy yy r a r r a L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a,代入主曲率公式，，所以两主曲率分别为 .NN2a k 0002a k -=-12k k 2a ==16. 求曲面在点(1,1)的主方向.22{,,}r u v u v =+解 {}u r =,u 1,02,{},v r ,v =01,22214,4,14E u F uv G v =+==+ (1,)5(1,)4(1,)5;E F G 1=,1=,1=0,L M N ===代入主方向方程，得,2(1,1)(1,1),(1,1)0,3L N M ===()()0du dv du dv +-=即在点(1,1)主方向.:1:1;:1:1du dv u v δδ=-=17. 求曲面上的椭圆点，双曲点和抛物点．23(,){,,}r u v u v u v =+解 由 得 23{,,},r u v u v =+{}u r =,u 1,02,{}2,v r ,v =01,3 {}{}{}u u u v v v r =,r =,r =,v0,02,0,00,0,06,0,L M N ===2241241vLN M .u +9v +-=①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点.18. 求曲面上的抛物点的轨迹方程．32(,){,,}r u v v u u v =+解 由 得 32(,){,,},r u v v u u v =+{}u r =u, 0,21,{}2,v r v , =30,1 {}{}{}u u u v v v r =,r =,r =v ,0,20,0,00,6,00,0,L M N ===令 得u =0 或v =020LN M .-=所以抛物点的轨迹方程为 或.{}r=v ,,v 30{}0r=,u ,u219.求圆柱螺线自然参数表示.(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =解 由得 (){cos ,sin ,},r t a t a t bt = {sin ,cos ,}r a t a t b '=-，()r t '= 弧长(),s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){r s a a =20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为则主法线曲面为：a a s =(),r=a s v s ,β()+()则,a =a=α' ,b ==-k βατγ'+ a b =k,''- A 2,22b =k +τ' 所以腰曲线是222a b k r=a s s =a s s k b ββτ'''A()-()()+()+21．求位于正螺面上的圆柱螺线（=cos ,sin ,x u v y u v z av ===00cos ,sin ,x u v y u v z av ===0u 常数）的测地曲率．解 因为正螺面的第一基本形式为，螺旋线是正螺面的v -曲线，由2222d ()d u u a v =++Ι0u u =得．由正交网的坐标曲线的测地曲率得．2πθ=d 0d s θ=0220g u k u a==+五、证明题1. 设曲线：证明：(s),r r = 2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅ ⑴⑵l 证明 ⑴由伏雷内公式，得 =k =-,αβγτβ 或两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅ k =-.ταγ∴⋅ ⑵ r=r==k ,ααβ 或2()r =k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ22()()()r ,r ,r =,k ,-k +k +k =,k ,k =k .αβαβτγαβτγτ∴ 2. 设曲线： 证明：(s),r r = 3()()r ,r ,r =k k -k.ττ 证明 由伏雷内公式，得r==k αβ 或2()r =k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ323()(2)r =-kk +-k +k-k +k+k ατβττγ 232()(())(3()(2))r ,r ,r =k -k +k +k -kk +-k +k-k +k +k βαβτγατβττγ⨯ A 3232()(3()(2))=k +k -kk +-k +k-k +k +k γταατβττγ A 33432=-k k+k k +k τττ 3()=k k -k ττ 3. 曲线Γ:是一般螺线，证明也是一般螺线（R 是曲线Γ的曲率半径）．()r r s =1:r R ds αβΓ=-⎰ 证明 1r R ds αβ=-⎰，两边关于s 微商，得11ds R R ds αααβ=+- 1R R R αββ=+- R α= ，由于Γ是一般螺线，所以也是一般螺线. 1αα∴A ，Γ4. 证明曲线是常数）是一般螺线．(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰证明 (){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=(){()cos (),()sin (),0},r t a t t a t t ϕϕϕϕ''''=-2()(){cos (),sin (),0}(){sin ()cos ()0}r t a t t t a t t t ϕϕϕϕϕϕ''''''=-+-，, r r a ϕ''''⨯= 32()()r r r a b t ϕ'''''''=- ,,或322(),r r a k t a b r ϕ'''⨯'==+'()222(),r r r bt a b r r τϕ'''''''==-+'''⨯,, . k a bτ∴=-5．曲面S 上一条曲线(C), P 是曲线(C)上的正常点，分别是曲线(C)在点P 的曲率、法n g k,k ,k 曲率与测地曲率，证明．222n g k =k +k 证明 测地曲率 (是主法向量与法向量()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯ (,,)k n k n αβγ==⋅sin k .θ=±θβ 的夹角)n法曲率cos n k k n k βθ=⋅=或222k =k +k .∴6. 证明曲线的切向量与曲线的位置向量成定角．{}cos ,sin ,0t t r e t e t =证明 对曲线上任意一点，曲线的位置向量为，该点切线的切向量为：{}cos ,sin ,0t t r e t e t =，则有：{}(cos sin ),(sin cos ),0t t r e t t e t t '=-+夹角为.cos r r r r θ'⋅===' 4π由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7．证明：若和对一切线性相关，则曲线是直线．r ' r ''t 证明 若和对一切线性相关，则存在不同时为0的使r ' r ''t (),()f t g t ，()()()()0f t r t g t r t '''+=则 ,()()0,t r t r t '''∀⨯=又，故有.于是该曲线是直线．3()r r k t r '''⨯='t ∀()0k t =8． 证明圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交．bt z t a y t a x ===,sin ,cos 证明 由题意有，{}{}()sin ,cos ,,()cos ,sin ,0r t a t a t b r t a t a t '''=-=--由知.()()r r r r r r r r r β''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯{}cos ,sin ,0t t β=-- 另一方面轴的方向向量为，而，故，即主法线与轴垂直．z {}0,0,1a = 0a β⋅= a β⊥z 9．证明曲线的所有法平面皆通过坐标原点．t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2===证明 由题意可得，则任意点的法平面为{}()sin 2,cos 2,sin r t a t a t a t '=-将点（0,0,0）代入上述0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 方程有左边右边，)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0故结论成立．10．证明曲线为平面曲线，并求出它所在的平面方程.222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-证明 ，，{}222132225,1r t+t ,t t t =+-+- {}34210,2r +t,t t '=-+-，{}410,2r ,''=- {}00,0r ,'''= (,,)0r r r ,''''''=，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面0τ=， {}(0)32,0r ,'=- {}(0)410,2r ,''=-密切平面方程为， 12132004102x y z -=-－－－化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明 设曲线方程，定点的向径为，则()r r s =0R 0()()r s R s λα-=两边求微商，得()()()()s s s s k αλαλαλαλβ=+=+ 由于线性无关，∴ (1())()0s s k λαλβ--= ,αβ 100k λλ⎧-⎨⎩ 或或∴ k ＝0曲线是直线.12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明 取定点为坐标原点，曲线的方程为 ，()r r t =则曲面在任一点的密切平面方程为 ((),(),())0r t r t r t ρ'''-=因任一点的密切平面过定点，所以 , 即((),(),())0o r t r t r t '''-= ((),(),())0r t r t r t '''=所以 平行于固定平面， 所以 是平面曲线.()r r t = ()r r t =13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量，证明曲线是直线或平面曲线.e证明 根据已知条件，得，0.............e α⋅=①①两边求导，得 ，由伏雷内公式得 ，0e α⋅= 0k e β⋅= ⅰ)，则曲线是直线；0k =ⅱ) 又有①可知 ‖0e β⋅= γ e因是常向量，所以是常向量，eγ 于是 所以 ，所以曲线为平面曲线.||||0,τγ==0τ=14. 设在两条挠曲线的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，,ΓΓ证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 , γγ±１２＝21ds ds γγ±A A１２＝由伏雷内公式得 进而211ds ds τβτβ±１２２＝12ββ∴± =12αα=±15. 证明挠曲线（）的主法线曲面是不可展曲面.0τ≠证明 设挠曲线为，则挠率，()r r s =0τ≠其主法线曲面的方程是： 取，则()()r s t s ρβ=+ (),()a r s b s β==(),()k a s b s αβατγ''===-A＋所以, (,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠＋＋＝所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面. 16. 证明挠曲线（）的副法线曲面是不可展曲面.0τ≠证明 设挠曲线为，则挠率，()r r s =其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+取，则(),()a r s b s γ== (),()a s b s αγτβ''===-A所以, ，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面. (,,)((),(),)0a b b s s αγτβτ''=-=≠17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明 设曲线则曲线的主法线曲面为r r(s), ＝r r s +v s β=()(),s r v k vk v αατγατγ++=+（-）=(1-)()v r =s β ,沿曲线（v ＝0）n=γ，所以主法向量与曲面的法向量夹角,2πθ=n cos 0,k k θ==所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18. 证明二次锥面沿每一条直母线只有一个切平面.{cos ,sin ,}r au bu cu θθ=证明 为直纹面{cos ,sin ,}{cos ,sin ,}0()θθθθϕθ===+r au bu cu u a b c u ,(0,(),()0ϕθϕθ'=） 所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率K =0证明.19. 给出曲面上一条曲率线，设上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求ΓΓ证是一平面曲线.Γ证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，则θ0cos γθA 0ｎ＝两边求微商，得 0γγA AA A ｎ＋ｎ＝由于曲线是曲率线，所以，进而，由伏雷内公式得ΓαAA ｎ0γA A ｎ＝0τβ A －ｎ＝⑴时，是一平面曲线 0τ＝Γ⑵，即，，n 0β A ＝n β⊥n kcos =0k θ=又因为是曲率线，所以即是常向量，所以是平面曲线. Γ0n dn k dr =-= nΓ20．求证正螺面上的坐标曲线（即曲线族曲线族）互相垂直．u -v -证明 设正螺面的参数表示是，则{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =，，{}cos ,sin ,0u r v v = {}sin ,cos ,v r u v u v b =-，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．{}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明 由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k *n 1in ππθθ=±-±-k k 222cos （）+k s（）221in cos k θθ=222s +ksin所以＝常数.*n n12k k k k+=+22. 如果曲面上非直线的测地线均为平面曲线，则必是曲率线.ΓΓ证明因为曲线是非直线的测地线，所以沿此曲线有Γ,β=±n从而又因为曲线是平面曲线，所以(),κατγ=±-+n0,τ=进一步.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.nκα=±23. 证明在曲面上曲线族x=常数，y =常数构成共轭网.()()z f x f y=+证明曲面的向量表示为x=常数,y=常数是两族坐标曲线.{}(,),,()(),r x y x y f x f y=+,.{1,0,}xr f'={0,1,}yr g'={0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yyr f r r g''''===因为,所以坐标曲线构成共轭网，xyM r==即曲线族x=常数, y=常数构成共轭网.24．证明马鞍面上所有点都是双曲点．z xy=证明参数表示为，则{}(,),,r x y x y xy=，，，，，{}1,0,xr y={}0,1,yr x={}0,0,0xxr={}0,0,1xyr={}0,0,0yyr=，，{},,1x yr r y x⨯=--||x yx yr rnr r⨯==⨯，，xxL r n=⋅=xyM r n=⋅=yyN r n=⋅=，222221100011LN Mx y x y∴-=⨯-=-<++++故马鞍面上所有点都是双曲点．z xy=25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即与方向无关，则称该点是曲面(d,d)(d,d)u vu vIII的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．证明设球面的参数表示为，则{}(,)cos cos,cos sin,sinr u v R v u R v u R v=，，{}cos sin,cos cos,0ur R v u R v u=-{}sin cos,sin sin,cosvr R v u R v u R v=--，，{}cos cos,cos sin,0uur R v u R v u=--{}sin sin,sin cos,0uv vur r R v u R v u==-，{}cos cos,cos sin,sinvvr R v u R v u R v=---，，，22cosu uE r r R v=⋅=u vF r r=⋅=2v vG r r R=⋅=，，，2cosL R v==-0M==N R==-，故球面是全脐的．1(,,)(,,)L M N E F GR∴=-26．证明平面是全脐的．dA证明 设平面的参数表示为，则{}(,),,0r x y x y =，，，，，{}1,0,0x r = {}0,1,0y r = {}0,0,0xx r = {}0,0,0xy r = {}0,0,0yy r = ，，，1x x E r r =⋅= 0x y F r r =⋅= 1y y G r r =⋅=，，0xx L r n =⋅= 0xyM r n =⋅= 0yy N r n =⋅= ，故平面是全脐的．(,,)0(,,)L M N E F G ∴=27．证明曲面的所有点为抛物点．3x y z +=证明 曲面的参数表示为，则{}1/3(,),,()r x y x y x y =+， ， {}2/3131,0,()x r x y -=+ {}2/3130,1,()y r x y -=+ ，， ，{}5/3230,0,()xx r x y -=-+ {}5/3290,0,()xy r x y -=-+ {}5/3290,0,()yy r x y -=-+ ， ，{}2/32/31133(),(),1x y r r x y x y --⨯=-+-+ ||x y x y r r n r r ⨯=⨯ ，，{}5/3290,0,()xx L r n x y n -=⋅=-+⋅ {}5/3290,0,()xy M r n x y n -=⋅=-+⋅ ，{}5/3290,0,()yy N r n x y n -=⋅=-+⋅ 20LN M ⇒-=曲面的所有点为抛物点．∴3x y z +=28．求证正螺面是极小曲面．{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =证明 ，，{}cos ,sin ,0u r v v = {}sin ,cos ,v r u v u v a =-，，，{}0,0,0uu r = {}sin ,cos ,0uv r v v =- {}cos ,sin ,0vv r u v u v =--，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v a v a v u u v u v a ⨯==--||u vu v r r n r r ⨯==⨯，，，1u u E r r =⋅= 0u v F r r =⋅=22v v G r r a u =⋅=+，，0uu L r n =⋅= uv M r n =⋅=0vv N r n =⋅= 故正螺面是极小曲面．21210,22EN FM GL H EG F -+∴=⋅==-29. 圆柱面上的纬线是测地线．{cos ,sin ,}r a u a u v =证明 由{cos ,sin ,},r a u a u v ={sin ,cos ,0}u r -a u a u = ，{0,0,1}v r =，纬线是u -线，此时2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=-，0θπ=或， 所以，纬线是测地线．0.g k ∴=30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．证明 ， ， 1202k k H +== 12k k ∴=-21220K k k k ∴=⋅=-≤当时，， 极小曲面的点都是平点；0K =120k k ==∴当时，极小曲面的点都是双曲点．0K <31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线.证明 (1) 因为曲线是测地线，所以 曲线又是渐近线，所以，0=g k ，0=n k ，而 所以k=0，故所给曲线是直线. 222=+n g k k k ，(2)证法1因曲线是测地线，所以沿此曲线有所以β A n ，βA dn ，又曲线是曲率线，所以αA A dn dr ，所以所以故所给曲线是平面曲线.(k )ατγα-+A ，0τ=，证法2因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n n βα A A 而，所以从而，γαβ=⨯ ,n γα=±⨯ ()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+= 又，所以，故所给曲线是平面曲线.γτβ=- 0τ=。
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《微分几何》 期终考试题（A）
班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____
一、 填空题（每空1分, 共20分）
1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 .
2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 .
3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向.
4. 距离单位球面球心距离为)10(<<d d 的平面与球面的交线的法曲率为 ； 测地曲率为 .
5. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是 ；坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是 .
6. 全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 和 .
7. 圆柱螺线的自然方程是 },sin ,cos {)(bt t a t a t r =；自然参数方程是______ ________________.
8. 根据曲线论的基本定理，在可以相差一个空间位置的情况下，唯一决定一条空间曲线的两个不变量是曲线的 和 .
9. 脐点处，曲面的第一、第二类基本量满足关系 ；脐点的等距微分同胚像仍是脐点吗？ .
10.按椭圆点，双曲点，抛物点进行分类，可展曲面上的点都是 点；极小曲面上除平点之外的其它点是 点.
二、 单项选择题（每题2分，共20分）
1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】
A. 曲率
B. 挠率
C. 法曲率
D. 测地曲率
2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】
A. 球面与柱面
B. 柱面与平面
C. 平面与伪球面
D. 伪球面与可展曲面
3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】
A. 法平面
B. 密切平面
C. 从切平面
D. 不存在
4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】
A. 直线
B. 圆
C. 圆柱螺线
D. 平面曲线
5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】
A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线
B. 测地线具有等距不变性
C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小
D. 平面上测地线必是直线
6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】
2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N
G k L E k ==21, C. v E G k k ∂∂−==ln 21
21 D. u G E k k ∂∂==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k
A． B.
n g k k k +=n g k k k +=C. D.
222n g k k k +=2
22n g k k k +=8. 曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 【 】
A. 2/πθ=
B. 0=θ
C. πθ=
D. 不确定
9．下列关于特殊曲线的论断，不正确的是 【 】 A. 若曲线上有无穷多个点处曲率为零，则曲线必为直线
B. 平面曲线的密切平面即曲线所在平面本身
C. 沿渐近曲线，曲面的切平面与该渐近曲线的密切平面重合
D. 沿测地线，曲面的切平面与该测地线的密切平面垂直
10. 下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是 【 】
A. 脐点处，任何方向都是主方向
B. 非脐点处，主方向垂直
C. 脐点处，无主方向
D. 非脐点处，有且仅有两个主方向
三、判断题（每题1分，共10分）
1． 等距等价的两曲面在对应点具有相同高斯曲率，反之亦成立.
【 】 2． 欧氏合同的两曲面必等距等价，反之，等距等价的两曲面必欧氏合同.
【 】 3． 球面上任何方向既是主方向又是渐近方向.
【 】 4． 球面上测地三角形的内角和大于1800.
【 】 5． 曲面上直线（若存在）既是渐近线，又是测地线.
【 】 6． 圆柱面的高斯映射球面像是单位球面上的单点集.
【 】 7． 平面上，曲线的测地曲率即它作为平面曲线时的相对曲率. 【 】
8． 测地线的切向量在Levi-Civita 平行移动意义下是平行的.
【 】 9． 球极投影是球面（去掉北极点）与平面的等距对应. 【 】
10． 旋转曲面的坐标曲线网是正交网. 【 】
四、计算与证明题（每题10分，共50分）
1. 求正则参数曲线 r )(t ={}的曲率和挠率，t t t 2cos ,sin ,cos 332/0π<<t .
2. 证明螺旋面},sin ,cos {),(bv v u v u v u r =是极小曲面，但不是可展曲面.
3. 若曲线的法平面包含非零常向量e . 证明：该曲线为直线或平面曲线.
4. 证明: 在Gauss 曲率非正的单连通曲面上，不存在光滑闭测地线.
5. 证明: 若曲面上曲率处处不为零的测地线是平面曲线，则它必为曲率线.。