数理方程试卷A (2)
数理方程试题
2013-20141 数学物理方程（A ）数理学院 信计101-2、应数（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一．填空题（每小题3分，共15分）1．已知非齐次波动方程22222(,)(0,0)(0,)(,)0(0)(,0)(,0)0(0)u ua f x t t x l t x u u t l t t xx u u x x x l t ⎧∂∂=+><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩，若);,(τt x W 是初边值问题22222(,0)(0,)(,)0()(,)0,(,)(,)(0)W W a t x l t x W W t l t t x x W W x x f x x l t τττττ⎧∂∂=><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩的解（其中τ为参数），则由齐次化原理可得=),(t x u 就是原问题的解；2．已知1()f x 与2()f x 的傅里叶变换存在，则12()F f f *= ；3．偏微分方程22222222u u u ut x y z ∂∂∂∂=++∂∂∂∂的特征方程为 ；4．当 时，方程22220u uy x y∂∂-=∂∂的类型为双曲型；5．作未知函数的线性变换 可将方程组u u v x t x xv u v x t x x ∂∂∂⎧=+⎪⎪∂∂∂⎨∂∂∂⎪=+⎪∂∂∂⎩化为对角型方程组。
二．单项选择题：（每小题3分，共15分）1．对于一维波动方程下列结论正确的是：（ ）)A 左端点必须是第一类边界条件； )B 两个端点必须是同类边界条件； )C 第三类非齐次边界条件表示弹性支撑端； )D 上述说法都不对。
课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:2．将定解问题2222212(,)(0,0)(0,)(),(,)()0(,0)(),(,0)()0u u a f x t t x l t x uu t t l t t t x x u u x x x x x l t μμϕψ⎧∂∂=+><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩的边界条件齐次化，令),(),(),(t x W t x V t x u +=，则（ ）)A x lt t t t x W )()()(),(121μμμ-+=； )B )()(),(12t x t t x W μμ+=；)C )())((),(21t l x t t x W μμ+-=； )D l xt l x t t t x W 2)(2))()((),(1212μμμ+-=。
上海理工大学高等数学A(2)要点复习题
高等数学A （II ）复习第八章 空间解析几何与向量代数1．已知(2,3, 1), (1,1, 3)a b =-=-，求（1）b a b a 2 ,2)(⨯⋅- （2） (+2)(2)a b a b ⋅-（3）(+2)(2)a b a b ⨯-2．已知3) ˆ,(,4 ,3π===b a b a ，求以(32)(2)a b a b -+和为边的平行四边形面积3．求过点)1, 1 ,1(-，且与直线10210x y z x y z -+-=⎧⎨+++=⎩平行的直线方程.4．求过点)3, 1 ,2(，且（1）通过直线12131:-=-=+z y x l 的平面方程； （2）与l 垂直相交的直线方程.5．求过直线⎩⎨⎧=+--=+-0620223z y x y x ，且与点)1,2 ,1(的距离为1的平面方程.6．指出下列方程所表示的图形：（1）2210x y --= （2）222+20x y z -=（3）221z x y =-- （4）222++210x y z z -+=第九章 多元函数微分法及其应用7．计算（若不存在，给出理由）：(1) (,)(0,0)lim x y →(2) x y x y x 1)0,0(),()cos 1(lim -→(3) (,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+-(4)sin()2(,)(0, )(1)lim xy x x y a xy →-8．z =，求,z z x y ∂∂∂∂9．yz x u =，求u 的偏导数10．已知)ln(y x y x z =，求)1,1(dz11．(,)y z xf y x =，f 具有二阶连续偏导数，求yx z ∂∂∂212．()(1)ln ,y z xf x y x f x=+-其中具有二阶导数， 求证：222222(1)z z x y x y x y ∂∂-=+∂∂13．已知函数(,)z z x y =由)](,[z xy f z ϕ=确定，f 具有连续偏导，ϕ可导， 求z z x y∂∂∂∂，14．求由方程320z xz y -+=确定曲面),(y x z z =在点)1, 1 ,1(处的切平面方程和法线方程.15．求曲线2sin 4,cos 1,sin t z t y t t x =-=-=在点)22 ,1 ,12(-π处切线与z 轴正向的夹角16．求曲面2222+3z 21x y +=上平行于平面460x y z ++=的切平面方程.17．证明：曲面1xyz =上任意点处切平面与三坐标面所围成的四面体的 体积为常数.18．在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最近.19．过点)31, 1 ,2(的平面中，哪个平面与三个坐标面所围立体体积最小.20．求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.第十章 重积分21．交换积分次序:⎰⎰+-2 2 2 1 ),(y y dx y x f dy .22．分别在直角坐标和极坐标系下将⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为二次积分，其中D 由x y =与2x y =所围成（f 在D 上连续）23. 求⎰⎰+Ddxdy y x 22 其中0,41:22≥≤+≤x y x D .24．求⎰⎰-+22 0 222 0 1y y dx y x dy .25．求⎰⎰1 1 0 y xy dx e dy .26．求D σ，其中D 为22x y x +≤.27．求2()Dx y d σ+⎰⎰，其中D 由224,x y x y ==及1=y 围成.28．求由曲面z =与222z x y =--所围成的立体体积29．求⎰⎰⎰Ω+=dv y x I )(22，其中Ω由z y x 222=+及平面2=z 围成.30．求(1)I z x y dv Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω由z =上半球面22z x y =+所围成.31．求⎰⎰⎰Ω++=dv z y x z I 222，其中Ω由1222≤++z y x 与)(322y x z +≥确定.31．计(1)I z x y dv Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω由z =上半球面22z x y =+所围成.32．求由2222222222),0(, ,y x z R r r z y x R z y x +=<<=++=++所围立体的体积.第十一章 曲线与曲面积分33．ds y x L⎰+ 22，其中L 为半圆周：0 ,222≥=+x y x34．dy x y dx xy L)( -+⎰，其中L 为x y =2上从（0，0）到（1，1）的一段.35. 3223 ()()Lx xy dx x y y dy +++⎰,其中L 为2y x =上从（0，0）到（1，1）的一段.36．2 (sin +)(cos )x x y Le y x y dx e y e dy -++⎰，其中L 为圆周22x x y -=上从点)0 ,2(到)0 ,0(的一段.37．ydS ∑⎰⎰，其中∑为上半球面：222y x R z --=.38．2(+)ydzdx z x dxdy ∑+⎰⎰，其中∑为柱面122=+y x 被0=z 与1x z +=所截得部分的外侧.39．⎰⎰∑++zdxdy dydz z x )2(，其中∑：)10(22≤≤+=z y x z 取上侧.第十二章级数40．判别敛散性，若是一般项级数收敛，则说明是条件收敛还是绝对收敛（1）∑∞=123 cosnnnnπ（2）nnnn)12(1∑∞=-（3）∑∞=-132)1(n nn n（4）∑∞=+-1)1ln()1(nnn41．求收敛域（1）∑∞=⋅13nnnnx（2）∑∞=-1)12(nnnx42．求和函数（1）∑∞=+1)1 (nnnnx（2）∑∞=-1)1(nnxn43．将函数展开成幂级数（1）将)1ln()1(x x ++展开成x 的幂级数（2）将652--x x x 展开成5-x 的幂级数.。
数理方程试卷及答案2
长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………试卷编号 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名…………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次） 数学物理方程与特殊函数 课程代号专 业 层次（本、专） 本 科 考试方式（开、闭卷） 闭卷一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）1．二阶线性偏微分方程062242=+++-y x yy xy xx u u u u u 属于椭圆型； （ ）2．定解问题的适定性包括解的稳定性、解的唯一性和解的存在性； （ ）3．如果格林函数),(0M M G 已知，且它在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数，又若狄利克雷问题⎩⎨⎧=Ω∈=∆Γ ).,,(|,),,(0z y x f u z y x u 在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数的解存在，那么其解可表示为=)(0M u dS nG z y x f ⎰⎰Γ∂∂-),,(； （ ） 4．设)(x P n 为n 次Legendre 多项式，则0)()(111050358⎰-=dx x P x P ； （ ）5．设)(x J n 为n 阶Bessel 函数，则[])()(021ax xJ a ax xJ dxd =． （ ） 二．解答题：（本题总分65分） 1．（本小题15分）设有一根长为l 的均匀细杆，它的表面是绝热的，如果它的端点温度为1),0(u t u =，2),(u t l u =，而初始温度为0T ，写出此定解问题．2．（本小题20分）利用固有函数法求解下面的定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<+=.0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x l x t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数．3．（本小题15分）求出方程xy u u yy xx =+的一个特解．第 1 页（共 2 页）4．（本小题15分）用试探法求解拉普拉斯方程狄氏问题：⎩⎨⎧+=≤≤<=∆ .sin cos ),()20,(,0),(22θθθπθθB A R u R r r u 三．证明题：（本题总分10分） 证明：函数⎰+-+++-=atx at x ds s a at x at x t x u )(212)()(),(ψϕϕ是下面的齐次方程的初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<-∞=).()0,(),()0,(),0,(2x x u x x u t x u a u txx tt ψϕ 的解．第 2 页（共 2 页）长沙理工大学试卷标准答案课程名称： 数学物理方程与特殊函数(B) 试卷编号：03一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）1．×； 2．√； 3．√； 4．√； 5．×．二．解答题：（本题总分65分）1．（本小题15分）泛定方程：xx t u a u 2=，)0,0(><<t l x ； …………………5分 边界条件：1),0(u t u =，2),(u t l u =； …………………10分 初始条件：0)0,(T x u =． …………………15分2．（本小题20分） 泛定方程相应的齐次方程满足齐次边界条件的固有函数系为⎭⎬⎫⎩⎨⎧l x n πcos ，故可设方程的解为∑∞==0cos)(),(n n lx n t u t x u π， ……………5分 将它代入泛定方程，得l x t A l x n t u l a n t u n n n πωππcos sin cos )()(02=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+''∑∞=， ……………10分 于是),1(0)()(2≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+''n t u l a n t u n n π .s i n )()(121t A t u l a t u ωπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+'' ……………12分 由初始条件，得 ),2,1(0)0()0( =='=n u u n n …………14分显然，当1≠n 时，0)(=t u n ；当1=n 时，解上面的微分方程得ττπωτπd t l a A a l t u t)(sin sin )(01-=⎰第1页（共3页）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=t l a l at l a a Al ωππωπωπsin sin 122， ……………18分 故所求的解为 l x t l a l at l a a Al t x u πωππωπωπcos sin sin 1),(22⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=。
湖南科技大学数理方程历年真题
湖南科技大学考试试题纸（A 卷）（2006- 2007学年度第二学期）课程名称 数学物理方程与特殊函数 开课学院 数学学院 命题教师 上课学院 物理、土木学院 年级 05级 班级 05级适用 考试时量 100 分钟 系主任考核方式（闭卷） 交题时间： 年 月 日警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开除学籍。
考试舞弊受到留校察看处分，将不会授予学位证！一、填空（请写在答题纸上，每题6分，共计48分）1. 三维泊松方程是______________________________。
2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为___________________。
3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。
4. 定解问题202||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞⎧⎪⎨==⎪⎩， ，的解__________________________。
5. 三维拉普拉斯方程的牛曼内问题为______________________________；其解存在的必要条件为____________。
6. 写出4阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。
7. 设2()J x 为2阶贝塞尔函数，则22()d x J kx dx⎡⎤⎣⎦=__________________。
8. 设弦一端在0x =处固定，另一端在x l =处做自由运动。
则弦振动问题的边界条件为：________________________________。
二、（10分）求解定解问题：200(0)()00()0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩， ，，，，， ，，0，三、（10分）设,0x y -∞<<+∞>，求解定解问题：540()0()2xx xy yy yu u u u x u x x ++=⎧⎪=⎨⎪=⎩，0，0四、（10分）设()u u x y =，，用积分变换法求解下面问题：210(1)1()xy u y x y u y u x x =>>⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，，0五、（12分）求拉普拉斯方程在半空间2x >内的格林函数；并求解定解问题：02(2)()xx yy zz u u u x u y z y z y z ϕ++=>⎧⎨=-∞<<∞⎩，，，，， ，六、（10分）求满足下面定解问题的解：sin 200(0)()0()()0tt xx t u u x x t u t u t u x u x ππ=+<<>⎧⎪==⎨⎪==⎩， ，，，，0，0湖南科技大学考试试题纸（B卷）（2006- 2007学年度第二学期）课程名称数学物理方程与特殊函数开课学院数学学院命题教师上课学院物理、土木学院年级05级班级05级适用考试时量100 分钟系主任考核方式（闭卷）交题时间：年月日警示：考试违纪处理：警告，严重警告；考试舞弊处理：记过，留校察看，开除学籍。
数理方程-天津大学2010～2011研究生课程考试试卷
天津大学2010～2011研究生课程考试试卷一、填空题（每空2分，共30分）1、数学物理方程中需求解的定解问题是由 和 组成。
2、导热杆的绝热端为第 类边界条件。
3、设)(x P n 为n 阶Legendre 正交多项式，则=⎰-dx x P x P m n )()(11 。
4、拟线性偏微分方程是指方程关于未知函数的 是线性的。
5、方程⎩⎨⎧='==+''0)0()0(0)()(X X x X x X λ的固有值是 ，固有函数系是 。
6、在区域Ω内具有二阶连续偏导数的函数u ，且满足 ，则称u 是Ω内的调和函数。
7、线性偏微分方程的类型及标准型只依赖于它的 部分。
8、初始位移2)(x e x -=φ，初始速度x x sin )(=ψ的无界弦做自由振动，其振动规律=),(t x u 。
9已知 kt e t f at sin )(=，则f 的Laplace 变换=)(p L 。
10、已知)(t φ的Fourier 变换是)(~ωφ，则t a ωωφcos )(~关于ω的Fourier 逆变换是=),(t x u 。
11、若一个定解问题的解存在、 且 ，则称该问题是适定的。
12、设长为l 的均匀细杆侧面绝热，内部无热源，0=x 端的温度保持l x C o =,0端在温度为C o 0的介质中自由冷却。
已知初始温度为)(x φ，则杆的温度变化用定解问题描述为 。
二、简答题（共22分）1、（12分）判断下列二阶线性偏微分方程所属类型，并将其化为标准型。
（1） 032=-+yy xy xx u u u ；（2） 0,0>=+y u yu yy xx 。
2、(10分) 定义卷积τττd t f f t f t f t f )()()(*)()(2121-==⎰+∞∞-，证明： （1） 卷积满足交换律，即：)(*)()(*)(1221t f t f t f t f =。
（2） 卷积具有时移特性，即：())(*)()(*)(2121212211t t t f t t t f t f t t f t t f --=--=--三、计算题（每小题12分，共48分）1、长为l 两端固定的均匀弦做自由微小横振动。
高等数学A(二)试卷及答案
高等数学A （二）考试试卷一、 填空题（每小题5分，共25分）1. 设2u 1sin ,2xu e x y x y π-=∂∂∂则在（，）处的值为_________。
2. 改变二次积分10(,)x I dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I=_______________。
3. 设平面曲线Γ为下半圆周y =22()x y ds Γ+⎰=___________。
4. 若级数1n n u∞=∑的前n 项部分和是：1122(21)n S n =-+，则n u =______________。
5. 设)2,5,3(-=a ，(2,1,4)b =，(1,1,1)c =，若c b a ⊥+μλ，则λ和μ满足 。
二、 计算题（每小题10分，共70分）1. 求由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分。
(10分)2. 设21()x t f x e dx -=⎰，求10()f x dx ⎰。
（10分） 3. 计算xzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面0,,1z z y y ===以及抛物柱面2y x =所围成的闭区域。
（10分）4. 计算dy xy ydx x L22+⎰，其中积分路径L 是xoy 平面上由点(2,0)A -顺次通过点(0,2)B 、(2,2)C 到点(2,4)D 的折线段。
（10分） 5. 把函数xx f 431)(+=展为1-x 的幂级数，并确定其收敛域。
6. 求点)3,2,1(-关于平面014=-++z y x 的对称点。
（10分）7. 要建造一个表面积为108平方米的长方形敞口水池，尺寸如何才能容积最大.。
（10分）三、证明题（5分）若0lim =∞→n n na ，且∑∞=+-+11])1[(n n n na a n 收敛于常数A ，试证明级数∑∞=1n n a 收敛。
答案课程名称：高等数学A(二) 试卷编号：5一、填空题。
（每小题5分，共25分）1.22e π，2.101(,)y dy f x y dx ⎰⎰，3.π，4.1(21)(21)n n -+， 5. 076=+μλ二、 计算题。
数理方程试卷
utt a2uxx,(0 x l,t 0), u(0,t) 0,u(l,t) 0,
u(x,
0)
sin
x
l
,
ut
(x,
0)
sin
x
l
.
• 三. 求解问题
utt a2uxx,(0 x l,t 0), u(0,t) 0,u(l,t) 0,
u(x,
0)
sin
x
l
,
ut
l
0),
u(0,t) 0,u(l,t) 0,(t 0),
u(x,0) 0,ut(x,0) 0,(0 x l).
• 四. 用固有函数法求解 utt
a2uxx
tsinx,(0 x l,t
l
0),
u(0,t) 0,u(l,t) 0,(t 0),
u(x,0) 0,ut(x,0) 0,(0 x l).
固有函数 Rm(r)J0(m (0)r).
Tm(t)Cme(m (0)a)2t.
u(r,t)
Ce J( (m (0)a)2t
m
0
m (0)r).
由 m 1
u(r,0) C mJ0( m (0)r)1r2,
得 Cm0 1r(1 m 1 2 1rJ212)(J0m ((0))m (0)r)dr( m (4 0)J)2 2(J12m ((0))m (0)).
0)
u(r,0) 1 r2.
答（p122例1）：
u(r,t)R (r)T(t).
Ta2T 0.
r2RrR(r2 02)R0,
R(1) 0,| R(0)|.
R (r) C J 0 ( r) D Y 0 ( r).D 0.
固有值 m (m (0 )) 2 ,m (0 ) 为 J 0 (x ) 正 零 点 .
数理方程试题
数理方程试题一．判断题（每题2分）.1. 2u u x y x y x+=是非线性偏微分方程.( )2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式，则 ( )4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( )5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ?= 的解.( )二．填空题（每题2分）.1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.5. []()____________.at m L e t s = 三．求解定解问题（12分）20sin ;0,0;0.t xx xx xx lt u a u A t u u u ω===-====四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1）1,0,0;1,1.xy x y u x y uy u===>>=+=（2） 00230, 1.tt t y y y e y y =='''+-='==五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。
（12分）六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。
数理方程试题
y 0, x 1
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
注： 1.试题请按照模板编辑，只写试题，不留答题空白； 2.内容请勿出边框。
n 2 ) , n 0,1, 2,... l (2n 1) 2 ] , n 1, 2,... D、 [ 2l
B、 (
二、填空题(每小题 4 分，共 24 分) 1、一个定解问题，如果解存在、唯一、稳定，则此定解问题称为 ) 2、方程 uxx 4uyy 0 化标准型时，所做的两个特征变换为 3、 L [
1 ( x) |a|
(a 0)
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊
C 、弱相等意义下 －函数是偶函数 D、Green 函数具有对称性 7、设球域 B(O, R) 内一点 M 0 ，则用静电源像法求格林函数时，关于像点 M ' 的说法正确的是 （ ）
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
A、 M 0 , M ' 的关系满足
OM 0 R R ，且 M ' 处放置负电荷，带电量为 OM 0 R M 0M '
1
。
1 ] ( s 2)( s 1)
（其中 L 表示 Laplace 变换）
4、Green 第二公式为
uv ____ dV u n v n ds
S
v
u
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
w s + w2
2
(Re s > 0)
B、 L[ f g ] L[ f ] L[ g ]
┊┊┊┊┊┊┊┊┊ ┊
三、 （9 分）利用达朗贝尔公式求解半无界弦问题
数理方程复习试卷2014
一、（15分）用达朗贝尔公式求解定解问题：�ðð2uu ððtt 2=16ðð2uu ððxx 2，−∞<xx <+∞，tt >0uu |tt=0=3xx 2，ððuu ððtt |tt=0=9xx 解：∵uu (xx ,tt )=12[φφ(xx +aatt )+φφ(xx −aatt )]+12aa ∫ψψ(ξξ)ddξξxx+aatt xx−aatt∴φφ(xx )=3xx 2，ψψ(xx )=9xx , aa =4 ∴uu (xx ,tt )=12[3(xx +4tt )2+3(xx −4tt )2]+18∫9ξξddξξxx+4tt xx−4tt =3xx 2+9xxtt +48tt 2二、（15分）用分离变量法求解定解问题：⎩⎪⎨⎪⎧ðð2uu ððtt 2=aa 2ðð2uu ððxx 2，0<xx <ll ，tt >0uu |xx=0=0，uu xx |xx=ll =0uu |tt=0=5，uu tt |tt=0=3ssss ss 3ππxx 2ll 解：∵令uu (xx ,tt )=XX (xx )TT (tt )∴TT ,,(tt )aa 2TT (tt )=XX ,,(xx )XX (xx )=−λλ ∴�TT ,,(tt )+λλaa 2TT (tt )=0…①XX ,,(xx )+λλXX (xx )=0…②∵uu |xx=0=0，uu xx |xx=ll =0 ∴XX (0)=XX ,(ll )=0 （1）当λλ<0时，XX (xx )=AAee √−λλxx +BBee −√−λλxx ∵XX (0)=XX ,(ll )=0，则AA =BB =0 ∴λλ不能小于零。
数学物理方程考试试题及解答
n 1
其中 Cn
2
0
8[1 (1)n ] x( x)sin nxdx n3
Dn
2
0
0 (n 2) 3sin 2 x sin nxdx 3 (n 2) a
解：设 u ( x, t ) 代入方程， (8 e
8 e3 x m y
（ 2 分）
3xm y
) 3 3 (8 e3 x m y ) m 0
（ 6 分） （ 7 分）
3m 3 0, m 1
所以解为
3x y u ( x ,t ) e 8
2．
( 本题 7 分 )
2 2u 2 u 2 a x 2 求问题 t u ( x,0) sin 2 x, u t
的解
t 0
3x
2
解：由达朗贝尔公式，得
1 1 x at 2 u ( x, t ) [sin 2( x at ) sin 2( x at )] 3 d 2 2a x at
（A） u( x, t ) A cos ( x at )
（C） u( x, t ) A cos x sin a t （D） u( x, t ) A cos ( x at )
1
三 . 解下列问题
1.
( 本题 8 分 )
u u 0 3 求问题 x 的解 y 3x u ( x,0) 8e
2u t 2
2F t 2
a2
2 u F ( x, t ) c x 2
西安交大2015-数理方程考试题 A卷
(C) (D)
3.设 是时间 的任意二阶可导函数，问下列第( )个函数项级数不能看做弦振动方程 ， 的通解.
(A) (B)
(C) (D)
共6页第1页
4.对于Legendre多项式 和第二类Legendre函数 ( 为非负整数)，下列说法正确的是( )
(A) 为偶函数， 为奇函数(B) 与 是线性相关的
(C) (D) 在 无界
二、填空题（5分/题×5题=25分）
1.有一根两端张紧的长为 的均匀柔软细弦，右端 固定，左端 系在一长为 弹性系数为 的小弹簧上。如果弹簧的下端固定在弦线的平衡位置，则该弦线右端的边界条件为。
2.有一个半径为 初始温度为 的铁球置放在空气中让它自然冷却，若空气温度恒定为 ,则该铁球内的温度分布所满足的边界条件为。
四、（10分）利用特征线法求解柯西问题
共6页第3页
五、（12分）用分离变量法求解定解问题
共6页第4页
西安交通大学考试题
六、（13分）求下面扇形域上的定解问题
共6页第5页
七、（12分）利用分离变量法求解如下边界固定初位移不为零的圆形膜的定解问题
八、(6分)将函数 在区间 上展开成傅里叶-勒让德级数。
共6页第6页
3.对于定解问题
令 ，选取 可同时将方程和边界条件齐次化且关于未知函数 的初始条件为。
4.贝塞尔方程 的通解为。勒让德方程 的通解为。
共6页第2页
西安交通大学考试题
5.已知 ，其中 表示Gamma函数，则 ， 。
三、(10分）利用分离变量导出下面定解问题
的特征值问题，并求解出相应的特征值和特征函数。
成绩
西安交通大学考试题
课程数学物理方程（A卷）
西安交大2016年数理方程试卷A
-------------------------。
3.假设细杆两端的边界条件是： ，请给出变换： ，使 满足齐次边界条件。
4.考虑特征值问题。
其特征值__________________________,特征函数为__________________________
四域上的定解问题
六.（5分）证明下列特征值问题的特征值
课程数学物理方程卷A
题号
一
二
三
四
五
六
七
得分
一.填空(每题5分,共30分)
1.长为L的柔软细弦在力 的作用下做微小横振动，则弦振动方程为---------------------------。又若弦的左端固定，右端为自由端，则边界条件为-------------------------------------------。
5、积分 =____________________________。
6、方程 通解__________________________
二．（每题5分,共20分）（1）求解下列柯西问题
（2）计算积分
（3）将函数 按贝塞尔函数系 （ ）展成贝塞尔级数。
(4）求解无限长弦振动问题
三．(15分)求解下列定解问题
数学物理方程试卷及答案
参考解答： 一、 填空题1. A 定解 B 初值（或Cauchy 问题） C 存在性、唯一性和稳定性2. D 双曲3. E (1)(2)(4)4. F [x-3t,x+t] ,G 决定区域5. H 222(21)(1,2,)4n n L πλ-== I(21)cos (1,2,)2n x X n Lπ-== 二、解：无界区域上波动方程200,,0|(),|()tt tt t t t u a u x t u x u x ϕψ==⎧=-∞<<+∞>⎪⎨==⎪⎩ 的达朗贝尔公式为：22()()1(,)()22x atx at x at x at u x t d aϕϕψξξ+--++=+⎰ 对于本题所给半无界区域上的自由端点定解问题，只需对初始条件作偶延拓，即令：2(),()||x x x x ϕψ==即可，2a = ,代入达朗贝尔公式得22222222(2)(2)1()||2224,25(4),24x tx tx t x t u x d x xt t x tx t x t ξξ+--++=+⨯⎧++≥⎪=⎨+<⎪⎩⎰ 二、 解：设(,)()()u x t X x T t =，则()''()4''()()X x T t X x T t =，分离变量成为''()''()4()()T t X x T t X x λ==-，则''()()0,'(0)'(1)0''()4()0X x X x X X T t T t λλ+===⎧⎨+=⎩， 解前一方程，得固有值22(0,1,2,)n n n λπ==和固有函数()cos X x n x π=，代入方程''()4()0T t T t λ+=中可得()cos 2sin 2T t A n t B n t ππ=+，1,2,3,)n =（由叠加原理，原方程有解1(,)(cos 2sin 2)cos nnn u x t A n t Bn t n x πππ∞==+∑。
数理方程试题
数理⽅程试题太原科技⼤学数学物理⽅程课程试卷卷⼀．填空（每⼩题3分，共15分）（1）三维热传导⽅程的⼀般形式为_____________。
（2）设函数的傅⾥叶变换为 , 则⽅程的傅⾥叶变换为______________。
（3）下列拉普拉斯⽅程的诺依曼问题是否有解________。
（4）区域的格林函数在区域边界上 =______。
（5）⼀维热传导⽅程的基本解为_____________________。
⼆．化下列⽅程为标准型，说明其类型并求解此定解问题（15分）。
()u x t ,()U t α,2tt xxu a u =2220,sin 4r R u x y R u n θ=?=+= Ω()0,G M M 21(,0)0,(,0)2xx xy yy y u u u u x u x x--===??三．⽤⾏波法求下列初值问题的解（20分）。
241,,0,(,0),(,0)1,.tt xx t u u x R t u x x u x x x R =+∈==+∈??四．⽤分离变量法求下列初边值问题的解（15分）。
22,01,0,(0,)1,(1,)0,0,(,0),.t xx u u x t u t u t t u x x x R =-??=-=??=∈?五．⽤拉普拉斯变换法求下列初边值问题的解（15分）。
六．证明题（20分）（1）（5分）证明9,0,0,(0,)cos ,lim (,)0,(,0)0,(,0)0,0.tt xx x t u u x t u t t u x t u x u x x →+∞?=+∞??==??==+∞?? ()()x x x δδ'=-（2）（8分）已知格林第⼆公式ds )nu v n v u(dxdy )u v v u (??-??=?-ΩΩ?，证明：⼆维调和函数的积分表达式为011u 1u(,y )ln u (ln )ds 2r n n r 0x π?Ω=-?. 其中)y ,(00x 为区域Ω内任⼀点，22)()(r 00y y x x -+-=，n 为区域边界的外法线⽅向。
数理方程试题及解答二
数理方程试题二一、填空：（10×2分=20分）1.边界条件2.初始状态3.定解条件.4.边值问题5.拉普拉斯方程的连续解6.狄利克莱问题7.牛曼问题8.()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΓΩ⋅-∂∂=∇dV gradv gradu dS n vudV v u 2 9.()()()0001114M M M M u M u m u M dS n r r n πΓ⎡⎤⎛⎫∂∂=--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰10.()()()()01!21220≥++Γ-=++∞=∑n m n m x x J m n mn mm n二、选择题：（5×4分,共20分）1．A; 2. B; 3. C; 4. C; . 5. D ．三、（7分）解定解问题()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==≤≤='=><<=''-''=.0,,0,0;0,,0,;0,0,002t l u t u l x x g u x f x u t l x u c u t t xx tt解：令()()()()()()()2,0X x T t u x t X x T t X x c T t λ''''=≠⇒==-，()()()()20,0T t c T t X x X x λλ''''+=+=由方程()()()()000X x X x X X l λ''+=⎧⎪⎨==⎪⎩解出()()sin 1,2,3,n n n X x B x n l π== 由方程()()20T t c T t λ''+=解出：()()cos sin 1,2,3,.n nn n ct n ctT t C D n l lππ''=+= -----------4分 从而有：()(),cos sin sin 1,2,3,n n n n ct n ct n x u x t C D n l l l πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 叠加起来：()()11,,cos sin sin ,n n n n n n ct n ct n x u x t u x t C D l l l πππ∞∞==⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑ 代入初始条件确定,n n C D 有：()()002sin 2sin l n l nn C x xdx l ln D x xdx n c l πϕπψπ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⎰⎰ ------------------------------------3分四、（7分）证明: ()[]()x xJ x xJ x01d d= 证明: ()()()()(),!21!32!2221222266244220 +-++-+-=k x x x x x J k k k()()().!1!21!4!32!3!22!22212127755331 ++-++⋅⋅-⋅⋅+⋅-=++k k x x x x x x J k k k---------------------4分将()x J 1乘以x 并求导数，得()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++⋅-=++ !1!21!222d d d d 12223421k k x x x x x xJ x k k k()()+-++-=+221233!212k x x x k k k()()()(),!21!32!222122226624422⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-= k x x x x x k k k即()[]()x xJ x xJ x01d d=---------------------------------------------------------------3分 五、（7分）由定解问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<-∞='+∞<<-∞=''=''==x x u x x u u a u t t t xx tt ,,;002ψϕ导出达朗贝尔公式。
2021年研究生数理方程期末试题
北京交通大学研究生研究生-第一学期《数学物理方程》期末试题（A卷）（参照答案）学院专业学号姓名题号一二三四五六七总分分值10 15 15 20 15 15 10 100 得分阅卷人1、（10分）试证明：圆锥形枢轴纵振动方程为：222211x u x uEx h x h tρ⎡⎤∂∂∂⎛⎫⎛⎫-=-⎢⎥⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦其中E是圆锥体杨氏模量，ρ是质量密度，h是圆锥高（如下图所示）：【提示：已知振动过程中，在x处受力大小为uESx∂∂，S为x处截面面积。
】【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园半径分别是1r和2r，如图所示。
于是，咱们有2222211212(,)(,)(,)()()()d()tan((d))tanu x dx t u x t u x tE r E r r xx x tr h xr h x xππρπαα∂+∂∂-=∂∂∂=-=-+上式化简后可写成2222d 2(,)(,)(,)[()|()|]()d x x x x x u x t u x t u x t E h x h x h x x x x tρ=+=∂∂∂---=-∂∂∂ 从而有2222(,)(,)[()]()u x t u x t E h x h x x x t ρ∂∂∂-=-∂∂∂ 或成22222(,)(,)[(1)](1)x u x t x u x t a x h x h t ∂∂∂-=-∂∂∂ 其中2Ea ρ=，证明完毕。
2、 （20分）考虑横截面为矩形散热片，它一边y b =处在较高温度U ，其他三边0y =，0x =和x a =则处在冷却介质中，因而保持较低温度0u 。
试求该截面上稳定温度分布(,)u x y ，即求解如下定解问题：2222000000,0,0;|,|,0;|,|,0.x x a y y bu ux a y b x y u u u u y b u u u U x a ====⎧∂∂+=<<<<⎪∂∂⎪⎪==<<⎨⎪==<<⎪⎪⎩【提示：可以令0(,)(,)u x y u v x y =+，然后再用分离变量办法求解。
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一. (10分)填空题1.初始位移为)(x ϕ,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题:⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===).(),(0,,002x u x u t x u a u t t t xx tt ψϕ 2.为使定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======0,00002t lx x x xxt u u u u u a u （0u 为常数）中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w xu 03.方程0=xyu 的通解为)()(),(y G x F y x u +=4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题. 5．方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为1cos 61),(223-++=y x y x y x u二. (10分)判断方程02=+yy xx u y u的类型，并化成标准形式．解：因为)0(02≠<-=∆y y ，所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。
……2分它的特征方程是 022=+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy ……5分即iy dxdy±=特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=-作变换：⎩⎨⎧==x yηξln ……7分求偏导数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-====)(112ξξξξηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式ξηηξξu u u =+ (10)分三. (10分)求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020解：x x x x a cos )(,)(,22===ψϕ利用达朗贝尔公式⎰+-+-++=atx atx d a at x at x t x u ξξψϕϕ)(21)]()([21),( ……5分 得)]2sin()2[sin(414cos 41])2()2[(21),(222222t x t x t x d t x t x t x u t x tx --+-+=+-++=⎰+-ξξt x t x 2sin cos 21422++= ……10分四. (15分)用分离变量法解定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<=====.0,0|,00,0,0002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u 解 先求满足方程和边界条件的解.设解为)()(),(t T x X t x u = (2)分代入方程得)()()()(2t T x X a t T x X ''=''除以)()(2t T x X a 有λ-=''='')()()()(2t T a t T x X x X 得到两个常微分方程0)()(=+''x X x X λ ……3分0)()(2=+''t T a t T λ ……4分由边界条件得0)()(,0)()0(='='t T l X t T X由0)(≠t T ，得0)(,0)0(='='l X X (5)分于是固有值问题为⎩⎨⎧='='=+''0)(,0)0(,0)()(l X X x x X λ解之得一系列固有值,2,1,0,)(2===n ln n πλλ 相应的固有函数为x ln x X n πcos)(= ……8分 再解方程 0)()()(2=+''t T la n t T π，通解为t lan D t l a n C t T n n n ππsin cos)(+= ……10分利用解的叠加原理，可得满足方程和边界条件的级数形式解∑∞=+=1cos )sin cos(),(n n n x ln t l a n D t l a n C t x u πππ ……12分由初始条件0|0==t t u ，得0=n D ， ……13分由得,0x u t == ∑∞==1cos n n x l n C x π其中⎰==l lxdx l C 0021⎰=--==l n n n n l dx l n x l C 02,2,1],1)1[()(2cos 1 ππ ……14分将n n D C ,代入),(t x u 得定解问题解∑∞=--+=122cos cos 1)1(22),(n n x l n t l a n n l l t x u πππ……15分五. (15分)解非齐次方程的混合问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=≥==><<+====πππx u t u u t x x u u t x x xx t 0.00,0,00,0,00 解 先确定固有函数)(x X n .令)()(),(t T x X t x u =代入相应的齐次方程和齐次边界条件得 固有值问题⎩⎨⎧===+''0)(,0)0(0)()(πλX X x X x X固有函数为 ,2,1,sin )(==n nx x X n ……5分设解为∑∞==1sin )(),(n n nx t T t x u （1） (7)分其中)(t T n 是待定函数.显然),(t x u 满足边界条件.为确定函数)(t T n ,先将方程中的非齐次项展为固有函数级数 ∑∞==1sin )(n n nxt f x （2） ……8分其中nnxdx x t f n n 2)1(sin 2)(10+-=⋅=⎰ππ (9)分再将（1）,(2)代入方程得∑∞=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+'1120sin 2)1()()(n n n n nx n t T n t T比较系数,有,2,1,2)1()()(12=-=+'+n nt T n t T n n n ……10分由初始条件得0sin )0(1=∑∞=n n nx T所以0)0(=n T ……11分解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=+''+,0)0(2)1()()(12nn n n T n t T n t T得)1(2)1()(231t n n n e n t T -+--=……14分将)(t T n 代入级数(1)，得定解问题的解.nx e n t x u n tn n sin )1()1(2),(1312∑∞=-+--= ……15分六. (15分)用积分变换法解无界杆热传导问题⎪⎩⎪⎨⎧=>+∞<<∞-==).(0,,02x u t x u a u t xx t ϕ 本题所用公式：ta x ta eta eF 22224121][---=πλ解 对x 作傅氏变换，记=),(~t uλ F )],([t x u=)(~λϕF )]([x ϕ ……2分对方程和初始条件关于x 取傅氏变换，有⎪⎩⎪⎨⎧=-==)(~~~~022λϕλt u u a dtu d ……7分解常微分方程的初值问题，得t a e t u22)(~),(~λλϕλ-= ……10分再对),(~t uλ进行傅氏逆变换得=),(t x u F])(~[221t a e λλϕ-- ……13分ta x eta x 22421)(-*=πϕ⎰∞+∞---=ξξϕπξd et ata x 224)()(21 ……15分七. (15分)用静电源像法求解上半平面0>y 的狄利克雷问题⎪⎩⎪⎨⎧=>=+=).(|0,00x f u y u u y yy xx解 先求格林函数，由电学知在上半平面0>y 的点),(000y x M 处置单位负电荷，在0M 关于x 轴的对称点),(001y x M -处置单位正电荷，则它与0M 产生的电势在x 轴上 互相抵消，因此上半平面0>y 的格林函数为)1ln 1(ln 21),(100MM MM r r M M G -=π[][]}{20202020)()(ln )()ln(41y y x x y y x x ++---+--=π……7分下面求==∂∂-=∂∂y y yG nG0)()()(2)()()(2412020020200=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+--+--=y y y x x y y y y x x y y π2200)(1y x x y +-⋅-=π ……10分 所以dx y x x x f y dl n Guy x u ⎰⎰+∞∞-Γ+-=∂∂-=220000)(1)(),(π……15分八. (10分)证明调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，则必是唯一的，而且连续地依赖于所给的边界条件f ．证明：假设有两个调和函数),,(1z y x u 和),,(2z y x u ，它们在有界区域Ω的边界Γ上完全相同，则它们的差21u u u -=在Ω中也满足方程0=∆u ，且0|=Γu 。
由极值原理的推论知，函数u 在区域Ω上最大值和最小值均为零，即0≡u 。
因此21u u ≡，即狄利克雷内问题的解是唯一的。
……5分其次，设在区域Ω的边界Γ上给定了函数f 和*f ，而且在Γ上处处成立ε≤-*f f ，这里ε是一个给定的正数。
设*u u ,分别是方程0=∆u 在区域Ω上以f 和*f 为边界条件的狄利克雷内问题的解，那么调和函数*Γ*-=-f f u u |)(。
由极值原理的推论可得，在Ω上各点有ε≤-=-*Γ*Γ⋃Ω)(max )(max f f u u ，ε-≥-=-*Γ*Γ⋃Ω)(min )(min f f u u .因此，在Ω上各点有ε≤-≤-*Γ*f f u u max ，即狄利克雷内问题的解连续地依赖于所给的边界条件。
……10分。