抛物线的简单几何性质教案

《抛物线的简单几何性质》教案

授课教师：省市第一中学 卜旭贞

《抛物线的简单几何性质》教案及教材分析

授课教师:省市第一中学 卜旭贞

教材:《全日制高级中学课本(必修)数学》第二册(上)

一. 教学理念

“数学教师不能充当数学知识的施舍者，没有人能教会学生,数学素质是学生在数学活动中自己获得的。”因此,教师的责任关键在于在教学过程中创设一个”数学活动”环境,让学生通过这个环境的相互作用,利用自身的知识和经验构建自己的理解,获得知识，从而培养自己的数学素质,培养自己的能力。

数学源于生活,高于生活,学习数学的最终目的是应用于生活(回归生活),通过平时教学,注意这方面的渗透,培养学生解决实际问题的能力。 二. 教材分析

1、本节教材的地位

本节通过类比椭圆、双曲线的几何性质,结合抛物线的标准方程讨论研究抛物线的几

何性质,让学生再一次体会用曲线的方程研究曲线性质的方法,学生不难掌握抛物线的围、对称性、顶点、离心率等性质,对于抛物线几何性质的应用是学生学习的难点，教学中应强调几何模型与数学问题的转换。例1的设计，在于让学生通过作图感知p 的大小对抛物线开口的影响，引出通径的定义。例2的设计旨在利用抛物线的几何性质数学地解决实际问题即作抛物线的草图。

本节是第一课时,在数学思想和方法上可与椭圆、双曲线的性质对比进行,着重指出它

们的联系和区别，从而培养学生分析、归纳、推理等能力。

2、教学目标 (1) 知识目标：

ⅰ 抛物线的几何性质、围、对称性、定点、离心率。. ⅱ 抛物线的通径及画法。 (2) 能力目标：.

)

0(22>=p px y

ⅰ使学生掌握抛物线的几何性质，根据给出条件求抛物线的标准方程。

ⅱ掌握抛物线的画法。

(3)情感目标：

ⅰ培养学生数形结合及方程的思想。

ⅱ训练学生分析问题、解决问题的能力，了解抛物线在实际问题中的初步应用。

3、学生情况

我授课的学生是省级重点中学的学生,大部分学生数学基础较好,但理解能力、运算能力、思维能力等方面参差不齐。

4、教学重点、难点

教学的重点是掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。

难点是抛物线各个知识点的灵活应用。

三、教学方法及手段

采用引导式、讲练结合法；多媒体课件辅助教学。

四、教学程序

教学过程

教学容教师导拨与

学生活动

设计意图

一、知识回顾

1、抛物线的定义：平面与一个点F和一条定直线L的距离相

等的点的轨迹叫做抛物线。点F→焦点，直线L→准线。

2、抛物线的标准方程。

图形标准方程焦点坐

标准线方

程

抛物线的定

义及标准方

程由学生口

述，老师展示

结论

提出这一

问题的研

究方法—

—对比、数

形结合

二、引入课题

)0

(

2

2>

=p

px

y)0,

2

(

p

2

p

x-

=

)0

(

2

2>

-

=p

px

y)0,

2

(

p

-

2

p

x=

)0

(

2

2>

=p

py

x)

2

,0(

p

2

p

y-

=

)0

(

2

2>

-

=p

py

x)

2

,0(

p

-

2

p

y=

唐朝王翰在《凉州词》中有“葡萄美酒夜光杯，欲饮琵琶马上催”的句子，诗中提到“夜光杯”。

问题1：如果测得酒杯口宽4cm ，杯深8cm ， 试求抛物线方程。

解：如图建立平面直角坐标系, 则可知A(-2,8),B(2,8) 所以设抛物线的方程为：

A 、

B 点在抛物线上，代入抛 物线方程，可得P=41 , 则所求的抛物线方程为：

y x 2

1

2=

问题2：研究酒杯轴截面所在曲线的几何性质。

提出问题由学生完成，引导学生由“数学模型”到“数学问题”的解决问题的方法。并思考抛物线的几何性质。

通过诗句中的“夜光杯”模型引发学生探究问题本质的热情，同时巩固抛物线方程的知识并提出本节课的标题，起着承上启下的自然过度。

三、讲授新课

我们根据抛物线的标准方程

)0(22 p px y =

来研究它的几何性质。

1、 围：0≥x

2、 对称性：关于x 轴对称

抛物线的对称轴叫做抛物线的轴

3、 顶点：（0，0）

抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的的顶点。

4、 离心率：e=1

抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示。

)

0(22>=p py x

标准 方程

)

0(22

p px y =

图形

围

0≥x 0≤x

0≥y 0≤y

对称 轴 关于x 轴对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于y 轴对称

焦点坐标

准线方程 顶点 （0，0） 离心率

ｅ＝１

补充说明：1、抛物线只位于半个平面坐标，虽然他可以无限延伸但他没有渐近线。

2、 抛物线只有一条对称轴，没有对称中心

3、 抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线

4、 抛物线的离心率是确定的且为1

问题：椭圆的圆扁程度、双曲线的口大小由e 的大小决定，那么抛物线的开口大小由什么决定？ 通过类比椭圆与双曲线的几何性质，从围、对称性、顶点、离心率方面研究抛物线

的几何性质，并由学生归纳总结出其他三种标准方程的几何性质。 从结论上去找出与椭圆和双曲线的几何性质的不同点 学生较易得出抛物线的围、对称性、顶点、离心率等方面的几何性质，掌握类比研究问题

的方法 培养学生具备“运动变化”和“动中求静”的辩证法的思维

和观点

四、例题讲解

下面我们来看一例题

例1、 在同一坐标系中画出下列抛物线的草图：

（1）x y 2

12

=

（2）x y =2

（3）x y 22

=

通过例1作图实践得出P 对抛物线开口的影响并引导学生找出2P 的几何意义。

引导学生用所学知识解决实践问题

)0(22

>=p px

y )

0(22>-=p px y )

0(22>=p py x )

0(22>-=p py x )0,2(p

F )0,2(p

F -

)

2,0(p

F )

2,0(p F -2p x -=2p x -=2

p x =

2p y -

=