习题课6-力矩与角动量
理解角动量与力矩
理解角动量与力矩在物理学中，角动量和力矩是两个重要的概念，它们在描述物体运动和旋转方面发挥着至关重要的作用。
本文将对角动量和力矩进行解释和探讨，并分析它们之间的关系。
一、角动量的概念与性质角动量是描述物体自旋状态的物理量，它的大小与物体的质量、旋转速度以及旋转轴的位置有关。
角动量的定义可以表示为L=Iω，其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
转动惯量与物体的形状和质量分布有关，在不同的旋转轴上转动，转动惯量也会发生变化。
角速度则是物体旋转的快慢程度。
角动量有一些重要的性质。
首先，角动量是矢量量，具有大小和方向。
方向垂直于旋转平面，并遵循右手定则。
其次，角动量守恒是一个重要的物理定律。
在没有外力或力矩作用的情况下，物体的角动量保持不变。
这一定律被广泛应用于天体力学、量子力学等领域的研究中。
二、力矩的概念与计算方法力矩是描述物体受力作用下旋转状态的物理量，它的大小与力的大小、力臂的长度以及力的作用方向有关。
计算力矩可以使用以下公式：τ = r × F，其中τ表示力矩，r表示力臂，F表示力。
力矩的单位是牛顿米（N·m）。
力矩也满足一些重要的性质。
首先，力矩也是矢量量，具有大小和方向。
其方向垂直于力臂和力的平面，并遵循右手定则。
其次，力矩的大小可以通过将力矢量与力臂矢量的叉乘来计算。
三、角动量与力矩的关系角动量与力矩之间存在着密切的关系。
力矩可以导致物体的角动量发生变化，进而影响物体的旋转状态。
根据牛顿力学定律，力矩等于物体的转动惯量乘以加速度矢量。
由于角速度与加速度之间存在关系，即ω=αt，其中α表示角加速度，t表示时间，因此可以将力矩表示为τ=Iα。
根据以上推导，可以得到角动量的变化率与力矩的关系，即dL/dt=τ。
这表明，力矩的作用可以改变物体的角动量，从而影响旋转运动的状态。
当力矩为零时，物体的角动量保持不变，符合角动量守恒定律。
四、实际应用与例子分析角动量和力矩的理论在物理学中有广泛的应用。
高二物理竞赛刚体的角动量和力矩课件
因子弹与圆柱体做完全非弹性碰撞，故损失的动能转换为 系统的热能。
解题思路：将子弹和圆筒看作一 个系统，此系统的合外力矩为0。 因此可运用角动量守恒，计算角 动量时以圆柱筒O为参考。
解：最初情况下，圆柱筒处于静止状态，所以系统对参考点 O的角动量实为子弹的角动量
子弹击中后，圆柱体 中的子弹一起以角速度
和嵌入其 运动，但是动能却不守恒
ω
刚体绕转轴 的转动惯量I
如果刚体绕通过质心的对称轴旋转， 那么 是 的唯一分量
分解为平行于转轴 及 垂直转轴分量
同相叠加
均能找到对称点 相互抵消
L Iω 转轴为通过质心
的对称轴
角动量和力矩的关系式
dL dt
其中 和 dL 分别针对惯性参考系的原点或系统的质心轴
矢量关系式，对任何方向均适用
沿转轴方向力矩和角动量的关系
因此合角动量方向如图所示， 指向右上方
和角速度 方向不一致
例：子弹击中圆柱筒边缘 一个以速度v运动的质量为m的子弹击中了一个质量为M半径为 的圆柱筒边缘，且子弹嵌入桶中，如图所示。圆柱筒原来静止， 被子弹击中后开始绕其对称轴（位置固定）旋转。假设无摩擦 力矩。碰撞后圆筒的角速度为多少？动能守恒吗？
解答：要解释这个奇怪的现象，只需用到
在 时间内，施加了一个指向x轴的合外 力矩（通过肘关节的轴）
F
r
所以 的变化量为
因 沿x轴，所以 同样沿x轴
因此新的角动量如图所示，车轮转向右侧
L Iω
若转轴不是通过质心的对称轴，此式就不成立
以下图为例：两个等质量的物体mA 和mB， 分别固定于一不计质量的刚体两端，转轴 和刚体呈角 。两物体的运动方向如图中 标识
刚体的角动量和力矩
物理竞赛角动量
第一节力矩和角动量【知识要点】一、力矩的定义1.对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1)式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成τ = Fd （5. 1-1a)d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将和垂直于轴的分量F⊥力F分解为平行于轴的分量F∥两部分，其中F1-1b)这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即Τ=r×F(5-1-2)r也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。
二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩1.作用于质点的力矩当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F NN 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3)2. 作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩(1)外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑⨯==i ii i i F r 外外ττ （）由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据式为∑∑⨯=⨯=⨯=i iC i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质.(2)内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为∑∑∑≠⨯=⨯=i i i r ij ji i i f f r 内τ由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑⨯+⨯=ji )( ij j ji i f r f r 内τ根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即0=⨯+⨯ij j ji i f r f r因而内力的总力矩为零 0)(ji =⨯+⨯=∑ ij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同.三、 冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.t t 0t t L ∆=∆+=∆+=∆=∆外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)此式对质点系适用.若对质点只需把外τ改为τ即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：∑∑∆=∆=∆t L L 外总τ （5. 1-8)总L ∆为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ••。
习题课6-力矩与角动量
例6.1
在半角为α的圆锥面内壁距顶角h的高
处，有一个小球以初速度v0沿内壁水平方向射
出。设锥面内壁光滑。
（1）为使小球在高h处的水平面上作匀速圆周 运动，v0＝？； （2）若v1=2v0，求小球在运动过程中的最大高 度和最小高度（最大高度处沿内壁向速度为0）。
v0
N mg
h
1
r2 2
G M e Re Me G r 2 2r
4 r 2 8 Re r 3 Re 0
(5) (6)
r1
3 2
Re , r2 1 2
1 2
Re ( 舍 去 )
最大高度
h r1 R e
Re
例6.3 一质量为Ma、半径为a的圆筒A，被另一 质量为Mb、半径为b的圆筒B同轴套在其外，均 可自由转动。在圆筒A的内表面上散布了薄薄 的一层质量为Mo的沙子，并在壁上开了许多小 孔。在t＝0时，圆筒A以角速度ω0 绕轴匀速 （不代表恒定角速度，即可变）转动，而圆 筒B静止。打开小孔，沙子向外飞出并附着于 B筒的内壁上。设单位时间内喷出的沙子质量 为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒的时间，求t 时刻两筒旋转的角速度。
(3)
代入(1)式得
v v0 = 2 vc =
2 L
(4) (5)
代入(2)式得
2 L
球、杆合系统机械能守恒，有
1 2
2 m v0
L 2 2 2 m v + m vc + m 2 2 1
2 2 2 vc
2
即
2 v0
v +
+
1 2
L2 2
(6)
力矩与角动量
力矩与角动量力矩和角动量是物理学中重要的概念，在许多领域中都有广泛的应用。
本文将从基本定义、计算公式、应用领域等方面对力矩和角动量进行论述。
一、力矩的定义与计算公式力矩是描述物体受力作用时转动效果的物理量，它是由作用在物体上的力产生的。
力矩的定义是力对物体作用的垂直距离和力的大小的乘积。
如果将物体迅速转动，则力矩的大小决定了物体转动的快慢。
力矩的计算公式是M = Fd，其中M表示力矩，F表示作用在物体上的力，d表示力作用点到转轴的垂直距离。
这个公式可以简单理解为力乘以力臂的乘积。
二、角动量的定义与计算公式角动量是描述物体旋转状态的物理量，它是由旋转物体的质量、转动轴和运动速度决定。
角动量的定义是物体质量与线速度的乘积与物体到转移轴的距离的乘积。
在物理学中，角动量是守恒的，当物体在没有外力作用和无摩擦的情况下，其角动量将保持不变。
角动量的计算公式是L = rp，其中L表示角动量，r表示物体到转动轴的距离，p表示物体的动量。
这个公式可以理解为物体离转动轴的距离乘以物体的动量。
三、力矩和角动量的应用领域1.力矩在机械方面的应用力矩在机械中有广泛的应用，特别是在杠杆、摇杆、螺旋等机构的设计中。
通过调整不同长度的杆臂或者改变力的大小，可以实现不同程度的力矩作用，从而达到理想的运动效果。
2.角动量在天体物理学中的应用角动量在天体物理学中有着重要的应用。
例如，行星绕太阳运动时的角动量守恒定律可以解释行星运动的稳定性和轨道形状。
3.角动量在核物理学中的应用角动量在核物理学中扮演着重要的角色，尤其是在原子核的结构和核反应等方面。
核物理学家利用角动量来解释原子核的稳定性、核衰变、核裂变等现象。
4.力矩和角动量在运动学中的应用力矩和角动量在运动学中有广泛的应用。
例如，力矩可以用来描述地球自转的影响、物体平衡的条件等。
而角动量则可以用来描述刚体转动、旋转力矩等现象。
总结：力矩和角动量是物理学中的重要概念，对于理解物体的旋转和转动效果有着重要的意义。
专题六：力矩和角动量
专题六：力矩和角动量例1．如图所示，一个质量均匀分布的直杆搁置在质量均匀的圆环上，杆与圆环相切，系统静止在水平地面上，杆与地面接触点为A ，与环面接触点为B 。
已知两个物体的质量线密度均为ρ，直杆与地面的夹角为θ，圆环半径为R ，所有接触点的摩擦力足够大。
求:（1）地给圆环的摩擦力；（2）求A 、B 两点静摩擦因数的取值范围。
例2．有一轻质木板AB 长为L ，A 端用铰链固定在竖直墙上，另一端用水平轻绳CB 拉住。
板上依次放着A 、B 、C 三个圆柱体，半径均为r ，重均为G ，木板与墙的夹角为θ，如图所示，不计一切摩擦，求BC 绳上的张力。
例3．有一质量为m =50kg 的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数μ=0.3，杆的上端由固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角θ=300，如图所示。
（1）若以水平力F 作用在杆上，作用点到地面的距离h 1=2L /5（L 为杆长），要使杆不滑倒，力F 最大不能超过多少？（2）若将作用点移到h 2=4L /5处时，情况又如何？例4．如图所示，矩形板N 上有两个光滑的圆柱，还有三个小孔A 、B 、C ，通 过小孔可以用销钉把此板固定在光滑的水平面M 上。
一柔性带按图示方式绕过 两圆柱后，两端被施以拉力T'=T =600 N ，且T'∥T ，相距40 cm ；已知AB = 30 cm ，AC =145 cm ，BC =150 cm 。
为了保持物块静止，(1)若将两个销钉分别插入A 、B 中，这两个孔将受受怎样的力？(2)将两个销钉插入哪两个孔才最省力？此时所插的销钉受力多大？例5. 如图所示，质量为 m 的小球 B 放在光滑的水平A B θ槽内，现以一长为l 的细绳连接另一质量为m 的小球A ，开始时细绳处于松弛状态, A 与B 相距为l /2。
球A 以初速度v 0在光滑的水平地面上向右运动。
当A 运动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B 球开始运动时速度v B 的大小。
大学物理角动量和力矩(一)2024
大学物理角动量和力矩（一）引言概述：大学物理中，角动量和力矩作为重要的概念之一，对于研究物体的运动和旋转有着重要的影响。
角动量是描述物体旋转运动状态的物理量，而力矩则是描述旋转物体所受到的力和力臂的乘积。
本文将从角动量和力矩的基本概念入手，通过各个角度的阐述和分析，深入探讨角动量和力矩的原理及其在物理中的应用。
正文：一、角动量的基本概念1. 角动量的定义和量纲2. 角动量的计算方法及其守恒定律3. 角动量和动量的关系4. 角动量的矢量性质及其坐标表示5. 角动量的多体系下的计算方法二、力矩的基本概念1. 力矩的定义和量纲2. 力矩与力的关系3. 力矩的计算方法及其守恒定律4. 力矩的矢量性质及其坐标表示5. 力矩的多体系下的计算方法三、角动量和力矩的物理意义1. 角动量的物理意义及其应用领域2. 力矩的物理意义及其应用领域3. 角动量和力矩在自然界中的实际案例4. 角动量和力矩在机械工程中的应用5. 角动量和力矩在天文学研究中的应用四、角动量和力矩的数学推导和分析1. 角动量守恒定律的动力学推导2. 力矩与角加速度的关系及其推导3. 角动量和力矩的相互作用机制分析4. 角动量和力矩的转动惯量及其数学解析5. 角动量和力矩的数学计算公式及其推导五、角动量和力矩的实验测量方法1. 实验测定角动量的装置和方法2. 实验测定力矩的装置和方法3. 角动量和力矩的实验数据处理和分析4. 角动量和力矩实验的误差分析和改进措施5. 角动量和力矩实验的应用案例和展望总结：通过对角动量和力矩的深入讨论，我们可以更好地理解物体的旋转运动以及受到的力和力臂的影响。
角动量和力矩的物理意义在不同的领域中得到广泛应用，并通过数学推导和实验测量方法得以验证和实践。
未来，随着科学技术的不断进步，角动量和力矩的研究将继续向更深层次发展，为人们认识世界的运动规律提供更多的突破点和启示。
高中物理中的力矩与角动量问题解析
高中物理中的力矩与角动量问题解析在高中物理学习过程中，力矩与角动量是两个重要的概念。
力矩是描述物体受力情况下的转动效应的物理量，而角动量则是描述物体旋转状态的物理量。
本文将对这两个概念进行解析，并探讨其在物理学中的应用。
一、力矩的概念与计算方法力矩是描述物体受力情况下的转动效应的物理量。
它是由力的大小、作用点到转轴的距离以及力与转轴的夹角共同决定的。
力矩的计算公式为M = F × r × sinθ，其中M表示力矩，F表示力的大小，r表示力的作用点到转轴的距离，θ表示力与转轴的夹角。
力矩的方向垂直于力的方向和力臂的平面，遵循右手定则。
当力矩的方向与物体的旋转方向一致时，力矩将促使物体继续旋转；当力矩的方向与物体的旋转方向相反时，力矩将阻碍物体的旋转。
力矩在物理学中有着广泛的应用。
例如，力矩可以解释为什么杠杆可以放大力的作用。
当我们用杠杆来举起一个重物时，通过改变力臂的长度，可以使得力矩增大，从而减小所需的力的大小。
此外，力矩还可以解释为什么一个物体在受到外力作用时会发生旋转。
二、角动量的概念与计算方法角动量是描述物体旋转状态的物理量。
它是由物体的质量、角速度以及物体质心到转轴的距离共同决定的。
角动量的计算公式为L = I × ω，其中L表示角动量，I表示物体的转动惯量，ω表示物体的角速度。
角动量的方向垂直于物体的旋转轴，遵循右手定则。
当角动量的方向与物体的旋转方向一致时，角动量将促使物体继续旋转；当角动量的方向与物体的旋转方向相反时，角动量将阻碍物体的旋转。
角动量在物理学中也有着广泛的应用。
例如，角动量可以解释为什么旋转物体在没有外力作用时仍然保持旋转状态。
这是因为旋转物体的角动量守恒，即旋转物体的角动量在没有外力作用时保持不变。
此外，角动量还可以解释为什么旋转物体在改变自身转动惯量时会发生角速度的变化。
三、力矩与角动量的关系力矩与角动量有着密切的关系。
当物体受到外力作用时，力矩将改变物体的角动量。
力矩与角动量的概念和计算方法
力矩与角动量的概念和计算方法在物理学中，力矩和角动量是两个非常重要的概念，它们在理解物体的旋转运动方面起着关键作用。
接下来，让我们逐步深入了解这两个概念以及它们的计算方法。
一、力矩力矩，简单来说，就是使物体绕着某个轴转动的力的效果。
想象一下，当我们试图转动一扇门时，我们施加在门把手上的力就是产生力矩的力。
力矩的大小等于力的大小与力臂的乘积。
力臂是从转动轴到力的作用线的垂直距离。
如果用 M 表示力矩，F 表示力，L 表示力臂，那么力矩的计算公式就是 M ＝ F × L 。
为了更清楚地理解力矩，我们来看一个例子。
假设我们有一个水平放置的杠杆，杠杆的一端施加一个垂直向下的力F ，杠杆的长度为L ，转动轴位于杠杆的中点。
那么力臂就是杠杆长度的一半，即 L ／ 2 ，此时的力矩 M ＝ F ×（ L ／ 2 ）。
力矩的方向也很重要。
根据右手定则，当右手的四指沿着力绕轴的转动方向弯曲时，大拇指所指的方向就是力矩的方向。
在实际生活中，力矩的概念有着广泛的应用。
比如螺丝刀的使用，我们通过施加在手柄上的力产生力矩，从而拧紧或松开螺丝。
汽车的方向盘也是利用力矩来控制车轮的转向。
二、角动量角动量是描述物体绕轴旋转状态的物理量。
它类似于描述物体直线运动状态的动量。
角动量的大小等于转动惯量与角速度的乘积。
转动惯量取决于物体的质量分布和旋转轴的位置。
角速度则是物体旋转的快慢程度。
如果用 L 表示角动量，I 表示转动惯量，ω 表示角速度，那么角动量的计算公式为 L ＝I × ω 。
转动惯量的计算相对复杂一些，对于一个质点，其转动惯量 I ＝ m × r²，其中 m 是质点的质量，r 是质点到转轴的距离。
对于一个连续分布的物体，需要通过积分来计算转动惯量。
角动量也有方向，其方向同样可以通过右手定则来确定。
右手弯曲的四指沿着物体的转动方向，大拇指所指的方向就是角动量的方向。
角动量在很多自然现象和工程应用中都起着重要作用。
力矩定理与角动量的计算
力矩定理与角动量的计算力矩定理和角动量是力学中非常重要的概念，它们在解释物体运动和力的作用时起着至关重要的作用。
本文将探讨力矩定理和角动量的计算方法，并探讨它们在实际生活中的应用。
力矩定理是描述物体受力矩作用时的平衡条件的定理。
力矩是由力在物体上施加的力臂引起的，力臂是力作用点到物体某一点的垂直距离。
力矩定理的数学表达式是：力矩 = 力 ×力臂。
根据力矩定理，当物体受到的力矩之和为零时，物体将保持平衡。
要计算力矩，我们需要知道作用力的大小和方向，以及力臂的长度。
例如，考虑一个杆子，上面有一个质量为5千克的物体。
如果有一个力以20牛的大小施加在杆子上，使得物体保持平衡，我们可以计算出力矩。
假设力臂的长度为1米，那么力矩 = 20牛 × 1米 = 20牛米。
这意味着物体受到的力矩为20牛米，因此保持平衡。
角动量是描述物体旋转运动的物理量。
它是由物体的质量、速度和旋转半径决定的。
角动量的数学表达式是：角动量 = 质量 ×速度 ×旋转半径。
当物体受到外力或扭矩的作用时，角动量会发生变化。
根据角动量守恒定律，当物体在没有外力作用下旋转时，角动量守恒。
要计算角动量，我们需要知道物体的质量、速度和旋转半径。
例如，考虑一个半径为2米的转盘，上面有一个质量为10千克的物体。
如果物体以5米/秒的速度沿着转盘旋转，我们可以计算出角动量。
角动量 = 10千克 × 5米/秒 × 2米 = 100千克米/秒。
这意味着物体的角动量为100千克米/秒。
力矩定理和角动量的计算方法在实际生活中有广泛的应用。
在机械工程中，我们可以使用力矩定理来计算机械装置的平衡条件。
例如，在设计一个平衡杆时，我们可以使用力矩定理来确定所需的力矩，以保持杆的平衡。
在物理学中，我们可以使用角动量来解释天体运动。
例如，地球绕太阳旋转时，地球的角动量守恒，这解释了地球保持在轨道上的原因。
此外，力矩定理和角动量的计算方法还可以应用于运动力学和动力学的研究中。
力矩和角动量关系
力矩和角动量关系嘿，朋友们！今天咱来唠唠力矩和角动量的关系。
咱先来说说力矩吧，你就把它想象成是一个能让物体转动起来的“小魔力”。
就好比你推一扇门，离门轴越远，你使的劲好像就越容易让门转起来，这就是力矩在起作用呢。
那角动量又是啥呢？这可有点像物体转动的一种“惯性”。
比如说一个旋转的陀螺，它一旦转起来了，就会按照那个状态一直转呀转，要想改变它可不容易，这就是角动量在“捣鬼”。
那力矩和角动量之间的关系，就像是一对好搭档。
力矩呢，就像是个推动者，能改变角动量。
你想啊，如果没有力矩，那角动量不就一直那样不变啦？但有了力矩，就好像给角动量这个“小顽固”来了点刺激，能让它发生变化。
咱举个例子吧，就像骑自行车。
你脚蹬子用力，这就是在施加力矩，然后车子的轮子就开始转啦，这转动不就是角动量嘛。
你要是一直用力蹬，那轮子就转得越来越快，角动量也就跟着变大啦。
再想想，为啥我们骑自行车拐弯的时候要倾斜身子呢？这也是力矩和角动量在“搞鬼”呀！倾斜身子会产生一个力矩，让车子能顺利拐弯，不然不就直直地冲出去啦？生活中这样的例子可不少呢！你看那花样滑冰的运动员，他们在冰上旋转的时候，张开手臂和收紧手臂，那旋转的速度就不一样，这就是通过改变力矩来影响角动量呀！还有啊，大家都玩过的陀螺，你要是给它一个力矩，它的角动量就会变化，转得可欢啦！所以说呀，力矩和角动量这俩家伙，虽然看不见摸不着，但在我们的生活中可到处都是它们的身影呢！它们就像一对隐藏在幕后的小魔法师，默默地影响着我们周围的一切转动现象。
总之，力矩和角动量的关系可太重要啦！它们让我们的世界变得更加丰富多彩，让各种物体能转起来、动起来。
咱可得好好认识认识它们，这样才能更好地理解我们身边的这些奇妙现象呀！不是吗？。
力矩与角动量的概念和计算方法
力矩与角动量的概念和计算方法力矩和角动量是物理学中重要的概念，它们在描述物体运动和力学性质方面起着重要的作用。
本文将介绍力矩和角动量的概念以及它们的计算方法，并探讨它们在实际应用中的意义。
一、力矩的概念和计算方法力矩是物体受到的力对于某一点或轴的转动效果的度量。
在物理学中，力矩的计算方法为力矩=力的大小 ×力臂的长度。
力臂是力作用点到旋转轴的垂直距离。
当力矩为正时，物体将以顺时针方向转动；当力矩为负时，物体将以逆时针方向转动。
力矩的计算方法可以通过以下实例来说明。
假设有一个长杆，杆的一端固定在支点上，另一端挂着一个质量为10kg的物体。
如果我们用一个力F=50N施加在离支点2m的位置上，力矩可以通过力矩=力的大小 ×力臂的长度来计算。
在这个例子中，力矩=50N × 2m = 100Nm。
这意味着物体将以顺时针方向转动。
力矩在实际生活中有着广泛的应用。
例如，当我们开关门把手时，我们施加的力产生一个力矩，使得门绕着铰链旋转。
另一个例子是当我们使用螺丝刀拧紧螺丝时，我们施加的力产生一个力矩，使得螺丝旋转。
二、角动量的概念和计算方法角动量是描述物体旋转状态的物理量。
它是由物体的质量、旋转轴和旋转速度共同决定的。
角动量的计算方法为角动量=质量 ×速度 ×旋转半径。
其中，质量是物体的质量，速度是物体的旋转速度，旋转半径是物体绕旋转轴旋转的半径。
角动量的计算方法可以通过以下实例来说明。
假设有一个质量为2kg的物体以角速度为5rad/s绕着一个半径为3m的旋转轴旋转。
角动量可以通过角动量=质量×速度 ×旋转半径来计算。
在这个例子中，角动量=2kg × 5rad/s × 3m = 30kg·m²/s。
角动量在物理学中有着重要的应用。
例如，在天文学中，角动量解释了行星和恒星的旋转运动。
此外，在机械工程中，角动量也被用于设计和分析旋转机械系统，如发动机和涡轮机。
力矩和角动量
05 力矩和角动量的关系
力矩和角动量的相互转化
力矩可以改变角动量的大小和方向
力矩和角动量之间存在相互转化的 关系
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角动量也可以通过力矩产生旋转运 动
角动量守恒定律是力矩和角动量相 互转化的重要基础
力矩和角动量在转动过程中的变化
力矩改变角动量的方向
角动量守恒定律：在没有外 力矩作用的情况下，系统的
角动量保持不变
力矩改变角动量的大小
角动量定理：力矩对时间的 积分等于角动量的变化率
力矩和角动量在碰撞过程中的变化
力矩和角动量在碰撞前后的变化规律 力矩和角动量在碰撞过程中的相互作用 力矩和角动量在碰撞过程中的守恒定律 力矩和角动量在碰撞过程中的影响因素
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力矩的单位是牛顿·米（N·m）
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力矩等于力和力臂的乘积，计算公 式为 M=FL
力矩是矢量，具有方向性
力矩的单位和符号
力矩的单位是牛顿米（N·m）
力矩的符号是M
力矩的矢量性
力矩是矢量，具有大小和方向 力矩的大小等于力和力臂的乘积 力矩的方向垂直于力和力臂所在的直线 力矩的矢量性在物理中有重要应用，如动量守恒定律和角动量守恒定律
角动量守恒的应用
天体运动：行星、卫星和彗星等天体的运动遵循角动量守恒，保持旋转轴的方向不变。
陀螺仪：利用角动量守恒原理制成的陀螺仪，可以用来导航、控制和稳定物体姿态。
分子动理论：分子在不停地做无规则热运动，其动量（包括角动量）在不停地变化， 符合动量守恒定律。 机械系统：在某些机械系统中，例如钟表和自行车，角动量守恒定律可以用来分析和 优化系统的性能。
力矩和角动量的积分计算题目及解析
力矩和角动量的积分计算题目及解析
摘要：
I.引言
A.力矩和角动量的概念
B.力矩和角动量积分的应用
II.力矩和角动量的积分计算方法
A.力矩的定义和计算公式
B.角动量的定义和计算公式
C.力矩和角动量积分的计算方法
III.力矩和角动量积分计算题目解析
A.计算题目的类型
B.解题的步骤和方法
C.需要注意的计算细节
IV.结论
A.力矩和角动量积分计算的重要性
B.计算中的常见问题和解决方法
C.展望未来的研究方向
正文：
力矩和角动量是物理学中非常重要的概念，它们在许多物理问题的研究中都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要对力矩和角动量进行积分计算，以便更好地理解和分析物理现象。
因此，掌握力矩和角动量积分的计算方
法是非常必要的。
首先，我们需要了解力矩和角动量的定义和计算公式。
力矩是一个向量，它的方向垂直于力的作用线，大小等于力的大小与力臂的乘积。
角动量是一个矢量，它的方向沿着物体绕某个轴旋转的方向，大小等于物体的质量、速度和旋转半径的乘积。
在此基础上，我们可以推导出力矩和角动量的计算公式，并利用这些公式进行积分计算。
在实际计算中，我们需要注意一些细节问题。
例如，在进行积分计算时，我们需要根据题目的要求选择合适的积分方法。
此外，我们还需要注意公式的适用范围，避免在计算过程中出现错误。
总之，力矩和角动量积分计算在物理学中有着广泛的应用，掌握其计算方法对于解决物理问题具有重要意义。
在实际计算中，我们需要注意细节问题，选择合适的计算方法，并灵活运用公式。
大学物理力矩与角动量
z
z
M
Fz
F
Fx
ˆF ˆ ˆ F Fx i j F k y z ˆM ˆ ˆ M M xi j M k y z
o
r
P
Fy
x
y
y
x
ˆ yj ˆ zk ˆ ) (F i ˆF ˆ ˆ) ( xi j F k x y z ˆ xF ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ xFy k z j yFx k yFz i zFx j zF y i ˆ ( zF xF ) ˆ ˆ ( yFz zFy )i x z j ( xF y yFx )k
5
一、力矩（moment of force）
6
力对参考点的力矩 定义：作用于质点 P 的力 F 对参考点 O 的力矩等于力的作用 点位矢与力的叉积，即：
M r F
大小
M | M | rF sin Fd F r
M
F
F
O
方向
r、F、M 成右手螺旋关系。
d
r
P
M内 ri f ij 0
i 1, i j n
f ij
mi
ri
ri j
mj
o
rj
f ji
即：质点组内力矩的矢量和恒为零，只需考虑外力矩。
23
对质点系的所有质点应用角动量定理并取和
M 外 ri Fi 外 dLi d dL ( Li ) dt dt dt
质点对参考点的角动量的增量等于作 用于质点的力对同一参考点的角冲量 (angular impulse)。
L2 L1 Mdt
16
角动量与力矩
碰撞就是两个或两个以上的物体在相遇的极短促时间内产生非常之大的相互作用力，而其他的相互作用力相对来说显得微不足道的过程。
关于碰撞的实例和特征请看一段录相。
从录相中我们可知：碰撞的最主要特点是：碰撞时间极短，作用力变化快和作用力峰值大等，因而其他外力可以忽略不计。
如碰撞是对心碰撞，则系统满足动量守恒，即(1)当两球相碰时相互作用的内力仅是弹性力，且在碰撞过程中，两球之间弹性势能与动能在相互转换着。
碰撞除满足动量守恒定律外，碰撞开始和末了动能之和相等，这种碰撞称为弹性碰撞。
弹性碰撞过程一般可分为两个阶段，即压缩阶段和恢复阶段。
弹性碰撞两物体的动能之和完全没有损失可表示为(2)由(1)和(2)得请看一个弹性碰撞示例的动画。
1．恢复系数e牛顿总结实验结果，提出碰撞定律：碰撞后两球的分离速率与碰撞前两球的接近速率成正比，比值e由两球的材料决定，即(3)e称为恢复系数。
利用恢复系数e可以对碰撞进行分类。
２. 非弹性碰撞这种碰撞被压缩的物体不能恢复原状而有一部分残留的形变，碰撞前后的系统的动能不相等，则称为非弹性碰撞。
非弹性碰撞中0<e<1，分离速率小于接近速率，弹性碰撞中e＝1，分离速率等于接近速率。
如e＝0，,则属于完全非弹性碰撞。
由（1）和（3）式可解出完全非弹性碰撞中(4) 完全非弹性碰撞中的机械能损失为而对于一般的非弹性碰撞这样的表示也可用于力对点的力矩定义上。
如图所示，力F 对O 点的力矩M 为方向也用右手螺旋法则判定。
由图示，因F ，对O 点的力矩分别为则力偶的合力矩（力偶矩）为力矩是描述外力改变刚体转动状态物理量。
注意：质点的角动量L 不仅取决于它的运动状态，还与它相对于参考点的位矢r 有关．对不同的参考点而言，同一质点的位矢r 不同，其角动量亦不同．因此，在说到角动量时，必须指明是对哪个参考点而言的．注意：,与m v 共线， 所以，1． 力对轴的力矩图1是刚体的一个横截平面，z 轴为刚体的转轴，它与横截面的交点为O 。
力矩和角动量的关系
《力矩和角动量的关系》
小朋友们，今天咱们来了解一个有点难但很有趣的东西，叫力矩和角动量的关系。
比如说，咱们把一个陀螺转起来，陀螺转得快还是慢，转的方向是怎么样的，这里面就有力矩和角动量的作用呢。
就好像我们骑自行车，我们用力蹬脚踏板，这就产生了力矩，然后自行车的轮子就会转起来，有了角动量。
想象一下，一个大风车，风一吹，它就呼呼地转起来。
风给大风车的力量就像力矩，大风车转起来的样子就和角动量有关。
小朋友们，是不是有点神奇呀？
《力矩和角动量的关系》
小朋友们，咱们接着讲讲力矩和角动量的关系。
比如说，有一个小朋友在玩荡秋千。
他自己用力一推，秋千就荡起来啦。
他推秋千的这个力，就产生了力矩，然后秋千就有了来回摆动的角动量。
再想想，一个旋转木马，要让它转起来，就得给它一个力量，这就是力矩，然后旋转木马就欢快地转呀转，这就是角动量在起作用。
小朋友们，你们能想象到这些好玩的场景吗？
《力矩和角动量的关系》
小朋友们，今天咱们再来说说力矩和角动量的关系。
比如说，我们玩的那种可以转的小风车。
用手轻轻一拨，它就开始转了。
我们用手拨动的这个动作，就产生了力矩，小风车转起来的样子就是角动量的表现。
还有，公园里的摩天轮，要让它动起来，就得有很大的力量，这就是力矩，然后摩天轮一圈一圈地转，这就是角动量。
小朋友们，虽然力矩和角动量有点难理解，但是多想想这些好玩的例子，是不是就觉得没那么难啦？。
力矩与角动量的关系
在物理学里，作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向，[1］称为力矩（tｏrque）。
转动力矩又称为转矩。
力矩能够使物体改变其旋转运动。
推挤或拖拉涉及到作用力,而扭转则涉及到力矩。
根据国际单位制，力矩的单位是牛顿米。
本物理量非能量，因此不能以焦耳(J)作单位;力矩的表示符号是希腊字母，或。
力矩与三个物理量有关:施加的作用力、从转轴到施力点的位移矢量、两个矢量之间的夹角。
力矩以矢量方程表示为。
力矩的大小为。
力矩的概念，起源于阿基米德对杠杆的研究。
力矩的定义：力矩等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。
假设作用力施加于位置为的粒子。
选择原点为参考点，力矩以方程定义为。
力矩大小为;其中，是两个矢量与之间的夹角。
力矩大小也可以表示为；其中,是作用力对于的垂直分量。
任何与粒子的位置矢量平行的作用力不会产生力矩。
从叉积的性质，可以推论,力矩垂直于位置矢量和作用力。
力矩的方向与旋转轴平行，由右手定则决定。
使1牛顿米的力矩，作用1 全转，需要恰巧焦耳的能量：。
其中,是能量,是移动的角度,单位是弧度。
力矩有大小方向是矢量,与动量等道理一样，只是一个力学名称。
角动量在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量，在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉积，通常写做。
角动量是矢量。
其中，表示质点到原点的位移，表示角动量。
表示动量。
而又可写为：其中表示杆状系统的转动惯量,ω是角速度矢量。
在不受非零合外力矩作用时,角动量是守恒的。
需要注意的是,由于成立的条件不同,角动量是否守恒与动量是否守恒没有直接的联系。
角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。
若物体（或系统)所受外力矩和为零,则物体(系统）的角动量守恒.例如静电力或万有引力均是径向力. 因此不会产生力矩. 行星运动的相互作用力源自于万有引力.故行星运动满足角动量守恒. 所对应的就是开普勒行星运动定律中的第二定律．需要特别说明的是：动量,也就是说动量的方向和速度的方向一致.角动量守恒定律是指系统所受合外力矩为零时系统的角动量保持不变。
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(5) (6)
最大高度
3 1 r Re , r2 Re (舍去) 1 2 2 1 hr Re 1 Re 2
例6.3 一质量为Ma、半径为a的圆筒A，被另一 质量为 Mb 、半径为 b 的圆筒 B 同轴套在其外， 均可自由转动。在圆筒A的内表面上散步了薄 薄的一层质量为 Mo 的沙子，并在壁上开了许 多小孔。在t＝0时，圆筒 A以角速度 ω0绕轴匀 速转动，而圆筒B静止。打开小孔，沙子向外 飞出并附着于B筒的内壁上。设单位时间内喷 出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒 的时间，求t时刻两筒旋转的角速度。
& 令 r = 0 ，得
13 9 3 2 2r ar a 0 (9) 2 2
3
即
3 (r a)(r 3a)(2r a) 0 (10) 2 3 r a, r 3a, r a 4
由此得
最后一解不合解，舍去 。
例 6.7 一根长为 L 的轻质刚性杆，其两端连着 两个质量为m的质点，将此杆放在光滑的桌面 上，用一个质量为m，速度为v0的质点与杆的
Re mv0 sin 60 mr 2
(3)
GM e Re 2r 2
2
GM e Re r
2
或
(4)
代入(2)式 经整理得到 解得
G
Me 1 r2 2 Re 2
GM e Re Me G 2 r 2r
4r 2 8Re r 3Re 0
v0 GM e / Re
忽略空气阻力和地球自转的影响，求该物体
能上升的最大高度。
60o
vo
ro θo
【解】 抛体在运动过程中所受力不能视为恒力。系
统机械能守恒。取抛体在无穷远处的势能为零，则有
1 2 Mem 1 Mem 2 2 2 r G E0 mv0 G E m r 2 Re 2 r
(1)
在最高点
0 r
，即有 (1)’
1 2 M e m 1 2 2 Mem mv0 G mr G 2 Re 2 r
代入 v0 GM e / Re ，得到
Me 1 2 2 Me G r G 2Re 2 rFra bibliotek(2)
抛体在在有心力场中运动，对地球中心角动量守
恒，即
1 可得 2
a
b
例6.4 两个质量均为m的质点，用一根长为2L
的轻杆相连。两质点以角速度ω绕轴转动，轴
线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。试求以O为 参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。
y
ω
L
v1
O L v2
J
x
例 6.5
小滑块 A 位于光滑的水平桌面上，小
滑块B位于桌面上的小槽中，两滑块的质量均
代入（7）式，得
2 1 h 2 r gr c ( 7) 2 2r 1 h2 0, r a, r c ga 2 2r
2 2 1 h 1 h 2 r gr ga 2 2 2a 2r 1 2 2 2 2 2 3 3 2 ( h r h a 2 ga r 2 ga r ) 2 2 2a r ga 2 13 9 3 2 3 ar a 2 r (8) 2 2 2 2 2a r
由（1）及（3），得
又由题所给条件，知
2 g 2 r r (4)
9 h r (r ) a ga 2
1 2
故
h
２
9 ３ a ga (5) 2
利用（2），将（4）式中的
２ h 2 r 3 g (6) r
消去，得到
（3）
沿圆锥轴线得角动量分量守恒
htg mv1 (h x)tg mv2
上两式联立可得
2h gh v2 h x
（4）
（5）
由（4）、（5）式得到 x3 − 3h2x=0
得：x1＝0，
x 2， ＝ 3
3h
舍去不合理的负值。
x＝ 3h
例6.2 从地球表面沿着与竖直方向成α角的方
向发射一物体，其初速度为
一端相碰。已知 v0 的方向与杆的夹角为 45o ，
并设为弹性碰撞。碰后，质点沿原直线返回。 求碰后杆的运动。
设碰撞时间为Δt，碰撞时平均作用力为F，碰
后小球返回的速度为V，杆作平面平行运动，其 质心C点的速度为Vc，杆的角速度为ω。 对小球，由动量定理，有
F t mv m(v0 ) m(v v0 ) (1)
N sin mg
2 2 v0 v0 N cos m m htg r gh （）（）得 1 2 tg＝ 2 tg v0
（1） （2） v 0＝ gh
(2) 当初速度v1＝2v0时，平衡不成立。小球作螺旋运
动。 机械能守恒，设上升得最大高度x，其速度为v2则
1 2 1 2 mv2 mg (h x) mv1 mgh 2 2
m
对杆系统，有
F t 2mvc (2)
c v0
L
45o
m
m
对于杆系统，相对质心C，由角动量定理，有
2 L L F t sin 45 2m 2 2
即有
F t
2mL
(3)
代入(1)式得
v v0 = 2L 2vc = 2L
(4) (5)
代入(2)式得
小球失去的动能为△Ek
Ek Ek Ek 0 1 1 48 1 48 2 2 2 mv0 mv ( mv0 ) Ek 0 2 2 49 2 49
习题（6）
P152 3-13, 3-16, 3-19, 3-27, 3-28, 3-32
球、杆合系统机械能守恒，有
2 1 1 L 2 2 2 mv0 mv 2 + mvc +m 2 2 2
即
2 v0
v +
2
2 1 2vc +
2
L2 2
(6)
联立解得
4 2 ＝ v0 7L
(7)
4 v0 代入(5)式，得 vc = 7
而
(8) (9)
1 v 2vc v0 = v0 7
习题课6－力矩与角动量
例6.1 在半角为α的圆锥面内壁距顶角h的高处， 有一个小球以初速度v0沿内壁水平方向射出。
设锥面内壁光滑。
（1）为使小球在高h处的水平面上作匀速圆周 运动，v0＝？； （2）若v1=2v0，求小球在运动过程中的最大 高度和最小高度。
v0
N mg
h
α
α
x
v1
h
α
【解】 （1）小球受力：重力mg，约束反力N。小球的运 动方程
骣 9 ÷ ç ga ÷ ç ç 桫 2 ÷
1 2
射出，求质点
A在以后的运动中离O点的最大和最小距离。
【解】采用极坐标系，则质点A 、B 的运动微分方程 分别为
2 ) T mh m( r r (1) mr 2 (2) T mg mr (3)
为 m ，并用长为 L 、不可伸长、无弹性的轻绳
相连。开始时，A、B之间的距离为L/2， A、
B 间的连线与小槽垂直。突然给滑块 A 一个冲
击，使其获得平行与槽的速度 v0，求滑块B开
始运动时的速度
vA vB v’ A
L
B L/2
例6.6
质量为m的质点A在光滑的水平桌面上
运动。该质点上系有一轻绳，绳穿过桌面上 小孔开有一小孔O，另一端挂着一相同质量的 物体 B 。若质点 A 在桌面上离 O 点为 a 之处，沿 垂直于OA的方向以速度