习题课6-力矩与角动量

(5) (6)
最大高度
3 1 r Re , r2 Re (舍去) 1 2 2 1 hr Re 1 Re 2
例6.3 一质量为Ma、半径为a的圆筒A，被另一 质量为 Mb 、半径为 b 的圆筒 B 同轴套在其外， 均可自由转动。在圆筒A的内表面上散步了薄 薄的一层质量为 Mo 的沙子，并在壁上开了许 多小孔。在t＝0时，圆筒 A以角速度 ω0绕轴匀 速转动，而圆筒B静止。打开小孔，沙子向外 飞出并附着于B筒的内壁上。设单位时间内喷 出的沙子质量为k，若忽略沙子从A筒飞到B筒 的时间，求t时刻两筒旋转的角速度。
m
对杆系统，有
F t 2mvc (2)
c v0
L
45o
m
m
对于杆系统，相对质心C，由角动量定理，有
2 L L F t sin 45 2m 2 2
即有
F t
2mL
(3)
代入(1)式得
v v0 = 2L 2vc = 2L
(4) (5)
代入(2)式得
v0 GM e / Re
忽略空气阻力和地球自转的影响，求该物体
能上升的最大高度。
60o
vo
ro θo
【解】 抛体在运动过程中所受力不能视为恒力。系
统机械能守恒。取抛体在无穷远处的势能为零，则有
1 2 Mem 1 Mem 2 2 2 r G E0 mv0 G E m r 2 Re 2 r
(1)
在最高点
0 r
，即有 (1)’
1 2 M e m 1 2 2 Mem mv0 G mr G 2 Re 2 r
代入 v0 GM e / Re ，得到
Me 1 2 2 Me G r G 2Re 2 r
(2)
抛体在在有心力场中运动，对地球中心角动量守
恒，即
1 可得 2
& 令 r = 0 ，得
13 9 3 2 2r ar a 0 (9) 2 2
3
即
3 (r a)(r 3a)(2r a) 0 (10) 2 3 r a, r 3a, r a 4
由此得
最后一解不合解，舍去 。
例 6.7 一根长为 L 的轻质刚性杆，其两端连着 两个质量为m的质点，将此杆放在光滑的桌面 上，用一个质量为m，速度为v0的质点与杆的
球、杆合系统机械能守恒，有
2 1 1 L 2 2 2 mv0 mv 2 + mvc +m 2 2 2
即
2 v0
v +
2
2 1 2vc +
2
L2 2
(6)
联立解得
4 2 ＝ v0 7L
(7)
4 v0 代入(5)式，得 vc = 7
而
(8) (9)
1 v 2vc v0 = v0 7
习题课6－力矩与角动量
例6.1 在半角为α的圆锥面内壁距顶角h的高处， 有一个小球以初速度v0沿内壁水平方向射出。
设锥面内壁光滑。
（1）为使小球在高h处的水平面上作匀速圆周 运动，v0＝？； （2）若v1=2v0，求小球在运动过程中的最大 高度和最小高度。
v0
N mg
h
α
α
x
v1
h
α
【解】 （1）小球受力：重力mg，约束反力N。小球的运 动方程
由（1）及（3），得
又由题所给条件，知
2 g 2 r r (4)
9 h r (r ) a ga 2
1 2
故
h
２
9 ３ a ga (5) 2
利用（2），将（4）式中的
２ h 2 r 3 g (6) r

消去，得到
一端相碰。已知 v0 的方向与杆的夹角为 45o ，
并设为弹性碰撞。碰后，质点沿原直线返回。 求碰后杆的运动。
设碰撞时间为Δt，碰撞时平均作用力为F，碰
后小球返回的速度为V，杆作平面平行运动，其 质心C点的速度为Vc，杆的角速度为ω。 对小球，由动量定理，有
F t mv m(v0 ) m(v v0 ) (1)
为 m ，并用长为 L 、不可伸长、无弹性的轻绳
相连。开始时，A、B之间的距离为L/2， A、
B 间的连线与小槽垂直。突然给滑块 A 一个冲
击，使其获得平行与槽的速度 v0，求滑块B开
始运动时的速度
vA vB v’ A
L
B L/2
例6.6
质量为m的质点A在光滑的水平桌面上
运动。该质点上系有一轻绳，绳穿过桌面上 小孔开有一小孔O，另一端挂着一相同质量的 物体 B 。若质点 A 在桌面上离 O 点为 a 之处，沿 垂直于OA的方向以速度
骣 9 ÷ ç ga ÷ ç ç 桫 2 ÷
1 2
射出，求质点
A在以后的运动中离O点的最大和最小距离。
【解】采用极坐标系，则质点A 、B 的运动微分方程 分别为
2 ) T mh m( r r (1) mr 2 (2) T mg mr (3)
Re mv0 sin 60 mr 2
(3)
Байду номын сангаасGM e Re 2r 2
2
GM e Re r
2
或
(4)
代入(2)式 经整理得到 解得
G
Me 1 r2 2 Re 2
GM e Re Me G 2 r 2r
4r 2 8Re r 3Re 0
N sin mg
2 2 v0 v0 N cos m m htg r gh （）（）得 1 2 tg＝ 2 tg v0
（1） （2） v 0＝ gh
(2) 当初速度v1＝2v0时，平衡不成立。小球作螺旋运
动。 机械能守恒，设上升得最大高度x，其速度为v2则
1 2 1 2 mv2 mg (h x) mv1 mgh 2 2
代入（7）式，得
2 1 h 2 r gr c ( 7) 2 2r 1 h2 0, r a, r c ga 2 2r
2 2 1 h 1 h 2 r gr ga 2 2 2a 2r 1 2 2 2 2 2 3 3 2 ( h r h a 2 ga r 2 ga r ) 2 2 2a r ga 2 13 9 3 2 3 ar a 2 r (8) 2 2 2 2 2a r
小球失去的动能为△Ek
Ek Ek Ek 0 1 1 48 1 48 2 2 2 mv0 mv ( mv0 ) Ek 0 2 2 49 2 49
习题（6）
P152 3-13, 3-16, 3-19, 3-27, 3-28, 3-32
a
b
例6.4 两个质量均为m的质点，用一根长为2L
的轻杆相连。两质点以角速度ω绕轴转动，轴
线通过杆的中点O与杆的夹角为θ。试求以O为 参考点的质点组的角动量和所受的外力矩。
y
ω
L
v1
O L v2
J
x
例 6.5
小滑块 A 位于光滑的水平桌面上，小
滑块B位于桌面上的小槽中，两滑块的质量均
（3）
沿圆锥轴线得角动量分量守恒
htg mv1 (h x)tg mv2
上两式联立可得
2h gh v2 h x
（4）
（5）
由（4）、（5）式得到 x3 − 3h2x=0
得：x1＝0，
x 2， ＝ 3
3h
舍去不合理的负值。
x＝ 3h
例6.2 从地球表面沿着与竖直方向成α角的方
向发射一物体，其初速度为