BS期权定价模型课件详解精讲

S ~ ( t , t ) S
(6.7)
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
例6.1
设一种不付红利股票遵循几何布朗运动， 其波动率为每年18%，预期收益率以连 续复利计为每年20%，其目前的市价为 100元，求一周后该股票价格变化值的概 率分布。
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若 把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的 函数，我们可以从公式（ 6.4 ）得到伊藤过程 （Ito Process）： dx a( x, t )dt b( x, t )dz (6.5）
漂移非常数，正态规律项非常数，都是与时间和其目前位置有关，更加复杂的随机过程
G G 1 2G 2 2 G dG ( S S )dt Sdz 2 (6.10) S t 2 S S
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六、证券价格自然对数变化过程
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（二）风险中性定价原理
B-s微分方程中不包含股票收益率，说明衍生工具自身 的市场价值并不随人们主观的风险偏好有关，因此可 在任何风险偏好下求解该方程，但只有风险中性条件 下才会有任何证券的期望收益率与无风险利率一致， 不过多也不过低奢求，其他偏好过多或者过保守。 尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯 微分方程而作出的人为假定，但通过这种假定所获得 的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投 资者风险的所有情况。
dS Sdt Sdz
两边同除以S得： dS dt dz S
表示未来时间间隔后的证券价格增量变化是符合 漂移和方差率只和目前价格有关系（线性关系） 的伊藤随机过程（即普通布朗运动的升级版）。
（6.6）
表示未来价格变化率符合普通布朗运动，（描述运动偏离标注布朗运动的漂移 率和方差率项已变为常数而非与时间和目前值有关系的函数）
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在t 时间后：
这里体现了期权定价思想就是通过能消除随机过程的对冲组合去取得 确定的报酬，且这个报酬至少与无风险利率收益是一样好的，即无套 利。通过这样的思想得出期权定价。根据有效市场理论，无风险组合 只能获得无风险利率。
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五、伊藤引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函 数G将遵循如下过程： G G 1 2G 2 G dG ( a b )dt bdz （6.8） 2 x t 2 x x 由于 dS Sdt Sdz （6.9） 根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循 如下过程：
为了消除z ，我们可以构建一个包括一单位 f 衍生证券空头和 S单位标的证券多头的组合。 令 代表该投资组合的价值，则： f (6.15) f S
S 由于股价未来波动随机过程与基于其的衍生品价格的随机波动过程是一致的，因此可以通过构建股价与其衍生品的对冲
组合消除这个随机过程。
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二、布Leabharlann Baidu运动
（一）标准布朗运动 z代表变 设t代表一个小的时间间隔长度， 量z在时间 t 内的变化，遵循标准布朗运 动的 z 具有两种特征： z和 t 的关系满足（6.1）： 特征1： z t （6.1） 其中，代表从标准正态分布（即均值为0、 标准差为1.0的正态分布）中取的一个随 机值。
这是一个按正态规律 集中在起始点的一个 随机运动。
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标准布朗运动(2)
t 特征2：对于任何两个不同时间间隔， 和 z的值相互独立。 考察变量z在一段较长时间T中的变化情 形，我们可得： N z (T ) z (0) i t （6.2） i 1 当0时，我们就可以得到极限的标准布 朗运动： dz dt （6.3）
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B-S公式小结
证券变化量满足伊藤随机过程——基于该 证券的衍生品价格满足伊藤引理，建立 起衍生品价格的随机微分方程——构建该 证券与其衍生品的适当组合消除随机过 程，且该组合要满足瞬时无套利，得到 满足任何衍生品价格f关于其证券价格s和 时间t的偏微分方程。
第六章
布莱克-舒尔斯期权定 价模型
第一节
证券价格的变化过程
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程 1965年，法玛（Fama）提出了著名的效 率市场假说。该假说认为，投资者都力 图利用可获得的信息获得更高的报酬； 证券价格对新的市场信息的反应是迅速 而准确的，证券价格能完全反应全部信 息；市场竞争使证券价格从一个均衡水 平过渡到另一个均衡水平，而与新信息 相应的价格变动是相互独立的。
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布莱克——舒尔斯微分分程
化简为：
若解这个已经不含随机项的偏微分方程可直接得到后面的模型解， r (T t ) 1 2 但后面用了概率论推导方法。
c SN(d ) Xe
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（二）普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为 1.0。 我们令漂移率的期望值为a,方差率的期 望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗 运动： （6.4） dx adt bdz 其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗 运动。
其中， dz 是一个标准布朗运动， a 、 b 是变量 x 和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
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四、证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为μ S、 方差率为 2 S 2的伊藤过程来表示：
b是标准差 普通的布朗运动随时间间隔的增加，需要加上一个漂移项，表示离开起始位置的程度（常 数比率），而其运动是正态规律运动。总体是一个叠加运动。
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三、伊藤过程
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效率市场假说可分为三类：弱式、半强式 和强式。 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 （Markov Stochastic Process）来表述。 随机过程是指某变量的值以某种不确定的 方式随时间变化的过程。可分为离散型的 和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类 型的随机过程。 如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未 来价格的概率分布只取决于该证券现在的 价格。
第二节 布莱克——舒尔斯期权 定价模型
一、布莱克——舒尔斯微分方程 （一）布莱克——舒尔斯微分方程的推 导 我们假设证券价格S遵循几何布朗运动： dS Sdt Sdz 则： S St Sz （6.12）
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表示这样的对冲组合取得的价值不应该 比无风险利率下的时间价值大或者小。 应该与存放银行取得的收益是一致的， 必须至少获得无风险利率。既然已经不 包含随机过程， 则结果是无风 险确定的， 2 应该不存在 瞬时无风险套利。
（6.16） 将式（6.12）和（6.14）代入式 （6.16），可得： f 1 2 f 2 2 ( S )（ t 6.17） 2 t 2 S 在没有套利机会的条件下： r t
（6.11）
证券价格对数G遵循普通布朗运动,且：
ln ST ln S ~ [(
2
2
)(T t ), T t ]
证券价格的对数变化量服从正态分布，从而知晓st的分布函数
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2 G 1 G 1 G 令 G ln S ，由于 , 2 2, 0 S S S S t
代入式（6.10）: 2 dG ( )dt dz
2
这里的绝妙的对数变换是布莱克斯科尔斯微分方程的偏微分项全部消 除变为简单的服从正态分布的方程。同时也说明之前的假设是要成立 的：证券价格的对数服从正态分布或证券价格服从对数分布。
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从（6.6）可知，在短时间后，证券价格 比率的变化值为： S t t S
S 可见， 也具有正态分布特征 S
, t , , 前三个是常数或者函数值， 最后一个是个标准正态随机变量， 整个式子是某种正态随机变量。只 不过这里符合的正态分布的均值和 方差是与时间间隔由关系的值而已。
例6.2 设 A 股票价格的当前值为 50 元 , 预期收益 率为每年18%,波动率为每年20%,该股票 价格遵循几何布朗运动 , 且该股票在 6 个 月内不付红利，请问该股票6个月后的价 格ST的概率分布。 例6.3 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价 格的期望值和标准差等多少？
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假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则： f f 1 2 f 2 2 f （6.13） df ( S S )dt Sdz 2
S t 2 S S
f f 1 2 f 2 2 f f ( S S )t S（ z 6.14） 2 S t 2 S S
N (d )
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
(6.18)
这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分 程，它适用于其价格取决于标的证券价 格S的所有衍生证券的定价。
方程的衍生品价格的解为f（s，t）,表示满足此方程的任何解都是满足某种衍生品的不会导致套利机会 的价格；若不满足此方程的衍生品价格f（s，t）也是一种价格，但这样的价格会导致无风险套利机会。
f f S S
无风险套利情形：1、可以复制的两个 投资组合未来损益相同，但成本不同； 2、一个投资组合在任何条件下损益不 低于另一个投资组合，即随即占优；3、 投资组合构建成本为零，但任何条件 下损益不为零。
把式（6.15）和（6.17）代入上式得：
f 1 f 2 2 f ( S )t r ( f S )t 2 t 2 S S