BS期权定价模型课件详解精讲
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BS期权定价模型课件详解精讲
f Sdz
S
f
( f S
S
f t
1 2
2 f S 2
〔2S〕2 )t
f Sz
S
为了消除z，我们可以构建一个包括一单位衍 生证券空头和 单位f 标的证券多头的组合。令
代表 该投资组合的S价值，那么：
f(6.1f5S)
S
由于股价将来波动随机过程与基于其的衍生品价格的随机波动过程是一致的，因此可以通过构建股价与其衍生品的对冲 组合消除这个随机过程。
2G x 2
b2 )dt
G x
bdz〔〕
由于 dS Sdt Sdz〔〕
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循 如下过程：
dG
( G S
S
G t
1 2
2G S 2
2S 2 )dt
(GS6.1S0d)z
六、证券价格自然对数变化过程
令 代入式〔〕，:由于 G ln S
G S
1 S
,
2G S 2
1 S2
表示将来价格变化率符合普通布朗运动，〔描绘运动偏离标注布朗运动的漂移 率和方差率项已变为常数而非与时间和目前值有关系的函数〕
从〔〕可知，在短时间后，证券价格比
率的变化值为：
S t t
S 可见，S也具有正态分布特征
S
, t, , 前三个是常数或者函数值， 最后一个是个标准正态随机变量， 整个式子是某种正态随机变量。只 不过这里符合的正态分布的均值和 方差是与时间间隔由关系的值而已。
B-S公式小结
证券变化量满足伊藤随机过程——基于该 证券的衍生品价格满足伊藤引理，建立 起衍生品价格的随机微分方程——构建该 证券与其衍生品的适当组合消除随机过 程，且该组合要满足瞬时无套利，得到 满足任何衍生品价格f关于其证券价格s和 时间t的偏微分方程。
《期权定价模型》课件
置比例。
03
投资组合绩效评估
通过期权定价模型计算投资组合 的绩效指标，评估投资组合表现
。
02
投资组合调整
根据市场走势和投资者需求，调 整投资组合中的期权和其他资产
。
04
投资组合再平衡
定期或不定期地重新调整投资组 合，以保持其与投资者风险偏好
和投资目标的匹配。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
02
期权定价模型简介
几种常见的期权定价模型
Black-Scholes模型
二叉树模型
基于一系列假设条件，通过随机微分方程 来描述期权价格的运动过程，并给出了欧 式期权价格的解析解。
一种离散时间模型，通过模拟标的资产价 格的上升和下降来计算期权价格，适用于 美式期权和欧式期权。
三叉树模型
有限差分模型
市场中不存在可以通过买 卖标的资产和衍生品来获 得无风险利润的策略。
市场中存在足够的标的资 产供买卖，且交易成本为 零。
即投资者可以以一个固定 的无风险利率无限借贷。
即标的资产价格的波动率 在整个期权存续期内保持 不变。
定价模型的适用范围
欧式期权：适用于只能在到期 日行权的期权。
美式期权：适用于在到期日之 前任何时间都可以行权的期权
。
股票期权、期货期权、利率期 权等：适用于各种类型的金融 衍生品。
长期期权、短期期权：适用于 不同存续期的期权。
03
Black-Scholes模型
模型的基本假设
假设1
股票价格变动符合几何布朗运 动，即股票价格连续变动，并
且其收益率服从正态分布。
假设2
市场无摩擦，即没有交易费用 和税收，所有证券都可以无限 分割。
03
投资组合绩效评估
通过期权定价模型计算投资组合 的绩效指标，评估投资组合表现
。
02
投资组合调整
根据市场走势和投资者需求，调 整投资组合中的期权和其他资产
。
04
投资组合再平衡
定期或不定期地重新调整投资组 合，以保持其与投资者风险偏好
和投资目标的匹配。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
02
期权定价模型简介
几种常见的期权定价模型
Black-Scholes模型
二叉树模型
基于一系列假设条件，通过随机微分方程 来描述期权价格的运动过程，并给出了欧 式期权价格的解析解。
一种离散时间模型，通过模拟标的资产价 格的上升和下降来计算期权价格，适用于 美式期权和欧式期权。
三叉树模型
有限差分模型
市场中不存在可以通过买 卖标的资产和衍生品来获 得无风险利润的策略。
市场中存在足够的标的资 产供买卖，且交易成本为 零。
即投资者可以以一个固定 的无风险利率无限借贷。
即标的资产价格的波动率 在整个期权存续期内保持 不变。
定价模型的适用范围
欧式期权：适用于只能在到期 日行权的期权。
美式期权：适用于在到期日之 前任何时间都可以行权的期权
。
股票期权、期货期权、利率期 权等：适用于各种类型的金融 衍生品。
长期期权、短期期权：适用于 不同存续期的期权。
03
Black-Scholes模型
模型的基本假设
假设1
股票价格变动符合几何布朗运 动，即股票价格连续变动，并
且其收益率服从正态分布。
假设2
市场无摩擦，即没有交易费用 和税收，所有证券都可以无限 分割。
布莱克斯科尔斯期权定价模型
•布莱克-斯科尔斯模型，简称BS模型，是一种为期权或权证等衍生性金融商品定价的数学模型，它是由美国经济学家迈伦·斯科尔斯与费雪·布莱克率先提出来的，用这个模型没能推导出布莱克-舒尔斯公式，这个公式还能够估算出欧式期权的理论价格。
除此之外，B-S模型还有7个比较重要的假设，如下所示：
1、股票价格行为服从对数正态分布模式；
2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是不会发生改变
的；
3、市场是没有摩擦的，也就是没有税收和交易成本，所有证券完全可分
割；
4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；
5、该期权是欧式期权，也就是在期权到期前不可以进行实施。
6、没有任何无风险套利机会；
7、证券交易是持续的；
8、投资者可以以无风险利率借贷。
利用BS定价公求解期权要素ppt
隐含波动率实际上是根据已有的期限报价 ，利用B-S公式和其它已知条件，求出已有 报价的波动率。这对于期权价格波动较快
的期权更有意义。
比较传统的方法是用试错法求出隐含波动 率。其原理流程图如右：
试错法计算 隐含波动率 的流程图
收集数据:S,X,r,T,同 时确定计算的精确度 选择初始σ 用B-S公式算波动率为 σ时,看涨期权的价格 Y B-S call=市价call? N
将无风险利率和波动率一并求出
有时候去查无风险利率，也是一件麻烦的事。
可以由两个到期月份相同但执行价格不同的欧式期权的 价格，由B-S公式，写出两个方程，联立方程组，通过 解方程组，可以一次性求出无风险利率r和波动率σ省去 不少麻烦。用到的matlab函数还是fslove. 为了得到两组数据，我们用excel中编写的B-S算法，制 造出两组数据。当然在excel中，r和σ已知的，call是解 出的值。这里我们借用一下其数据，假设解出的call是 市场期权的报价，r和σ未知，我们要用两个月份相同但 执行价格不同的call值求解出r和σ.
• • • • • • • • • • • •
如用slove解x2=4很方便： >> syms x; >> solve('x^2=4',x) 能求出x=2或-2， 再看含有正态颁布的方程：(注意正态分布密度函数为 normpdf,累积正态分布函数为normcdf) >> clear; >> syms x; >>solve('40*normcdf(x)-30=0',x) ??? Error using ==> solve Unable to find closed form solution. Error in ==> sym.solve at 49 [varargout{1:max(1,nargout)}] = solve(S{:});
的期权更有意义。
比较传统的方法是用试错法求出隐含波动 率。其原理流程图如右：
试错法计算 隐含波动率 的流程图
收集数据:S,X,r,T,同 时确定计算的精确度 选择初始σ 用B-S公式算波动率为 σ时,看涨期权的价格 Y B-S call=市价call? N
将无风险利率和波动率一并求出
有时候去查无风险利率，也是一件麻烦的事。
可以由两个到期月份相同但执行价格不同的欧式期权的 价格，由B-S公式，写出两个方程，联立方程组，通过 解方程组，可以一次性求出无风险利率r和波动率σ省去 不少麻烦。用到的matlab函数还是fslove. 为了得到两组数据，我们用excel中编写的B-S算法，制 造出两组数据。当然在excel中，r和σ已知的，call是解 出的值。这里我们借用一下其数据，假设解出的call是 市场期权的报价，r和σ未知，我们要用两个月份相同但 执行价格不同的call值求解出r和σ.
• • • • • • • • • • • •
如用slove解x2=4很方便： >> syms x; >> solve('x^2=4',x) 能求出x=2或-2， 再看含有正态颁布的方程：(注意正态分布密度函数为 normpdf,累积正态分布函数为normcdf) >> clear; >> syms x; >>solve('40*normcdf(x)-30=0',x) ??? Error using ==> solve Unable to find closed form solution. Error in ==> sym.solve at 49 [varargout{1:max(1,nargout)}] = solve(S{:});
B-S期权定价模型、公式与数值方法
P124的例子
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
布莱克-斯科尔斯期权定价模型课件
§ 例6.3
Ø 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格 的期望值和标准差等多少？
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
25
6.2 B-S期权定价模型
§ Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖
§ 模型基本假设9个
Ø 无风险利率为常数，且对所有到期日均相同。 Ø 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支
付； Ø 期权为欧式期权 Ø 证券交易是连续的，价格变动也是连续的；
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
26
Ø 无交易费用：证券市场、期权市场、资金借贷 市场
Ø 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等， 均为无风险利率
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
1
6.1 证券价格的变化过程
§ 期权定价采用相对定价法
Ø 利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在 关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价 格，
§ 因此要为期权定价首先必须研究证券价格 的变化过程。目前，学术界普遍用随机过 程来描述证券价格的变化过程。
lim D ( x2) [b 2 t]2D (2 ) 0
t2 0
即Δx2不呈现随机波动！
x a (x ,t) t b (x ,t) w
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
18
由（6.10）可得
x2b22 t (6.10)
E ( x 2 ) E (b 22 t) b 2 tE (2 )（6.11）
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
Ø 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价格 的期望值和标准差等多少？
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
25
6.2 B-S期权定价模型
§ Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖
§ 模型基本假设9个
Ø 无风险利率为常数，且对所有到期日均相同。 Ø 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支
付； Ø 期权为欧式期权 Ø 证券交易是连续的，价格变动也是连续的；
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
26
Ø 无交易费用：证券市场、期权市场、资金借贷 市场
Ø 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等， 均为无风险利率
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
1
6.1 证券价格的变化过程
§ 期权定价采用相对定价法
Ø 利用基础产品价格与衍生产品价格之间的内在 关系，直接根据基础产品价格求出衍生产品价 格，
§ 因此要为期权定价首先必须研究证券价格 的变化过程。目前，学术界普遍用随机过 程来描述证券价格的变化过程。
lim D ( x2) [b 2 t]2D (2 ) 0
t2 0
即Δx2不呈现随机波动！
x a (x ,t) t b (x ,t) w
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
18
由（6.10）可得
x2b22 t (6.10)
E ( x 2 ) E (b 22 t) b 2 tE (2 )（6.11）
2021/1/24
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
b-s期权公式课件
连续复利收益率的问题: 尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是
横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是
2和024/的9/1对5 数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的
11
RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
2024/9/15
16
结论
几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过 程。
2024/9/15
17
参数的理解
μ:
几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券的系统性风险、无风险 利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素， 因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，
益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率 （Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ的 单位都是年。
很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的
伊藤过程。也被称为几何布朗运动
2024/9/15
9
为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？
一般认同的“弱式效率市场假说”:
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的 信息。
这个随机过程dG的 (特 征 2:)dt dz 普通布朗运动: 恒定的2 漂移率和恒定的方差率。
金融风险管理课件第5章 B-S期权定价公式
G G 1 2G 2 G dG ( a b )dt bdz x t 2 x 2 x
将关于股票价格变化的结论 dS Sdt Sdz 代 入伊藤引理表达式，可以得到
dG ( G G 1 2G 2 2 G S S )dt Sdz S t 2 S 2 S
2011/12/7
第五章 B-S期权定价公式
1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black& Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于 确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起 了强烈反响；同年，Robert C. Merton独立地提 出了一个更为一般化的模型。Scholes和Merton 由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。
24
23
4
2011/12/7
B-S-M微分方程的推导 可以构造这样的投资组合： 1. 卖出一份衍生证券 f 2. 买入S 份股票 则该证券组合的价值为：
f f S S f S S
B-S-M微分方程的推导 在Δt时间内，组合的变化量为 f 1 2 f 2 2 ( S )t t 2 S 2 因为这个方程不含有ΔZ，经过Δt时间后证券组合 必定没有风险。因此，该证券组合的瞬时收益率 一定与其它短期无风险证券的收益率相同，即 rt 代入上式得到 f 1 2 f 2 2 f ( S )t r ( f S )t t 2 S 2 S
z t
其中，ε代表从标准正态分布中取的一个随机值 2. 对于任何两个不同时间间隔，ΔZ的值相互独立 从性质1可以得到， ΔZ~N (0，Δt）；从性质2可 以证明，变量Z服从马尔科夫过程
5
6
1
2011/12/7
将关于股票价格变化的结论 dS Sdt Sdz 代 入伊藤引理表达式，可以得到
dG ( G G 1 2G 2 2 G S S )dt Sdz S t 2 S 2 S
2011/12/7
第五章 B-S期权定价公式
1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black& Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于 确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起 了强烈反响；同年，Robert C. Merton独立地提 出了一个更为一般化的模型。Scholes和Merton 由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。
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4
2011/12/7
B-S-M微分方程的推导 可以构造这样的投资组合： 1. 卖出一份衍生证券 f 2. 买入S 份股票 则该证券组合的价值为：
f f S S f S S
B-S-M微分方程的推导 在Δt时间内，组合的变化量为 f 1 2 f 2 2 ( S )t t 2 S 2 因为这个方程不含有ΔZ，经过Δt时间后证券组合 必定没有风险。因此，该证券组合的瞬时收益率 一定与其它短期无风险证券的收益率相同，即 rt 代入上式得到 f 1 2 f 2 2 f ( S )t r ( f S )t t 2 S 2 S
z t
其中，ε代表从标准正态分布中取的一个随机值 2. 对于任何两个不同时间间隔，ΔZ的值相互独立 从性质1可以得到， ΔZ~N (0，Δt）；从性质2可 以证明，变量Z服从马尔科夫过程
5
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1
2011/12/7
金融工程课件第九章2：BS推广与其他期权品种定价
这一近似解可以应用到多次分红的情况。
13
第九章 BS推广与其他期权品种定价
9.美式卖权的定价
无法利用B-S模型得到解析解，可利用二叉树方 法或有限差分方法得到近似解。
14
8.分红美式买权的定价
假定股票在t1时刻分红，这里t<t1<T。美式买权的持有 者要么在邻近除红时刻t1执行期权，要么在到期日时刻T 执行期权。因此，我们可以把这个美式买权近似的看作 两个欧式买权中取大的那一个。 这两个期权是： 1）到时刻t1到期的欧式期权，标的物股票不分红。 2）到时刻T到期的欧式期权，标的物股票在时刻t1分派 红利D。
S (t )e
r fD M (T t )
相应的无风险利率替换为美元的无风险利率。
6
第九章 BS推广与其他期权品种定价
3. 股指期权的定价
令q表示连续股息（指数成份股的股息），利用默顿 （1973）给出的修正模型（恒定股息）：
c S (t )e
q (T t )
N (d1 ) Xe
c Rf e
r f (T t )
N (d1 ) Xe
r f ( T t )
N (d 2 )
8
第九章 BS推广与其他期权品种定价
5. 实物期权的定价
在产品定价、市场营销、原材料与零配件 供货、售后服务、工资与福利等企业管理 的各个环节都有很重要的应用
知识产权定价、投资项目决策（宋，
第九章 BS推广与其他期权品种定价
本章主要内容：
BS模型的推广 外汇期权定价 股指期权定价 利率期权定价 实物期权定价 认股权证定价 期货期权定价 分红美式买权的定价 美式卖权的定价
金融建模课件11章布莱克-斯科尔斯期权定价模型.pptx
∞
න
1
2
− 2 Τ2
−
= න
−∞
1
2
2 Τ2
−
• 上面的积分是标准正态变量的分布函数，因此
2 =
− − 2 Τ2
1
−
−
2 −∞
= − − −
2024/10/8
BS公式推导
• 现在我们再对第一个积分进行整理
1
∞
1
∞
1
∞
2
2
+
+
− = 0
2
2
• 可以写成如下形式
1 2 2
+ + =
2
2024/10/8
Delta（希腊字母Δ）
• 定义
• 是期权价值相对于基础资产价格的变动率
• 相当于衡量债券价格利率敏感性的久期
• 公式
=
= 1
• 为BS公式（Black –Scholes Formula）
= 0 1 − − 2
= − −2 − 0 −1
• 其中
2024/10/8
0 = 即期股票价格
= 期权执行价
= 无风险利率
= 股价波动性
= 期权到期时间( − )
2024/10/8
布莱克-斯科尔斯偏微分方程
• 为了导出BS偏微分方程
• 我们构造一个投资组合
• 该组合包括
• Δ 份的股票
• 金额为 Lt 的无风险银行借款
2024/10/8
布莱克-斯科尔斯偏微分方程
• 我们使该组合与一个看涨期权 等值：
න
1
2
− 2 Τ2
−
= න
−∞
1
2
2 Τ2
−
• 上面的积分是标准正态变量的分布函数，因此
2 =
− − 2 Τ2
1
−
−
2 −∞
= − − −
2024/10/8
BS公式推导
• 现在我们再对第一个积分进行整理
1
∞
1
∞
1
∞
2
2
+
+
− = 0
2
2
• 可以写成如下形式
1 2 2
+ + =
2
2024/10/8
Delta（希腊字母Δ）
• 定义
• 是期权价值相对于基础资产价格的变动率
• 相当于衡量债券价格利率敏感性的久期
• 公式
=
= 1
• 为BS公式（Black –Scholes Formula）
= 0 1 − − 2
= − −2 − 0 −1
• 其中
2024/10/8
0 = 即期股票价格
= 期权执行价
= 无风险利率
= 股价波动性
= 期权到期时间( − )
2024/10/8
布莱克-斯科尔斯偏微分方程
• 为了导出BS偏微分方程
• 我们构造一个投资组合
• 该组合包括
• Δ 份的股票
• 金额为 Lt 的无风险银行借款
2024/10/8
布莱克-斯科尔斯偏微分方程
• 我们使该组合与一个看涨期权 等值：
第四讲 BS期权定价模型
第四讲BS期权定价模型统计与管理学院第四讲BS期权定价模型第一节BS期权定价模型的基本思路第二节BS期权定价公式第三节BS期权定价公式的精确度评价与拓展第一节BS期权定价模型的基本思路股票价格服从的随机过程由It ô引理可得期权价格相应服从的随机过程dS Sdt SdWm s =+222212f f f fdf S S dt SdWS t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø第一节BS期权定价模型的基本思路BS微分方程BS期权定价公式222212f f frS S rft S S s ¶¶¶++=¶¶¶()()()12r T t c SN d Xe N d --=-第二节BS期权定价公式一、模型基本假设二、BS方程的推导三、风险中性定价原理四、BS期权定价公式的推导五、BS期权定价公式的参数估计一、假设证券价格遵循几何布朗运动，即µ和σ为常数 允许卖空标的证券没有交易费用和税收，所有证券都完全可分 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 不存在无风险套利机会证券交易是连续的，价格变动也是连续的衍生证券有效期内，无风险利率r为常数二、BS微分方程的推导由于假设股票价格S遵循几何布朗运动，因此在一个小的时间间隔∆t中，S的变化值∆S为dS Sdt SdWm s =+S S t S Wm s D =D +D二、BS微分方程的推导设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S 和t的函数，根据伊藤引理可得：在一个小的时间间隔∆t中，f的变化值∆f满足：222212f f f f df S S dt SdW S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷=+++ç÷ç÷綶¶¶èø222212f f f f f S S t S W S t S S m s s æö¶¶¶¶÷ç÷D =++D +D ç÷ç÷綶¶¶èø二、BS微分方程的推导为了消除风险源∆W，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合。
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型课件
dz dt
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
二、随机过程
例：假设一个遵循维纳过程的变量z，其最初值为25，以 年为单位计时。
那么，则有： 在第一年末，变量值服从均值为25；标准差为1.0的正态 分布； 在第二年末，Z将服从均值为25、标准差为 2 或1.414的 正态分布。
分析：之所以第2年末标准差变为 2 ，是因为变量值在未 来某一确定时刻的不确定性（用标准差来表示）是随着时间长 度的平方根而增加的。
描述布朗运动的随机过程的定义是维纳(wiener)给出的， 因此布朗运动又称维纳过程，布朗运动是马尔科夫随机过程的 一种特殊形式 。
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
二、随机过程
（一）马尔科夫过程（Markov Stochastic process) 1、无记忆性：只有变量的当前值才与未来预测有关，变
其中：D表示期权有效期内红利的现值
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
一、期权
注： 1、提前执行不付红利美式看涨期权是不明智的。 2、不付红利的美式看跌期权可能提前执行。 3、在红利的影响下，美式看涨期权可能提前执行。
Return
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
二、随机过程
如果某变量的值以某种不确定的方式随时间变化，则称该 变量遵循某种随机过程(stochastic process)。
那么，则有： 在第6个月末，该头寸将服从正态分布，均值为60,标准差 为：30√0.5=21.21的正态分布； 在第1年末，该头寸将服从正态分布，均值为70，标准差为 30。
分析：随机变量值在未来某一确定时刻的不确定性（用标准 差来表示）是随着时间长度的平方根增加而增加的。
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
4、期权价格的上限： （1）股票价格是期权价格的上限：S>C, S>c。
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
二、随机过程
例：假设一个遵循维纳过程的变量z，其最初值为25，以 年为单位计时。
那么，则有： 在第一年末，变量值服从均值为25；标准差为1.0的正态 分布； 在第二年末，Z将服从均值为25、标准差为 2 或1.414的 正态分布。
分析：之所以第2年末标准差变为 2 ，是因为变量值在未 来某一确定时刻的不确定性（用标准差来表示）是随着时间长 度的平方根而增加的。
描述布朗运动的随机过程的定义是维纳(wiener)给出的， 因此布朗运动又称维纳过程，布朗运动是马尔科夫随机过程的 一种特殊形式 。
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
二、随机过程
（一）马尔科夫过程（Markov Stochastic process) 1、无记忆性：只有变量的当前值才与未来预测有关，变
其中：D表示期权有效期内红利的现值
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
一、期权
注： 1、提前执行不付红利美式看涨期权是不明智的。 2、不付红利的美式看跌期权可能提前执行。 3、在红利的影响下，美式看涨期权可能提前执行。
Return
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
二、随机过程
如果某变量的值以某种不确定的方式随时间变化，则称该 变量遵循某种随机过程(stochastic process)。
那么，则有： 在第6个月末，该头寸将服从正态分布，均值为60,标准差 为：30√0.5=21.21的正态分布； 在第1年末，该头寸将服从正态分布，均值为70，标准差为 30。
分析：随机变量值在未来某一确定时刻的不确定性（用标准 差来表示）是随着时间长度的平方根增加而增加的。
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
4、期权价格的上限： （1）股票价格是期权价格的上限：S>C, S>c。
B-S期权定价模型
Black—Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式）Black—Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）,布莱克-肖尔斯期权定价模型Black—Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日,第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton）和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯（Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克（Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表.所以，布莱克-斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型.默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese）赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献.[编辑］B—S期权定价模型(以下简称B-S模型）及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本,所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施.6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷.[编辑](二)荣获诺贝尔经济学奖的B—S定价公式［1]C = S＊N(d1) − Le− rT N（d2)其中：C—期权初始合理价格L-期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N(）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
BS期权定价模型
2020/1/13
9
思考题
1、造成Black-Scholes期权定价公式估计 的期权价格与市场价格存在差异的原因 有哪些？
① 计算错误；
② 期权市场价格偏离均衡；
③ 使用的错误的参数；
④ 布莱克——舒尔斯期权定价公式建立 在众多假定的基础上
思考题
B-S模型只解决了不分红股票的期权定价 问题,那么对于分红股票的期权定价问题 应该如何解决呢？
布莱克-斯克尔斯期权定价模型
1
主讲内容
背景知识 基本概念介绍 模型介绍 案例与实验操作 思考题
背景知识
1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学 奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯 特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈 伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发 展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、 债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的 各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合 理定价奠定了基础。
(1)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间 T(即除息日)支付已知红利DT，只需将该红利现值从股票现 价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即 可:S′=S-DT E-rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一 一减去。从而将B-S模型变型得新公式:
C=(S- E-γT N(D1)-L E-γT N(D2)
基本概念
期权 看涨期权与看跌期权 美式期权与欧式期权
模型介绍
基本假设：
1．股价遵循几何布朗运动： 2．允许使用全部所得卖空衍生证券； 3．没有交易费用或税金，且所有证券高度可分； 4．在衍生证券的有效期内没有支付红利； 5．不存在无风险的套利机会； 6．证券交易是连续的，股票价格连续平滑变动； 7．无风险利率r为常数，能够用同一利率借入或贷出资金 8．只能在交割日执行期权。
BS期权定价模型及其应用
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BS期权定价模型及其应用
B-S期权定价公式的扩展：红利
股价运动过程
风险中性定价
仅需要将St变成St e-q(T-t) ，带入原来的B-S微分 方程即可
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BS期权定价模型及其应用
B-S期权定价公式的运用
（1）对公司负债及资本进行估值
一家公司A发行两种证券：普通股100万股及 1年后到期的总面值8000万元的零息债券。已知 公司总市值为1亿元，问：公司股票及债券如何 定价？
：股票的瞬间收益率 ：股票的期望瞬间收益率 ：股价收益率的瞬间标准差
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BS期权定价模型及其应用
波动率估计
1 观测证券价格的历史数据S0 、 S1 、…… 、 Sn ， 观测时间间隔为t（以年为单位）
2 计算每期以复利计算的回报率 ui＝Ln(Si / Si-1 ), i=1,……,n
B-S期权定价模型及其应 用
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2020/10/29
BS期权定价模型及其应用
引言
l 二叉树期权定价模型： 变量离散、时间离散
l 当股价的变动是一个连续的运动过程 变量连续、时间连续
如何对以它为标的资产的衍生品定价？ ——本节讨论的问题
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BS期权定价模型及其应用
1、股票价格的运动过程
计算得到欧式看跌期权价格为：P =0.81(元)
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BS期权定价模型及其应用
影响欧式看涨期权价格的因素
l 当期股价 S 越高，期权价格越高 l 到期执行价格 K 越高，期权价格越低 l 距离到期日时间 T-t 越长，期权价格越高
l 股价波动率σ越大，期权价格越高
l 无风险利率 r 越高，期权价格越高
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假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则： f f 1 2 f 2 2 f （6.13） df ( S S )dt Sdz 2
S t 2 S S
f f 1 2 f 2 2 f f ( S S )t S（ z 6.14） 2 S t 2 S S
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
在t 时间后：
这里体现了期权定价思想就是通过能消除随机过程的对冲组合去取得 确定的报酬，且这个报酬至少与无风险利率收益是一样好的，即无套 利。通过这样的思想得出期权定价。根据有效市场理论，无风险组合 只能获得无风险利率。
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（二）风险中性定价原理
B-s微分方程中不包含股票收益率，说明衍生工具自身 的市场价值并不随人们主观的风险偏好有关，因此可 在任何风险偏好下求解该方程，但只有风险中性条件 下才会有任何证券的期望收益率与无风险利率一致， 不过多也不过低奢求，其他偏好过多或者过保守。 尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克——舒尔斯 微分方程而作出的人为假定，但通过这种假定所获得 的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投 资者风险的所有情况。
f f S S
无风险套利情形：1、可以复制的两个 投资组合未来损益相同，但成本不同； 2、一个投资组合在任何条件下损益不 低于另一个投资组合，即随即占优；3、 投资组合构建成本为零，但任何条件 下损益不为零。
把式（6.15）和（6.17）代入上式得：
f 1 f 2 2 f ( S )t r ( f S )t 2 t 2 S S
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二、布朗运动
（一）标准布朗运动 z代表变 设t代表一个小的时间间隔长度， 量z在时间 t 内的变化，遵循标准布朗运 动的 z 具有两种特征： z和 t 的关系满足（6.1）： 特征1： z t （6.1） 其中，代表从标准正态分布（即均值为0、 标准差为1.0的正态分布）中取的一个随 机值。
第六章
布莱克-舒尔斯期权定 价模型
第一节
证券价格的变化过程
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程 1965年，法玛（Fama）提出了著名的效 率市场假说。该假说认为，投资者都力 图利用可获得的信息获得更高的报酬； 证券价格对新的市场信息的反应是迅速 而准确的，证券价格能完全反应全部信 息；市场竞争使证券价格从一个均衡水 平过渡到另一个均衡水平，而与新信息 相应的价格变动是相互独立的。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
五、伊藤引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函 数G将遵循如下过程： G G 1 2G 2 G dG ( a b )dt bdz （6.8） 2 x t 2 x x 由于 dS Sdt Sdz （6.9） 根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循 如下过程：
例6.2 设 A 股票价格的当前值为 50 元 , 预期收益 率为每年18%,波动率为每年20%,该股票 价格遵循几何布朗运动 , 且该股票在 6 个 月内不付红利，请问该股票6个月后的价 格ST的概率分布。 例6.3 请问在例6.2中，A股票在6个月后股票价 格的期望值和标准差等多少？
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为了消除z ，我们可以构建一个包括一单位 f 衍生证券空头和 S单位标的证券多头的组合。 令 代表该投资组合的价值，则： f (6.15) f S
S 由于股价未来波动随机过程与基于其的衍生品价格的随机波动过程是一致的，因此可以通过构建股价与其衍生品的对冲
组合消除这个随机过程。
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效率市场假说可分为三类：弱式、半强式 和强式。 弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程 （Markov Stochastic Process）来表述。 随机过程是指某变量的值以某种不确定的 方式随时间变化的过程。可分为离散型的 和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类 型的随机过程。 如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未 来价格的概率分布只取决于该证券现在的 价格。
其中， dz 是一个标准布朗运动， a 、 b 是变量 x 和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
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四、证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为μ S、 方差率为 2 S 2的伊藤过程来表示：
b是标准差 普通的布朗运动随时间间隔的增加，需要加上一个漂移项，表示离开起始位置的程度（常 数比率），而其运动是正态规律运动。总体是一个叠加运动。
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三、伊藤过程
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从（6.6）可知，在短时间后，证券价格 比率的变化值为： S t t S
S 可见， 也具有正态分布特征 S
, t , , 前三个是常数或者函数值， 最后一个是个标准正态随机变量， 整个式子是某种正态随机变量。只 不过这里符合的正态分布的均值和 方差是与时间间隔由关系的值而已。
S ~ ( t , t ) S
(6.7)
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例6.1
设一种不付红利股票遵循几何布朗运动， 其波动率为每年18%，预期收益率以连 续复利计为每年20%，其目前的市价为 100元，求一周后该股票价格变化值的概 率分布。
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若 把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的 函数，我们可以从公式（ 6.4 ）得到伊藤过程 （Ito Process）： dx a( x, t )dt b( x, t )dz (6.5）
漂移非常数，正态规律项非常数，都是与时间和其目前位置有关，更加复杂的随机过程
表示这样的对冲组合取得的价值不应该 比无风险利率下的时间价值大或者小。 应该与存放银行取得的收益是一致的， 必须至少获得无风险利率。既然已经不 包含随机过程， 则结果是无风 险确定的， 2 应该不存在 瞬时无风险套利。
（6.16） 将式（6.12）和（6.14）代入式 （6.16），可得： f 1 2 f 2 2 ( S )（ t 6.17） 2 t 2 S 在没有套利机会的条件下： r t
第二节 布莱克——舒尔斯期权 定价模型
一、布莱克——舒尔斯微分方程 （一）布莱克——舒尔斯微分方程的推 导 我们假设证券价格S遵循几何布朗运动： dS Sdt Sdz 则： S St Sz （6.12）
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（6.11）
证券价格对数G遵循普通布朗运动,且：
ln ST ln S ~ [(
2
2
)(T t ), T t ]
证券价格的对数变化量服从正态分布，从而知晓st的分布函数
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布莱克——舒尔斯微分分程
化简为：
若解这个已经不含随机项的偏微分方程可直接得到后面的模型解， r (T t ) 1 2 但后面用了概率论推导方法。
c SN(d ) Xe
这是一个按正态规律 集中在起始点的一个 随机运动。
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标准布朗运动(2)
t 特征2：对于任何两个不同时间间隔， 和 z的值相互独立。 考察变量z在一段较长时间T中的变化情 形，我们可得： N z (T ) z (0) i t （6.2） i 1 当0时，我们就可以得到极限的标准布 朗运动： dz dt （6.3）
G G 1 2G 2 2 G dG ( S S )dt Sdz 2 (6.10) S t 2 S S
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六、证券价格自然对数变化过程
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B-S公式小结
证券变化量满足伊藤随机过程——基于该 证券的衍生品价格满足伊藤引理，建立 起衍生品价格的随机微分方程——构建该 证券与其衍生品的适当组合消除随机过 程，且该组合要满足瞬时无套利，得到 满足任何衍生品价格f关于其证券价格s和 时间t的偏微分方程。