重庆八中 高一数学下学期期末考试试题
2019-2020学年重庆八中高一(下)期末数学试卷
2019-2020学年重庆八中高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若S5−S2=a13，a4=9，则S10=()A. 100B. 110C. 120D. 1302.的三个内角A、B、C成等差数列，，则一定是A.直角三角形B.等边三角形C.非等边锐角三角形D.钝角三角形A. AB. BC. CD. D3.对某同学的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出如图所示茎叶图，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①极差是12；②众数是85；③中位数是84；④平均数是85，正确的是()A. ①②B. ②④C. ①③D. ③④4.某社区有400个家庭，其中高等收入家庭120户，中等收入家庭180户，低收入家庭100户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某校高一年级有13名排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②.那么，完成上述2项调查宜采用的抽样方法是()A. ①用简单随机抽样，②用系统抽样B. ①用分层抽样，②用简单随机抽样C. ①用系统抽样，②用分层抽样D. ①用分层抽样，②用系统抽样5.由一组数据(x1,y1)、(x2,y2)、…、(x n,y n)得到的线性回归方程为y=a+bx，则下列说法正确的是()A. 直线y=a+bx必过点(x,y)B. 直线y=a+bx至少经过点(x1,y1)、(x2,y2)、…、(x n,y n)中的一点C. 直线y=a+bx是由(x1,y1)、(x2,y2)、…、(x n,y n)中的两点确定的D. (x1,y1)、(x2,y2)、…、(x n,y n)，这n个点到直线y=a+bx的距离之和最小6. 已知l ，m 是平面α外的两条不同直线，给出以下三个命题：①若l ⊥m ，m//α，则l ⊥α；②若l ⊥m ，l ⊥α，则m//α； ③若m//α，l ⊥α，则l ⊥m.其中正确命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 37.函数f (x )在R 上是减函数，则有A. f (3)< f (5)B. f (3)≤ f (5)C. f (3)> f (5)D. f (3)≥ f (5)8.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，满足a 3=3a 1，a 2=3a 1−1，则数列{Snn}的前10项和为( ) A. 552B. 55C. 652D. 659.在△ABC 中，若a = 2，，，则B 等于( )A.B. 或C.D.或10. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为( )A.B.C.D. 311. 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 关于y 轴对称，向量a ⃗ =(1,0)，点A(x,y)满足不等式OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+a ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤0，则x −y 的取值范围( )A. [1−√22,1+√22] B. [1−√2,1+√2] C. [−√22,√22] D. [−√2,√2]12. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =6，c =4，sin B2=√33，则b =( )A. 9B. 36C. 6√2D. 6二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 如图，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，C 点在以O 为圆心|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |为半径的圆弧AB 上，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y 的范围是：______ ．14. 如图，飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m ，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度约为 .(√3≈1.73，精确到个位数)15. 若x >0，y >0，则2xx+2y +x+y x的最小值为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知一个棱柱有8个面，它的所有侧棱长的和等于24cm ，则每条侧棱的长等于 (1) cm ，若此棱柱的一底面的面积为2cm 2，且高等于侧棱长，则此棱柱的体积为 (2) cm 3． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，△ABC 的两边AB =2，AC =1，点D 在BC 边上，且满足|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，点M 为AD 的中点，过点M 的直线l 分别交AB 、AC 于点P 、Q ，已知：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中0<λ≤1，0<μ≤1)，△ABC 和△APQ 的面积分别为S 1、S 2． (Ⅰ)求△ABC 的面积的最大值； (Ⅱ)求证：1λ+2μ的值为一个定值； (Ⅲ)求S 2S 1的取值范围．18.已知首项为3，公比不等于1的等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，且−2S2，S3，4S4成等差2数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)令b n=n|a n|，数列{b n}的前n项和为T n，求T n并比较T n+b n与6大小．19.在2018年3月开封市第二次模拟考试中，某校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的占95%人，数学成绩的频率分布直方图如图：(Ⅰ)若成绩不低于130的为特别优秀，语文和数学两科都特别优秀的共有3人，如果从两课都特别优秀或一科特别优秀的同学中随机抽取2人，求这两人两科成绩都优秀的概率．(Ⅱ)根据以上数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．文特别优秀文不特别优秀合计数学特别优秀数学不特别优秀合计；②参考数据：①K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.500.40…0.0100.0050.001 k00.4550.708… 6.6357.87910.82820.如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，连接A′C得到三棱锥A′−BCD，A′F垂直BD于F，E为BC的中点．(1)求证：EF//平面A′CD(2)设正方形ABCD边长为a，求折后所得三棱锥A′−BCD的侧面积．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知cos C2=√64(Ⅰ)求cos C的值；(Ⅱ)若ab=6，且sin2A+sin2B=1316sin2C，(1)求a，b，c的值；(2)若a，b，c成等差数列，已知f(x)=√bsinωx+(a−c)cos2ωx2(x∈R)，其中ω>0对任意的t∈R，函数f(x)在x∈[t,t+π)的图象与直线y=−1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值(不必证明)，并求出函数f(x)的单调增区间．22.在等差数列{a n}中，a1=1，a5=9，数列{a n}、{b n}满足a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a nb n=6−a n+2b n(n∈N∗).(Ⅰ)求证：数列{b n}是等比数列；(Ⅱ)求数列{2+a nb n}的前n项的和S n．【答案与解析】1.答案：C解析：解：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5−S 2=a 13，则a 5+a 4+a 3=3a 4=a 13， ∵a 4=9， ∴a 13=27， ∴{a 1+3d =9a 1+12d =27， 解得a 1=3，d =2 ∴S 10=10×3+10×92×2=120，故选：C ．根据等差中项的性质可得3a 4=a 13，即可得到{a 1+3d =9a 1+12d =27，解得求出首项和公差，利用求和公式即可求出．本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.答案：B解析：试题分析：的三个内角A 、B 、C 成等差数列，所以，，又，所以，．设为边上的中点，则，又，所以，，即，故△ABC 为等边三角形，选．考点：等差数列，平面向量的数量积，平面向量的垂直．3.答案：D解析：解：将各数据按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91． 可见：极差是91−78=13①是错误的； 众数是83，②是错误的； 中位数是83+852=84，∴③是正确的； 78+83+83+85+90+916=85，∴④是正确的．正确的是③④； 故选D根据统计知识，将数据按从小到大排列，求出相应值，即可得出结论本题借助茎叶图考查了统计的基本概念，属于基础题．4.答案：B解析：解：由于①中，不同个体的差异较大，∴应采用分层抽样方法；由于②中，个体数量较小，个体之间差异不大，∴应采用简单随机抽样，故选：B．根据分层抽样方法与简单随机抽样方法的特征，可得答案．本题考查了三种抽样方法，熟练掌握分层抽样方法与简单随机抽样方法的特征是解题的关键．5.答案：A解析：解：∵线性回归方程为y=a+bx，∴y=a+bx必过点(x,y)，故选：A．本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法，我们可知(x,y)在回归直线上．在回归分析中，回归直线方程y=a+bx必过点(x,y)是很重要的性质．6.答案：C解析：解：l，m是平面α外的两条不同直线，①，若l⊥m，m//α，可能l//α或l⊥α，故①错误；②，若l⊥m，l⊥α，由线面垂直的性质和线面平行的判定定理可得m//α，故②正确；③，若m//α，l⊥α，由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可得l⊥m，故③正确．其中正确个数为2．故选：C．由线面平行的性质和判定，以及线面的位置关系可判断①；由线面垂直的性质和线面平行的判定定理，可判断②；由线面平行和线面垂直的性质定理可判断③．本题考查空间线线、线面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的判定和性质的运用，考查推理能力，属于基础题．7.答案：C解析：因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)，故选C．8.答案：C解析：解：设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1+2d =3a 1a 1+d =3a 1−1，所以a 1=1，d =1，S n =n(n+1)2，所以S nn =n+12，数列{S nn }的前10项和T 10=10(1+10+12)2=652，故选：C ．求出数列的首项与公差，然后求解数列{Snn}的通项公式，然后求解和即可． 本题考查数列的求和的方法，等差数列的通项公式以及数列求和，考查计算能力，是基础题．9.答案：B解析：试题分析：由正弦定理得，所以，因为a <b ，所以或，选B ．考点：正弦定理的应用10.答案：C解析：试题分析：由三视图可知，该几何体为一条侧棱垂直于底面的三棱锥，底面是边长为2 的正三角形，垂直于底面的侧棱长为2 ，则最长棱的棱长为考点：三视图11.答案：B解析：解：由题得：B(−x,y)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2x,0)．∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+a ⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−2x ≤0 ∴不等式OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+a ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤0， 转化为(x −1)2+y 2≤1，故点A 在以(1,0)为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部． 设x −y =k ，则圆心到直线x −y −k =0的距离d =√2≤1，解得1−√2≤k ≤1+√2， 故选B先求出点B 的坐标，并用点A 的坐标表示出，利用向量的数量积的基本运算及性质即可求解 本题主要考查了向量在几何中的应用，向量的基本运算以及计算能力和转化思想的应用，属于中档题．12.答案：D解析：解：∵a =6，c =4，sin B2=√33，∴cosB =1−2sin 2B2=1−2×(√33)2=13，∴由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =√36+16−2×6×4×13=6．故选：D ．由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos B 的值，根据余弦定理即可计算得解b 的值．本题主要考查了二倍角公式以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．13.答案：[1,√2]解析：由题意作图如下，可知x +y =cosa +sina(0≤a ≤π2)，从而可得其取值范围．本题考查了平面向量的基本定理及其几何意义，属于基础题． 解：如下图：OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cosa OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +sina OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则x +y =cosa +sina =√2sin(a +π4)(0≤a ≤π2)， 因为0≤a ≤π2， 所以π4≤a +π4≤3π4，所以√22≤sin(a +π4)≤1，即x +y ∈[1,√2].故答案为[1,√2].14.答案：2335m解析：本题以实际问题为载体，考查正弦定理的运用，关键是理解俯角的概念，属于中档题．先求AB的长，在△ABC中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山顶的海拔高度．解：∵∠A=15°，∠DBC=45°，∴∠ACB=30°，AB=50×420=21000(m)，∴在△ABC中，BCsinA =ABsin∠ACB，∴BC=21000×sin15°12=10500(√6−√2)，∵CD⊥AD，∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin45°=10500(√6−√2)×√22=10500(√3−1)≈10500(1.73−1)=7665，山顶的海拔高度=10000−7665=2335m，故答案为2335m．15.答案：52解析：解：2xx+2y +x+yx=21+2yx+1+yx，令t=1+2yx (t>1)，则yx=t−12，∴2xx+2y +x+yx=2t+t−12+1=2t+t2+12≥2√2t⋅t2+12=52，当且仅当x=2y时取得等号．故填：52．2x x+2y +x+yx=21+2yx+1+yx，换元后即可得到其最小值．本题考查了基本不等式，换元法，考查分析解决问题的能力，计算能力，属于中档题．16.答案：48解析：解：由棱柱有8个面，得棱柱为六棱柱，设棱柱的侧棱长为a，则6a=24，所以a=4．若此棱柱的一底面的面积为2cm2，且高等于侧棱长等于4cm，则其体积V=2×4=8cm3．故答案为：4；8．由已知可得棱柱为六棱柱，由侧棱长的和求得每条侧棱的长，再由体积公式求体积．本题考查棱柱的结构特征和棱柱体积的求法，是基础题．17.答案：解：(1)由已知得S △ABC =12AB ×AC ×sin∠BAC =sin∠BAC ，又∵∠BAC ∈(0,π)，∴当∠BAC =π2时，(S △ABC )max =1．(2)∵△ABC 的两边AB =2，AC =1，点D 在BC 边上，且满足|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=21，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵M 是AD 的中点，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ① ∵P ，M ，Q 三点共线，∴PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ② 又∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ③，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ④，将①③④代入②式化简得 (16−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =μt AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −λt AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， ∴{16−λ=−λt 13=μt两式相除消去t 整理后得1λ+2μ=6(定值)．(3)由题意S 2=12|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin∠PAQ ，S 1=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin∠BAC ， ∴S2S 1=|AP⃗⃗⃗⃗⃗ ||AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=λμ，又1λ+2μ=6，∴λ=μ6μ−2≤1得25≤μ≤1， ∴S 2S 1=μ26μ−2，(25≤μ≤1) 令ω=μ26μ−2，∵ω′=6μ(μ−23)(6μ−2)2，当25≤μ≤23时，ω′<0，ω(μ)递减， 当23<μ≤1时，ω′>0，ω(μ)递增，∴ωmin =ω(23)=29，又ω(1)=14，ω(25)=25∴ωmax =25，∴S 2S 1取值范围是[29,25].解析：(1)由利用三角形的面积公式结合正弦函数的性质可知，当∠BAC =90°时，三角形ABC 面积最大；(2)由|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |可得线段AD 是∠BOC 的角平分线，则BD =23BC ，则向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可用向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 也可用基底表示，再根据P ，M ，Q 三点共线列出关于λ，μ的方程，问题获解；(3)利用三角形的面积公式容易将面积之比转化为边长之比，结合第(2)问的结果将比值转化为关于λ或μ的函数求值域．本题综合性较强，以考查向量在几何中的应用为载体，考查了函数的值域的求法等等，有一定难度．18.答案：解：(Ⅰ)由题意得2S3=−2S2+4S4，即(S4−S2)+(S4−S3)=0，亦即(a4+a3)+a4=0，∴a4a3=−12，∴公比q=−12，…4分于是数列{a n}通项公式为a n=32(−12)n−1(n∈N∗).…5分(Ⅱ)b n=n|a n|=n⋅32⋅(12)n−1=3n2n，所以T n=b1+b2+b3+⋯+b n=321+622+923+⋯+3n2n，①1 2T n=322+623+⋯+3(n−1)2n+3n2n+1，②…8分①−②得，12T n=321+322+323+⋯+32n−3n2n+1=312×(1−12n)1−12−3n2n+1=3−3n+62n+1，∴T n=6−3n+62n，…11分∴T n+b n=6−62n<6….12分．解析：(Ⅰ)由题意得2S3=−2S2+4S4，由此求出公比q=−12，从而能求出数列{a n}通项公式．(Ⅱ)b n=n|a n|=n⋅32⋅(12)n−1=3n2n，由此利用错位相减法能求出T n=6−3n+62n，并求出T n+b n=6−62n<6．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19.答案：解：(Ⅰ)我校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130的有95%人，语文成绩特别优秀的概率为：p1=1−0.95=0.05，语文特别优秀的同学有100×0.05=5人，数学成绩特别优秀的概率为：p2=0.002×20=0.04，数学特别优秀的同学有100×0.04=4人．语文数学两科都优秀的有3人，单科优秀的有3人，记两科都优秀的3人分别为A1、A2、A3，单科优秀的3人分别为B1、B2、B3，从中随机抽取2人，共有：(A1,A2)、(A1,A3)、(A2,A3)、(A1,B1)、(A1,B2)、(A1,B3)、(A2,B1)、(A2,B2)、(A2,B3)、(A3,B1)、(A3,B2)、(A3,B3)、(B1,B2)、(B1,B3)、(B2,B3)15种，其中这两人两科成绩都优秀的有：(A1,A2)、(A1,A3)、(A2,A3)3种，这两人两科成绩都优秀的概率：P=315=15．(Ⅱ)2×2列联表：语文特别优秀语文不特别优秀合计数学特别优秀314数学不特别优秀29496合计595100∴K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(3×94−1×2)24×96×5×95=245057≈42.982>6.635；∴有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．解析：(Ⅰ)列出所有基本事件，利用古典概型计算即可；(Ⅱ)根据题目所给的数据填写2×2列联表即可计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是中档题目．20.答案：解：(1)证明：根据题意，有平面A′BD⊥平面BCD，由于A′F⊥BD于F，A′D=A′B，∴F为BD的中点．又∵E为BC的中点，∴EF//CD．再根据CD⊂平面A′CD，而EF不在平面A′CD内，∴EF//平面A′CD．(2)连接CF，∵平面A′BD⊥平面BCD，A′F⊥BD，∴A′F⊥平面BCD，∴∠A′FC=90°．∴A′C2=A′F2+FC2=(√22a)2+(a)2=a2．∴△A′BC和△A′DC都为边长为a的等边三角形．∴S 侧=S A′BD +S A′BC +S A′CD =12⋅√2a ⋅√22a +解析：(1)根据题意，F 为BD 的中点．又E 为BC 的中点，可得EF//CD.再根据直线和平面平行的判定定理证得EF//平面A′CD ．(2)连接CFCF ，根据AA′F ⊥平面BCD ，可得∠A′FC =90°，△A′BC 和△A′DC 都为边长为a 的等边三角形，再根据S 侧=S A′BD +S A′BC +S A′CD ，运算求得结果21.答案：解：(Ⅰ)cosC =2cos 2C 2−1=2×(√64)2−1=−14；(Ⅱ)(1)若ab =6，且sin 2A +sin 2B =1316sin 2C ， 根据正弦定理得：a 2+b 2=1316c 2，则根据余弦定理得：c 2=a 2+b 2−2abcosC ， ∴c 2=16，∴c =4， ∴{a =2b =3或{a =3b =2； (2)取a =2，b =3.c =4，则f(x)=2sin(ωx −π6)−1， 由题意得：T =π，∴ω=2，f(x)=2sin(2x −π6)−1， 则−π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ，k ∈Z ， ∴x ∈[−π6+kπ,π3+kπ](k ∈Z)时，f(x)单调递增．解析：(Ⅰ)根据二倍角的余弦函数公式结合已知条件，即可求出cos C 的值；(Ⅱ)(1)利用正弦定理化简已知的等式，得到一个关系式，再利用余弦定理表示出另外一个关系式，即可求出c 的值，进一步求出a 与b 的值；(2)根据a ，b ，c 成等差数列确定出a ，b ，c 的值，代入f(x)中，利用周期公式由f(x)的周期求出ω的值，确定出f(x)的解析式，根据正弦函数的单调增区间即可求出f(x)的增区间．本题考查灵活运用正弦、余弦定理，考查运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，考查学生分析问题，解决问题的能力，是一道中档题．22.答案：(Ⅰ)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1=1，a 5=9，∴9=1+4d ，解得d =2．∴a n =1+2(n −1)=2n −1．数列{a n}、{b n}满足a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a nb n=6−a n+2b n(n∈N∗).∴n=1时，a1b1=6−a3b1，可得1b1=6−5b1，解得b1=1．n≥2时，a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a n−1b n−1=6−a n+1b n−1(n∈N∗).∴a nb n =a n+1b n−1−a n+2b n，即2a n+1b n=a n+1b n−1，∴b nb n−1=2．∴{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．(Ⅱ)由(I)可得：b n=2n−1．∴2+a nb n =2n+12n−1，数列{2+a nb n }的前n项的和S n=3×1+5×12+7×(12)2+⋯+(2n+1)×(12)n−1，∴12S n=3×12+5×(12)2+⋯+(2n−1)×(12)n−1+(2n+1)×(12)n，1 2S n=3+2[12+(12)2+⋯(12)n−1]−(2n+1)×(12)n=3+2×12(1−12n−1)1−12−(2n+1)×(12)n，∴S n=10−2n+52n−1．解析：(I)利用等差数列的通项公式可得a n，利用数列递推关系与等比数列的通项公式即可得出．(II)利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
重庆八中2010-2011学年高一下学期期末考试数学试题.pdf
重庆八中2010——2011学年度（下）期末考试高一年级 数 学 试 题 一.选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知数列为等比数列，且，则公比 （A） （B） （C） （D） （2）已知中，，那么角 （A） （B） （C） （D） （3）已知，则的最小值为 （A） （B） （C） （D） （4）若，那么下列不等式中正确的是 （A） （B） （C） （D） （5）袋内装有个球，每个球上都记有从到的一个号码，设号码为的球重克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）.任意取出球，其重量大于号码数的概率 （B） （C） （D） （6）实数均为正数，且，则的最小值为 （A） （B） （C） （D） （7）为了解某校身高在的高一学生的情况，随机地抽查了该校名高一学生，得到如图所示频率直方图.由于不慎将部分数据丢失，但知道前组的频数成等比数列，后组的频数成等差数列，设最大频率为，身高在的学生数为，则的值分别为 （A） （B） （C） （D） （8）若执行如图所示的程序框图，当输入，则输出的值为 （A） （B） （C） （D） （9）锐角三角形中，内角的对边分别为，若，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （10）已知数列满足，且，其前项之和为，则满足不等式的最小整数是 （A） （B） （C） （D） 二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知等差数列，若，则__________. （12）某校有教师人，男学生人，女学生人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从男生中抽取的人数为人，则__________. （13）现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在的三个顶点处，则处不安装红灯的概率为__________. （14）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中位居民的月均用水量分别为.根据图所示的程序框图，若知分别为，则输出的结果为__________. （15）在中，内角的对边分别为，若，且，则的面积最大值为__________. 三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．） 设是公差大于的等差数列，，. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和. （17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分．） 已知的平均数是，方差是. （Ⅰ）求数据的平均数和方差； （Ⅱ）若是的平均数，是的平均数.试用表示. （18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问2分，（Ⅲ）小问7分．） 已知数列的通项公式为，为了求数列的和，现已给出该问题的算法程序框图. （Ⅰ）请在图中执行框①②处填上适当的表达式，使该算法完整； （Ⅱ）求时，输出的值； （Ⅲ）根据所给循环结构形式的程序框图，写出伪代码. （19）（本小题满分1２分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．） 已知函数，. （Ⅰ）求的定义域； （Ⅱ）若的定义域为，求当时的取值范围. （20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分．） 已知变量. （Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求的概率； （Ⅱ）若是从区间中任取的一个数，是从区间中任取的一个数，求的概率. （21）（本小题满分1２分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．） 已知各项均为正数的数列，其前项和为，且满足. （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）若数列的前项和为，求证：当时，. 重庆八中2010——2011学年度（下）期末考试高一年级 数学试题参考答案 选择题 9．由题意得，又 ，所以 即 10．因为，所以，所以用分组求和可得，所以显然最小整数为． 填空题 11． 12． 13． 14． 15． 15．由余弦定理可得，所以，化简可得即当且仅当时等号成立，所以三角形的面积，所以最大值为． 三、解答题 16． 解：（Ⅰ）由题意 由得…………………………3分 化简得解得或（舍） 所以………………6分 （Ⅱ）由题意………………8分 所以 ………13分 17．解：（Ⅰ）由题意有 设数据的平均数和方差分别为，则 ………5分 ……………………………9分 （Ⅱ） …………13分 18．解：（Ⅰ）第①处填 第②处填………………4分 （Ⅱ）时，………………6分 （Ⅲ） ………………………13分 19．解：（Ⅰ）由题意得 所以的定义域为……………………4分 （Ⅱ）因为，所以即 由于的定义域为，所以， 所以………………6分 由以上结论可得 且即 ①当时， ②当时，………………12分 20．解：设事件为“”． 当，时，对成立的条件为． （Ⅰ）基本事件共12个： ．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值． 事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为．…………6分 （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为． 构成事件的区域为． 所以所求的概率为．…………12分 21． 解：（Ⅰ）因为……① ，所以得（舍） 且……②， ①-②得化简得 因为数列各项均为正数，所以即 所以为等差数列， 经检验，也符合该式 ………………………………5分 （Ⅱ）当时， 得证…………12分 图4 图3 图2 图1。
重庆八中高一数学下学期期末考试试题
重庆八中2021—2021学年度（下）期末考试高一年级数 学 试 题一.选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个备选项 中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
（1）不等式2320x x -+<的解集为（ ）A ．(1,2)B ．(,1)(2,)-∞+∞C ．(,1)-∞D ．(2,)+∞（2）等比数列{}n a 中，1358a a a =，那么3a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（3）过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线:210l x y --=垂直，那么m 的值为（ ） A ．10B ．2C ．0D ．8-（4）圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是（ ）A ．内切B ．相离C ．相交D ．外切（5）某程序的框图如下图，假设输入的p 为16，那么输出的n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 （6）设nS 为数列{}n a 的前n 项和，且21()n n a S n N +-=∈，那么6a =（ ）A ．16B ．27C ．32D ．64（7）平面//α平面β的一个充分条件是（ ）A ．存在一条直线a ，//a α，//a β；B ．存在一条直线a ，a α⊂，//a β；C ．存在两条平行直线,a b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α；D ．存在两条异面直线,a b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α.（8）已知实数0a >，,x y 知足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，假设2z x y =+的最小值为1，那么实数a 的值是（ ）A ．12B ．14C ．2D ．1（9）已知圆C 的方程为22680x y x y +--=.假设等差数列{}n a 中的1211,,,a a a 是该圆过点(3,8)的11条弦的长，那么{}n a 的公差的最大值是（ ）.A ．15B ．25C ．12D ．23（10）已知实数0,0x y >>，02λ<<，且3x y +=，那么122(2)x y y λλ++-的最小值为（ ） A ．32B ．2C ．83D ．3二.填空题，本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上。
重庆市第八中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题
重庆市第八中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，41a =-，则5=S （ ）A ．10B ．5C ．0D ．2-2．已知(2,3)a =-，a 与b 的夹角为60︒，则a 在b 方向上的投影为（ ）A ．2B ．72C ．27D ．73．已知某班级17位同学某次数学联合诊断测试成绩的茎叶图如图所示，则这17位同学成绩中位数为（ ）A ．91B ．92C ．94D ．954．总体由编号为01，02，...，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）7961 9507 8403 1379 5103 2094 4316 83171869 6254 0738 9261 5789 8106 4138 4975A ．20B ．18C ．17D ．165．已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润依次统计如表：由此所得回归方程为ˆ12yx a =+，则a 为（ ）A ．4-B ．6-C ．8-D ．10-6．设α，β是两个不同的平面，是m ，n 两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若//m n ，//m α，则//n αB ．若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ⊥C ．m α⊂，n β⊂，//m n ， 则//αβD ．若n ⊂α，//m n ，m β⊥，则αβ⊥ 7．如果实数m ，n ，满足：0m n <<，则下列不等式中不成立的是（ ）A ．m n >B ．11m n m >-C ．11n m <D ．220n m -< 8．在数列{}n a 中，11a =-，23a =-，23n n a a +=-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2022S =（ ）A ．4-B ．1-C ．0D ．39．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22tan tan B C b c =，则ABC 的形状为（ ）A ．等腰三角形或直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形10．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，己知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为214π3R ，设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V ，下部分（半球）的体积为2V ，则21V V =（ ）A ．2B ．32C ．12D ．111．设,,a b c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知D 是BC 边的中点，且2221a b c --=，则AB DA DB →→→⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．2BC ．12D ．12．在锐角ABC 中，若cos cos sin sin 3sin A C B C a c A+=cos 2C C +=，则+a b 的取值范围是（ ）A ．(B ．(0,C ．(D ．(6, 13．设D 为ABC 的边AC 靠近A 的三等分点，13BD BA BC λ=+，则λ=________. 14．甲船正离开岛A 沿北偏西10︒的方向以每小时1海里的速度航行，乙船在岛A 处南偏西50︒的B 处，且AB 的距离为2海里，若乙船要用2小时追上甲船，则乙船速度大小为每小时________海里.15．已知0m >，0n >，且111223m n +=++，则2m n +的最小值为________. 16．如图，四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 满足：AB AD ⊥，BC CD ⊥，2AD AB =，CD BC =，设三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的外接球的体积分别为1V ，2V ；三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的体积分别为3V ，4V .则1V 与2V 的大小关系是：________3V 与4V 的大小关系是：________（用“>”“=”“<”填空）17．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =，()3,b k =-，()2,4c =-. （1）若()//(2)ma c a c +-，求m ；（2）若()a a b ⊥+，c a b λμ=+，求λμ+.18．已知两个等差数列{}n a ，{}n b ，其中11a =，16b =，30b =，记{}n a 前n 项和为n T ，222n n n T =+.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =+，设123n n S c c c c =++++，求n S .19．受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学.某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程，该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了500名学生对该线上课程平方.其频率分布直方图如图：若根据频率分布直方图得到的评分低于80分的概率估计值为0.45.（1）（i ）求直方图中a ，b 值（ii ）若评分的平均值不低于80分视为满意，判断该校学生对线上课程是否满意？并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）若采用分层抽样的方法，从样本评分在[60,70)和[90,100]内的学生共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少1人评分在[90,100]内的概率20．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是长方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，2PD DC ==，E 是PC 的中点.（1）证明：//PA 平面BDE ；（2）若点F 在线段PB （不包含端点）上，二面角A PD B --为45︒，且直线PB ⊥平面DEF ，求线段DF 的长.21．如图，在ABC 中，2AB =，π3B ∠=，点D 在线段BC 上.（1）若1cos 3ADC ∠=-，求AD 的长；（2）若2BD DC =，sin BAD CAD ∠=∠，求ABC 的面积22．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3a ，232a ，12a 成等差数列，且1152a ≠，430S =.（1）求等比数列{}n a 的通项公式（2）若2log n n b a =，111(1)n n nn c b b +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求n c 前2020项和2020T ； （3）若112(1)n n n nd d a -+=-，13521m m P d d d d -=++++，2462m m Q d d d d =++++，m G 是m P 与m Q 的等比中项且0m G >，对任意*,s t ∈N ，s t G G ρ-≤ ，求ρ取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】求出等差数列{}n a 的首项和公差后可求5S .【详解】因为23a =，41a =-，故13242d --==--， 故12(2)5a a =--=，故()55455252S ⨯=⨯+⨯-=， 故选：B.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的计算，依据题设条件求出基本量即可，本题属于基础题. 2．A【解析】【分析】第一个向量在第二个向量上的投影，等于两向量的数量积除以第二个向量的模，根据题意即可计算得解．【详解】(2,3)a =-，a 与b 的夹角为60︒，||7a ∴=， 7·cos 602a b a b b =︒=， ∴a 在b 方向上的投影为7||a b b =． 故选：A ．【点睛】本题考查两向量数量积的几何意义，属于基础题．3．B【解析】【分析】本题根据茎叶图写出数据从小到大或从大到小顺序，然后最中间的数据就是中位数．【详解】数据从小到大或从大到小顺序，然后最中间的数据就是中位数．将所有数排序，76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103.114，中位数为第9项92，故选：B．【点睛】本题考查根据茎叶图来计算中位数，是基础性题目．4．D【解析】【分析】利用随机数表从给定位置开始依次取两个数字，根据与20的大小关系可得第5个个体的编号.【详解】从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始由左向右依次选取两个数字，小于或等于20的5个编号分别为：07，03，13，20，16，故第5个个体的编号为16.故选：D.【点睛】本题考查随机数表抽样，此类问题理解抽样规则是关键，本题属于容易题.5．B【解析】【分析】计算平均数x、y，代入回归方程中求得a；【详解】解：计算平均数为1(8.27.887.98.1)85x=⨯++++=，1(9289898793)90 5y=⨯++++=．代入回归方程中，得90128a=⨯+，解得6a =-，故选：B ．【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的问题，属于基础题．6．D【解析】【分析】选项A 可考虑直线n 是否在平面α内作出判断；选项B 找到反例即可作出判断；选项C 中满足条件的,αβ的所有情况都考虑到即可判断；选项D 根据面面垂直的判定定理判断即可.【详解】选项A ，直线n 可能在平面α内，错误；选项B ，两个垂直平面内的直线未必垂直，也可以平行，错误；选项C ，α与β相交或平行，错误；选项D ，n ⊂α，//n m ，且m β⊥，则必有n β⊥，根据面面垂直的判定定理知，αβ⊥，正确.故选：D【点睛】本题主要考查了面面平行的判定，面面垂直的判定，考查了空间想象力，属于中档题. 7．B【解析】【分析】利用不等式的性质对四个选项逐一判断正确与否，即可得出正确答案.【详解】对于选项A ：0m n << ，m n > 成立，故A 选项成立，对于选项B ：0m n << ，0n -> ，0m n m >->，所以11m n m <-，故B 选项不成立， 对于选项C ：0m n <<， 11m n> ，故C 选项成立， 对于选项D ：0m n <<，0n m +< ，0n m ->，所以220n m -<，故D 选项成立故选：B【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.8．A【解析】【分析】由已知结合数列递推公式分别求出数列的前几项，可得数列是周期为4的周期数列，则2022S 可求．【详解】由11a =-，23a =-，23n n a a +=-，得33a =，41a =，51a =-，63a =-，73a =，81a =，91a =-，⋯，可知数列{}n a 是周期数列，且周期为4．则2022123412505()4S a a a a a a =+++++=-．故选：A ．【点睛】本题考查数列递推公式，考查数列的函数特性，训练了数列周期性的应用，是中档题． 9．A【解析】【分析】由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin 2sin 2B C =，可得22B C =，或22B C π+=，解得B C =，或2B C π+=，即可判断ABC ∆的形状．【详解】22tan tan B C b c=， ∴22sin sin cos cos B C b B c C =，由正弦定理可得：22cos cos b c b B c C=， 可得：cos cos b B c C =，可得sin cos sin cos B B C C =，可得：sin 2sin 2B C =， 22B C ∴=，或22B C π+=，B C ∴=，或2B C π+=，ABC ∆∴的形状为等腰三角形或直角三角形．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 10．C 【解析】 【分析】设圆柱的高为h ，表示出表面积可得43h R =，再分别表示出1V ，2V ，由此能求出21V V【详解】设酒杯上部分高为h ， 则酒杯内壁表面积221144223S R Rh R πππ=⨯+=， 解得43h R =， ∴23143V R h R ππ==，332142233V R R ππ=⨯=，∴2112V V =． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查圆柱、球体的表面积与体积公式，考查运算求解能力，是中档题． 11．C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及数量积的定义可得cos AB DA DB bc A →→→⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭，利用余弦定理及条件即可求解. 【详解】设M 是AB 边上的中点，又D 是BC 边的中点， 所以2DM CA =,)2cos cos AB DA DB AB AB CA bc A bc A DM π→→→→→→→=⎛⎫∴⋅+=⋅⋅=-=- ⎪⎝⎭(, 2221a b c --=,2221cos 22b c a A bc bc+-∴==-， ∴11()22AB DA DB bc bc →→→⎛⎫⋅+=-⨯-= ⎪⎝⎭， 故选：C 【点睛】本题主要考查了向量的数量积定义，向量的线性运算，余弦定理，属于难题. 12．D 【解析】 【分析】cos 2sin()26C C C π+=+=，可得3C π=；再结合正弦定理余弦定理，将cos cos sin sin3sin A C B Ca c A+=中的角化边，化简整理后可求得c =；根据锐角ABC ∆和3C π=，可推出(6A π∈，)2π，再根据可得4sin a A =，4sin b B =，于是24(sin sin )4[sin sin()]3a b A B A A π+=+=+-，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解． 【详解】cos 2sin()26C C C π+=+=，得262C k πππ+=+，k Z ∈，(0,)2C π∈，3C π∴=．由正弦定理知，sin sin B bA a=， 由余弦定理知，222cos 2b c a A bc+-=，cos cos sin sin 3sin A C B Ca c A+=，∴22211223b c a bbc a c a +-⨯+=)0b c =， 0b ≠，c ∴=由正弦定理，有4sin sin sin a b c A B C ====，4sin a A ∴=，4sin b B =， 锐角ABC ∆，且3C π=，(0,)2A π∴∈，2(0,)32B A ππ=-∈，解得(6A π∈，)2π，214(sin sin )4[sin sin()]4(sin sin ))326a b A B A A A A A A ππ∴+=+=+-=++=+，(6A π∈，)2π，(63A ππ∴+∈，2)3π，sin()6A π+∈1]， a b ∴+的取值范围为(6，．故选：D ． 【点睛】本题考查解三角形中正弦定理与余弦定理的综合应用，还涉及三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的基础公式，并运用到了角化边的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 13．23【解析】 【分析】利用三角形法则推出2133BD BA BC =+，与已知比较可得λ． 【详解】 解：如图，1121()3333BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+，则23λ=， 故答案为：23【点睛】本题考查了平面向量基本定理，属于基础题．14【解析】 【分析】由题意画出示意图三角形ABC （假设在C 处追上），然后设乙船速度为x ，由此表示出BC 的长度，求出AC 的长度，在借助于余弦定理求出BC 的长，则速度可求． 【详解】解：由题意，设乙船的速度为x ，且在C 处乙船与甲船相遇， 做出图形如右：所以1801050120BAC ∠=︒-︒-︒=︒．由题意知2AB =，122AC =⨯=，2BC x =，120BAC ∠=︒．在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠． 即2444222cos12012x =+-⨯⨯︒=，所以23x =，x =/小时）．【点睛】本题考查解三角形的应用举例问题，根据题意建立合适的解三角形模型，运用正余弦定理构造方程求解，属于中档题．15．3+【解析】 【分析】先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t +的最小值即可得解． 【详解】解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113s t +=，2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-，而112223(2)()3(12)3(32)3(322)s t s ts t s t s t t s t s+=++=+++⨯+=+，当且仅当2s t t s =，即s =时，等号成立．2s t ∴+的最小值为3(3+，2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+．故答案为：3+ 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题． 16．= < 【解析】 【分析】由AB AD ⊥，BC CD ⊥，可得ABD ∆与ACD ∆的外接圆相同（四点共圆），说明三棱锥P ACD -的外接球相同，得到12V V =；利用已知条件，推出C 到AD 的距离大于B 到AD的距离，然后推出34V V <． 【详解】 解：AB AD ⊥，BC CD ⊥，90BAD BCD ∴∠=∠=︒，ABD ∴与ACD △的外接圆相同（四点共圆）， 则三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的外接球相同，12V V ∴=；连接BD ，2AD AB =，ABD ADB ∴∠>∠，CD BC =，CBD CDB ∴∠=∠，得ABC ∠为钝角，C ∴到AD 的距离大于B 到AD 的距离，ABDACDSS∴<，而三棱锥P ABD -与三棱锥P ACD -的高相同，故34V V <， 故答案为：=；<．【点睛】本题考查直线与直线垂直的判定，几何体的体积与面积的求法，考查逻辑推理能力以及计算能力，属于中档题． 17．（1）2-；（2）225. 【解析】 【分析】（1）可以求出(2,24)ma c m m +=-+，2(4,0)a c -=，根据()//(2)ma c a c +-即可得出m 的值；（2）可以求出(2,2)a b k +=-+，根据()a a b ⊥+即可求出k 的值，进而可得出(3λμ-，2)(2λμ-=-，4)，从而可得出λ，μ的值．【详解】（1）(2,24)ma c m m +=-+，2(4,0)a c -=，()//(2)ma c a c +-，240m ∴+=，解得2m =-；（2）(2,2)a b k +=-+，且()a a b ⊥+，∴()22(2)0a a b k +=-++=，解得1k =-， ∴(3,2)(2,4)c a b λμλμλμ=+=--=-，∴3224λμλμ-=-⎧⎨-=⎩，解得14585λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴225λμ+=． 【点睛】本题考查了向量坐标的加法、减法和数乘运算，向量垂直的充要条件，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．18．（1）n a n =，93n b n =-；（2）228,14832,4n n n n S n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩. 【解析】 【分析】（1）根据{}n b 是等差数列，16b =，30b =，即可得{}n b 的通项公式，利用{}n a 前n 项和为222n n nT =+，令2n =，可求2T ， 212=T a a +，可得2a ，即可求出{}n a 公差，从而求出{}n a 的通项公式（2）由（1）可知92n n n c a b n =+=-，92,1429,4n n n c n n -≤≤⎧=⎨->⎩，分14n ≤≤和4n >两段求和即可. 【详解】由{}n a 前n 项和为222n n nT =+，且{}n a 是等差数列，知212=2+1=T a a +，又因为11a =，所以2=2a ，即公差1d = 所以()1+1n a n n =-=； 由16b =，30b =知公差为31331b b -=-- ，所以()()613=93n b n n =+-⨯--.（2）由（1）知92n n nc a b n =+=-，92,1429,4n n n c n n -≤≤⎧=⎨->⎩， 当14n ≤≤时，279282n nS n n n +-=⨯=-； 当4n >时，2129(7531)(4)8322n n S n n n +-=++++⨯-=-+， 所以228,14832,4n n n n S n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩. 【点睛】本题主要考查了等差数列求通项公式，以及等差数列求和，属于中档题. 19．（1）（i ）0.01a =，0.04b =；（ii ）满意，理由见解析；（2）910. 【解析】 【分析】（1）()i 利用频率分布直方图的性质能求出a ，b ． ()ii 由频率分布直方图能求出评分的平均值．（2）由题知评分在[60，70)和[90，100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60，70)内的为2人，评分在[90，100)的有3人，记评分在[90，100)内的3位学生为a ，b ，c ，评分在[60，70)内的2位学生为D ，E ，从这5人中任选2人，利用列举法能求出这2人中至少1人评分在[90，100]内的概率． 【详解】解：（1）（i ）由已知得(0.0050.03)100.45a ++⨯=， 解得0.01a =，又(0.015)100.55b +⨯=，∴0.04b =. （ii ）由频率分布直方图得评分的平均值为550.05650.17503850.4950.1580⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴该校学生对线上课程满意.（2）由题知评分在[60,70)和[90,100]内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，评分在[60,70)内的为2人，评分在[90,100)的有3人，记评分在[90,100]内的3位学生为a ，b ，c ，评分在[60,70)内的2位学生D ，E ，则从5人中任选2人的所有可能结果为：(,)a b ，(,)a c ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b c ，(,)b D ，(,)b E ，(,)c D ，(,)c E ，(,)D E ，共10种，∴这2人中至少一人评分在[90,100]的概率为910P =. 【点睛】本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，属于基础题．20．（1）证明见解析；（2）3. 【解析】 【分析】（1）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ，推导出//OE PA ，由此能证明//PA 平面BDE ． （2）求出二面角的平面角45ADB ∠=︒，AD DC ⊥，以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段DF 的长． 【详解】解：（1）证明：连接ACBD O =，连接OE ，底面ABCD 为长方形，∴O 为对角线AC ，BD 的中点， 又E 是PC 中点，∴//OE PA ，∵OE 在平面BDE 内，PA 不在平面BDE 内，∴//PA 平面BDE ；（2）由PD ⊥底面ABCD ，知PD AD ⊥，PD BD ⊥，即二面角A PD B --的平面角45ADB ∠=︒，又90A ∠=︒，可知2AD AB CC ===，底面ABCD 为正方形，AD DC ⊥， 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，2PD DC ==，有(2,0,0)A ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(2,2,0)B ，假设PB 上存在点F ，使得PB DEF ⊥平面，设(01)PF PB λλ=<<，(,,)F x y z ， 则(,,2)(2,2,2)x y z λ-=-， ∴(2,2,22)F λλλ-，∴(2,2,22)DF λλλ=-，(2,2,2)PB =-， 由0PB DF ⋅=得442(22)0λλλ+--=，解得13λ=，∴224,,333F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2||3DF ⎛== . 【点睛】本题考查线面平行的证明和利用空间向量求线段的长度，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．21．（1；（2【解析】 【分析】（1）根据诱导公式，易知1cos cos 3ADB ADC ∠=-∠=，再由同角三角函数的平方关系知，sin ADB ∠=ABD △中，由正弦定理，代入数据即可得解； （2）在ABD △、ACD △中分别利用正弦定理， 可得sin sinsin sin BD CAD AB ADCBAD CD ADB AC∠∠=∠∠，代入已知条件可求得AC =再在ABC中，由余弦定理，可解得3BC =，最后根据1sin 2ABC SAB BC B =即可得解． 【详解】 解：（1）由1cos 3ADC ∠=-，得1cos cos 3ADB ADC ∠=-∠=，∴sin ADB ∠=， 由正弦定理得sin sin AD AB B ADB=∠23=AD =； （2）在BDA 中，由正弦定理，sin sin BD BA BAD BDA=∠∠①， 在CDA 中，由正弦定理，sin sin DC AC CAD CDA=∠∠②， 又sin sin BDA CDA ∠=∠，2BD DC =，sin BAD CAD ∠=∠， 由①②得，AC = 由余弦定理可得，2222cos AC BA BC BA BC B =+-⋅⋅，即2742BC BC =+-，解得3BC =或1-（舍负），，∴1sin 22ABC S BA BC B =⋅⋅=△. 【点睛】本题考查解三角形中正弦定理和余弦定理的综合应用，还涉及诱导公式、同角三角函数的平方关系等基础公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22．（1）2n n a =；（2）20202021-；（3）1[2，)+∞．. 【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠．可知若1q =时，原题意不成立；当1q ≠时，由已知列关于首项与公比的方程组，求得首项与公比，则等比数列的通项公式可求；（2）2log n n b a n ==，11111(1)()(1)()1n n n n n c b b n n +=-+=-++，由裂项相消法求和；（3）由已知可得，212n n d d +=-，利用等比数列的求和公式分别求得m P 与m Q ，得到m G ，再由数列的函数特性分类求出m G 的范围，则答案可求．【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠．若1q =，由430S =，求得1152a =，与1152a ≠矛盾； 若1q ≠，由已知有21114132(1)301a q a q a a q q ⎧=+⎪⎨-=⎪-⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩． ∴2n n a =；（2）2log n n b a n ==，11111(1)()(1)()1n n n n n c b b n n +=-+=-++， 则20201232020T c c c c =+++⋯+11111112020(1)()()()22334202020212021=-+++-+-⋯++=-； （3）由已知可得，11121()21()2n n n nn n d d d d -+++⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则212n n d d +=-． 111[1()]212[1()]1321()2m m m d P d --==----，221[1()]212[1()]1321()2m m m d Q d --==----．21[1()]32m m G =--． 当m 为偶数时，21(1)32m m G =-单调递增，1()2m min G =，1[2m G ∈，2)3； 当m 为奇数时，21(1)32m m G =+单调递减，()1m max G =，2(3m G ∈，1]． 故11()()122m max m min G G ρ-=-=． ρ∴取值范围为1[2，)+∞．【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等比数列的通项公式与前n项和的求法，训练了裂项相消法求数列的前n项和以及数列的单调性与最值，是难题．。
重庆八中高一下期末数学试卷
重庆八中〔下〕期末考试高一年级数学试题.选择题:本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.〔1〕数列{a n}为等比数列，且a11,a48，那么公比q 〔〕〔A〕1〔B〕2〔C〕4〔D〕8〔2〕ABC中，a2,b3,B60，那么角A〔〕〔A〕135〔〕45〔〕30 B90〔C〕Dx〔3〕y，那么z2y的最小值为〔〕x2〔A〕2〔B〕0〔C〕2〔D〕4〔4〕假设a b ，那么以下不等式中正确的选项是〔〕〔A〕11〔B〕11〔C〕ab b2〔D〕aba2a b a b〔5〕袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n的球重n26n 12克，这些球等可能地从袋里拿出〔不受重量、号码的影响〕.假设随意拿出1球，那么其重量大于号码数的概率为〔〕〔A〕1〔B〕1〔C〕1〔D〕26323〔6〕实数a,b均为正数，且ab 2，那么12的最小值为〔〕a b〔A〕3〔B〕322〔C〕4〔D〕322〔7〕为认识某校身高在~的高一学生的状况，随机地抽查了该校100名高一学生，获得如图1所示频次直方图.因为不慎将局部数据丢掉，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频次为m，身高在~的学生数为n，那么m,n的值分别为〔〕〔A〕0.27,78〔B〕0.27,83〔C〕0.81,78〔D〕0.09,83图2所示的程序框图，当输入n1,m5，那么输出p的值为〔〕〔8〕假设履行如图2〔A〕4〔B〕1〔C〕2〔D〕5〔9〕把一个体积为33的27个小正方27cm的正方体本块外表涂上红漆，而后锯成体积为1cm体,此刻从中任取一块，那么这一块起码有一面涂有红漆的概率为〔〕A．1B．8C．26D．192 7272727〔10〕锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，假设B 2A，那么b的取值范围是a〔〕〔A〕(1,2)〔B〕(1,3)〔C〕(2,3)〔〕(3,22)D〔11〕设等差数列{a n}的前n项和为S n且知足S150,S160,那么S1,S2,S3,L,S15中最大的a1a2a3a15项为〔〕S9S8S76〔12〕数列{a n}知足3a n1a n4(n1)，且a19，其前n项之和为S n，a9a8a7a6那么知足不等式S n n61的最小整数是〔〕125〔A〕5〔B〕6〔C〕7〔D〕8二.填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应地点上.〔13〕等差数列{a n}，假设a1a3a59，那么a2a4__________.〔14〕某校有教师400人，男学生3000人，女学生3200人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为n的样本，从男生中抽取的人数为100人，那么n __________.〔15〕现有红、黄、蓝、绿四种不一样颜色的灯泡各一个，从中选用三个分别安装在ABC的三个极点处，那么A处不安装红灯的概率为__________.〔16〕在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，假设C 60o，且3ab 25 c2，那么ABC 的面积最大值为__________..解答题：本大题共6小题，共75分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．〔17〕〔本小题总分值13分，〔Ⅰ〕小问6分，〔Ⅱ〕小问7分．〕设{a }是公差大于的等差数列，a2，a a210.32〔Ⅰ〕求{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕设{是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{an. b}的前项和S〔18〕〔本小题总分值13分，〔Ⅰ〕小问9分，〔Ⅱ〕小问4分．〕x1,x2,,x n(nN,n100)的均匀数是x，方差是s2.〔Ⅰ〕求数据3x12,3x22,,3x n2的均匀数和方差；〔Ⅱ〕假设a是x1,x2,,x100的均匀数，b是x101,x102,L,x n的均匀数.试用a,b,n表示x.〔19〕设数列a n的前n项和S n2n2，b n为等比数列，且a1b1，b2(a2a1)b1，〔1〕求数列a n和b n的通项公式；〔2〕设c n an，求数列c n的前n项和T n bn〔20〕〔本小题总分值1２分，〔Ⅰ〕小问4分，〔Ⅱ〕小问8分．〕函数()log)，g(x)log2(ax a). x〔Ⅰ〕求f(x)的定义域；〔Ⅱ〕假设g(x)的定义域为(1,)，求当f(x)g(x)时x的取值范围.〔21〕〔本小题总分值12分，〔Ⅰ〕小问6分，〔Ⅱ〕小问6分．〕变量S sin a3〔Ⅰ〕假设a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求S0的概率；〔Ⅱ〕假设a是从区间[0,3]中任取的一个数，b是从区间[0,2]中任取的一个数，求S的概率.〔22〕〔本小题总分值1２分，〔Ⅰ〕小问5分，〔Ⅱ〕小问7分．〕各项均为正数的数列{a n}，其前n项和为S n，且知足2S n na n .〔Ⅰ〕求{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕假设数列{1}的前n项和为T n，求证：当n3时，T n12 n.22n2n重庆八中2021——2021学年度〔下〕期末考试高一年级数学试题参照答案一、选择题BCDADDACCCBCA2A A10．由题意得2A，又2A6422b sinBsin2A2sinAcosA2cosA，因此2cos2cosA2cosa sinAsinAsinA46即22cosA312．因为3a n1an4a n111(a n1)，因此a n8(1)n11，因此用分组乞降可得13S n n66()n，因此S n n63n750明显最小整数为7．125二、填空13．61 4．22021．316．25341 616．由余弦定理可得c2a2b2ab，因此3ab25a22ab，化可得2 5a2b22ab2ab2ab即25ab当且当ab等号建立，因此三角形ABC的面S 1absinC1253253，因此最大253．2241616三、解答17．解：〔Ⅰ〕由意a12d(a1d)21由a12得22d(2d)210⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分化得d22d0解得d或d4〔舍〕因此a n(n)22n⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分〔Ⅱ〕由意b n2n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分因此S n(a1b1)(a2b2)L(a nbn) n(22n)12n22n1⋯⋯⋯13分n18．解：〔Ⅰ〕由意有x x1x2Lxnn数据3x12,3x2,,3x n2的均匀数和方差分x',s'2，3(x1x2xn)3x2⋯⋯⋯5分21[9(x1x)29(x2x)2L9(x nx)2]9s2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分nx12Lx n(x1x2Lx100)(x101Lx n)〔Ⅱ〕xn n100a(n100)b⋯⋯⋯⋯13分19n．20．解：〔Ⅰ〕由意2x0得x或1x因此f(x)的定域{x|x或x1}⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分〔Ⅱ〕因g(x)log2(axa)，因此axa0即a(x1)0因为g(x)log2(axa)的定域(1,)，因此x10，因此a0⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分f(x)g(x)由以上可得x1且x2xaxa即(x1)(xa)0①当01，x1②当a，x a⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21．解：事件A“S0〞．当0a3，0b2，Ssin a b0建立的条件a≥b．3〔Ⅰ〕根本领件共12个：(0，0)，(01)，，(0，2)，(1，0)，(11)，，(1，2)，(2，0)，，(21)，(2，2)，(3，，0)，(31)，(3，2)．此中第一个数表示a的取，第二个数表示b的取．事件A中包括9个根本领件，事件A生的概率P(A)93．⋯⋯⋯⋯6分124〔Ⅱ〕的所有束所组成的地区(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2．组成事件A的地区，，，．(ab)|0≤a≤30≤b≤2a≥3212 2因此所求的概率322．⋯⋯⋯⋯12分2322．解：〔Ⅰ〕因2S nana n⋯⋯①，因此2a11a1得a1且22Sn1an1an1⋯⋯②，①-②得2a n2a n a n1化得(a na n11)(a nanan1因数列{a n}各均正数，因此a nan11即a n因此{a n}等差数列，a n n1或0〔舍〕a n1) 0a n1 1，a11也切合式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分〔Ⅱ〕当n 3，得⋯⋯⋯⋯12分。
2023-2024学年重庆八中高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年重庆八中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，，，若四边形ABCD 为平行四边形，则点D 的坐标为()A. B.C.D.2.若，则复数z 的虚部为()A. B.0C.1D.23.在中，，则中最小的边长为()A.B. C. D.4.已知向量与的夹角为，若，，则()A.1B. C.D.25.已知m ，n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则6.在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，，则的值为()A. B. C. D.7.若函数的部分图象如图所示，，为图象上的两个顶点.设，其中O 为坐标原点，，则的值为()A. B. C. D.8.在矩形ABCD中，，，沿对角线AC将矩形折成一个大小为的二面角，当点B与点D之间的距离为3时，()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设，为复数，下列说法正确的是()A. B.C.若，则D.若是实数，则为纯虚数10.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为若，且，则()A.面积的最大值为B.C.BC边上的高的最大值为D.11.在正四棱台中，，下列说法正确的是()A.若侧棱长为，则该棱台的体积为B.若正四棱台的各顶点均在一个半径为的球面上，则该棱台的体积为C.若正四棱台内部存在一个与棱台各面均相切的球，则该棱台的侧棱长为D.若侧棱长为，Q为棱的中点，过直线且与直线平行的平面将棱台分割成体积不等的两部分，则其中较小部分的体积为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则______.13.一个圆锥的母线长为2，当它的轴截面面积最大时，该圆锥的表面积为______.14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①，类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中，则的值为______；设，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
重庆八中高一下期末数学试卷
重庆八中（下）期末考试高一年级数学试题一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知数列}{n a 为等比数列，且8,141==a a ，则公比=q （）（A ）1（B ）2（C ）4（D ）8（2）已知ABC ∆中，ο60,3,2===B b a ，那么角=A （）（A ）ο135（B ）ο90（C ）ο45（D ）ο30（3）已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥200y x y x ，则y x z 2-=的最小值为（）（A ）2（B ）0（C ）2-（D ）4-（4）若0<<b a ，那么下列不等式中正确的是（）（A ）b a 11>（B ）ba 11<（C ）2b ab <（D ）2a ab > （5）袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n 的球重1262+-n n 克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）.若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为（）（A ）61（B ）31（C ）21（D ）32 （6）实数b a ,均为正数，且2=+b a ，则ba 21+的最小值为（） （A ）3（B ）223+（C ）4（D ）223+ （7）为了解某校身高在m m 78.1~60.1的高一学生的情况，随机地抽查了该校100名高一学生，得到如图1所示频率直方图.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为m ，身高在m m 74.1~66.1的学生数为n ，则n m ,的值分别为（）（A ）78,27.0（B ）83,27.0（C ）78,81.0（D ）83,09.0（8）若执行如图2所示的程序框图，当输入5,1==m n ，则输出p 的值为（） （A ）4-（B ）1（C ）2（D ）5（9）把一个体积为27cm 3的正方体本块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm 3的27个小正方体,现在从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为（）图2A ．127B ．827C ．2627D ．1927（10）锐角三角形ABC 中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2B A =，则b a 的取值范围是（）（A ）2)（B ）3)（C ）(2,3)（D ）3,22)（11）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足,0,01615<>S S 则3151212315,,,,S S S S a a a a L 中最大的项为（） 99a S 88a S 77a S 66a S （12）已知数列}{n a 满足)1(431≥=++n a a n n ，且91=a ，其前n 项之和为n S ，则满足不等式12516<--n S n 的最小整数是（） （A ）5（B ）6（C ）7（D ）8二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. （13）已知等差数列}{n a ，若1359a a a ++=，则24a a +=__________.（14）某校有教师400人，男学生3000人，女学生3200人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男生中抽取的人数为100人，则=n __________.（15）现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在ABC ∆的三个顶点处，则A 处不安装红灯的概率为__________.（16）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若60C =o ，且2325ab c =-，则ABC ∆的面积最大值为__________.三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）设}{n a 是公差大于0的等差数列，21=a ，10223-=a a .（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设}{n b 是首项为1，公比为2的等比数列，求数列}{n n b a +的前n 项和n S .（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分．）已知)100,(,,,21>∈*n N n x x x n Λ的平均数是x ，方差是2s .（Ⅰ）求数据23,,23,2321+++n x x x Λ的平均数和方差；（Ⅱ）若a 是10021,,,x x x Λ的平均数，b 是101102,,,n x x x L 的平均数.试用,,a b n 表示x .（19）设数列{}n a 的前n 项和22n S n =，{}n b 为等比数列，且11b a =，1122)(b a a b =-，（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设nn n b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T （20）（本小题满分1２分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）已知函数)(log )(22x x x f -=，)(log )(2a ax x g -=.（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）若)(x g 的定义域为),1(+∞，求当)()(x g x f >时x 的取值范围.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分．） 已知变量π3sin b a S -=. （Ⅰ）若a 是从3,2,1,0四个数中任取的一个数，b 是从2,1,0三个数中任取的一个数，求0≥S 的概率；（Ⅱ）若a 是从区间]3,0[中任取的一个数，b 是从区间]2,0[中任取的一个数，求0≥S 的概率.（22）（本小题满分1２分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）已知各项均为正数的数列}{n a ，其前n 项和为n S ，且满足n n n a a S +=22. （Ⅰ）求}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列}1{2n a 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，222123n n T n -+>. 重庆八中2010——2011学年度（下）期末考试高一年级数学试题参考答案一、 选择题BCDADDACCCBC10．由题意得22264222B A A A A B A ππππππ⎧⎧+>+>⎪⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨⎪⎪<<⎪⎪⎩⎩，又 sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin b B A A A A a A A A ====，所以2cos 2cos 2cos 46A ππ<<2cos b A a<=<12．因为111341(1)3n n n n a a a a +++=⇒-=--，所以118()13n n a -=-+，所以用分组求和可得166()3n n S n =+-⋅-，所以163750125n n S n --<⇒>显然最小整数为7．二、 填空题13．614．22015．3416．253 16．由余弦定理可得222c a b ab =+-，所以22325ab a b ab =--+，化简可得2225222a b ab ab ab =++≥+即254ab ≥当且仅当a b =时等号成立，所以三角形ABC 的面积11253253sin 224S ab C =≤⨯⨯=，所以最大值为253． 三、解答题17．解：（Ⅰ）由题意2112()10a d a d +=+-由12a =得222(2)10d d +=+-…………………………3分 化简得2280d d +-=解得2d =或4d =-（舍） 所以2(1)22n a n n =+-⨯=………………6分（Ⅱ）由题意12n n b -=………………8分所以1122()()()n n n S a b a b a b =++++++L2(22)1221212nn n n n n +-=+=++--………13分 18．解：（Ⅰ）由题意有12n x x x x n+++=L 设数据23,,23,2321+++n x x x Λ的平均数和方差分别为''2,x s ，则 123()232n x x x x n+++=+=+L ………5分 2222121[9()9()9()]9n x x x x x x s n=-+-++-=L ……………………………9分 （Ⅱ）1212100101()()n n x x x x x x x x x n n+++++++++==L L L 100(100)a n b n+-=…………13分 19 ．20．解：（Ⅰ）由题意20x x ->得01x x <>或所以()f x 的定义域为{|01}x x x <>或……………………4分 （Ⅱ）因为)(log )(2a ax x g -=，所以0ax a ->即(1)0a x -> 由于)(log )(2a ax x g -=的定义域为),1(+∞，所以10x ->， 所以0a >………………6分)()(x g x f >由以上结论可得1x >且2x x ax a ->-即(1)()0x x a -->①当01a <≤时，1x >②当1a >时，x a >………………12分21．解：设事件A 为“0≥S ”．当03a ≤≤，02b ≤≤时，对sin 03a b S π-=≥成立的条件为a b ≥． （Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==．…………6分 （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤． 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥． 所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．…………12分 22．解：（Ⅰ）因为n n n a a S +=22……①，所以21112a a a =+得110a =或（舍）且21112n n n S a a ---=+……②，①-②得22112n n n n n a a a a a --=-+-化简得11(1)()0n n n n a a a a ----+= 因为数列}{n a 各项均为正数，所以110n n a a ---=即11n n a a -=+ 所以}{n a 为等差数列，n a n =经检验，11a =也符合该式………………………………5分 （Ⅱ）当3n ≥时，得证…………12分。
2024届重庆高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析
2024届重庆高一数学第二学期期末学业水平测试试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，则a 4•a 7的值为（） A ．6 B ．1C ．﹣1D ．﹣62．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．3．已知向量()3,1a =，()3,3b =-，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ）A ．3B ．1-C 3D ．14．若b ，[]1,1c ∈-，则方程2220x bx c ++=有实数根的概率为（ ）A ．23B ．12C ．56D ．345．已知,a b 是不共线的非零向量，2AB a b =+，3BC a b =-，23CD a b =-，则四边形ABCD 是 （ ） A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形6．点（4，0）关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点是 （ ）． A ．（－6，8）B ．（－8，－6）C ．（6，8）D ．（－6，－8）7．已知直线3y kx =+与圆22(1)(2)4x y -++=交于M ，N 两点，若||23MN =则k 的值为（ ） A ．512-B ．125C ．125-D ．125±8．若直线1l ：10ax y +-=与直线2l ：10x ay ++=平行，则a 的值为( ) A ．-1B ．0C ．1D ．-1或19．下列命题正确的是（ ）A ．若a bc c >，则a b > B ．若22a b >，则a b > C ．若2211a b>，则a b <D ．若a b <，则a b <10．已知0,0x y >>，且2x y xy += ，则42x y +的最小值为（ ） A ．8B ．12C ．16D ．20二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
重庆八中高一下期末数学试卷
重庆八中（下）期末考试高一年级数学试题一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（7）为了解某校身高在m m 78.1~60.1的高一学生的情况，随机地抽查了该校100名高一学生，得到如图1所示频率直方图.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为m ，身高在m m 74.1~66.1的学生数为n ，则n m ,的值分别为（）（A）7881.0（D）8309.0,,27,.0（C）78.0（B）83,27图2（8）若执行如图2所示的程序框图，当输入5n，则输出p的值为（）,1==m（A）4-（B）1（C）2（D）5（9）把一个体积为27cm3的正方体本块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm3B15中最大的项为（）,,an13524（14）某校有教师400人，男学生3000人，女学生3200人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男生中抽取的人数为100 n__________.人，则=（15）现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在ABC∆的三个顶点处，则A处不安装红灯的概率为__________.（16）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若60C =，且2325ab c =-，则ABC ∆的面积最大值为__________.三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）设}{n a 是公差大于0的等差数列，21=a ，10223-=a a . ,,n x 的平均数已知函数)(log )(22x x x f -=，)(log )(2a ax x g -=. （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）若)(x g 的定义域为),1(+∞，求当)()(x g x f >时x 的取值范围.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分．）已知变量π3sin ba S -=.（Ⅰ）若a 是从3,2,1,0四个数中任取的一个数，b 是从2,1,0三个数中任取的一个数，求0≥S 的概率；（Ⅱ）若a 是从区间]3,0[中任取的一个数，b 是从区间]2,0[中任取的一个12．因为111341(1)3n n n n a a a a +++=⇒-=--，所以118()13n n a -=-+，所以用分组求和可得166(3n n S n =+-⋅-，所以163750125n n S n --<⇒>显然最小整数为7．二、 填空题13．614．22015．341616．由余弦定理可得222c a b ab =+-，所以22325ab a b ab =--+，化简可得2225222a b ab ab ab =++≥+即254ab ≥当且仅当a b =时等号成立，所以三角(n a b +++2n 的平均数和方差分别为2222121[9()9()9()]9n x x x x x x s n=-+-++-=……………………………9分（Ⅱ）1212100101()()nn x x x x x x x x x nn+++++++++==100(100)a n bn+-=…………13分19所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．…………12分22．解：（Ⅰ）因为n n n a a S +=22……①，所以21112a a a =+得110a =或（舍） 且21112n n n S a a ---=+……②，①-②得22112n n n n n a a a a a --=-+-化简得11(1)()0n n n n a a a a ----+= 因为数列}{n a 各项均为正数，所以110n n a a ---=即11n n a a -=+ 所以}{n a 为等差数列，n a n =经检验，11a =也符合该式………………………………5分 （Ⅱ）当3n ≥时， 得证…………12分。
重庆八中高一数学下学期期末考试试题(树人部)
重庆市树人中学校2013—2014学年度(下)期末考试高一年级数 学 试 题（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）圆012422=+--+y x y x 的圆心坐标是 （A ）)1,2(- （B ）)1,2( （C ）)1,2(- （D ）)1,2(-- （2）在等差数列}{n a 中，已知1093=+a a ，则=6a（A ）5 （B ）10 （C ）15 （D ）20 （3）不等式01242<--x x 的解集为（A ）)6,2(- （B ）)2,6(- （C ）)6,2( （D ）),6()2,(+∞--∞ （4）在各项都为正数的等比数列}{n a 中,161232,a a a a a ==,则公比q 的值为（A ）2（B ）3（C ）2 （D ）3（5）ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若19,3,2===c b a ，则=C（A ）6π （B ）3π （C ）65π （D ）32π（6）已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则y x z +=2的最大值是（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）4-（7）已知,m n 是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的是 （A ）m n m n αα若，，则‖‖‖ （B ）αγβγαβ⊥⊥若，，则‖ （C ） m m αβαβ若，，则‖‖‖ （D ）m n m n αα⊥⊥若，，则‖． （8）已知数列}{n a 满足nn a a a +-==+11,111，则=2014a（A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）21-（9）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 （A ）219+ （B ）2417+ （C ）2219+ （D ）2217+（10）由直线2+=x y 上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为（A ）124- （B ）24 （C ）31 （D ）15二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上. （11）ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若6,4,3===c C A ππ，则=a.（12）若直线012:1=-+y ax l 与直线04)1(:2=+++y a x l 平行，则实数a 的值等于 . （13）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，与直线1AD 异面的棱有 条.（14）若数列{}n b 满足)1(1+=n n b n ，则{}n b 的前n 项和=n S .（15）已知0,0>>y x ，且4x y xy +=，则4x y +的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分） 已知数列}{n a 是公差为2的等差数列，且11=a .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和nS ；（II ）若数列nn n a b 2+=，求数列}{n b 的前n 项和nT .第13题图1（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）已知直线02:=++y x l 与圆9)1()1(:221=-+-y x C 相交于B A ,两点. （Ⅰ）求弦长||AB ；（II ）若圆2C 的圆心坐标为)5,4(，且圆1C 与圆2C 外切，求圆2C 的方程.（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）备受瞩目的巴西世界杯正在如火如荼的进行，为确保总决赛的顺利进行，组委会决定在位于里约热内卢的马拉卡纳体育场外临时围建一个矩形观众候场区,总面积为272m （如图所示）.要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育馆外墙对面留一个长度为m 2的入口.现已知铁栏杆的租用费用为100元m /.设该矩形区域的长为x （单位：m ），租用铁栏杆的总费用为y （单位：元）（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小费用.（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且bc a c b =-+222． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若A CB a 2sin sin sin ,2==，求ABC ∆的面积S ．入口第18题图（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，1111C B B A ⊥，21===BB BC AB ，M 是1BC 的中点.（Ⅰ）证明：⊥1BC 平面M B A 11； （II ）求三棱锥B B A M 11-的体积.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 已知数列}{n a 满足*)(12,111N n a a a n n ∈+==+.（Ⅰ）证明：数列}1{+n a 是等比数列，并求数列}{n a 的通项公式；（II ）设na b n n ⋅+=)1(,求数列}{n b 的前n 项和nS .重庆市树人中学校2013—2014学年度 (下)期末考试高一年级 数学试题（文科）参考答案命题：朱俊、曾文军 审核：方明 打印：朱俊 校对：曾文军、朱俊一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有（10）切线长311)24(||22222=-=-≥-=r d r PC l ，其中P 是直线上的点，C是圆心，d 表示圆心到直线的距离，r 表示半径二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应的位置上. M ACBA 1C 1B 1第18题图部分题目详解：（15）由4x y xy +=得：141=+x y ，于是y x x y y x y x y x ++=++=+168)14)(4(4 161628=+≥，当且仅当y xxy =16即y x 4=即2,8==y x 时取“=” 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）解：（Ⅰ）依题意有：12)1(21-=-+=n n a n ，222)1(1n n n n S n =⨯-+⨯=（II ）依题意有：nn n b 2)12(+-=则)222()1231()212()23()21(2121n n n n n T ++++-+++=+-+++++=2221)21(2122-+=--⨯+=+n n n n（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分） 解：（Ⅰ）依题意：圆心)1,1(到直线l 的距离222|211|=++=d故弦长22||221=-=d r AB （II ）依题意：圆心距5||21=C C ，而两圆外切53||22121=+=+=r r r C C ，解得22=r故圆2C 的方程为4)5()4(22=-+-y x（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）解：（Ⅰ）依题意有：)2272(100-+⨯=x x y ，其中2>x（Ⅱ）由均值不等式可得：)2144(100)2272(100-+=-+⨯=x x x x y2200)21442(100=-≥，当且仅当xx =144即12=x 时取“=”综上：当12=x 时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为2200元（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）解：（Ⅰ）由余弦定理：A bc a c b cos 2222=-+，于是bc A bc =cos 2，得21cos =A ，即3π=A（Ⅱ）由于A C B 2sin sin sin =，再结合正弦定理可得：22==a bc于是：2323221sin 21=⨯⨯==A bc S（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）解：（Ⅰ）因为11BC B ∆为等腰三角形，M 是1BC 的中点，所以M B BC 11⊥① 又因为11BC A ∆为等腰三角形，M 是1BC 的中点，所以M A BC 11⊥② 由①②可得：⊥1BC 平面M B A 11（II ）由于⊥1BB 平面ABC ，所以111B A BB ⊥，又1111C B B A ⊥，所以⊥11B A 平面1BMB于是：111111131B A S V V BMB BMB A B B A M ⨯⨯==∆--可以计算：122212111=⨯⨯=⨯⨯=∆MB BM S BMB ，211=B A所以：32213111=⨯⨯=-B B A M V（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）解：（Ⅰ）因为21112111=+++=+++n n n n a a a a （常数）所以数列}1{+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列 于是：n n a 21=+，即12-=n n a（II ） 依题意有：nn n b 2⋅=，下面使用错位相减法来求和nn n n n S 22)1(2221121⨯+⨯-++⨯+⨯=-=n S 2 13222)1(2221+⨯+⨯-++⨯+⨯n nn n两式相减得：1322)222(12+⨯-+++⨯+=-n n n n S22)1(422221)21(412211111-⨯-=-+⨯-=--⨯⨯+⨯-=+++-+n n n n n n n n所以：1(1)22n n S n +=-⨯+。
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重庆八中高一下期末模拟题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入下面答题卡中。
（1）已知数列}{n a 为等比数列，且8,141==a a ，则公比=q
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8
（2）已知ABC ∆中， 60,3,2===
B b a ，那么角=A （A ） 135 （B ） 90 （
C ） 45 （
D ） 30
（3）已知⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥≥200y x y x ，则y x z 2-=的最小值为
（A ）2 （B ）0 （C ）2- （D ）4-
（4）若0<<b a ，那么下列不等式中正确的是
（A ）b a 11> （B ）b
a 11< （C ）2
b ab < （D ）2a ab > （5）袋内装有6个球，每个球上都记有从1到6的一个号码，设号码为n 的球重12
62+-n n 克，这些球等可能地从袋里取出（不受重量、号码的影响）.若任意取出1球，则其重量大于号码数的概率为
（A ）61 （B ）31 （C ）21 （D ）3
2 （6）实数b a ,均为正数，且2=+b a ，则b
a 21+的最小值为 （A ）3 （B ）223+ （C ）4 （D ）22
3+ （7）为了解某校身高在m m 78.1~60.1的高一学生的情况，随机地抽查了该校100名高一学生，得到如图1所示频率直方图.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为m ，身高在m m 74.1~66.1的学生数为n ，则n m ,的值分别为
（A ）78,27.0 （B ）83,27.0 （C ）78,81.0 （D ）83,09.0
（8）若执行如图2所示的程序框图，当输入5,1==m n ，
则输出p 的值为
（A ）4- （B ）1
（C ）2 （D ）5
（9）锐角三角形ABC 中，内角C B A ,,的对边分别为
c b a ,,，若2B A =，则b a
的取值范围是 （A
） （B
）
（C
） （D
）
（10）已知数列}{n a 满足)1(431≥=++n a a n n ，且91=a ，其前n 项之和为n S ，则满足不等式125
16<--n S n 的最小整数是 （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8
二、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）已知等差数列}{n a ，若1359a a a ++=，则24a a +=__________.
（12）某校有教师400人，男学生3000人，女学生3200人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男生中抽取的人数为100人，则=n __________.
（13）现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在ABC ∆的三个顶点处，则A 处不安装红灯的概率为__________.
（14）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为4321,,,x x x x .根据下图所示的程序框图，若知4321,,,x x x x 分别为5.0,5.1,2,1，则输出的结果S 为__________.
图
2
（15）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若60C =，且2325ab c =-，则ABC ∆的面积最大值为__________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分．）
设}{n a 是公差大于0的等差数列，21=a ，102
23-=a a .
（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）设}{n b 是首项为1，公比为2的等比数列，求数列}{n n b a +的前n 项和n S .
（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分．）
已知)100,(,,,21>∈*n N n x x x n 的平均数是x ，方差是2s . （Ⅰ）求数据23,,23,2321+++n x x x 的平均数和方差；
（Ⅱ）若a 是10021,,,x x x 的平均数，b 是101102,,,n x x x 的平均数.试用,,a b n 表示x .
（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问2
分，（Ⅲ）小问7分．）
已知数列}{n a 的通项公式为n n n a 2⋅=，为了求数列}
{n a 的和，现已给出该问题的算法程序框图.
（Ⅰ）请在图中执行框①②处填上适当的表达式，使该算法
完整；
（Ⅱ）求4=n 时，输出S 的值；
（Ⅲ）根据所给循环结构形式的程序框图，写出伪代码.
图4
（19）（本小题满分1２分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）
已知函数)(log )(22x x x f -=，)(log )(2a ax x g -=.
（Ⅰ）求()f x 的定义域；
（Ⅱ）若)(x g 的定义域为),1(+∞，求当)()(x g x f >时x 的取值范围.
（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分．） 已知变量π3
sin b a S -=. （Ⅰ）若a 是从3,2,1,0四个数中任取的一个数，b 是从2,1,0三个数中任取的一个数，求0≥S 的概率；
（Ⅱ）若a 是从区间]3,0[中任取的一个数，b 是从区间]2,0[中任取的一个数，求0≥S 的概率.
（21）（本小题满分1２分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）
已知各项均为正数的数列}{n a ，其前n 项和为n S ，且满足n n n a a S +=22. （Ⅰ）求}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列}1{2n
a 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，222123n n T n -+>.。