高中数学优质课比赛课件：等比数列的概念

a2
a1
q
a3 a2
q
...
到最后一个式子，共__n__-1_ 个
式子相乘，则有：
累 a2 . a3 ..... an qn1，
a1 a2 an1
乘
an a1.q n1.
an an1
q
当n 1时，等式成立， 所以通项公式为an a1.qn1.
012
例3： 9和3n1分别是等比数列32，32，32，...的第几项?
数学语言： an q(n 2且n N* ).
an 1
特征：（1）每项均不为0，且q≠0； （2）各项均为负数，或均为正数或 正负相间.
例1：
1.已知等比数列{ an }：
(1) an 能不能是零？
不能
(2)公比q能不能是1？
能
2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ .
①已知a1=2，an=3an+1；√ ②1，2，4，……；×
观Βιβλιοθήκη Baidu下列数列，说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，…
从第二项起，每一项与 前一项的比都等于2.
(2)5, 25,125, 625...
(3)1, 1 , 1 , 1 ,L 24 8
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一
项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0).
an是等比数列，
a2 a1
a3 ，即 6 18 .
a2
3c 6
解得：c 1.
那么等比数列的通项是什么呢？ 类比等差数列通 项公式的求解
归纳法
解法1： 由定义得
a2 a1.q, a3 a2.q a1.q2... an a1.qn1(a1, q 0).
解法2：
分析：如果把左边由（1）式
(2)求数列an的通项公式.
0
n 1
解：a1 32 1，q 3， an a1 qn1 3 2 .
9
32
n1
3 2 ，即2
n
1， n
5，即为第5项.
x1
2
3n1 3 2 . 第x=2n+3项
变式：
9 3n1是该数列中的项吗？若是，是第几项?
x1
9 3n1 3n3 3 2 ，解得：x 2n 7.
例4.求出下列等比数列中的未知项： （1）2，a,8；
③a，a，a，……，a；× ④1，-1，1，……，(-1)n+1；
⑤ m, 2m, 4m2,8m3,... ×
√
⑥2a，2a，2a，……，2a.√
3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？
非零的 常数列
例2：已知{an}的通项公式an 3n,求证：{an}是
等比数列.
变式1 :
定义法，只要看
an q(q是一个与n无关的非零常数） an1
当n 1时，也满足an 2 3n1 an 2 3n1.
变式2 :
已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn 3n c. 求常数c的值.
a1 S1 3 c，a2 S2 S1 (32 c) (3 c) 6， a3 S3 S2 (33 c) (32 c) 18，
(2)a5 4, a7 6, 求a9.
练习：在等比数列{an}中, (1)已知a4 27, q 3, 求a7； (2)a5 3, a7 27, 试求a10.
思考：(1)在等比数列an中，是否有an2 an1 an1(n 2)?
(2)若数列an中，对于任意的正整数n(n 2),都有 an2 an1 an1，那么 an一定是等比数列吗？
已知数列{an}的前n项和为Sn 3n 1, 求证：
数列{an}是等比数列.
an an1
2 3n1 2 3n2
3为常数(n 2).
当n 1时，a1 S1 31 1 2；
当n 2时，an Sn Sn1 3n 1 (3n1 1)
3n 3n1 3 3n1 3n1 2 3n1，
链接高考
1.(2005 • 江苏)在各项都为正数的等比数列{an}中, 首项a1 3,前三项和为21,则a3 a4 a5 _______ .
2.已知数列{an}是等比数列，且a4 a7 9, a5 a8 18, an 64,求项数n.
3.已知数列an满足a1 1, an1 2an 1. (1)求证：数列an 1是等比数列；