TMD多点控制体系随机地震响应分析的虚拟激励法_朱以文

收稿日期:2003-10-26;　修回日期:2003-11-22 基金项目:国家电力公司资助项目(KJ 00-03-26-01) 作者简介:朱以文(1945-),男,教授,主要从事计算力学和结构防灾减灾研究文章编号:1000-1301(2003)06-0174-05TM D 多点控制体系随机地震响应分析的虚拟激励法朱以文,吴春秋(武汉大学土木建筑工程学院,湖北武汉430072)摘要:对于频率分布密集或受频带较宽的地震激励的结构,其响应不再以某一单一振型为主,须考虑采用多点控制。

本文对受T M D 多点控制的结构进行了研究。

文中建立了带有多个子结构系统的以模态坐标和子结构自由度为未知量的统一运动方程。

针对所得方程为非对称质量、非对称刚度、非经典阻尼的情况,本文给出了使用直接法求解的格式。

地震随机响应分析采用了虚拟激励法,可以考虑各振型之间的耦合项,计算量小且精度高。

本文的方法适用于带有多个子结构的系统的一般性问题,具有广泛的应用价值。

关键词:多点控制;主结构;子结构;随机地震响应中图分类号:P315.96 文献标识码:A Pseudo -excitation method for random earthquake response analysis of control system with MTMDZH U Yi -wen ,WU Chun -qiu(Civil and structural engineering school ,W uhan university ,Wuhan 430072,China )A bstract :The response of the structure is no t constituted with one sing le mode shape w hen the frequency distri -bution is dense o r the earthquake excitation 's frequency band is w ide .At this time ,it is necessary to adopt the multi -point control sy stem .The study on the structures w ith M TMD is carried out in this paper .The uniform dynamic equation w ith mode coordinate and slave system 's DOF as variables is established fo r the system w ith multi slave sy stem .The equatio n has asy mmetric mass m atrix ,asymmetric stiffness matrix and nonclassicaldamping m atrix ,and the direct solving format is given in this paper .The random earthquake response is studied by using pseudo -excitation method ,thus the coupling items between modes can be considered .The calculation is cheap and precision is high .The method in this paper is adaptable to the general case of the sy stem with multi -slave structures and has broad application wo rth .Key words :multi -point control ;master structure ;slave structure ;random earthquake response1　引言 对于高层建筑、大跨桥梁、高耸塔架等高柔结构采用TMD (Tuned Mass Damper )减小风振及地震响应是有效的,这一点得到了人们的普遍认同。

TMD 对建筑结构的功能影响较小,便于安装、维修和更换控制元第23卷第6期2003年12月地　震　工　程　与　工　程　振　动EA RT HQ UAK E ENG IN EERI NG A ND ENG IN EERIN G V IBRA T IONV ol .23,No .6Dec .,2003DOI :10.13197/j .eeev .2003.06.028件,而且与传统的结构相比,采用TM D 作为结构抗环境干扰的防御体系可以降低工程建设投资。

因此,TMD 日益受到人们的青睐,并且已成功地应用到了世界各地的著名建筑中,例如美国纽约的City Corp 中心大厦,日本千叶港观光塔以及我国的九江长江大桥等。

从应用及研究方面来看,对TMD 减轻风振响应的研究已非常广泛且相对较为成熟,而对于TMD 用于地震响应控制的研究与应用却是方兴未艾。

研究者普遍认为,TM D 对减轻单自由度结构的地震反应以及剪切型高层建筑第一振型反应有很大的作用[1-3]。

目前的研究层面也主要是集中在这些方面,即减震对象主要为可以简化为多质点剪切模型的高层建筑和高耸结构,TM D 系统多为一个,减震控制以某单一振型为主。

这些研究对于前述剪切型结构是足够了,但对于需考虑三维空间效应的复杂结构,它们的频率可能相对较为密集[4],或者地震激励需要假定为多峰谱模型或宽带模型,结构的反应不再以某一振型为主,此时需考虑对结构进行多点控制。

本文针对TM D 多点控制体系的随机地震响应问题进行了研究。

首先建立了带有多个子结构系统的运动方程,然后用多阶振型将结构运动方程展开。

所得方程为非对称质量、非对称刚度和非经典阻尼情况,传统的实模态理论无法使方程解耦,若采用复模态法计算,计算过程相当复杂,因此本文采用了文献[5]中介绍的一种直接法求解。

随机地震响应的计算采用了林家浩等提出的虚拟激励法,计算简单且相当精确。

2　运动方程的建立 考虑带有多个TM D 的系统,主结构(自由度为n )和子结构(个数为m )的运动方程分别为:[M ]{x ¨s }+[C ]{x ·s }+[K ]{x s }-[E ][C d ]{x d }-[E ][K d ]{x d }=-[M ]{I n }x ¨g(1)[M d ]({x ¨d }+[E ]T {x ¨}s )+[C d ]{x ·d }+[K d ]{x d }=-[M d ]{I m }x ¨g (2)式中,[M ]、[C ]、[K ]分别为主结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;{x s }为主结构各自由度相对地面的位移向量;{x d }为各子结构相对于其作用的主结构自由度的位移;[M d ]=diag [m d 1,m d 2,…,m dm ],[C d ]=diag [c d 1,c d 2,…,c dm ],[K d ]=diag [k d 1,k d 2,…,k dm ],其中m di 、c di 、k di 分别为第i 个子结构的质量、阻尼和刚度;{Ιn }和{I m }分别为n 维和m 维单位向量;[E ]={e 1,e 2,…,e m }为子结构的位置指示矩阵,其中{e }i 为第i 个子结构的位置向量,若其作用的主结构自由度的编号为j ,则除了第j 个元素为1外,其余的全为0;x ¨g 是地面运动加速度。

利用前k 阶振型对{x s }进行分解,即令:{x s }=∑kj =1{}j q j ,代入式(1)和式(2),并设{ }Tj [M ]{ }j =1,则方程(1)中的第j 个方程为:q ¨j+2ξj ωj q ·j +ω2j q j-{ }Tj [E ][C d ]{x ·d }-{ }Tj [E ][K d ]{x d }=-x ¨g∑ni =1ij m i (3)方程(2)变为:[M d ]({x ¨d }+[E ]T∑kj =1{}j q ¨j )g +[C d ]{x ·d }+[K d ]{x d }=-[M d ]{I m }x ¨g (4)式中:q j 、ξj 、ωj 、{ }j 分别为第j 阶模态的广义坐标、阻尼比、频率和振型向量。

设{e }1中的第一个元素为1,其余为0,{e }2中的第2个元素为1,其余为0…,实际上只需调整主结构的自由度编号,让与第一个子结构相对应的自由度编号为1,与第2个子结构相对应的自由度编号为2,依此类推(作这样的假设只是为了表达上的方便,对运动方程的物理意义不会有任何的影响)。

作这个的假设之后,方程(3)和方程(4)可分别写为:q ¨j+2ξj ωj q ·j +ω2j q j-∑mi =1ij c di x ·di -∑m i =1ij k di x di =-αj x ¨g(5)[M d ]({x ¨d }+∑kj =1 1j q j ∑kj =1mj q j )[C d ]{x ·d }+[K d ]{x d }=-[M d ]{I m }x ¨g(6)其中:αj =∑ni =1ij m i 。

·175·6期 朱以文等:TM D 多点控制体系随机地震响应分析的虚拟激励法令:[I 1]为k ×k 的单位阵,[I 2]为m ×m 的单位阵,[C ]k ×k＊=diag [2ξ1ω1,2ξ2ω2,…,2ξk ωk ],[C m ×md ]＊=diag [2ξd 1ωd 1,2ξd 2ωd 2,…,2ξdm ωdm ],[K k ×k]＊=diag [ω21,ω22,…,ω2m ][K m ×md ]＊=diag [ω2d 1,ω2d 2,…,ω2dm ],[ ]m ×k= 1112… 1k 21 22… 2k ………… m 1m 2…mk并考虑到有关系式,c di =2ξdi ωdi m di ,k di =ω2di m di ,则式(5)和式(6)可以写成统一的表达式为:I 1I 2q¨x ¨d+C ＊ TM d C ＊dC ＊dq·x ·d+K ＊ T M d K ＊dK＊dq x d=-αI mx ¨g(7)进一步的可令:{y }=q¨x ¨d,[M ]=I 10I 2,[C ]=C ＊ TM d C ＊dC ＊d,[K ]=K ＊ TM d K ＊dK ＊d,{β}=-αI m,则式(7)可以写为:[M ]{y ¨}+[C ]{y ·}+[K ]{y }=-{β}x ¨g(8)式(8)即为带多个TMD 系统的结构受地震作用时的运动方程。