高中数学沪教版(上海)高三第一学期第14章14.3 平面 课件
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高中数学沪教版高三第一学期第章平面及其性质课件
自行车的两个轮胎的着地点A,C 与撑脚的着地点B 这三点确定的平面与水平面基本吻合，确保了自行车的稳定.
用集合语言表述点、直线、平面及它们的位置关系。
与水平面基本吻合，确 系，并结合公理1和公理2画出相交平面的交线。
在水平地面上不平稳的四脚椅子是因为它的四个脚尖不在同一平面内。
用集合语言表述点、直线、平面及它们的位置关系。
教室的墙面/课桌的桌面
公理1可以用集合语言表述如下： 立体几何是建立在公理的基础上，继而得到定理，并 教室的墙面/课桌的桌面
成。现提供三条线段制作风筝
教室的墙面/课桌的桌面
教室的墙面/课桌的桌面 教室的墙面/课桌的桌面
的骨架，要使这三条线段所在
公理1可以用集合语言表述如下：
的直线在同一平面内，请问这 利用作图、论证与计算来解决空间问题。
部分组成，其中风筝的骨架是
自行车的两个轮胎的着地点A,C 与撑脚的着地点B 这三点确定的平面与水平面基本吻合，确保了自行车的稳定.
利用作图、论证与计算来解决空间问题。
由在同一平面上的一些线段组 ____________________.
不在同一直线上的三点确定一个平面（这里“确定一个平面” 的含义是“有且只有一个平面”）
利用作图、论证与计算来解决空间问题。
立体几何是建立在公理的基础上，继而得到定理，并
公理1可以用集合语言表述如下：
直线与平面平行
直线与平面相交
A
{}
公理1 公理1可以用集合语言表述如下：
B
α
A
判断下列命题的真假:
D
A D1
（假）
C
B C1
B1
A
B
D
C
（真）
高三沪教版数学上册：14.1《平面及其基本性质》课件(1)(共15张PPT)
当直线l与平面α只有一个公共点A时，称直线与
平面相交于点A，记作 l A
l A
当直线l与平面α没有公共点时，称直线l与平面
α 平行，记作l 或 l // l
线与线
b
A
a
直线a与b 相交于点A：
ab A
面与面 当平面α 上所有点都在平面β 上时，称平面α与 平面β重合。
当不同的两个平面α 与β 有公共点时，将它们的 公共点的集合记为l，称平面α与平面β相交于l，
记作 l
当两个平面α 与β 没有公共点时，称平面α与
平面β平行，记作 或 //
练习
1.正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平
面 A1C1,A1B1,B1C1,分别记作、、，试用适当的符号填空.
(1)A1______, _B1_______ (2)B1______, _C1_______ (3)A1______,_D1 _______
点与线
点与面
Q
P
P l 点Ｐ在直线l上：
（直线经过点P）
点Q不 在直线l上： Q l
A 点A 在平面a内：
（平面经过点A）
点B 在平面a外： B
线与面
直线l在平面α上： 直线l上所有的点都在平面α 上，即直线l在平
面α 上，或平面α 经过直线l，记作： l
l
直线l在平面α外：
平面的表示：平面M，平面N 平面α ，平面β 平面ABCD
平面的直观图画法： 通常用平行四边形来表示平面。
M 正视图
M 竖直放置
水ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ放置
相交平面的画法
注意： 看得见的线用实线，看不见的线用虚线； 交线用实线。
高中数学沪教版高三第一学期第章平面及其基本性质课件1
独怆然而涕下。 二、平面的表示方法及画法
小结
• 平面及其基本性质 （类比平面几何相关概念） • 公理1
公理 1
如果直线 l上有两个点在平面 第一节 平面及其基本性质（1）
平面ABCD或平面AC 前不见古人,
後不见来者。
平面ABCD或平面AC
上，那么直线 l 在平面 上。 陈子昂
平面在空间无限延伸类似于—— 前不见古人,
後不见来者。
前不见古人,
後不见来者。
二、平面的表示方法及画法
平面没有厚度类似于——
後不见来者。
登幽州台歌 前不见古人, 後不见来者。 三、空间的点、直线和平面 二、平面的表示方法及画法 如果直线 上有两个点在平面 上，那么直线 在平面 上。
陈子昂 第十四章 空间直线与平面
第一节 平面及其基本性质（1） 前不见古人,
後不见来者。
前不见古人, 平面在空间无限延伸类似于——
第十四章 空间直线与平面 第一节 平面及其基本性质（1）
平面ABCD或平面AC
三、空间的点、直线和平面
第十四章 空间直线与平面
第一节 平面及其基本性质（1）
陈子昂
登幽州台歌
二、平面的表示方法及画法
图形语言:
A
B
M
文字语言: 平面M
α
平面
D
C
平面ABCD或平面AC
D A
E
C B
G F
三、空间的点、直线和平面
1、点与直线的关系
点在直线上 点不在直线上
集合语言
第十四章 空间直线与平面
第一节 平面及其基本性质（1）
给我们直线的形象： 没有粗细，无限延伸 光线
斑马线
给我们平面的形象
小结
• 平面及其基本性质 （类比平面几何相关概念） • 公理1
公理 1
如果直线 l上有两个点在平面 第一节 平面及其基本性质（1）
平面ABCD或平面AC 前不见古人,
後不见来者。
平面ABCD或平面AC
上，那么直线 l 在平面 上。 陈子昂
平面在空间无限延伸类似于—— 前不见古人,
後不见来者。
前不见古人,
後不见来者。
二、平面的表示方法及画法
平面没有厚度类似于——
後不见来者。
登幽州台歌 前不见古人, 後不见来者。 三、空间的点、直线和平面 二、平面的表示方法及画法 如果直线 上有两个点在平面 上，那么直线 在平面 上。
陈子昂 第十四章 空间直线与平面
第一节 平面及其基本性质（1） 前不见古人,
後不见来者。
前不见古人, 平面在空间无限延伸类似于——
第十四章 空间直线与平面 第一节 平面及其基本性质（1）
平面ABCD或平面AC
三、空间的点、直线和平面
第十四章 空间直线与平面
第一节 平面及其基本性质（1）
陈子昂
登幽州台歌
二、平面的表示方法及画法
图形语言:
A
B
M
文字语言: 平面M
α
平面
D
C
平面ABCD或平面AC
D A
E
C B
G F
三、空间的点、直线和平面
1、点与直线的关系
点在直线上 点不在直线上
集合语言
第十四章 空间直线与平面
第一节 平面及其基本性质（1）
给我们直线的形象： 没有粗细，无限延伸 光线
斑马线
给我们平面的形象
沪教版(上海)数学高三上册-14.4(2) 空间平面与平面的位置关 课件 最新课件PPT
PA , PB , A, B为垂足,
求 : APB的大小
作棱的垂直截面法 解：设平面PAB 平面 OA，
平面PAB 平面 OB
P
PA l
PA l
同理，PB l
B
O
l
l 平面PAB AO
A
AO l
同理，BO l
AOB为二面角 l 的平面角
二面角的平面角的作法：
O1
C1 (2)二面角B-A1C1-B1
B1
的大小.
变式:二面角B-A1C1-D1的大小.
注意：找二面角的平面角必须满足：
（1）角的顶点在棱上。
（2）角的两边分别在两个面内。
（3）角的边都要垂直于二面角的棱。
l
A
o
B
A
o
B
l
例2、已知二面角－ l － ，A为面内一点， A到 的距离为 2 ，到 l 的距离为 4。 求二面角 － l － 的大小。
异面直线所成角
直线与平面所成角
“空间角 平面角”
二面角的平面角
• 如何度量空间中二面角的大小？
?
O
A
O
B B
A
α上一条射线 B
棱上一点
A β上一条射线
l
OA l
OB l
二面角的平面角
当二面角 -l- 给定时，它的平面角
的大小与点O在棱l上的位置有关吗？
? AOB = AOB
O
A
注:（1）二面角的平面角与点的 位置无关，只与二面角的张角 大小有关。
l
B
（2）二面角是用它的平面角来
O
B A
度量的，一个二面角的平面角 多大，就 说这个二面角是多少
高中数学沪教版高三第一学期第14章14.3 平面及其 基本性质 课件
1、判定两个平面相交。方法是：若两个平 面有一个公共点，则这两个平面相交。
2、判定点在直线上。方法是：点若是两个 平面的公共点，则该点就在这两个平面的 交线上。
例1.将下列符号语言转化为图形语言：
（1）A , B , A l , B l
（2）a , b , c ,
a // c , b c p
求证
:
直线l
,
l1
,
l
在同一平面上
2
l1 // l2 l1, l2唯一确定平面
l l1
A l2
B
A l1, B l2 A, B
A, B l l
直线l, l1, l2共面
高中数学沪教版高三第一学期第14章1 4.3 平面及其 基本性质 课件【精品】
练习：已知直线 l1, l2 , l3 , l4是两两相交且不共点的 四条
2、平面竖直放置
3、一个平面的部分被另一个平面遮住 M
N M
N
相交平面画法：
β β
α
α
β
α
画两个平面相交时,当一个平面的一部分被 另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成 虚线或不画
点、线、面的基本位置关系
1、符号表示：
点P，直线a(是点的集合),平面 (也是点的集合) 2、集合关系：
(1)点线关系：
几个平面
3个
例、
(1)两个平面的公共点的个数可能有......( D )
(A)0 (B)1Βιβλιοθήκη (C)2(D)０或无数
(2)三个平面两两相交,则它们交线的条数……( B )
(A)最多4条最少3条 (B)最多3条最少1条
(C)最多3条最少2条 (D)最多2条最少1条
沪教版(上海)数学高三上册-14.3 空间直线与平面复习 课件 教学课件
以胜利，也可以失败，但你不能屈服。越是看起来极简单的人，越是内心极丰盛的人。盆景秀木正因为被人溺爱，才破灭了成为栋梁之材的梦。
树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。生活的激流已经涌现到万丈峭壁，只要再前进一步，就会变成壮丽的瀑布。生命很残酷，用悲伤让你了解 什么叫幸福，用噪音教会你如何欣赏寂静，用弯路提醒你前方还有坦途。山涧的泉水经过一路曲折，才唱出一支美妙的歌通过云端的道路，只亲吻攀登者的足 迹。敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光明。骄傲，是断了引线的风筝，稍纵即逝；自卑，是剪了双翼的飞鸟，难上青天。这两者都是成才的大向你的美好 的希冀和追求撒开网吧，九百九十九次落空了，还有一千次呢。只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活。激流勇进者方能领略江河源头的奇 观胜景忙于采集的蜜蜂，无暇在人前高谈阔论有一个人任何时候都不会背弃你，这个人就是你自己。谁不虚伪，谁不善变，谁都不是谁的谁。又何必把一些人， 一些事看的那么重要。有一种女人像贝壳一样，外面很硬，内在其实很软。心里有一颗美丽的珍珠，却从来不轻易让人看见。人生没有绝对的公平，而是相对 公平。在一个天平上，你得到越多，势必要承受更多，每一个看似低的起点，都是通往更高峰的必经之路。你要学会捂上自己的耳朵，不去听那些熙熙攘攘的 声音；这个世界上没有不苦逼的人，真正能治愈自己的，只有你自己。时间会告诉你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误；有些东 西，要等到你真正放下了，才知道它的沉重。时间并不会真的帮我们解决什么问题，它只是把原来怎么也想不通的问题，变得不再重要了。 生活不是让你用来 妥协的。你退缩得越多，那么可以让你喘息的空间也就是越少。胸怀临云志，莫负少年时唯有行动才能解除所有的不安。明天的希望，让我们忘记昨天的痛！ 如果你不努力争取你想要的，那你永远都不会拥有它。过去属于死神，未来属于你自己其实每一条都通往阳光的大道，都充满坎坷。所有的胜利，与征服自己 的胜利比起来，都是微不足道。我已经看见，多年后的自己。自信！开朗！豁达！努力的目的在于让妈妈给自己买东西时像给我买东西一样干脆。被人羞辱的 时候，翻脸不如翻身，生气不如争气。成长道路谁都会受伤，我们才刚刚起航，必须学会坚强。每个人都是自己命运的建筑师。在成长的过程中，我学会了坚
树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。生活的激流已经涌现到万丈峭壁，只要再前进一步，就会变成壮丽的瀑布。生命很残酷，用悲伤让你了解 什么叫幸福，用噪音教会你如何欣赏寂静，用弯路提醒你前方还有坦途。山涧的泉水经过一路曲折，才唱出一支美妙的歌通过云端的道路，只亲吻攀登者的足 迹。敢于向黑暗宣战的人，心里必须充满光明。骄傲，是断了引线的风筝，稍纵即逝；自卑，是剪了双翼的飞鸟，难上青天。这两者都是成才的大向你的美好 的希冀和追求撒开网吧，九百九十九次落空了，还有一千次呢。只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活。激流勇进者方能领略江河源头的奇 观胜景忙于采集的蜜蜂，无暇在人前高谈阔论有一个人任何时候都不会背弃你，这个人就是你自己。谁不虚伪，谁不善变，谁都不是谁的谁。又何必把一些人， 一些事看的那么重要。有一种女人像贝壳一样，外面很硬，内在其实很软。心里有一颗美丽的珍珠，却从来不轻易让人看见。人生没有绝对的公平，而是相对 公平。在一个天平上，你得到越多，势必要承受更多，每一个看似低的起点，都是通往更高峰的必经之路。你要学会捂上自己的耳朵，不去听那些熙熙攘攘的 声音；这个世界上没有不苦逼的人，真正能治愈自己的，只有你自己。时间会告诉你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误；有些东 西，要等到你真正放下了，才知道它的沉重。时间并不会真的帮我们解决什么问题，它只是把原来怎么也想不通的问题，变得不再重要了。 生活不是让你用来 妥协的。你退缩得越多，那么可以让你喘息的空间也就是越少。胸怀临云志，莫负少年时唯有行动才能解除所有的不安。明天的希望，让我们忘记昨天的痛！ 如果你不努力争取你想要的，那你永远都不会拥有它。过去属于死神，未来属于你自己其实每一条都通往阳光的大道，都充满坎坷。所有的胜利，与征服自己 的胜利比起来，都是微不足道。我已经看见，多年后的自己。自信！开朗！豁达！努力的目的在于让妈妈给自己买东西时像给我买东西一样干脆。被人羞辱的 时候，翻脸不如翻身，生气不如争气。成长道路谁都会受伤，我们才刚刚起航，必须学会坚强。每个人都是自己命运的建筑师。在成长的过程中，我学会了坚
高中数学沪教版高三上册第14章14.4空间平面与平面的位置关系教学设计
高中数学沪教版高三上册第14章14.4空间平面与平面的位置关
系教学设计
【名师授课教案】
1教学目标
1.理解二面角的概念。
2.理解二面角的平面角的概念,并能通过二面角的平面角计算二面角的大小。
2学情分析
二面角概念,如同“异面直线所成的角”、“直线与平面所成的角”一样,都是通过平面内的角来定义的,在教学中除了要指出这种定义的合理性、确定性外,还要注意体现从“空间”转化为“平面”的思想方法。
空间各种“角”的度量问题,总是转化为平面内的角的度量问题:异面直线所成的角利用平移变换转化为两条相交直线所成的锐角(或直角);斜线与平面的交角转化为斜线与它在平面内的射影所成的锐角,二面角则转化为二面角的平面角。
这个转化过程是求角问题中不可忽视的步骤。
3重点难点
重点:二面角及其平面角的概念。
难点:二面角的平面角的确定。
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】二面角的概念
1.引入半平面的概念,并与平面几何中的半直线(射线)类比。
2.通过翻动一本词典的封面和转动教室的门,观察有公共直线的两个半平面可形成不同的位置关系。
3.讲授二面角的概念、介绍二面角的棱、二面角的面等术语的意义,介绍二面角的两种表示方法。
沪教版(上海)数学高三上册-14.1 立体几何 课件 品质课件PPT
就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便
两个平面分空间有两种情况：
（1）两平面没有公共点时 （2）两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面把空间分成4，6，7或8个部分。
（1）三个平 面没有公共点
（2）三个平面 交于一条直线
（3）三个平面 交于两条直线
（4）三个平面交于三条直 线（且这三条直线两两平行）
（5）三个平面交于三条直 线（且这三条直线交于一点）
平面上，四条边都相等的四边形是什么图形？
四条边都相等的四边形是菱形吗？
一、立体几何
立体几何是研究空间图形的形状、大小、 位置关系的学科。
碳60分子结构
二、立体几何的研究对象
平面图形
.
点、线、面
立体图形 点、线、面、体
二、立体几何研究的对象
1、对象：点、线、面、体 2、内容：位置关系（平行、垂直）
相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不
忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人
；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担当。为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也
线路吗？
D
A
C
B
3
H
G 18
E F
6
立体图形的问题常常转化为平面图形
的问题来解决。
沪教版(上海)数学高三上册-14.1 平面及其基本性质 课件 优秀课件PPT
• 图形表示中的平行四边形表示的是 平面中的一个局部.
平面的概念与表示
判断下列说法是否合理并说明理由： • 3张平面叠在一起比2张平面叠在一起更厚；无厚度 • 平面的边界是平行四边形；无边界 • 有一个平面的长是4米、宽是2米. 在空间延伸至无限
平面的“平”
• “平面是平的”
• 基本事实：如果直线l上有两个点在平面a上，那么直线l上的所有 点都在平面a上.
平面及其基本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ质
刍议平面的“平”
平面的概念与表示
• 生活中的平面形象 • 初中课本对平面的描述
“在数学中，平面是平的，无边无沿，……” • 无厚度、无边界、在空间延伸至无限
平面的概念与表示
• “……我们可以……把水平放置的平面画成一边是水平位置，另 一边与水平线所成的角为45度的平行四边形. ”
思考
• 在欧几里德《几何原本》第XI卷中，提出了 一个命题，用现代的数学语言可叙述为： （命题7）已知同一平面上的两条平行直线， 在这两直线上各任意取一点，则连接两点的 直线也在该平面内. 试用集合的语言表述上述命题，并证明它 （见课后作业2/(2)）.
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
平面的概念与表示
判断下列说法是否合理并说明理由： • 3张平面叠在一起比2张平面叠在一起更厚；无厚度 • 平面的边界是平行四边形；无边界 • 有一个平面的长是4米、宽是2米. 在空间延伸至无限
平面的“平”
• “平面是平的”
• 基本事实：如果直线l上有两个点在平面a上，那么直线l上的所有 点都在平面a上.
平面及其基本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ质
刍议平面的“平”
平面的概念与表示
• 生活中的平面形象 • 初中课本对平面的描述
“在数学中，平面是平的，无边无沿，……” • 无厚度、无边界、在空间延伸至无限
平面的概念与表示
• “……我们可以……把水平放置的平面画成一边是水平位置，另 一边与水平线所成的角为45度的平行四边形. ”
思考
• 在欧几里德《几何原本》第XI卷中，提出了 一个命题，用现代的数学语言可叙述为： （命题7）已知同一平面上的两条平行直线， 在这两直线上各任意取一点，则连接两点的 直线也在该平面内. 试用集合的语言表述上述命题，并证明它 （见课后作业2/(2)）.
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
高中数学沪教版(上海)高三第一学期第14章14.3 空间直线与平面 课件 _2
(2).直线a与平面α没有公共点,直线a在平面β上; (注意:平面α与β有两种不同的位置关系)
(3).平面α与平面β相交于AB,直线CD与平面α相交与 点C,与平面β相交与点D,且直线CD与直线AB没有公 共点;
2.用几何语言叙述下列集合符号表示的图形关系,并 画出相应的图形. (1).P∈l,l α,所以P∈α; (2).l∩α=Ｏ,AO α,因此l∩AO=O; (3).l∩α=φ,P∈l,因此P∉α ; (4).α∩β=l,P∈l,所以P∈α,P∈β; (5).α∩β=l,P∈l,CP α,DP β,所以CP∩DP=P.
注意：三角形ABC所在的平面可以写成平面ABC。 特别地，在一些复杂的图形中，这样的写法更确切、 具体。
高中数学沪教版（上海）高三第一学 期第14 章14.3 空间直线与平面 课件 _2
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例3、用下列符号表示的点、直线和平面的位置关 系画出图形：
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(作法简述) (1).可先作出不同的两个垂直放置的平面的直观图.
(2).注意画出相交直线和用虚线表示被遮部分直线.
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新课讲解
重点难点
四.空间点,线,平面之间的相应位置关系的 集合语言 表
示法:
点--- 组成集合的基本元素;
说明 线--- 由基本元素点组成的集合.
面---由基本元素点组成的集合.
①点与直线的位置关系：
(3).平面α与平面β相交于AB,直线CD与平面α相交与 点C,与平面β相交与点D,且直线CD与直线AB没有公 共点;
2.用几何语言叙述下列集合符号表示的图形关系,并 画出相应的图形. (1).P∈l,l α,所以P∈α; (2).l∩α=Ｏ,AO α,因此l∩AO=O; (3).l∩α=φ,P∈l,因此P∉α ; (4).α∩β=l,P∈l,所以P∈α,P∈β; (5).α∩β=l,P∈l,CP α,DP β,所以CP∩DP=P.
注意：三角形ABC所在的平面可以写成平面ABC。 特别地，在一些复杂的图形中，这样的写法更确切、 具体。
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例3、用下列符号表示的点、直线和平面的位置关 系画出图形：
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(作法简述) (1).可先作出不同的两个垂直放置的平面的直观图.
(2).注意画出相交直线和用虚线表示被遮部分直线.
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新课讲解
重点难点
四.空间点,线,平面之间的相应位置关系的 集合语言 表
示法:
点--- 组成集合的基本元素;
说明 线--- 由基本元素点组成的集合.
面---由基本元素点组成的集合.
①点与直线的位置关系：
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高中数学沪教版（上海）高三第一学 期第14 章14.3 平面 课件
[精解详析] 已知：如图所 示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝ C.
求证：直线l1、l2、l3在同一 平面内．
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B
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公理2：若两个平面有一个公共点， 则它们还有其他公共点，这些公共点 的集合是一条过这个公共点的直线.
即: P , P l, P l
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相交平面画法
画两个平面相交
β
时,当一个平面
β
的一部分被另一
α
个平面遮住时,
α
应把被遮住的部
分画成虚线或不
画.
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思考
如图，把三角板的一个角立在课桌 面上，三角形所在的平面与课桌所在 的平面是否只相交与一点B？为什么？
即:
l
B
A
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练习1：
• 已知点A,B,C在平面α上，证明 ：△ABC的三条边所在直线都 在平面α上
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平面的表示法
1、平面是无限延展的 2、画法： 常用平行四边形
3、记法： ①平面α 、平面β 、平面γ ②平面ABCD ③平面AC 或平面BD
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反思
(1) 本节课我们学习了哪些 知识内容？ (2) 三个公理的内容及作用 是什么？
高中数学沪教版（上海）高三第一学 期第14 章14.3 平概念
宁静的湖面，一望无垠的草原给你什么样的感 觉？如来佛祖的手掌心大得令人咶舌，可以向四周 无限的延展，神通广大的孙悟空使尽浑身解数也难 以逃脱．
观察
请你从适合的角度和距离观察桌面,黑 板面或者窗户的表面,它们呈现出怎样的 形象？
1．平面的概念 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、 海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面 是无限延展 的．
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法二：∵a∥b， ∴a，b确定一个平面α. a∩l＝A，直线a，l确定一个平面β， 又l∩b＝B，∴B∈α，B∈β，a⊂α，a⊂β，∴平面α与 β重合．故直线a，b，l共面．
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平面画法总结
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形 ，它的锐 角通常画成 45°，且横边长等于其邻边长的 2倍 ． 如图①. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立 体感，把被遮挡部分用 虚线 画出来．如图②.
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合与集合的关系，故用“”或“⊄”表示．
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举例
例1：如图，用符号表示下列图形中点、 直线、平面之间的位置关系.
B
A
β
b
α
a
l
(1)
(2)
解：在(1)中， l, a A, a B
在(2)中， l,a ,b ,a l P,b l P
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1．“平面 α 内有一条直线 a，则这条直线上的一点 A
必在这个平面内”用符号语言描述正确的是 ( )
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4．已知，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，求证：A、 B、C、D四点共面． 证明：∵AB∥CD， ∴AB，CD确定一个平面α. ∵AB⊂α，CD⊂α， ∴A、B、C、D∈α. 即A、B、C、D四点共面．
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2．从集合角度理解点、线、面之间的关系
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线
的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元
素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示；
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集
证法1：(纳入平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2. 又∵l2⊂ α，∴B∈α. 同理可证C∈α. 又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂ α. ∴直线l1、l2、l3在同一平面内．
高中数学沪教版（上海）高三第一学 期第14 章14.3 平面 课件
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A. aA⊂⊂αα⇒A⊂α
B. aA⊂∈αa⇒A∈α
C. aA∈⊂αα⇒A∈α
D. aA∈∈αα⇒A⊂α
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平面的基本性质
公理1 若一条直线的两点在一个平面内，则 这条直线上所有的点都在这个平面内
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[一点通] 证明点、线共面问题的理论依据是公理1 和公理3，常用方法有
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线 都在这个平面内，即用“纳入法”；
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、 线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
问题1：生活中的平面有大小之分吗，其“平”是相 对的还是绝对的？
提示：有大小之分．相对的． 问题2：几何中的“平面”是怎样的？ 提示：抽象的理想化，绝对平，无大小之分．
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1．几何里的平面有以下几个特点 (1)平面是平的； (2)平面是没有厚度的； (3)平面是无限延展而没有边界的； (4)平面是由空间点、线组成的无限集合； (5)平面图形是空间图形的重要组成部分．
证法2：(辅助平面法) ∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂ α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂ β，∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β 内． ∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．
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设
a
l A, b
, l B
ab
a, b可以确定一个平面
3．已知直线a∥b，直线l与a、b都相交，求证：a、b、l共面． 证明：法一：
B
A
C
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[例2] 证明两两相交且不共点的三条直线在同一 平面内．
[思路点拨] 先选取两条直线构造一个平面，然 后证明其他直线都在这个平面上．
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思考
过一点可以做几条直线？两点呢？
过空间中一点可以做几个平面？
两点,三点呢？
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公理3：经过不在同一条直线上的三 点,有且只有一个平面.