数理统计复习题试题习题

数理统计练习题

1．设4321,,,X X X X 是总体),(2σμN 的样本，μ已知，2σ未知，则不是统计量的是

（ ）.

（A ）415X X +； （B ）

4

1

i

i X

μ=-∑；

（C ）σ-1X ； （D ）

∑=4

1

2i i

X

.

解： 统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数. ∴ 选C.

2．设总体n X X X p B X ,,,),,1(~21Λ为来自X 的样本，则=⎪⎭

⎫

⎝⎛

=n k X P （ ）. （A ）p ； （B ）p -1；

（C ）k n k k n p p C --)1(； （D ）k n k k

n p p C --)1(.

解：n X X X Λ21相互独立且均服从),1(p B 故 ∑=n

i i

p n B X

1

),(~

即 ),(~p n B X n 则()()(1)k k n k n k P X P nX k C p p n

-====- ∴ 选C.

3．设n X X X ,,,21Λ是总体)1,0(N 的样本，X 和S 分别为样本的均值和样本标准差，则（ ）.

（A ）)1(~/-n t S X ； （B ）)1,0(~N X ；

（C ）)1(~)1(2

2--n S n χ； （D ）)1(~-n t X n .

解：∑==n

i i X n X 1

1 0=X E ，)1,0(~112n N X n n n X D ∴== B 错 )1(~)1(22

2

--n S n χσΘ

)1(~)1(1

)1(2

222

--=-∴

n S n S n χ

)1(~-n t n S

X

. ∴ A 错.

∴ 选C.

4．设n X X X ,,,21Λ是总体),(2

σμN 的样本，X 是样本均值，记=21S

∑∑∑===--=-=--n i n i n i i i i X n S X X n S X X n 111

22

32222)(11,)(1,)(11μ，

∑=-=n

i i X n S 1

224

)(1μ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ）.

（A ）1/1--=

n S X T μ； （B ）1/2--=n S X T μ

；

（C ）n

S X T /3μ-=

； （D ）n S X T /4μ

-=

解：

)1(~)(221

2

--∑=n X X

n

i i

χσ

)1,0(~N n X σ

μ

-

)1(~1

)(1

1

2

2

----=

∑=n t n X X

n

X T n

i i

σ

σ

μ

)1(~11

/)(2

2

2---=

--=

n t n S X n nS n

X T μ

μ ∴ 选B.

5．设621,,,X X X Λ是来自),(2σμN 的样本，2S 为其样本方差，则2

DS 的值为（ ）.

（A ）4

3

1

σ； （B ）4

5

1σ； （C ）4

5

2σ； （D ）

.5

22σ 解：2

126,,,~(,),6X X X N n μσ=L ∴

)5(~522

2

χσS

由2χ分布性质：1052522=⨯=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛σS D

即442522510σσ==DS ∴ 选C.

6．设总体X 的数学期望为n X X X ,,,,21Λμ是来自X 的样本，则下列结论中正确的是（ ）.

（A ）1X 是μ的无偏估计量； （B ）1X 是μ的极大似然估计量； （C ）1X 是μ的一致（相合）估计量； （D ）1X 不是μ的估计量.

解：11EX EX X μ==∴Q 是μ的无偏估计量. ∴ 选A.

7．设n X X X ,,,21Λ是总体X 的样本，2,σμ==DX EX ，X 是样本均值，2S 是样本方差，则（ ）.

（A ）2~,X N n σμ⎛⎫ ⎪

⎝

⎭； （B ）2

S 与X 独立； （C ）

)1(~)1(22

2

--n S n χσ； （D ）2S 是2σ的无偏估计量.

解：已知总体X 不是正态总体 ∴（A ）（B ）（C ）都不对. ∴ 选D.

8．设n X X X ,,,21Λ是总体),0(2σN 的样本，则（ ）可以作为2

σ的无偏估计量.

（A ）∑=n i i X n 121； （B ）∑=-n i i X n 12

11；

（C ）∑=n i i X n 11； （D ）∑=-n

i i X n 1

11.

解：2222)(,

0σ==-==i i i i i EX EX EX DX EX

2

2121)1(σσ=⋅=∑n n

X n E n i

∴ 选A.

9．设总体X 服从区间],

[θθ-上均匀分布)0(>θ，n x x ,,1Λ为样本，

则θ的极大似然估计为（ ）

（A ）},,max {1n x x Λ； （B ）},,min{1n x x Λ （C ）|}|,|,max {|1n x x Λ （D ）|}|,|,min{|1n x x Λ

解：1

[,]()20x f x θθθ⎧∈-⎪

=⎨⎪⎩其它

似然正数∏==n

i i n x f x x L 11),();,,(θθΛ1

,||1,2,,(2)

0,

i n

x i n θθ⎧≤=⎪=⎨⎪⎩

L 其它

此处似然函数作为θ函数不连续 不能解似然方程求解θ极大似然估计

∴ )(θL 在)(n X =θ处取得极大值 |}|,|,max{|ˆ1n

n X X X Λ==θ