《高等数学工本》总习题解答
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《高等数学（工本）》总习题解答
（见教材第459页）
1．确定下列各级数的敛散性： （1）∑∞
=+
111n n
e
； 解 这是等比级数，公比11
πe
q =
，故该级数收敛 （2）
∑∞
=-16
81
n n ； 解 因为8168lim 1681
lim
=-=-∞→∞→n n n
n n n ，而∑∞
=11n n
发散，故由第二比较准则知该级数发散 注 本题也可用第一比较准则，因为
n n 81
681φ
-，而∑∑∞=∞==1118181n n n n 发散，故∑∞
=-16
81n n 发散 （3）
∑∞
=+-1
3
]
2)12[(2n n n
；
解 因为
2
33341)2(2)12(2]2)12[(2n n n n n n n =+=+-π
而∑∑∞
=∞==1
122
1
4141n n n n 收敛，故原级数收敛 另解：因41)12(2lim 1]2)12[(2lim 3323
=+=+-∞→∞→n n n
n n
n n ，而∑∞
=1
21n n 收敛，故原级数收敛 （4）
∑∞
=1
9!n n n ； 解 +∞=+=+∞→+∞→91lim 9
!9)!
1(lim
1n n n n n n n ，故级数∑∞=19
!n n n 发散 （5）∑∞
=++2
3211
n n n ；
解 因为11lim 111
lim
3332=++=++∞→∞→n n n n n n n n ，而∑∞=11n n
发散，所以原级数发散 （6）∑∞
=++2421
1
n n n ；
解 因为11lim 111
lim
4242
42=++=++∞→∞→n n n n n n n n ，而∑∞=121n n
收敛，故原级数收敛 （7）
∑∞
=-1
231
n n
； 解 因为13
2
11lim 233lim 31231
lim =-=-=-∞→∞→∞→n
n n n n n n n ， 而∑∞
=131n n 是公比131
π=q 的等比级数，是收敛的，故由第二比较准则知∑∞
=-1
231n n 收敛
（8）∑∞
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛132n n
n ；
解 因为132132lim 32)1(lim 1
π=+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛+∞→+∞
→n n n n n n n n ·32··，故由检比法知∑∞
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛132n n
n 收敛 （9）
()∑∞
=-112531321n n n ΛΛ··
·· 解 因为()()()()
12125311321125313211+-+==-=
+n n n n a n n a n n ···········ΛΛΛΛ
所以 ()()()()n n n n n n a a n n
n n ΛΛΛΛ3211253112125311321lim lim
1···········-+-+=∞→+∞→
故由检比法知该级数收敛
2．当x 取什么值时，下列各级数收敛？（参看习题11－3第7题）
（1）∑∞
=-+1
1)1(2n n n
n x ；
解 2)2(21lim )
1(2)
2(2lim
11
x x n n n x n x n n n
n n n =++=++∞→-+∞→ 故当
12
πx 即2πx 时该级数收敛；当
12
φx 即2φx 时，该级数发散；当2-=x 时，原级数成为发
散的，所以当22πx ≤-时，级数∑∞
=-+1
1)1(2n n n
n x 收敛
（2）
∑∞
=-1
)2(n n n
x n
；
解 因为2lim )2(lim
n
-=-∞
→∞
→x n x n n n n n
故当02≠-x 即2≠x 时，+∞=-∞
→2lim x n n ，从而该级数发散，仅当02=-x 即2=x 时，该级数收
敛
（3）∑∞
=0!3n n
n
x
n ； 解 因为0113lim !3
)!1(3lim 1
1
=+=+∞→++∞→x n x n x n n n
n n n n ·，)0(≠x 当0=x
时该级数各项均无定义，所以该级数当0≠x 时收敛
（4）∑∞
=+
2
!1n n x n 解 因为+∞=+=+∞→+∞→x
n x
n x n n n n n 1lim !)!1(lim 1，)0(≠x 当0≠x
时，该级数发散，所以无论)0(≠x x 为何值，该级数都发散，而当0=x 时，级数各项均无意义，
无需讨论其敛散性，所以使该级数收敛的x 值不存在。 3．证明级数
∑
∞
=-+-2
)
1()1(n n
n n 是发散的
证 因为
()
[
]
[
][
]
()()
()
n
n
n n
n
n
n
n
n n n n n n n 22111)1()1(1)1()1()1(-----=
---+---=
-+-