参数根轨迹的画法规则总结
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绘制根轨迹的一般规则
n
s
p
j
2h
1180所规定
i 1
j 1
相角条件的,即开环传递函数的共轭复数极点和零点,
对实轴上根轨迹的位置没有影响.实轴上的根轨迹仅
取决于实轴上的开环极点和零点。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
2如果实数开环零点z3位于s1的左方，则向量
s1 z3 0，这说明左侧实数零点的存在并不影响
第三节 绘制根轨迹的一般规则
渐近线与实轴交点
p 1
p 2
p n
z 1
z 2
z m
0
1
2
1
a
nm
3
渐近线与实倾角 2h 1 2h 1 h 0,1,2
a nm
3
h 0时， 180 180 60
1 nm 3
N
s
Ds
N s
Ds
0
显然解方程可求出根轨迹的分离点和会合点。
这个方程怕记混淆，为便于记忆，dGsH s 0 1
ds
对特征方程1 GsH s 0求导，
第三节 绘制根轨迹的一般规则
d1 GsH s dGsH s kNsDs NsDs
当n>m时，有n-m条根轨迹随着k的增大 而趋向无穷，这些趋向无穷远处的根轨迹， 将随着k的无限增大而接近于n-m条直线， 这些直线称为根轨迹的渐近线。渐近线的位 置由以下两个参数确定，即渐近线倾角和渐 近线与实轴的交点。
第三节 绘制根轨迹的一般规则
1.渐近线倾角 a
a
2h 1 h
jw
第2讲 绘制根轨迹的基本规则
证明：（2）对称性
因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以根轨迹对 称于实轴。
规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点
闭环特征方程：
n
m
s pl K0 s zi 0 (1 GH 0)
l 1
i 1
当K0 由0 变化时，方程中任一根由始点连续地向终点变化
的轨迹称为根轨迹的一条分支；
例1 绘制下图所示系统的根轨迹
解： 1） 有三条根轨迹分支,它们的始点为开环极点(0,-1,-2） 2） 三条根轨迹分支的终点均在无限远
3） 渐近线与正实轴的夹角
2k 1 , , 5 ,
3
33
j j1.414 [s]
k 0,1,2
渐近线与正实轴的交点为
- A
1 3
2
1
4）实轴上的-1 至0和-2至-∞间 的线段为根轨迹
3） 渐近线与正实轴的夹角
2k 1 , , 5 ,
3
33
Im j1.414 [s]
k 0,1,2
渐近线与正实轴的交点为
- A
1 3
2
1
4）实轴上的-1 至0和-2至-∞间 的线段为根轨迹
180
60
2
1 60
0
Re
控制系统方框图
j1.414
❖ n=[1]; ! 分子 1 各项系数 ❖ d1=[1 0]; ! 分母第一项 (s+0) 各项系数 ❖ d2=[1 3 2]; ! 分母第二项( s^2+3s+2) 各项系数 ❖ d=conv(d1,d2); ! 分母二项相乘 ❖ rlocus(n,d); ! 绘制根轨迹 ❖ sgrid; !绘制出阻尼系数和自然频率栅格
例3 已知一单位反馈控制系统的开环传递函数为
根轨迹法的基本法则
为求根轨迹从P3点处的出射角，在其附
近找一个实验点Sa，并认为该点在根轨
迹上，则它应满足幅角条件：
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
j 1
i 1
P3 s3 a
j j
-1 -2 -3 -4 (2k 1)180o 前提：Sa无限靠近P3
例如，某系统开环零极点分布 如图。现在要判断实轴上的某
P1j 1Fra bibliotek Sai 1
j
点Sa是不是根轨迹上的点. P5 Z2
各开环零、极点的幅角： P2
P4 Z1
P3
0
(sa - z2 ) 0o (sa - p5 ) 0o
(sa - p1) 1 (sa - p2 ) 2
G(s)
K (s 1)
s(s 4)(s2 2s 2)
四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4 一个开环零点：-1
共有四条根轨迹，
实轴上的根轨迹为0→－1 , －4→－∞
渐近线与实轴交点：
n
m
＝
a
i 1
pi z j
j 1
nm
(0) (1
j) (1 4 1
求出重根为： s1、2 = - 2.07
之间找；若求出的重根点在 实轴上但不符合“实轴上根 轨迹”的判断规则就要舍去
法则六 根轨迹的起始角与终止角
复数极点附近根轨迹形态怎样？
在复数极点附近取一个试验点Sa，各零、极点到试 验点Sa的矢量幅角和应满足幅角条件，当Sa点无限 趋近该复数极点时，可求出根轨迹从该点出射方向。
i1
j 1
i1
闭环特征方程的根（即闭环极点）与特征方程的系数关系：
绘制根轨迹的基本法则
4.2 绘制根轨迹的基本法则本节讨论根轨迹增益*K （或开环增益K ）变化时绘制根轨迹的法则。
熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。
法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有)(m n -条根轨迹终止于无穷远处。
根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益0=*K 和∞→时的根轨迹点。
将幅值条件式（4-9）改写为∏∏∏∏==-==--=--=mi inj j mn m i i nj jsz sp sz s ps K 1111*|1||1||)(||)(|(4-11)可见当s=j p 时，0*=K ；当s=i z 时，∞→*K ；当|s|∞→且m n ≥时，∞→*K 。
法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数m 、开环极点数n 中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。
根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在s 平面上的变化轨迹。
因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。
实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有m n ≥。
所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。
实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。
因此根轨迹必然对称于实轴。
由对称性，只须画出s 平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。
特征方程中的某些系数是根轨迹增益*K 的函数，*K 从零连续变到无穷时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。
法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
设系统开环零、极点分布如图4-5 所示。
图中，0s 是实轴上的点，)3,2,1(=i i ϕ是各开环零点到0s 点向量的相角，)4,3,2,1(=j j θ是各开环极点到0s 点向量的相角。
4-2根轨迹绘制的基本法则
0
0
0
0
0
同学们，头昏了吧？
j
j
j
0
j j 0 0
14
0
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
作业
• • • • 4 －1 4－3（1）（2） 4—4（1） 4-8(1)
2015-1-28
4-2根轨迹绘制的基本法则
15
4 3 2 * s 5 s 8 s 6 s k 0 2）渐近线。由于n m 4 ，故有四条渐近线， a 1.25 a 45 , 135 应用劳思判据
3）确定分离点。
1 0 i 1 d pi
n
s4 1 s3 5 s 2 34 / 5 s1 (204 25 K * ) / 34 s0 K*
R( s )
K * ( s 1) s( s 2)( s 3)
C ( s)
j
a (2k 1)180o / (3 1) 90o
a (0 2 3) (1) / (3 1) 2
（4）分离点（用试探法求解）
1 1 1 1 d 1 d d 2 d 3 d 2.47
5)利用模值条件，可得分离点的根轨迹增益
2 4 . 75 7 . 25 K d* i 1 16.37 |d z| 15 .25 i
| d p |
3
所以，当
2015-1-28
K * 16.37
系统输出产生振荡
4-2根轨迹绘制的基本法则 13
根轨迹示例
j
j j 0
j
j j
4-2根轨迹绘制的基本法则
12
例子4-5 P150
解:1) m=1,n=3, K * (s 20) G( s) z1=-20,p1=0,p2=p3=-12, 2 s ( s 24 s 144 ) 2）实轴上0--12 ,-12--20 必为根轨迹。 3）渐近线。n-m=2 故有2条渐近线. 180 12 12 (20) 90 2 2 2 1 2 1 4）确定分离点。 d d 12 d 20 试探法：d=-4.75
4-2 绘制根轨迹的基本法则.
6
证明：角度的简单证明
sK 无穷远处的一个闭环特征根
与有限零点和有限极点所成
角度相同，都设为
a a
a atga
相角条件
ma na (2k 1)
a
(2k 1)
mn
根轨迹对称于实轴，也可写为
(2k 1)
nm
交角有n-m个，交点只有一个
7
【例4.2.1】一个系统开环传递函数为
135
根轨迹的复平面部分是以 零点到分离点距离为半径 的圆周的一部分
Imaginary Axis
例4.2.3 2.5
2
1.5
1
135°
0.5
d=-3.414
p1=-1+j
0
z1=-2
-0.5
p2=-1-j
-1
-1.5
-2
-2.5
-4
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
23
法则7：根轨迹与虚轴的交点
j
j 1
i 1
s z1 s z2 360 或0 s z1 s p1
s p1 s p2 360 或0
z1
p1
s p3 180 s z3 0
z3
z2
s
p3 0
s p2
s z2 p2
5
开环零点用○表示
一条根轨迹起于p1, 终止于z1
其他三条终止于无 穷远处
Imaginary Axis
=-1.67
p3=-1+j
0
p2=-4
z1=-1 p1=0 p4=-1-j
42 绘制根轨迹的基本原则
例：开环传递函数为 GK ( s ) 并计算临界开环增益。 K ,试 求 根 轨 迹 和 虚 轴 的点 交， s( s 1)(s 2)
解：（ 1） 把s j代 入1 G ( s ) H ( s ) 0得1 G （ j ） H ( j ) 0 令 Re[ 1 G （ jω） H（jω） ] 0， Im [ 1 G ( jω)H ( jω)] 0解 得及K c jω 3 3ω 2 j 2ω K 0 K 3ω 2 0 ω 3 2ω 0 由此解得 ω1 0 ω2 3 2 rad S K C 6
s1 4 2 2 1.172 分离点
s1 4－2 2 6.828
会合点
(s 4) - s - (s 2) 180
在复平面上，s j ，于是得
( j 4) - ( j) - ( j 2) 180
即
9.闭环极点的和与积 s n a n -1s n -1 a1s a 0 0 设根为s1 , s 2 ,, s n , 则有 (s - s1 )(s - s 2 ) (s - s n ) 0 由代数方程根与系数的 关系, 有
s
i 1
n
i
-an -1
( si ) a 0
K K GK ( s) s(0.5s 1) s( s 2)
解：（1）起点：有两个开环极点，所以起点为
s1 ＝0 ，s2 ＝ －2 。
（2）终点：因没有有限零点，所以两条根轨迹都将趋于无穷远。 （3）实轴上的根轨迹：根据法则4，根轨迹存在的区间为［－2，0］。
（4）计算分离点：将 N(s) ＝ 1，D(s)＝s(s＋2) 代入分离点计算公式
解：（ 1） 把s j代 入1 G ( s ) H ( s ) 0得1 G （ j ） H ( j ) 0 令 Re[ 1 G （ jω） H（jω） ] 0， Im [ 1 G ( jω)H ( jω)] 0解 得及K c jω 3 3ω 2 j 2ω K 0 K 3ω 2 0 ω 3 2ω 0 由此解得 ω1 0 ω2 3 2 rad S K C 6
s1 4 2 2 1.172 分离点
s1 4－2 2 6.828
会合点
(s 4) - s - (s 2) 180
在复平面上，s j ，于是得
( j 4) - ( j) - ( j 2) 180
即
9.闭环极点的和与积 s n a n -1s n -1 a1s a 0 0 设根为s1 , s 2 ,, s n , 则有 (s - s1 )(s - s 2 ) (s - s n ) 0 由代数方程根与系数的 关系, 有
s
i 1
n
i
-an -1
( si ) a 0
K K GK ( s) s(0.5s 1) s( s 2)
解：（1）起点：有两个开环极点，所以起点为
s1 ＝0 ，s2 ＝ －2 。
（2）终点：因没有有限零点，所以两条根轨迹都将趋于无穷远。 （3）实轴上的根轨迹：根据法则4，根轨迹存在的区间为［－2，0］。
（4）计算分离点：将 N(s) ＝ 1，D(s)＝s(s＋2) 代入分离点计算公式
2绘制根轨迹的基本法则
K
g
s ( s + 1 )( s + 5 )
，试确定根轨
上例已经确定了渐近线、实轴上的根轨迹段和分离（会合）点等， 下面确定根轨迹与虚轴的交点。
方法一：闭环特征方程： 3 + 6s 2 + 5s + K g = 0 ，令 s = jω 代入闭环特 s 征方程 ( jω ) 3 + 6( jω ) 2 + 5( jω ) + K g = 0 分解为实部和虚部： K g − 6ω 2 ) + j (5ω − ω 3 ) = 0 ( K g − 6ω 2 = 0 ω = 1,± 5 于是有： ，显然交点为 ⇒ 3 K g = 0,30 5ω − ω = 0 方法二：构造劳斯表
根据根轨迹相角条件可以写出的方向角其它各极点指向的方向角各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向考虑到k的取值为所以上式可以写成为
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、 180°根轨迹作图法则
法则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹的起点是指根轨迹增益 K g = 0 时，闭环极点在s平面上的位置， K g时闭环极点在s平面上的位置。 =∞ 而根轨迹的终点则是指 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 ），而终止于开环零点 法则2：根轨迹的连续性和对称性 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 法则3：根轨迹的分支数 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数 和 的大者 的大者。 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数m和n的大者。 法则4：根轨迹的渐近线 当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，n-m条 根轨迹趋向无穷远的方位由渐近线决定。
g
s ( s + 1 )( s + 5 )
，试确定根轨
上例已经确定了渐近线、实轴上的根轨迹段和分离（会合）点等， 下面确定根轨迹与虚轴的交点。
方法一：闭环特征方程： 3 + 6s 2 + 5s + K g = 0 ，令 s = jω 代入闭环特 s 征方程 ( jω ) 3 + 6( jω ) 2 + 5( jω ) + K g = 0 分解为实部和虚部： K g − 6ω 2 ) + j (5ω − ω 3 ) = 0 ( K g − 6ω 2 = 0 ω = 1,± 5 于是有： ，显然交点为 ⇒ 3 K g = 0,30 5ω − ω = 0 方法二：构造劳斯表
根据根轨迹相角条件可以写出的方向角其它各极点指向的方向角各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向的方向角其它各极点指向的方向角由各零点指向考虑到k的取值为所以上式可以写成为
4.2 绘制根轨迹的基本法则
一、 180°根轨迹作图法则
法则1：根轨迹的起点和终点 根轨迹的起点是指根轨迹增益 K g = 0 时，闭环极点在s平面上的位置， K g时闭环极点在s平面上的位置。 =∞ 而根轨迹的终点则是指 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 根轨迹起始于系统的开环极点（包括重极点），而终止于开环零点。 ），而终止于开环零点 法则2：根轨迹的连续性和对称性 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 根轨迹具有连续性，且对称于实轴。 法则3：根轨迹的分支数 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数 和 的大者 的大者。 根轨迹的分支数取传递函数分子、分母阶数m和n的大者。 法则4：根轨迹的渐近线 当系统的开环增益Kg→∞时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条，n-m条 根轨迹趋向无穷远的方位由渐近线决定。
根轨迹绘制的基本法则
i =1
m
(1− qz j ) = 0
j =1
m
当 K → 时，等价方程为： qn−m (1− qz j ) = 0 j =1
qi = 0, i = 1, 2, n − m
qj
=
1 zj
,
j = 1, 2,
m
上述等价方程的根对应于
si → , i = 1, 2, n − m s j = z j , j = 1, 2, m
第四章 根轨迹法（第二讲）
绘制根轨迹的基本法则
1
根轨迹法则介绍
1、首先讨论负反馈系统在开环增益 K 或根轨迹增益 K 变 化时的根轨迹的绘制法则，又称常规根轨迹的绘制法则; 2、当其他参数变化时，只要适当变换，常规根轨迹的法 则仍然可用；
3、虽然用这些法则绘制的根轨迹不够精确，但基本可以 满足工程上的应用；
i =1
s = pi , i = 1, 2, n
即当根轨迹增益为零时，开环极点就是闭环极点，所以，根轨迹
起始于开环极点。
5
(2) 根轨迹的终点
n
m
(s − pi ) + K (s − z j ) = 0
i =1
j =1
令s = 1， 得等价方程： q
1 K
n
(1− qpi ) + qn−m
R(s)
0 K
1. 根轨迹的分支数等于特征方程的阶数
C(s) G(s)
H (s)
当开环根轨迹增益变化时，共有n个极点在复平面上移动， 共形成n条轨迹。所以，根轨迹的分支数等于开环极点的个数。
2. 根轨迹是连续的且对称于实轴
在开环零、极点确定的情况下，闭环特征根是开环根轨迹 增益的连续函数。由于特征方程的系数是实数，所以特征根或 是实数，或是共轭复数，即根轨迹对称于实轴。
m
(1− qz j ) = 0
j =1
m
当 K → 时，等价方程为： qn−m (1− qz j ) = 0 j =1
qi = 0, i = 1, 2, n − m
qj
=
1 zj
,
j = 1, 2,
m
上述等价方程的根对应于
si → , i = 1, 2, n − m s j = z j , j = 1, 2, m
第四章 根轨迹法（第二讲）
绘制根轨迹的基本法则
1
根轨迹法则介绍
1、首先讨论负反馈系统在开环增益 K 或根轨迹增益 K 变 化时的根轨迹的绘制法则，又称常规根轨迹的绘制法则; 2、当其他参数变化时，只要适当变换，常规根轨迹的法 则仍然可用；
3、虽然用这些法则绘制的根轨迹不够精确，但基本可以 满足工程上的应用；
i =1
s = pi , i = 1, 2, n
即当根轨迹增益为零时，开环极点就是闭环极点，所以，根轨迹
起始于开环极点。
5
(2) 根轨迹的终点
n
m
(s − pi ) + K (s − z j ) = 0
i =1
j =1
令s = 1， 得等价方程： q
1 K
n
(1− qpi ) + qn−m
R(s)
0 K
1. 根轨迹的分支数等于特征方程的阶数
C(s) G(s)
H (s)
当开环根轨迹增益变化时，共有n个极点在复平面上移动， 共形成n条轨迹。所以，根轨迹的分支数等于开环极点的个数。
2. 根轨迹是连续的且对称于实轴
在开环零、极点确定的情况下，闭环特征根是开环根轨迹 增益的连续函数。由于特征方程的系数是实数，所以特征根或 是实数，或是共轭复数，即根轨迹对称于实轴。
4.2.14.2根轨迹绘制的基本法则学习资料
3条渐近线与正实轴的夹角分别为
a
（2k 1）
30
60, 60, 180,
k 0, 1, 2
画出系统根轨迹的渐近线如图所示。
j j4
j3
j2
180 60
j
4 3 7 3
60 0 j
j2
j3
j4
4.2 根轨迹绘制的基本法则
法则5 根轨迹的分离点和会合点（特征方程的重根点） （1）若实轴两相邻开环极点之间有根轨迹: 该区段必有分离点;若实轴两相邻开环零点之
的值，分离角为 （2k 1） / l
j
b
a
z1 p1
p2 0
4.2 根轨迹绘制的基本法则
例4-3 考虑例4-2中的开环传递函数
G(s)H (s)
K*
s(s 3)(s 4)
1 1 1 0 d d 3 d 4
3d 2 14d 12 0
7 13
7 13
d1 3 3.5352 , d2 3 1.1315
根 轨 迹 实 轴 区 段:[3,0 ]
4.2 根轨迹绘制的基本法则
（5）根轨迹的分离点与分离角
根轨迹实轴区段[3,0]必有分离点,
1 1
1
1
0
d d 3 d 2 j d 2 j
d 1.1104（其他不在[3,0]，舍去）
分离角为直角。
（6）根轨迹的起始角
根 轨 迹在 开 环 极 点p1 2 j2的起 始角:
求 得 交 点 坐 标 和 相 应K *值 。
例4-5 已知开环传递函数
G(s)H (s)
K*
s(s 3)(s 4)
闭环特征方程：s3 7s2 12s K * 0
方法1：
42根轨迹绘制的基本法则
证明：见图4-5。
j
× P4
● 对于位于根轨迹上某一动点s0，
1
●
● 从各开环零极点到这一点的向
● ● × ××
﹣5 S0 ﹣2 ﹣1 0
量的相角随s0轨迹的变化而变化，
● 当s0到达无穷远处，各相角相等， 令其为ψ，可写成：
× 2
P5
图4－5
m n l 180
● 进而求出渐近线夹角： l 180 , l 1,3,...
j 1
i1
i2
(2h 1) 153 199 121 63.5 117 90
× 2
p5
奇数个π，无论如何加减组合，总能
使±lπ(l=1,3,…)成立。
规则四、实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹 的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数
对于例题，在实轴上的根轨迹： G(s)H(s) Kr (s 5)
一条始于开环极点，止于开环零点，
s(s 1)(s 2)
例如系统的开环零、极点分布如图。
要判断 p3和 z1之间的线段是否存
j
在根轨迹，取实验点 s0
× p4
开环共轭极点和零点提供的相角
1
相互抵消，G(s0)的相角由实轴上的 开环零极点决定。
● ● × ××
﹣5 s0 ﹣2 ﹣1 0
处在G(s0)左边的开环零极点提供的角度均 为零， 相角条件由其右边的零极点决定。
根轨迹是Kr从0→∞时的根变化轨迹，因此必须 起始于Kr=0处，终止于Kr=∞处。
观察幅值条件：
Kr
s p1 s z1
s p2 s pn s z2 s zm
第四章附：根轨迹的绘制法则
13
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
K s(s − p1 )(s − p2 )(s − p3 )
*
K* 2 s ( s − p1 )( s − p2 )( s − p3 )
14
对应的开环传递函数
* K 0011 0010 (a) 1010 1101 0001 0100 1011 G (s) H (s) = s ( s − p1 )
令s
解得
= jω
代入上式
*
ω = ±1.095, K = 8.16
36
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
图4－17
例4－7根轨迹
37
九、根之和与根之积
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
n m
•如果系统特征方程写成如下形式
∏ (s − p ) + K ∏ (s − z ) = ∏ (s − s )
试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概 略绘制出根轨迹图。
26
解：根据系统开环传递函数求出开环极点
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
p1 = −1.5 + j1, p2 = −1.5 − j1
按步骤： ①n=2,m=1,有两条根轨迹 ②两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环 零点和无穷远零点 ③实轴上根轨迹位于有限零点－1和无穷零点 之间，因此判断有分离点
* i =1 i j =1 j i =1 i
n
= s n + a1 s n −1 + a2 s n − 2 + L + an −1s + an
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
K s(s − p1 )(s − p2 )(s − p3 )
*
K* 2 s ( s − p1 )( s − p2 )( s − p3 )
14
对应的开环传递函数
* K 0011 0010 (a) 1010 1101 0001 0100 1011 G (s) H (s) = s ( s − p1 )
令s
解得
= jω
代入上式
*
ω = ±1.095, K = 8.16
36
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
图4－17
例4－7根轨迹
37
九、根之和与根之积
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
n m
•如果系统特征方程写成如下形式
∏ (s − p ) + K ∏ (s − z ) = ∏ (s − s )
试求闭环系统的根轨迹分离点坐标d，并概 略绘制出根轨迹图。
26
解：根据系统开环传递函数求出开环极点
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
p1 = −1.5 + j1, p2 = −1.5 − j1
按步骤： ①n=2,m=1,有两条根轨迹 ②两条根轨迹分别起于开环极点，终于开环 零点和无穷远零点 ③实轴上根轨迹位于有限零点－1和无穷零点 之间，因此判断有分离点
* i =1 i j =1 j i =1 i
n
= s n + a1 s n −1 + a2 s n − 2 + L + an −1s + an
绘制根轨迹的基本原则
绘制根轨迹的基本原则绘制根轨迹是控制工程中常用的一种方法，它可以帮助我们分析系统的稳定性，相当于一个工程师的眼睛。
根轨迹是由根的轨迹组成的，而系统的根是指其特征方程的根。
特征方程是由系统的传递函数确定的，因此我们可以通过绘制特征方程的根轨迹来分析系统的动态性态。
绘制根轨迹的基本原则有以下几点。
1. 系统根轨迹的数量等于系统特征方程的根的数量。
这是因为每个根对应着系统中一个极点。
2. 根轨迹的起点和终点都在实轴上。
这是因为特征方程的根只有实数或成对的共轭复数根。
3. 根轨迹要从左侧的极点开始。
如果存在多个极点，则从最左侧的极点开始。
如果没有极点，则从传递函数的实轴交点开始。
4. 根轨迹要向右边的极点或者方向稳定，如果两个虚根前后交叉，则会出现不稳定性。
在解决此问题是，需要重新绘制，或者调整参数，使出现前后交叉的根跑到不相交的区域。
5. 当相邻两根的虚部相等时，其插值点在实轴上。
这个时候，由于两个根的插值点处于实轴上，因此根轨迹向这个点的方向发生了变化。
6. 根轨迹需要跨越系统的实轴部分。
无论极点的数量、位置以及根轨迹的线路，都必须穿过右半平面。
7. 根轨迹的末端，必须落到无限远点。
<1>｛1｝</1>因此，通过这几个基本原则，我们可以绘制出系统的根轨迹。
然而，在实际的工程中，我们会遇到许多不同的情况，例如系统传递函数变化、加入控制器等。
这时候，我们需要灵活应对，对基本原则进行微调，以便更好地分析系统的动态特性。
总结来说，根轨迹能够帮助工程师更好地了解控制系统的动态特性，这有助于他们进行有效的控制和优化。
在绘制根轨迹的过程中，需要严格遵循基本原则，同时对特殊情况进行灵活调整。
4.2根轨迹的绘制原则
，分别
当
时，特征方程根的极限位置就是根轨迹的终点。
根据根轨迹的基本方程：
（1）根轨迹有m支的终点在m个有限零点处。
（2）n-m 条根轨迹终止于无穷远处。
4、实轴上的根轨迹
结论：实轴上某试验点右侧的的开环实数零、 极点的个数为奇数时，则它在根轨迹上。
例1：系统的开环传函为 试绘制系统根轨迹图。
例2：系统的开环传函为
试绘制系统根轨迹图。
5.根轨迹的渐近线：
渐近线包括两个内容：渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点。
（1）倾角：设 为根轨迹上无穷远处的一点 ，则s平面上所
有的开环有限零点和极点到
角
的相角都相等，即为渐近线的倾
。代入根轨迹的相角条件得：
(2k 1) a , (k 0,1, n m 1) nm
六、根轨迹的分离点、会合点；
结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始点和 终点等性质画出根轨迹。
例5：系统的开环传函为 试绘制该系统完整的根轨迹图。
例6：系统的开环传函为 试绘制该系统完整的根轨迹图。
j 1 i 1 i l
m
n
zl 180 zl pi zl z j
i 1 j 1 j l
n
m
根轨迹作图步骤
一、标注开环极点和零点，确定分支数；
二、实轴上的根轨迹； 三、n-m条渐近线； 四、根轨迹的出射角、入射角； 五、根轨迹与虚轴的交点；
方程至少有一对共轭虚根。
பைடு நூலகம்
在闭环特征方程中令
为零即可求出 和 。
，然后使特征方程的实、虚部
例4：开环传递函数为：
，试求根轨迹与
虚轴的交点和
根轨迹的绘制法则
第4章 根 轨 迹 法根轨迹的基本概念所谓根轨迹是指控制系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上移动的轨迹。
一般取开环增益为可变参数，但也可以用系统中的其他参数，如某个环节的时间常数等。
根轨迹的绘制法则gnj jmi iK ps z s s D s N 1)()()()(11-=++=∏∏== 在绘制根轨迹时，通常首先求出g K ＝0和g K ＝∞时的特征根，再根据绘制法则画出0＜g K ＜∞时的根轨迹草图；一. 根轨迹的起点（K g =0）上式说明，当g K ＝ 0时，系统的开环极点就是闭环极点。
绘制根轨迹时，我们通常是从g K ＝ 0时的闭环极点画起，即开环极点是闭环根轨迹曲线的起点。
起点数n 就是根轨迹曲线的条数。
二. 根轨迹的终点（K g =∞）当g K ＝∞时，闭环特征方程式为∏==+=mi i z s s N 1)()(这就是说，系统的开环零点就是g K =∞时的闭环极点，即根轨迹曲线的终点。
其个数为m ，另外的n －m 个根轨迹终点在无穷远。
三. 根轨迹的分支数和对称性根轨迹在s 平面上的分支数（条数）等于开环特征方程的阶数n ，即与开环极点个数相同。
此外，在一般控制系统的特征方程中，各项系数都是实数。
因此，特征根或是实数，或是共扼复数，则根轨迹一定是对称于实轴。
四. 实轴上的根轨迹当开环传递函数有实数极点、零点时，这意味着实轴上有根轨迹的起点和终点。
这时，必须确定实轴上哪一区间有根轨迹，哪一区间没有根轨迹。
五. 根轨迹的分离点和会和点在有根轨迹的实轴上，存在着两个开环极点时，必然有一个分离点a 。
同样，在有根轨迹的实轴上，存在两个开环零点(包括无穷远零点)时，必然有一个会合点b 。
当g K 为g K a (a 点的g K 值)或g K b (b 点的g K 值)时，特征方程都将出现重根。
这是两者的共性。
此外，分离点a 的g K 值，是其实轴根轨迹上的最大g K 值；会合点b 的g K 值，是其实轴根轨迹上的最小g K 值。
绘制根轨迹的规则
d 2 s 2s ds
即
s d
0
2d 2 0 解得 d 1 ， d 1 位于实轴根轨迹上（由0到-2的线段
上），故它是实轴上的分离点。
21
例4-4 已知系统的开环传递函数为 Kr G(s) H(s) (s 1)(s 2)(s 3)
试求出系统根轨迹与实轴的交点。 解 本系统无有限开环零点，由式（4-25） 可得
1 G (s)H(s) 0
G (s)H(s) 1
1
当系统有m个开环零点和n个开环极点时，特征方程 m 可写成
(s z
j 1 n i 1
j
) 1
Kr
(s p )
i
p 式中，z j 为已知的开环零点， i 为已知的开环极 点， r为可从零变到无穷大的开环根轨迹增益。上式 K 称为根轨迹方程，由根轨迹方程，可以画出当 K r由零 变到无穷大时系统的根轨迹。
根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭 环系统特征方程的根（即闭环极点）在S平面上的分布，那么， 根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。 由例4-1看出，系统开环根轨迹增益 K r(实变量）与复变量 s有一一对应的关系，当 K r 由零到无穷大连续变化时，描述系 统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，因此， 根轨迹是n条连续的曲线。 由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有 复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是 对称于实轴的。 结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连 续且r 0 ，终止
于开环零点（ K r )；如果开环极点数n大 于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s平
面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m 大于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于s 平面的无穷远处(无限极点)。
绘制根轨迹的基本法则
时，
【例5.6】计算开环传递函数
的根轨迹在实轴上的分离点 解：1.由系统特征方程：
2.求
，即
得：
不在实轴上的根轨迹段内， 舍去。
在实轴上的根轨迹段内， 继续判断；位于两开环极 点间，是分离点。
3. 求对应的根轨迹增益：
将
代入K式：
4. 分离角： 5. 根轨迹：
Im
3
2
K 3.0789
1
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Re
三、根轨迹与虚轴的交点
根轨迹可能跨过虚轴进入S右半平面；系统 从稳定变为不稳定；
根轨迹在虚轴上的交点，对应闭环系统的 临界稳定；
交点处是一对纯虚根，利用劳斯判据第二 种特例的原理计算。
3
2
1
Im
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Re
【例5.8】计算开环传递函数
一、根轨迹的渐近线
渐近线的数量：系统有n个开环极点，m个 开环零点时，需要n-m条渐近线。 渐近线和根轨迹一样，关于实轴对称。 渐近线在实轴上有一个共同的交点：
所有开环极点的和 - 所有开环零点的和 n-m
渐近线的发散角度： 小窍门：
【例5.5】已知3阶系统的开环传递函数，
请绘制根轨迹的起点和终点、根轨迹在实轴上 的段落、根轨迹的渐近线。 解：1. 根轨迹的起点，对应开环极点，n=3：
1.分离点：根轨迹相遇后离开实轴的点 如a点，对应根轨迹增益局部最大值；
2.会合点：根轨迹相遇后回到实轴的点 如b点，对应根轨迹增益的局部最小值
【例5.6】计算开环传递函数
的根轨迹在实轴上的分离点 解：1.由系统特征方程：
2.求
，即
得：
不在实轴上的根轨迹段内， 舍去。
在实轴上的根轨迹段内， 继续判断；位于两开环极 点间，是分离点。
3. 求对应的根轨迹增益：
将
代入K式：
4. 分离角： 5. 根轨迹：
Im
3
2
K 3.0789
1
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Re
三、根轨迹与虚轴的交点
根轨迹可能跨过虚轴进入S右半平面；系统 从稳定变为不稳定；
根轨迹在虚轴上的交点，对应闭环系统的 临界稳定；
交点处是一对纯虚根，利用劳斯判据第二 种特例的原理计算。
3
2
1
Im
0
-1
-2
-3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Re
【例5.8】计算开环传递函数
一、根轨迹的渐近线
渐近线的数量：系统有n个开环极点，m个 开环零点时，需要n-m条渐近线。 渐近线和根轨迹一样，关于实轴对称。 渐近线在实轴上有一个共同的交点：
所有开环极点的和 - 所有开环零点的和 n-m
渐近线的发散角度： 小窍门：
【例5.5】已知3阶系统的开环传递函数，
请绘制根轨迹的起点和终点、根轨迹在实轴上 的段落、根轨迹的渐近线。 解：1. 根轨迹的起点，对应开环极点，n=3：
1.分离点：根轨迹相遇后离开实轴的点 如a点，对应根轨迹增益局部最大值；
2.会合点：根轨迹相遇后回到实轴的点 如b点，对应根轨迹增益的局部最小值
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§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
§4.3
§4.3.1 参数根轨迹 —
广义根轨迹
除 K* 之外其他参数变化时系统的根轨迹
例 单位反馈系统开环 G( s )
传递函数 1 1 解. (1) D( s ) s 3 s 2 s a 0
m n
1
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i m
1
— 模值条件 — 相角条件
G( s ) H ( s ) ( s zi ) ( s p j ) 2k
i 1 j 1
绘制零度轨迹的基本法则
法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
d 2 2d d (d 2) 0
d 1 j d 1 j K d1 d 1
d1 2
d2 0
d 2
2
K d2
d 1 j d 1 j d 0 2 d 1
§4.3.2
零度根轨迹（2）
K * ( s 1) 例 系统开环传递函数 G( s ) ,分别绘制 0º 、180º 根轨迹。 3 ( s 3) K * ( s 1) K K * 27 解. G ( s ) ( s 3) 3 v0
i 1 i j
m
(s p )
j 1
n
K * ( s z1 )( s zm ) G( s ) H ( s ) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
K * s z1 s zm G( s ) H ( s) K* s p1 s p2 s pn
★ 法则 3 ★ 法则 4 实轴上的根轨迹 渐近线
a
n
p z
i 1 i j 1
n
m
i
nm
a 2k
nm
法则 5 分离点 法则 6 与虚轴交点
★ 法则 7 出射角/入射角
m 1 1 d p i 1 j 1 d z j i
ReD( j ) ImD( j ) 0
① 实轴轨迹：[-∞, -1] ② 出射角： [-1, ∞]
90 90 180
90 90 0
180
③ 分离点： 整理得： 解根：
0
1 1 2(d 1) 1 2 d 1 j d 1 j d 2d 2 d 1
§4.3
广义根轨迹
K
*
§4.3.2 零度根轨迹 —系统实质上处于正反馈时的根轨迹
K * ( s z1 )( s zm ) G( s ) H ( s) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
F( s ) 1 G( s ) G( s ) H ( s )
(s z )
ReD( j ) ImD( j ) 0
n m (s p ) (s z ) (2k 1)π i j i1 n j1
i i 1 i
法则 7 出射角/入射角
n
法则 8 根之和
p
i 1
C ( nm 2 )
自动控制原理
§4 根轨迹法
(s a) 4 ，a=0→∞ 变化，绘制根轨迹；x1时， F(s)? 2 s ( s 1)
4
构造 “ 等效开环传递函数 ”
4 G* ( s)
① 实轴根轨迹：[-∞,0]
② 渐近线： ③ 分离点： 整理得：
a4 a4 s 3 s 2 s 4 s( s 0.5) 2
a 1 3
绘制根轨迹的法则
法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则 3 实轴上的根轨迹 法则 4 渐近线 法则 5 分离点 法则 6 与虚轴交点
a
n
p z
i 1 i j 1
n
m
i
nm
a
( 2k 1) nm
m 1 1 d p i 1 j 1 d z j i
(1) 绘制 180º 根轨迹
① 实轴上的根轨迹：[-3, -1] ② 出射角：
3 3 3 1 4 ③ 渐近线： a 2 ( 2k 1) a 90 2
3 (2k 1) 2k 1 0, 120
④
d 1 6 2 ad 4 d d 0.5 2 27 与虚轴交点： D( s ) s 3 s 2 s 4 a 4 0
1 2 0 d d 0.5
a 60, 180
3d 0.5 0
ImD( j ) 3 4 0
ReD( j ) 2 a 4 0
1 2
a 1
§4.3.1
参数根轨迹（1）
解. (2) x1 时，对应于分离点 d ，ad=2/27
1 1 2 ( s a ) ( s ) a 2 27 a4 * 4 4 27 G ( s) G( s ) 2 s( s 0.5) 2 s ( s 1) s 2 ( s 1) 1 2 1 2 (s ) (s ) 4 27 27 F( s ) 4 1 2 1 2 s 2 ( s 1) ( s ) ( s ) 2 ( s ) 4 27 6 3
n m (s p ) (s z ) 2k i j i1 j1
法则 8 根之和
i 1
n
i
C
( nm 2 )
§4.3.2
零度根轨迹（1）
例 系统结构图如图所示，K*= 0→∞, 变化,
试分别绘制 0°、180°根轨迹。 K ( s 1) K ( s 1) Kk K 2 解. G ( s ) 2 s 2 s 2 ( s 1 j )( s 1 j ) v0 (2) 0º 根轨迹 (1) 180º 根轨迹
§4.3
§4.3.1 参数根轨迹 —
广义根轨迹
除 K* 之外其他参数变化时系统的根轨迹
例 单位反馈系统开环 G( s )
传递函数 1 1 解. (1) D( s ) s 3 s 2 s a 0
m n
1
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i m
1
— 模值条件 — 相角条件
G( s ) H ( s ) ( s zi ) ( s p j ) 2k
i 1 j 1
绘制零度轨迹的基本法则
法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性
d 2 2d d (d 2) 0
d 1 j d 1 j K d1 d 1
d1 2
d2 0
d 2
2
K d2
d 1 j d 1 j d 0 2 d 1
§4.3.2
零度根轨迹（2）
K * ( s 1) 例 系统开环传递函数 G( s ) ,分别绘制 0º 、180º 根轨迹。 3 ( s 3) K * ( s 1) K K * 27 解. G ( s ) ( s 3) 3 v0
i 1 i j
m
(s p )
j 1
n
K * ( s z1 )( s zm ) G( s ) H ( s ) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
K * s z1 s zm G( s ) H ( s) K* s p1 s p2 s pn
★ 法则 3 ★ 法则 4 实轴上的根轨迹 渐近线
a
n
p z
i 1 i j 1
n
m
i
nm
a 2k
nm
法则 5 分离点 法则 6 与虚轴交点
★ 法则 7 出射角/入射角
m 1 1 d p i 1 j 1 d z j i
ReD( j ) ImD( j ) 0
① 实轴轨迹：[-∞, -1] ② 出射角： [-1, ∞]
90 90 180
90 90 0
180
③ 分离点： 整理得： 解根：
0
1 1 2(d 1) 1 2 d 1 j d 1 j d 2d 2 d 1
§4.3
广义根轨迹
K
*
§4.3.2 零度根轨迹 —系统实质上处于正反馈时的根轨迹
K * ( s z1 )( s zm ) G( s ) H ( s) ( s p1 )(s p2 )( s pn )
F( s ) 1 G( s ) G( s ) H ( s )
(s z )
ReD( j ) ImD( j ) 0
n m (s p ) (s z ) (2k 1)π i j i1 n j1
i i 1 i
法则 7 出射角/入射角
n
法则 8 根之和
p
i 1
C ( nm 2 )
自动控制原理
§4 根轨迹法
(s a) 4 ，a=0→∞ 变化，绘制根轨迹；x1时， F(s)? 2 s ( s 1)
4
构造 “ 等效开环传递函数 ”
4 G* ( s)
① 实轴根轨迹：[-∞,0]
② 渐近线： ③ 分离点： 整理得：
a4 a4 s 3 s 2 s 4 s( s 0.5) 2
a 1 3
绘制根轨迹的法则
法则 1 根轨迹的起点和终点 法则 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则 3 实轴上的根轨迹 法则 4 渐近线 法则 5 分离点 法则 6 与虚轴交点
a
n
p z
i 1 i j 1
n
m
i
nm
a
( 2k 1) nm
m 1 1 d p i 1 j 1 d z j i
(1) 绘制 180º 根轨迹
① 实轴上的根轨迹：[-3, -1] ② 出射角：
3 3 3 1 4 ③ 渐近线： a 2 ( 2k 1) a 90 2
3 (2k 1) 2k 1 0, 120
④
d 1 6 2 ad 4 d d 0.5 2 27 与虚轴交点： D( s ) s 3 s 2 s 4 a 4 0
1 2 0 d d 0.5
a 60, 180
3d 0.5 0
ImD( j ) 3 4 0
ReD( j ) 2 a 4 0
1 2
a 1
§4.3.1
参数根轨迹（1）
解. (2) x1 时，对应于分离点 d ，ad=2/27
1 1 2 ( s a ) ( s ) a 2 27 a4 * 4 4 27 G ( s) G( s ) 2 s( s 0.5) 2 s ( s 1) s 2 ( s 1) 1 2 1 2 (s ) (s ) 4 27 27 F( s ) 4 1 2 1 2 s 2 ( s 1) ( s ) ( s ) 2 ( s ) 4 27 6 3
n m (s p ) (s z ) 2k i j i1 j1
法则 8 根之和
i 1
n
i
C
( nm 2 )
§4.3.2
零度根轨迹（1）
例 系统结构图如图所示，K*= 0→∞, 变化,
试分别绘制 0°、180°根轨迹。 K ( s 1) K ( s 1) Kk K 2 解. G ( s ) 2 s 2 s 2 ( s 1 j )( s 1 j ) v0 (2) 0º 根轨迹 (1) 180º 根轨迹