新高考文科数学二轮培优教程文档：第二编 专题三 数列 第1讲

专题三 数列

第1讲 等差数列与等比数列

「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明． 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值分别为5分和12分.

核心知识回顾

1.等差数列

(1)通项公式：□

01a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . (2)等差中项公式：□022a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (3)前n 项和公式：□

03S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d

2

. 2．等比数列

(1)等比数列的通项公式：□

01a n ＝a 1q －＝a m q －. (2)等比中项公式：□

02a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (3)等比数列的前n 项和公式： □

03S n ＝⎩⎨⎧

na 1(q ＝1)，

a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1)

.

3．等差数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数)

(1)若m ＋n ＝l ＋k □

01a m ＋a n ＝a l ＋a k (反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p 时，有□

02a m ＋a n ＝2a p .

(2)若{a n }，{b n }是等差数列，则{ka n ＋tb n }(k ，t 是非零常数)是□

03等差数列． (3)等差数列的“依次每m 项的和”即S m □04S 2m －S m ，□

05S 3m －S 2m ，…仍是等差数列．

(4)等差数列{a n}当项数为2n时，S偶－S奇＝□06nd，S奇S偶＝□07a n a n＋1，项数为2n

－1时，S

奇－S

偶

＝□08a中＝□09a n，S2n－1＝(2n－1)a n且S奇S偶＝□10n n－1.(其中S偶表

示所有的偶数项之和，S

奇

表示所有的奇数项之和)

4．等比数列的性质(n，m，l，k，p均为正整数)

(1)若m＋n＝l＋k，则□01a m·a n＝a l·a k(反之不一定成立)；特别地，当m＋n＝2p

(2)当n为偶数时，S偶

S奇

＝□03q(公比)．(其中S偶表示所有的偶数项之和，S奇表

示所有的奇数项之和)

(3)等比数列“依次m项的和”，即S m，□04S2m－S m，

□05S3m－S2m，…(S m≠0)成等比数列．

热点考向探究

考向1 等差数列、等比数列的运算

例1(1)(2019·陕西榆林高考第三次模拟)在等差数列{a n}中，其前n项和为S n，且满足若a3＋S5＝12，a4＋S7＝24，则a5＋S9＝()

A．24 B．32

C．40 D．72

答案 C

解析∵a3＋S5＝6a3＝12，a4＋S7＝8a4＝24，∴a3＝2，a4＝3，∴a5＝4.∴a5＋S9＝10a5＝40，故选C.

(2)在等差数列{a n}中，已知a4＝5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{a n}的前5项的和为()

A．15 B．20

C．25 D．15或25

答案 D

解析设公差为d，∵a3为a2，a6的等比中项，∴a23＝a2·a6，即(a4－d)2＝(a4－2d)(a4＋2d)，∴5d(d－2)＝0，∴d＝0或d＝2.∴5－d＝5或3，即a3＝5或3，

∴S 5＝5a 3＝25或15.故选D.

(3)已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2

n ＝a n ＋1a n ，若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项

和为________．

答案 3n －1

解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，

∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，∴{a n }为等比数列，且首项为2，公比为3，∴S n ＝3n －1.

利用等差数列、等比数列的通项公式、前n 项和公式，能够在已知三个元素的前提下求解另外两个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最基本的量，解题中首先要注意求解最基本的量．

1．在各项为正数的等比数列{a n }中，S 2＝9，S 3＝21，则a 5＋a 6＝( ) A ．144 B ．121 C ．169 D ．148

答案 A

解析 由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝9，

a 1＋a 2＋a 3＝21，

即⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1(1＋q )＝9，

a 1(1＋q ＋q 2)＝21，解得⎩⎪⎨

⎪⎧

q ＝2，a 1＝3

或⎩⎨⎧

q ＝－2

3，

a 1＝27

(舍去)．∴a 5＋a 6＝

a 1q 4(1＋q )＝144.故选A.

2．(2019·辽宁沈阳郊联体高三一模)我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，五等人与六等人所得黄金数之和为( )

A.1

3 B.7

6 C.73 D.67

答案 C

解析 设a n 为第n 等人的得金数，则{a n }为等差数列，由题设可知a 1＋a 2＋