等比数列的通项公式基础测试

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高中数学选择性必修二 4 3 1 1等比数列的概念和通项公式(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

4.3.1.1等比数列的概念和通项公式知识点一等比数列的概念(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q ≠0)表示． (2)符号语言：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，n ∈N *)【重点总结】(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．要点二等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．【重点总结】(1)若G 是a 与b 的等比中项，则G a ＝bG，所以G 2＝ab ，G ＝±ab.(2)与“任意两个实数a ，b 都有唯一的等差中项A ＝a ＋b2”不同，只有当a 、b 同号时a 、b 才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是ab 与－ab ；当a ，b 异号时没有等比中项．(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．要点三等比数列的通项公式设等比数列{a n }的公比为q ，则这个等比数列的通项公式是a n ＝11n a q (a 1，q ≠0且n ∈N *)．【重点总结】(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列． (2)在公式a n ＝a 1q n －1中，有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a 1，q 为两个基本量．(3)对于等比数列{a n }，若q<0，则{a n }中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{a n }各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列为{a n }，且满足a na n －1＝q (n ≥2，q 为不等于0的常数)，则这个数列是等比数列．( )(2)在等比数列{a n }中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值．( ) (3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）×（4）× 2．(多选题)下列数列不是等比数列的是( )A ．2,22,3×22，… B.1a ，1a 2，1a3，…C ．s －1，(s －1)2，(s －1)3，…D ．0,0,0，… 【答案】ACD【解析】A 中，222≠3×2222，A 不是等比数列；B 中，1a 21a ＝1a 31a 2＝…，B 是等比数列；C 中，当s ＝1时，不是等比数列；当s ≠1时，是等比数列，所以C 不是等比数列；D 显然不是等比数列．故选ACD. 3．已知{a n }是等比数列，a 1＝1，a 4＝22，则a 3＝( ) A ．±2 B ．2 C ．－2 D ．4 【答案】B【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则有1×q 3＝22＝(2)3，∴q ＝2，∴a 3＝a 4q＝2，故选B.4．已知等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________. 【答案】－2n 或(－2)n【解析】∵a 1＝－2，a 3＝－8，∴a 3a 1＝q 2＝－8－2＝4，∴q ＝±2，∴a n ＝(－2)·2n －1或a n ＝(－2)·(－2)n －1，即a n＝－2n 或a n ＝(－2)n .题型一等比数列通项公式的求法及应用探究1 基本量的计算【例1】在等比数列{a n }中 (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .【解析】(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22-53n .(2)方法一：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①得q ＝12，从而a 1＝32.又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6. 方法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32.由a n ＝a 1q n －1＝1，得n ＝6. 【重点小结】 (1)由a 7a 4＝q 3便可求出q ，再求出a 1，则a n ＝a 1·q n －1.(2)两个条件列出关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再由a n ＝1求n ；也可以直接先由q ＝a 3＋a 6a 2＋a 5入手．【方法归纳】等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．探究2 等比数列的实际应用【例2】计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低13，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( )A ．300元B ．900元C ．2 400元D ．3 600元【答案】C【解析】降低后的价格构成以23为公比的等比数列，则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×⎝⎛⎭⎫233＝2 400(元)．【方法技巧】关于等比数列模型的实际应用题，先构造等比数列模型，确定a 1和q ，然后用等比数列的知识求解．【跟踪训练1】(1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q 等于( ) A ．－2 B ．1或－2 C ．1 D ．1或2 【答案】B【解析】a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2q 2＝2q ＋2q 2＝4，即q 2＋q －2＝0，解得q ＝1或q ＝－2，故选B.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，已知a 1＝6，a 1＋a 2＋a 3＝78，则a 2等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．36 【答案】B【解析】设公比为q ，由已知得6＋6q ＋6q 2＝78，即q 2＋q －12＝0解得q ＝3或q ＝－4(舍去)． ∴a 2＝6q ＝6×3＝18.故选B.(3)某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍．【答案】1.259【解析】设这个林场今年的树木总量是m ，第n 年末的树木总量为a n ，则a n ＋1＝a n ＋a n ×25%＝1.25a n . 则a n ＋1a n＝1.25，则数列{a n }是公比q ＝1.25的等比数列．则a 10＝a 1q 9＝1.259 m.所以a 10a 1＝1.259.题型二等比中项【例3】已知等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．【解析】设该等比数列的公比为q ，首项为a 1，因为a 2－a 5＝42，所以q ≠1，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168a 1q －a 1q 4＝42，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q ＋q 2)＝168a 1q (1－q 3)＝42①②因为1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2)，所以由②除以①，得q (1－q )＝14.所以q ＝12.所以a 1＝4212－⎝⎛⎭⎫124＝96.若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝⎛⎭⎫1210＝9. 所以a 5，a 7的等比中项是±3. 【方法归纳】(1)首项a 1和q 是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法． (2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项．【跟踪训练2】如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9【答案】B【解析】∵－1，a ，b ，c ，－9成等比数列， ∴a 2＝(－1)×b ，b 2＝(－1)×(－9)＝9 ∴b <0，∴b ＝－3.又b 2＝ac ，∴ac ＝9.故选B.题型三等比数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．【解析】(1)当n ＝1时，S 1＝13(a 1－1)＝a 1，解得：a 1＝－12，当n ＝2时，S 2＝13(a 2－1)＝a 1＋a 2，解得a 2＝14.(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．【变式探究1】将本例中条件换为“数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1”，求证：{a n ＋1}成等比数列，并求a n .【解析】由a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2×2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n －1.【变式探究2】将本例中的条件换为“数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1”，求a n . 【解析】令a n ＋1－A ·⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －A ·⎝⎛⎭⎫12n ，则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝⎛⎭⎫12n ＋1. 由已知条件知A3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －3×⎝⎛⎭⎫12n . 又a 1－3×⎝⎛⎭⎫121＝－23≠0，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －3×⎝⎛⎭⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列．于是a n －3×⎝⎛⎭⎫12n ＝－23×⎝⎛⎭⎫13n －1，故a n ＝3×⎝⎛⎭⎫12n －2×⎝⎛⎭⎫13n . 【方法归纳】判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是常数)或a na n －1＝q (q 是常数，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．【易错辨析】忽略等比数列各项的符号规律致错【例5】在等比数列{a n }中，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．－27 【答案】B【解析】由等比中项的性质得a 27＝a 5a 9＝81，∴a 7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a 7＝9，故选B. 【易错警示】 1. 出错原因没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得a 7＝±9，错选A. 2. 纠错心得在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题时要小心谨慎，以防上当.一、单选题1．已知等比数列{}n a 中，3a 是1a ，2a 的等差中项，则数列{}n a 的公比为（） A ．12-或1B ．12-C ．12D ．1【答案】A【分析】首先根据题意得到3122a a a =+，从而得到2210q q --=，再解方程即可. 【解析】由题知：3122a a a =+，所以221q q =+，即2210q q --=，解得12q =-或1q =.故选：A2．已知等比数列{}n a 满足2512,4a a ==，则公比q =（） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】B 【分析】由352a a q =即可求出．【解析】 352a a q =，即3124q =，解得12q =．故选：B ．3．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（） A ．29 B ．31 C ．33 D ．35【答案】B 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知可得q 和1a ，代入等比数列的求和公式即可【解析】因为 2312a a a =23114a q a a ==，42a ∴=，3474452224a a a a q +=⨯=+，所以11,162q a ==，551161231112S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，故选：B.4．《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（）个． A ．12 B ．24 C ．36 D ．48【答案】D 【分析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，根据题意，由()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩求解. 【解析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，由题意得：123123453493a a a a a a a a ⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，即()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得132a q =⎧⎨=⎩，所以45148a a q ==，故选：D5．在等比数列{}n a 中，若1614a a a ⋅⋅为定值，n T 为数列{}n a 的前n 项积，则下列各数为定值的是（） A ．11T B ．12TC ．13TD ．14T【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式用1,a q 表示出1614a a a ，然后再分别表示出各选项中的积进行判断．【解析】设公比为q ，则()35133186161411111a a a a a q a q a q a q =⋅==为定值，即61a q 为定值，(1)112(1)211111n n n n n n n T a a q a qa qa q--+++-=⋅==，11555111111()T a q a q ==，不是定值，1211126621211T a q a q ⎛⎫== ⎪⎝⎭，不是定值，13786131311()T a q a q ==，是定值，1413131414221411()T a q a q ⨯==，不是定值．故选：C ．6．在各项都为正数的数列{}n a 中，首项12,n a S =为数列{}n a 的前n 项和，且()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，则10S =（） A ．1022 B ．1024C ．2046D ．2048【答案】C 【分析】当2n ≥时，1n n n a S S -=-，故可以得到()()11220n n n n a a a a --+-=，因为120n n a a -+>，进而得到120n n a a --=，所以{}n a 是等比数列，进而求出102046S = 【解析】由()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，得22140nn a a --=，得()()11220n n n n a a a a --+-=，又数列{}n a 各项均为正数，且12a =， ∴120n n a a -+>，∴120n n a a --=，即12nn a a -= ∴数列{}n a 是首项12a =，公比2q 的等比数列，其前n 项和()12122212n n nS +-==--，得102046S =，故选：C.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =-，则202120221S a +=（）A ．2B ．1C ．12D ．13【答案】B 【分析】由21n n S a =-，根据n a 与n S 的关系，得出{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【解析】由数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，当1n =时，可得11121a S a ==-，所以11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以202120212021122112S -==--，202120222a =，所以2021202211S a +=. 故选：B.8．在等比数列{}n a 中，()23122a a a a +=+，则数列{}n a 的公比q =（） A ．2 B ．1 C ．1-或1 D ．1-或2【答案】D 【分析】用1,a q 表示出已知等式后可得结论．【解析】由题意知()()211210a q q a q +-+=，所以()()120q q +-=，所以1q =-或2q.故选：D .二、多选题9．(多选题)已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（） A ．若30a >，则20210a > B ．若40a >，则20200a > C ．若30a >，则20210S > D ．若30a >，则20210S <【答案】ABC【分析】根据等比数列通项式，前n 项和n S 代入即可得出答案. 【解析】设数列{}n a 的公比为q ，当30a >，则2018202130a a q=>，A 正确；当40a >，则2016202040a a q=>，B 正确. 又当1q ≠时，()20211202111a q qS -=-，当1q <时，2021202110,10,0q qS ->->∴>，当01q <<时，2021202110,10,0q q S ->->∴>，当1q >时，2021202110,10,0q qS -<-<∴>当1q =时，2021120210S a =>，故C 正确，D 不正确. 故选：ABC10．(多选题)若数列{a n }是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有（） A ．{ca n }(c 为常数) B ．{a n ＋a n ＋1}C ．{a n ·a n ＋1)D ．{}3n a【答案】CD 【分析】A. 由c ＝0判断；B.q ＝－1时判断；CD.由等比数列的定义判断. 【解析】当c ＝0时，{ca n }不是等比数列，故A 错误；当数列{a n }的公比q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，故B 错误；由等比数列的定义，选项CD 中的数列是等比数列，故CD 正确. 故选：CD11．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n T 是{}n a 的前n 项之积，227a =，369127a a a ⋅⋅=，则当n T 最大时，n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】AB【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，求出q 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式，解不等式1n a ≥，求出n 的取值范围，即可得解.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则33696127a a a a ⋅⋅==，可得613a =，13q ∴==，所以，225212733n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，令531n n a -=≥，解得5n ≤，故当n T 最大时，4n =或5.故选：AB.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．在等比数列{}n a 中，1521,8,n a a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，若63k S =，则k =________．【答案】6【分析】由1521,8a a a ==，解得2q求解. 【解析】在等比数列{}n a 中，设公比为q ，因为1521,8a a a ==，所以48,0q q q =≠，解得2q，所以126312kk S -==-，解得6k =，故答案为：613．在正项等比数列{}n a 中，若13a 、312a 、22a 成等差数列，则2021202020232022a a a a -=-________．【答案】19【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，根据已知条件求出q 的值，再结合等比数列的基本性质可求得结果.【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13a 、312a 、22a 成等差数列，则31232a a a =+，即211132a q a a q =+，可得2230q q --=，0q >，解得3q =，因此，()20212020202120202202320222021202019a a a a a a q a a --==--. 故答案为：19. 14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若241,4n n a S b a a +==，数列{}n a 的通项公式为___________．【答案】21()2n n a -= 【分析】当1n =时，求得102b a =>，再由n n S a b =-+，得到11(2)n n S a b n --=-+≥，相减可得120n n a a --=，结合等比数列的通项公式，求得b ，进而求得数列的通项公式.【解析】由题意，正项数列{}n a 满足241,4n n a S b a a +==，当1n =时，可得1111a S a a b =++=，则102b a =>，由n n S a b =-+，则11(2,)n n S a b n n N +--=-+≥∈，两式相减可得120n n a a --=，所以1(22)1,n n n n N a a +-≥=∈，即数列{}n a 为公比为12的等比数列，所以2416,4b a a b ==，所以2441461a b a b =⨯=，解得4b =，所以122b a ==，所以数列{}n a 的通项公式为1121112()()22n n n n a a q ---==⨯=.故答案为：21()2n n a -=.四、解答题15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，172n n S a ++=，2211log log n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2022n m T >对所有*n N ∈恒成立，求满足条件m 的最小整数值.【答案】（1）322n n a -= （2）674【分析】（1）利用递推公式，结合前n 项和与第n 项的关系、等比数列的定义进行求解即可；（2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可.（1）由题意172n n S a ++=，当2n ≥时，172n n S a -+=，两式相减得：17n n n a a a +=-，即：()182n n a a n +=≥，所以2n ≥时，{}n a 为等比数列又因为1n =时，217272216a S =+=⨯+=，所以218a a =，所以，对所有*n N ∈，{}n a 是以2为首项，8为公比的等比数列，所以132282n n n a --=⨯=；（2）由题知：32312212211log log log 2log 2n n n n n b a a -++==⋅⋅ ()()13231n n =-+11133231n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭所以12111111111134473231331n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭所以111202220221674167433131n T n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以满足2022n m T >恒成立的最小m 值为674.16．等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =. （1）求n a 与n b ；（2）求12111nS S S +++. 【答案】（1）33(1)3n a n n =+-=，13n n b -=（2）()231n n + 【分析】（1）由{}n b 的公比22S q b =及2212b S +=可解得3q =，由11b =则n b 可求，又由22S q b =可得29S =，26a =，213d a a =-=，则n a 可求；（2）由（1）可得3(1)2n n n S +=，则122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故由裂项相消法可求12111nS S S +++. （1）等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =，222212S q b b S ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3q =，13n n b -=. {}n b 各项均为正数，∴3q =，13n n b -=.由23b =，得29S =，26a =，213d a a =-=，∴()3313n a n n =+-=. （2）3(1)3(1)322n n n n n S n -+=+=， 122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，12111211111132231n S S S n n ⎛⎫+++=-+-++- ⎪+⎝⎭ 2121313(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝2a n －5，求证{a n －5}是等比数列．【答案】证明见解析【分析】由a n ＋1－5＝2(a n －5)结合等比数列的定义证明即可.【解析】证明：由a n ＋1＝2a n －5得a n ＋1－5＝2(a n －5)．又a 1－5＝－1≠0，故数列{a n －5}是首项为－1，公比为2的等比数列．。

等比数列基础练习题及答案

等比数列基础练习题及答案一．选择题1．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是7．已知数列{an}满足，其中λ为实常数，则数列{an} *n12．已知等比数列{an}中，a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1，则等比数列{an}的公比是15．在等比数列{an}中，，则tan=17．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则= 222．在等比数列{an}中，若a3a4a5a6a7=243，则的值为2二．填空题28．已知数列{an}中，a1=1，an=2an﹣1+3，则此数列的一个通项公式是29．数列30．等比数列{an}的首项a1=﹣1，前n项和为Sn，若，则公比q等于 _________ ．的前n项之和是22参考答案与试题解析一．选择题1．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是7．已知数列{an}满足，其中λ为实常数，则数列{an} 数列测试题优能提醒：请认真审题，仔细作答，发挥出自己的真实水平！一、单项选择题：1．在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于B2．设数列{an}的前n项和，则a8的值为A3．数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为A． an=2n﹣1C． an=nB． an=n D． an=nB4．已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?2an?1，则a5? A．?16B．1C．31 D．32B5．在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1+a4=18，a2+a3=12，那么该数列的前8项之和为C6．已知数列{an}满足：a1=1，an=2an﹣1+1，则a4=A．0 B． 1C．1 D． 15D7．设等差数列?an?的公差d不为0，a1?9d 若ak是a1与a2k的等比中项，则k?等差数列{an}中，已知a3?5，a2?a5?12，an?29，则n?__________． 1511．在等比数列?an?中，已知a1a2a3?5，a7a8a9?40，则a5a6a7?2012．已知数列{an}满足an?2n?1?2n?1，则数列{an}的前n 项和Sn?_______．Sn?2n?n2?113．在等差数列?an?中，已知a2?a7?a8?a9?a14?70,则a8?．1414．在数列?an?中，已知a1?a2?1，an?2?an?1?an815．已知?an?等差数列Sn为其前n项和．若a1??n?N?，则a*6 ?___________．1，S2?a3，则a21等差数列{an}中，已知a3?5，a2?a5?12，an?29，则n?__________ 1517．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a8=9，则log3a1+log3a10218．已知{an}是首项a1=1，公差d=3的等差数列，如果an=2005，则序号n等于．66919．等比数列{an}中，已知a+a2+a3=7，a1a2a3=8，且{an}为递增数列，则a4820．已知三个数﹣7，a，1成等差数列，则a等于．﹣321．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______-222．在等比数列{an}中，若，则公比q的值等于．﹣或123．等比数列{an}中，公比q?1，其前3项和S3?3a1，则q=?2考点：等比数列求和24．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=___________?3525．若等比数列?an?满足a2a4?1，则a1a32a5?__________．1426．已知递增的等差数列?an?满足a1?1,a3?a2?4,则an=____?2n-127．s13设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a7?7a4，则s7= ．1328．设数列{an}的前n项和Sn?n2?n，则a7的值为__．1429．参考答案与试题解析一．选择题1．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是7．已知数列{an}满足，其中λ为实常数，则数列{an} *n。

高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)

高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项（1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项（3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关：设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列）（1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数）（3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。

等比数列通项公式例题及答案

§2.3 等比数列2.3.1 等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一等比数列的概念等比数列的概念和特点．1．文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．递推公式形式的定义：a n a n －1＝q (n ≥2)⎝⎛⎭⎫或a n ＋1a n ＝q ，n ∈N ＋.3．等比数列各项均不能为0. 知识点二等比中项的概念等比中项与等差中项的异同，对比如下表：知识点三等比数列的通项公式若等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1(n ∈N ＋)．1．若a n ＋1＝qa n ，n ∈N ＋，且q ≠0，则{a n }是等比数列．( × ) 2．任何两个数都有等比中项．( × )3．等比数列1，12，14，18，…中，第10项为129.( √ )4．常数列既是等差数列，又是等比数列．( × )题型一等比数列的判定命题角度1 已知数列前若干项判断是否为等比数列例1 判断下列数列是否为等比数列． (1)1,3,32,33，…，3n -1，…； (2)－1,1,2,4,8，…； (3)a 1，a 2，a 3，…，a n ，….解 (1)记数列为{a n }，显然a 1＝1，a 2＝3，…，a n ＝3n -1，…. ∵a n a n －1＝3n -13n -2＝3(n ≥2，n ∈N ＋)， ∴数列为等比数列，且公比为3.(2)记数列为{a n }，显然a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝2，…， ∵a 2a 1＝－1≠a 3a 2＝2，∴此数列不是等比数列． (3)当a ＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；当a ≠0时，数列为a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，显然此数列为等比数列，且公比为a . 反思感悟判定等比数列，要抓住3个要点：①从第二项起．②要判定每一项，不能有例外．③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.跟踪训练1 下列各组数成等比数列的是( )①1，－2,4，－8；②－2，2，－22，4；③x ，x 2，x 3，x 4；④a －1，a －2，a －3，a －4. A ．①② B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④答案 C解析 ①②显然是等比数列；由于x 可能为0，③不是； a 不能为0，④符合等比数列定义，故④是．命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0. ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N ＋)． ∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解由(1)知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n .即a n ＝2n －1. 反思感悟等比数列的判定方法(1)定义法：a na n －1＝q (n ≥2，q 是不为0的常数)⇔{a n }是公比为q 的等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，a n ，a n －1，a n ＋1均不为0)⇔{a n }是等比数列．跟踪训练2 数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4， a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n ＝3a n －3na n －n ＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴数列{a n －n }是以－2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n -1，∴a n ＝n －2·3n -1. 题型二等比数列基本量的计算例3 在等比数列{a n }中． (1)已知a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n .解 (1)设等比数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝4，a 1q 4＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q ＝－12. ∴a n ＝a 1q n -1＝(－8)⎝⎛⎭⎫－12n -1＝⎝⎛⎭⎫－12n -4. (2)设等比数列{a n }的公比为q .∵a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ，∴q ＝1836＝12.∵a 4＋a 7＝18，∴a 4(1＋q 3)＝18. ∴a 4＝16，a n ＝a 4·q n -4＝16·⎝⎛⎭⎫12n -4. 由16·⎝⎛⎭⎫12n -4＝12，得n －4＝5，∴n ＝9.反思感悟已知等比数列{a n }的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a 1和q 的两个方程，从而解出a 1和q ，再求其他项或通项．跟踪训练3 在等比数列{a n }中： (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6； (2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n .解 (1)由等比数列的通项公式得a 6＝3×(－2)6-1＝－96. (2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1q n -1＝5×2n -1，n ∈N ＋.方程的思想在等比数列中的应用典例1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．解方法一设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，(a ＋d )2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋(a ＋d )2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求的四个数为0，4，8，16；当a ＝9，d ＝－6时，所求的四个数为15，9，3，1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 方法二设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (q ≠0)，由条件得⎩⎨⎧2aq－a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13.当a ＝8，q ＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a ＝3，q ＝13时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.典例2 设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数为多少？解设这四个数依次为aq，a ，aq ，aq 2(q ≠0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4·q 2＝210，a ＋aq ＝4，解得q ＝－2或－12，当q ＝－2时，a ＝－4，所求四个数依次为2，－4，8，－16. 当q ＝－12时，a ＝8，所求四个数依次为－16，8，－4，2，综上，这四个数依次为2，－4，8，－16或－16，8，－4，2.[素养评析] (1)解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：①若三个数成等比数列，可设三个数为aq ，a ，aq 或a ，aq ，aq 2(q ≠0)．②若四个数成等比数列，可设为a q ，a ，aq ，aq 2或a q 3，aq，aq ，aq 3(q ≠0)．(2)像本例，明确运算对象，选择运算方法，求得运算结果充分体现数学运算的数学核心素养.1．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．32 答案 C解析由等比数列的通项公式得，128＝4×2n -1，2n -1＝32，所以n ＝6. 2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1，故a 7＝1·26＝64.3．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为3的等比数列，则a 6等于( ) A ．607.5 B ．608 C ．607 D ．159 答案 C解析 ∵1＋2a n ＝(1＋2a 1)×3n -1，∴1＋2a 6＝5×35，∴a 6＝5×243－12＝607.4．等比数列x ,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 答案 A解析由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24. 5．45和80的等比中项为________．答案－60或60解析设45和80的等比中项为G ，则G 2＝45×80，∴G ＝±60.6．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．解设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12， ①a 1q 3＝18， ②②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．(2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋，且数列各项均不为零)．2．两个同号的实数a ，b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方． 3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量.。

等比数列前n项和公式基础训练题(有详解)

参考答案
1．A
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式、前项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出．
【详解】
解：等比数列为单调递增数列，
设其前项和为，，，
，
解得，，
．
故选：．
【点睛】
本题考查数列的第5项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
23．已知正项等比数列{ }满足 .记，则数列{ }的前项和为________.
三、解答题
24．已知为等差数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若等比数列满足，，求数列的前项和公式．
25．等比数列{ }的前n项和为，已知 , , 成等差数列
（1）求{ }的公比q；
（2）求－＝3，求
【详解】
因为，所以．又，所以，，
【点睛】
若是等比数列，且，则，
前项和公式。
6．B
【解析】
【分析】
根据等比数列通项公式，可求得首项与公比；再代入即可求得结果。
【详解】
数列是等比数列，且，
所以由通项公式可得，解得
所以
代入
可得
所以选B
【点睛】
本题考查了等比数列通项公式的简单应用，属于基础题。
等比数列前n项和公式基础训练题（有详解)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知等比数列为单调递增数列，设其前项和为，若，，则的值为（）
A．16B．32C．8D．
2．设等比数列{ }的前n项和为，若 =3，则 =

等比数列的通项公式与求和公式练习题

等比数列的通项公式与求和公式练习题在学习数列与数列求和时，等比数列是一个重要的内容。

等比数列，顾名思义，是一种每一项与前一项比值相等的数列。

在这篇文章中，我们将探讨等比数列的通项公式和求和公式，并提供一些相关练习题，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、等比数列的通项公式对于等比数列，通项公式可以表示为：\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]其中，\(a_n\)表示第n项，\(a_1\)表示首项，\(r\)表示公比，\(n\)表示项数。

通过这个公式，我们可以轻松求解等比数列中任意一项的值，只要知道首项和公比即可。

现在，我们来看一个例子：例题1：已知等比数列的首项为3，公比为2，求第5项的值。

解析：根据等比数列的通项公式，代入已知条件，我们可以得到：\[a_5 = 3 \cdot 2^{(5-1)} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48\]所以，第5项的值为48。

二、等比数列的求和公式在求等比数列的和时，我们有一个特别的公式可以使用。

等比数列的求和公式可以表示为：\[S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - r^n)}{1 - r}\]其中，\(S_n\)表示前n项的和，\(a_1\)表示首项，\(r\)表示公比，\(n\)表示项数。

通过这个公式，我们可以快速求解等比数列前n项的和。

现在，我们来看一个例子：例题2：已知等比数列的首项为2，公比为3，求前4项的和。

解析：根据等比数列的求和公式，代入已知条件，我们可以得到：\[S_4 = \frac{2 \cdot (1 - 3^4)}{1 - 3} = \frac{2 \cdot (1 - 81)}{-2} =\frac{2 \cdot (-80)}{-2} = 40\]所以，前4项的和为40。

三、练习题现在，让我们通过一些练习题来巩固对等比数列的通项公式和求和公式的理解。

练习题1：已知等比数列的首项为2，公比为4，求第7项的值。

高中数学19等比数列的通项公式试题无答案

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高中数学19等比数列的通项公式试题无答案
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19. 等比数列的通项公式
【教学•建构】
回顾等差数列的研究内容，提出等比数列的研究内容.
探究1 等差数列的每一项均可用等差数列的首项和公差来表示（1）是怎么推导的？
（2）等比数列的每一项是否可用等比数列的首项和公比
来表示？给出结论，并给出推导过程.
例1 在等比数列中，
（1）已知，，则=___________；
（2）已知，，则=___________.
思考（1）等比数列中的能否用表示？如果可以，给出其形式；
（2）若已知等比数列中的和，如何求其公比？
例2
在1和9之间插入三个实数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和为．
变式
将条件中的“插入三个实数”改为“插入四个数”，则四个数之和为_________ __.
例3 已知等比数列的通项公式为，求首项和公比.
思考（1）请你给出等比数列通项公式的函数意义
（2）如果一个数列的通项公式为
（），那么这个数列是否一定是等比数列？
（3）试述正项等比数列的公比与数列单调性的关系？
（4）已知正项等比数列各项均满足，求证：数列为常数列.
【复习•思考】整理笔记，巩固记忆课堂教学内容.。

数学等比数列试题答案及解析

数学等比数列试题答案及解析1.设数列是等比数列，满足，且，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，，又，∵，∴，∴，故，，，所以.【考点】本题考查等比数列通项公式等基础知识，意在考查学生推理和基本的运算能力．2.已知等比数列{}的前项和为,且，则数列的公比的值为（）A．2B．3C．2或-3D．2或3【答案】C【解析】由已知得，，即，，即，解得或，选C．【命题意图】本题考查等比数列的前n项和公式和通项公式基础知识，意在考查基本运算能力.3.函数图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（）A．B．C．1D．【答案】A【解析】函数图象上的点到原点的距离的最小值为2，最大值为4，故，即，而，因此选A.【考点】本题考查函数与等比数列等知识，意在考查学生综合运用知识解题的能力.4.等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，已知S3= a2+10a1，a5= 9，则a1= （）A．B．- C．D．-【答案】C【解析】由S3 = a2+10a1得，a2+a3= a2+10a1，即a3= 9a1，即= 9a1，解得= 9，又因为a5= 9，所以= 9，解得，故选C.【考点】本小题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式,考查数列中基本量的计算，属容易题，掌握等比数列的基础知识是解决好本题的关键.5. ·大纲理）已知数列满足，，则的前10项和等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴.∴数列是以为公比的等比数列.∵，∴. ∴.故选C.【考点】等比数列求和6.已知为等比数列，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选D.7.(本小题满分14分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（Ⅰ）写出Tn 与Tn－1（n≥2）的递推关系式；（Ⅱ）求证：Tn ＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.【答案】（Ⅰ）（2）证明见解析【解析】解：（Ⅰ）我们有．（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得，①在①式两端同乘，得②②①，得．即．如果记，，则．其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．8.已知数列满足，并且（为非零参数，）（1）若成等比数列，求参数的值；（2）设，常数且，证明：【答案】（1）（2）证明过程见解析【解析】本题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前项和公式、等差数列前项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。

必修5等比数列通项公式试卷一般

高中数学必修5等比数列通项公式一般测试试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．单选题（共__小题）1．互不相等的三个数之积是-8，这三个数适当排列后可成为等比数列，又可成为等差数列，则这三个数的和为（）A．2B．-8C．8D．32．等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a2a4=（）A．6B．9C．36D．813．某企业今年产值为27万元，产值年平均增长率为，那么，经过3年，年产值达到（）A．64万元B．48万元C．29万元D．万元4．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则ab的最大值为（）A．8B．4C．1D．5．已知{a n}是等比数列，a2-a1=1，a5-a4=8，则{a n}的公比是（）A．1B．2C．-2D．2或-26．（2012秋•涪城区校级月考）设等比数列{a n}中，已知a3=2，a7=8，则a5=（）A．-4B．4C．±4D．167．已知数列{a n}是等比数列，且每一项都是正数，若a1，a49是2x2-7x+6=0的两个根，则a1•a2•a25•a48•a49的值为（）A．9B．C．±9D．358．已知等比数列{a n}（q＞0）中，a3=4，a2•a6=64，则a2=（）A．4B．5C．2D．3A．B．C．D．或10．若x，2x+2，3x+3是某个等比数列的连续三项，则x=（）A．-4B．-1C．1或4D．-1或-411．某工厂的生产总值月均增长率为p，则年增长率为（）A．p B．12p C．D．（1+p）12-112．在等比数列{a n}中，a4a1=，则tan（a2a3）=（）A．-B．C．D．二．填空题（共__小题）13．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a5•a7=4a42，a2=1，则a1=______．14．已知等比数列{a n}中，a1=3，a4a1+a2a7=42，则a4+a8=______．15．在等比数列{a n}中，首项a1=1，公比q=3，若a k=243（k∈N+），则k=______．16．如果实数-1，a，b，c，-9成等比数列，则b=______．17．已知数列{a n}是正数项等比数列，若a4a6+2a5a7+a6a8=36，a5+a7=______．18．在等比数列{a n}中，a1+a2=1，a3+a4=2，，则a5+a6+a7+a8=______．19．在等比数列{a n}中，a1=1，公比|q|≠1．若a m=a1a2a3a4a5，则m等于______．20．等比数列{a n}中，a7•a11=6，a4+a14=5，则a14-a4=______．21．在等比数列{a n}中，a1=-1，a9=-3，若=a k•a k+1…a n，则=______．22．在等比数列{a n}中，a1=，a3=2，则a9=______．（1）求cosAcosC的值；（2）求tanA+tanC的值．24．设数列{a n}的首项a1=t，S n满足5S n-3S n-1=3（n≥2，n∈N*），是否存在常数t，使得数列{a n}为等比数列，若存在求出t，若不存在说明理由．25．已知公比为q（0＜q＜1）的等比数列{a n}中，a2=2，前三项的和为7．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=a1•a2•…•a n，求使0＜b n＜1的正整数n的最小值．25．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，且a4=1，a2+a6=．求数列{a n}的通项公式．27．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*），（1）若b n=a n+1-2a n，求证：{b n}是等比数列，并求{b n}的通项公式；（2）若c n=，证明{c n}是等比数列，并求{a n}的通项公式．一．单选题（共__小题）1．互不相等的三个数之积是-8，这三个数适当排列后可成为等比数列，又可成为等差数列，则这三个数的和为（）A．2B．-8C．8D．3答案：D解析：解：∵三个数适当排列后可成为等比数列设这三个数为∵三个数之积是-8∴a=-2∴这三个数为∵可成为等差数列∴解得q=1因为三个数互不相等，所以不合题意；当-2-2q=，解得q=-2，则这三个数为1，-2，4；所以三个数的和为1-2+4=3；当，解得，则这三个数为4，-2，1；所以三个数的和为1-2+4=3；答案：C解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴3（1+q2+q4）=21，化为：q4+q2-6=0，解得q2=2．则a2a4==32×22=36．故选：C．3．某企业今年产值为27万元，产值年平均增长率为，那么，经过3年，年产值达到（）A．64万元B．48万元C．29万元D．万元答案：A解析：解：∵企业今年产值为27万元，产值年平均增长率为，∴今年的年产值=27×（1+）∴第二年的年产值=27×（1+）×（1+）=27（1+）2万元，∴第三年的年产值=27×（1+）×（1+）×=27（1+）3=64万元．经过3年，年产值达到64万元．故选A．4．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则ab的最大值为（）A．8B．4C．1D．答案：D解析：∵a＞0，b＞0，∴，化为ab≤，当且仅当a=b=时取等号．则ab的最大值为．故选：D．5．已知{a n}是等比数列，a2-a1=1，a5-a4=8，则{a n}的公比是（）A．1B．2C．-2D．2或-2答案：B解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，由a2-a1=a1（q-1）=1①，a5-a4=a1q4-a1q3=a1q3（q-1）=8②，①代入②得：q3=8，解得：q=2．故选B6．（2012秋•涪城区校级月考）设等比数列{a n}中，已知a3=2，a7=8，则a5=（）A．-4B．4C．±4D．16答案：B解析：解：在等比数列{a n}中，已知a3=2，a7=8由等比数列的性质可知：=a3•a7=2×8=16解得a5=±4，又因为在等比数列{a n}中必有=a3•a5＞0故a5只能取4，A．9B．C．±9D．35答案：A解析：解：∵a1，a49是2x2-7x+6=0的两个根，∴．∵数列{a n}是等比数列，∴，可得．（a n＞0）∴a1•a2•a25•a48•a49的值===．故选A．8．已知等比数列{a n}（q＞0）中，a3=4，a2•a6=64，则a2=（）A．4B．5C．2D．3答案：C解析：解：由等比数列的性质可得a42=a2•a6=64，解得a4=±8，当a4=8时，可得公比q==2符合题意，此时a2==2；当a4=-8时，可得公比q==-2不符合题意，应舍去．故选：C．9．各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．或答案：B解析：解由题意可得，a3=a1+a2∴故选B．10．若x，2x+2，3x+3是某个等比数列的连续三项，则x=（）A．-4B．-1C．1或4D．-1或-4答案：A解析：解：由题意可得（2x+2）2=x（3x+3），化简可得（x+1）（x+4）=0解之可得x=-1，或x=-4当x=-1时，2x+2=0不合题意，应舍去，故选A11．某工厂的生产总值月均增长率为p，则年增长率为（）A．p B．12p C．D．（1+p）12-1答案：D解析：解：设年增长率为x，上一年的第12月的产量为1．由题意可得：第一个月的产量为（1+p），第二个月的产量为（1+p）2，…，∴（1+p）12=1+x．解得x=（1+p）12-1．故选：D．12．在等比数列{a n}中，a4a1=，则tan（a2a3）=（）A．-B．C．D．答案：B则tan（a2a3）=tan（a12q3）=tan=-．故选B二．填空题（共__小题）13．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a5•a7=4a42，a2=1，则a1=______．答案：解析：解：设公比为q∵a5=a2q3，a4=a2q2，a7=a2q5又a5•a7=4a42，a2=1∴q8=4q4∵等比数列{a n}的公比为正数∴q=∴故答案为：．14．已知等比数列{a n}中，a1=3，a4a1+a2a 7=42，则a4+a8=______．答案：14解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=3，a4a1+a2a7=42，∴a1（a4+qa7）=a1（a4+a8）=42，∴3（a4+a8）=42，∴a4+a8=14，解析：解：在等比数列{a n}中，首项a1=1，公比q=3，则．又a k=243，所以3k-1=243，解得k=6．故答案为6．16．如果实数-1，a，b，c，-9成等比数列，则b=______．答案：-3解析：解：设该数列的公比为q，则由题意可得-1×q4=-9，解之可得q4=9，∴q2=3，∴b=-1×q2=-3，故答案为：-3；17．已知数列{a n}是正数项等比数列，若a4a6+2a5a7+a6a8=36，a5+a7=______．答案：6解析：解：由等比数列的性质可得a4a6=，a6a8=，代入已知可得==36，又数列{a n}为正项数列，故a5+a7=6故答案为：618．在等比数列{a n}中，a1+a2=1，a3+a4=2，，则a5+a6+a7+a8=______．答案：12解析：解：设{a n}的公比为q，∵a1+a2=1，a3+a4=q2（a1+a2）=2，∴q2=2，∴a5+a6=q2（a3+a4）=4，a7+a8=q2（a5+a6）=8，答案：11解析：解：∵a1=1由等比数列的性质可知，若a m=a1a2a3a4a5===q10=a11∴m=11故答案为1120．等比数列{a n}中，a7•a11=6，a4+a14=5，则a14-a4=______．答案：±1解析：解：∵数列{a n}是等比数列，∴a4a14=a7•a11=6，又a4+a14=5，解得a4=2，a14=3或a4=3，a14=2．∴a14-a4=±1．故答案为±1．21．在等比数列{a n}中，a1=-1，a9=-3，若=a k•a k+1…a n，则=______．答案：解析：解：∵等比数列{a n}中，a1=-1，a9=-3，∴（-1）×q8=-3，∴q8=3，∵=a k•a k+1…a n，∴=a2•a3•a4•a5•a6•a7•a8=（-1）7•q24•q4．在等比数列中，，，则．答案：128解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=，a3=2，∴，解得q2=4．∴==128．故答案为128．三．简答题（共__小题）23．△ABC中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c ，已知a，b ，c成等比数列，且cosB=．（1）求cosAcosC的值；（2）求tanA+tanC的值．答案：解：（1）由题意可得b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinAsinC，∴1-cos2B=sinAsinC，∵cosB=，∴sinAsinC=，由cosB=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC，∴cosAcosC=sinAsinC-cosB=-=；（2）tanA+tanC=+=====20解析：解：（1）由题意可得b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinAsinC，（2）tanA+tanC=+=====2024．设数列{a n }的首项a 1=t ，S n 满足5S n -3S n-1=3（n ≥2，n ∈N *），是否存在常数t ，使得数列{a n }为等比数列，若存在求出t ，若不存在说明理由．答案：解：由己知可得5S n -3S n-1=3（n ≥2，n ∈N ），①∴5S n+1-3S n =3，②②-①得5a n+1-3a n =0（n ≥2，n ∈N ），即5a n+1=3a n （n ≥2，n ∈N ）．故n ≥2，n ∈N 时，=，又∵5S 2-3S 1=3，∴5（a 2+t ）-3t=3，故a 2=∴{a n }为等比数列的充要条件为，解得t=，∴t=时，{a n }是以a 1=，公比q=的等比数列．解析：解：由己知可得5S n -3S n-1=3（n ≥2，n ∈N ），①∴5S n+1-3S n =3，② ②-①得5a n+1-3a n =0（n ≥2，n ∈N ），即5a n+1=3a n （n ≥2，n ∈N ）．故n ≥2，n ∈N 时，=，又∵5S 2-3S 1=3，∴5（a 2+t ）-3t=3，故a 2=∴t=时，{a n }是以a 1=，公比q=的等比数列．25．已知公比为q （0＜q ＜1）的等比数列{a n }中，a 2=2，前三项的和为7．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=a 1•a 2•…•a n，求使0＜b n＜1的正整数n 的最小值．答案：解：（1）∵a 2=2，前三项的和为7．∴，化为2q 2-5q+2=0，0＜q ＜1，解得q=． ∴a n ===23-n（2）b n =a 1•a 2•…•a n =22+1+…+（3-n ）=．由0＜＜1．可得＜0，解得n ＞5，∴使0＜b n ＜1的正整数n 的最小值为6．解析：解：（1）∵a 2=2，前三项的和为7．∴，化为2q 2-5q+2=0，0＜q ＜1，解得q=． ∴a n ===23-n（2）b n =a 1•a 2•…•a n =22+1+…+（3-n ）=．∴使0＜b n＜1的正整数n的最小值为6．26．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，且a4=1，a2+a6=．求数列{a n}的通项公式．答案：解：设数列{a n}的公比为q，则依题意由a1q3=1，a1q+a1q5=．两式相除并整理得9q4-82q2+9=0．解得q2=9或q2=．∵数列各项均为正数，∴公比q＞0．∴公比q=3或q=当公比q=3时，由a1q3=1，得a1=∴a n=•3n-1=3n-4当q=时，由a1q3=1，得a1=27∴a n=27•（）n-1=34-n∴数列{a n}的通项公式为a n=34-n或a n=3n-4解析：解：设数列{a n}的公比为q，则依题意由a1q3=1，a1q+a1q5=．两式相除并整理得9q4-82q2+9=0．解得q2=9或q2=．∵数列各项均为正数，∴公比q＞0．∴公比q=3或q=当公比q=3时，由a1q3=1，得a1=∴a n=•3n-1=3n-427．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*），（1）若b n=a n+1-2a n，求证：{b n}是等比数列，并求{b n}的通项公式；（2）若c n=，证明{c n}是等比数列，并求{a n}的通项公式．答案：证明：（1）由S n+1=4a n+2，得S n=4a n-1+2（n≥2），两式作差可得：a n+1=4a n-4a n-1（n≥2），即a n+1-2a n=2（a n-2a n-1），∴b n=2b n-1（n≥2），∵a1=1，S n+1=4a n+2，∴a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=3×1+2=5，b1=a2-2a1=5-2=3．∴{b n}是以3为首项，以2为公比的等比数列，则；（2）由，得a n+1-2a n=3×2n-1，∴，即数列{}是以为首项，以为公差的等差数列，则，∴．∵c n==，∴=．即{c n}是公比为2的等比数列．解析：证明：（1）由S n+1=4a n+2，得S n=4a n-1+2（n≥2），b1=a2-2a1=5-2=3．∴{b n}是以3为首项，以2为公比的等比数列，则；（2）由，得a n+1-2a n=3×2n-1，∴，即数列{}是以为首项，以为公差的等差数列，则，∴．∵c n==，∴=．即{c n}是公比为2的等比数列．。

等比数列基础训练题

等比数列基础训练题一、求通项公式相关1. 已知等比数列{a_n}中，a_1 = 3，公比q = 2，求这个等比数列的通项公式a_n。

这就像盖房子一样，等比数列的通项公式是a_n=a_1q^n - 1。

这里a_1是地基，也就是3，q是每次盖楼的倍数，是2。

那通项公式a_n=3×2^n - 1，就这么简单，像搭积木一样把数字放进去就好啦。

2. 等比数列{a_n}，a_3=24，a_6=192，求a_1和q，再求通项公式a_n。

咱们先从等比数列通项公式a_n=a_1q^n - 1入手。

那a_3=a_1q^2，a_6=a_1q^5。

已知a_3 = 24，a_6=192，就相当于a_1q^2=24 a_1q^5=192。

用第二个式子除以第一个式子，就像分蛋糕一样，frac{a_1q^5}{a_1q^2}=(192)/(24)，q^3 = 8，那q = 2。

把q = 2代入a_1q^2=24，a_1×2^2=24，4a_1=24，解得a_1=6。

通项公式a_n=6×2^n - 1。

二、求数列的项相关1. 在等比数列{a_n}中，a_1=5，q = 3，求a_4。

等比数列通项公式a_n=a_1q^n - 1，这里求a_4，n = 4。

那a_4=a_1q^4 - 1=5×3^3=5×27 = 135。

就像坐电梯，从第一层a_1开始，按照q 这个速度上升到第4层a_4。

2. 等比数列{a_n}，a_1=- 2，q = - (1)/(2)，求a_5。

根据通项公式a_n=a_1q^n - 1，n = 5时，a_5=a_1q^5 - 1。

把a_1=-2，q = - (1)/(2)代入，a_5=(-2)×(-(1)/(2))^4=(-2)×(1)/(16)=-(1)/(8)。

这就像在一个有正负交替规则的轨道上，按照一定的比例走到第5个点。

三、求前n项和相关1. 等比数列{a_n}，a_1=1，q = 2，求前5项和S_5。

等比数列（试题）

等比数列（试题）第一篇：等比数列(试题)关于等比数列的试题一、选择题：11，两数的等比中项是（）A．1B．-1C．±1D．12.已知{an}是等比数列，a2=2,a5=,则公比q=（）411(A)-(B)-2(C)2(D)22S43.设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（）a21517A.2B.4C.D.224.若数列{an}的前n项的和Sn=3n-2，那么这个数列的通项公式为（）31A.an=()n-1 B.an=3⨯()n-1 22⎧1,n=1C.an=3n-2 D.an=⎨n-1 ⎩2⋅3,n≥25.已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn-2(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}（）A．是等比数列B．当p≠0时是等比数列C．当p≠0，p≠1时是等比数列D．不是等比数列 126.已知等差数列｛an｝的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）（A）－4（B）－6（C）－8（D）－107．已知数列｛an｝既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n项和为（）Ａ．0B．nＣ．n a1Ｄ．a1n8．已知数列｛an｝的前n项和Sn=3an－2,那么下面结论正确的是（）Ａ．此数列为等差数列．此数列为等比数列Ｃ．此数列从第二项起是等比数列9．在等比数列｛an｝中，Sn=48,S2n=60,则S3n等于（）A.26B.27C.62D.6310．已知等比数列｛an｝中，an=2×3n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn的值为（）Ａ．3－n．3(3－n9n-1Ｃ．4n11．实数等比数列｛an｝，Sn＝a1+a2+Λ+an，则数列｛Sn｝中（）Ａ．任意一项都不为零．必有一项为零Ｃ．至多有有限项为零Ｄ．可以有无数项为零12．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a,b,c成等比数列，c=2a，则cosB＝（）A.14B.34C.24D.2 3二、填空题：13．在等比数列{an}中, 若a3=3,a9=75,则a10=___________.14.已知等比数列｛an｝中，a1＋a2=9，a1a2a3=27,则｛an｝的前n项和Sn= __________。

等比数列基础测试题题库doc

一、等比数列选择题1．在数列{}n a 中，32a =，12n n a a +=，则5a =（）A ．32B ．16C ．8D ．42．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．23．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（） A ．4B ．5C ．4或5D ．5或64．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（） A ．503B ．507C ．1007D ．20075．若1，a ，4成等比数列，则a =（） A ．1B ．2±C ．2D ．2-6．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若2(1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（）A ．()3,+∞B ．()1,3-C ．93,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（）A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13n S n =C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（） A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里 9．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（） A ．8B ．8-C ．16D ．16-10．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=（）A ．15B ．10C ．5D ．311．题目文件丢失！12．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()21234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（）A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >13．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（）参考数据：lg38≈1.58 A ．34B ．35C ．36D ．3714．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则5678a a a a +++=（）A ．80B ．20C ．32D ．255315．古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：一女子善于织布，每天织的布是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问该女子每天分别织布多少？由此条件，若织布的总尺数不少于20尺，该女子需要的天数至少为（） A ．6B ．7C ．8D ．916．已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，则5S 等于（）A ．32B ．31C ．16D ．1517．已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若364,12S S ==，则12S =（） A ．50B ．60C ．70D ．8018．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（） A ．3盏B ．9盏C ．27盏D ．81盏19．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（） A ．16B ．16-C ．20D ．16或16-20．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （）A ．180B ．160C ．210D ．250二、多选题21．题目文件丢失！22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（） A ．24a =B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <23．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列24．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（）A ．当101a q >⎧⎨>⎩B ．10a >C ．1q >D ．11nn a a +< 25．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为（）A ．8B ．12C ．－8D ．－1226．已知数列是{}n a是正项等比数列，且3723a a +=，则5a 的值可能是（） A ．2B ．4C ．85D ．8327．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（） A ．此人第六天只走了5里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍28．已知数列{}n a 的首项为4，且满足()*12(1)0n n n a na n N ++-=∈，则（）A ．n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．{}n a 为递增数列C ．{}n a 的前n 项和1(1)24n n S n +=-⋅+D ．12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和22n n n T +=29．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（）A ．等差数列不可能是收敛数列B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(]1,1q ∈-C ．若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则{}n x 是收敛数列 D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列30．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 31．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<32．在递增的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列说法正确的是（） A ．q ＝1 B ．数列{S n +2}是等比数列C ．S 8＝510D ．数列{lga n }是公差为2的等差数列33．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（） A ．数列2{}n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则1r =-34．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值. 35．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】根据12n n a a +=，得到数列{}n a 是公比为2的等比数列求解. 【详解】因为12n n a a +=，所以12n na a +=，所以数列{}n a 是公比为2的等比数列．因为32a =，所以235328a a q ===．故选：C 2．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 3．C 【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d =-，再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，134,,a a a 成等比数列，2314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+，则12d =-，()()211119812244216n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当4n =或5时，n S 取得最大值. 故选：C. 4．D 【分析】设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】5斗50=升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则()311212a --＝50，解得a 1＝507，所以牛主人应偿还粟的量为23120027a a ==故选：D 5．B 【分析】根据等比中项性质可得24a =，直接求解即可. 【详解】由等比中项性质可得：2144a =⨯=，所以2a =±，故选：B 6．D 【分析】由2n n S a =-利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将2(1)0nn n S T λ-->恒成立，转化为()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立，再分n 为偶数和n 为奇数讨论求解.【详解】当1n =时，112S a =-，得11a =；当2n ≥时，由2n n S a =-，得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 因为112n n a a -=，所以22114n n a a -=.又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，所以1112211212nn n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，由2(1)0n n n S T λ-->，得214141(1)10234n nn λ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以221131(1)1022nn nλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---->⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以211131(1)110222n n nnλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+>⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.又*n N ∈，所以1102n⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以1131(1)1022n nnλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立，当n 为偶数时，()()321210nnλ--+>，所以()()321321663212121nnn n n λ-+-<==-+++，令6321n n b =-+，则数列{}n b 是递增数列，所以22693215λb <=-=+；当n 为奇数时，()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121nnn n n λ-+--<==-+++，所以16332121λb -<=-=-=+，所以1λ>-.综上，实数λ的取值范围是91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题. 7．C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ．【详解】2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=，所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确；1113S a ==，113S =，公差3d =，所以133(1)3nn n S =+-=，所以13n S n=，B 正确； 113a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；1313n n S +=，数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，D 正确．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错． 8．D 【分析】由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可．【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]2378112a -=-，解得1192a =，∴此人第二天走1192962⨯=里， ∴第二天走了96里，故选：D ． 9．C 【分析】根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值. 【详解】因为254,32a a ==，所以3528a q a ==，所以2q ，所以2424416a a q ==⨯=，故选：C. 10．A 【分析】根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】因为478a a ⋅=，则()()52212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+⋅++=()2475log 15a a =⋅=.故选：A.11．无12．B 【分析】由12340a a a a +++≥可得出1q ≥-，进而得出1q >-，再由11a >得出0q <，即可根据q 的范围判断大小. 【详解】设等比数列的公比为q ，则()()()2321234111+++1+1+0a a a a a q q qa q q +++==≥，可得1q ≥-，当1q =-时，12340a a a a +++=，()21230a a a ++≠，1q ∴>-，()21234123a a a a a a a +++=++，即()223211+++1++q q q a q q=，()231221+++11++q q q a q q ∴=>，整理得432++2+0q q q q <，显然0q <，()1,0q ∴∈-，()20,1q ∈，()213110a a a q ∴-=->，即13a a >，()()32241110a a a q q a q q ∴-=-=-<，即24a a <.故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查等比数列的性质，解题的关键是通过已知条件判断出()1,0q ∈-，从而可判断大小. 13．D【分析】假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数. 【详解】设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =，所以 3.81000nn a =>，解得 3.8333log 1000 5.17lg3.8lg3810.58n >==≈≈-，而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19⨯=．故选：D . 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算. 14．A 【分析】由条件求出公比q ，再利用前4项和和公比求5678a a a a +++的值. 【详解】根据题意，由于{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，()234124a a q a a +==+，∴24q =，0q >，2q则()()456781234161480a a a a q a a a a +++=+++=+=.故选：A 15．B 【分析】设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-，解得1531a =，由此能求出该女子所需的天数至少为7天．【详解】设女子第一天织布1a 尺，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意得515(12)512a S -==-，解得1531a =， 5(12)312012n n S -∴=-，解得2125n ．因为6264=，72128=∴该女子所需的天数至少为7天．故选：B 16．B 【分析】先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出5S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q，所以211a a q==，又因为1111nna q S qq，所以()551123112S -==-.故选：B. 17．B 【分析】由等比数列前n 项和的性质即可求得12S . 【详解】解：数列{}n a 是等比数列，3S ∴，63S S -，96S S -，129S S -也成等比数列，即4，8，96S S -，129S S -也成等比数列，易知公比2q，9616S S ∴-=，12932S S -=，121299663332168460S S S S S S S S =-+-+-+=+++=.故选：B. 18．C 【分析】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，分析可得每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得x 的值，即可得答案．【详解】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列，则有51(1)3363113x S ⨯-==-，解可得：243x =，所以中间一层共有灯21243()273⨯=盏. 故选：C 【点睛】思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可.19．A 【分析】根据等比数列的通项公式得出618a q =，10132a q=且10a >，再由819a a q ==.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则618a q =，10132a q=且10a >则81916a q a ====故选：A 20．C 【分析】首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列. 所以()()2155010=1050S --，解得15210S =. 故选：C二、多选题 21．无22．ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182nT ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=，所以2n ≥时，2422n nn a -=⋅=，令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+， 2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 23．AD 【分析】根据等比数列的定义判断．【详解】设{}n a 的公比是q ，则11n n a a q -=，A ．23513a aq a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32a q a =，363aq a =，在1q ≠时，两者不相等，错误；C ．242a q a =，484a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．36936a a q a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确．故选：AD ．【点睛】结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列：如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,a a a 仍是等比数列，实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,n k k k k a a a a 仍是等比数列． 24．BCD利用等比数列单调性的定义，通过对首项1a ，公比q 不同情况的讨论即可求得答案．【详解】A ，当101a q >⎧⎨>⎩时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列{}n a 递增，正确；B ，当10a > ，0q <时，{}n a 为摆动数列，故错误；C ，当10a <，1q >时，数列{}n a 为递减数列，故错误；D ，若10a >，11nn a a +<且取负数时，则{}n a 为摆动数列，故错误，故选：BCD ．【点睛】本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题． 25．AC 【分析】求出等比数列的公比2q =±，再利用通项公式即可得答案；【详解】5721624a q q a ==⇒=±，当2q时，65428a a q ==⨯=，当2q =-时，654(2)8a a q ==⨯-=-，故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的运算，考查运算求解能力，属于基础题. 26．ABD 【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求．【详解】解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，∴2373752323262a a a a a +=，因为50a >，所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a = 故选：ABD ．本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题． 27．BCD 【分析】设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q = 的等比数列，由6=378S 求得首项，然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列. 所以661161[1()](1)2=3781112a a q S q --==--，解得1192a =. 选项A:5561119262a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭,故A 错误, 选项B:由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，故B 正确.选项C:211192962a a q ==⨯=,而6194.54S =，9694.5 1.5-=,故C 正确.选项D:2123111(1)192(1)33624a a a a q q ++=++=⨯++=,则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和，是基础题. 28．BD 【分析】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以可知数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，从而可求出12n n a n +=⋅，可得数列{}n a 为递增数列，利用错位相减法可求得{}n a 的前n 项和，由于111222n n n n a n n +++⋅==，从而利用等差数列的求和公式可求出数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】由12(1)0n n n a na ++-=得121n n a a n n +=⨯+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1141a a ==为首项，2为公比的等比数列，故A 错误；因为11422n n na n-+=⨯=，所以12n n a n +=⋅，显然递增，故B 正确；因为23112222n n S n +=⨯+⨯++⋅，342212222n n S n +=⨯+⨯++⋅，所以231212222n n n S n ++-=⨯+++-⋅()22212212nn n +-=-⋅-，故2(1)24n n S n +=-⨯+，故C 错误；因为111222n n n n a n n +++⋅==，所以12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2(1)22nn n n n T ++==，故D 正确. 故选：BD 【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n 项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 29．BCD 【分析】根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断A ；根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B ；根据收敛的定义可判断C ；根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断D. 【详解】当0n S >时，取2111222222n d d dd d d S n a n n n a n a ⎛⎫⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为使得1n S r >，所以只需要1122d d n a r+->1112222da ra dr rn N d dr -+-+⇒>==. 对于A ，令1n x =，则存在1a =，使0n x a r -=<，故A 错；对于B ，11n n x x q-=，若1q >，则对任意正数r ，当11log 1q r n x ⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭时， 1n x r >+，所以不存在正整数N 使得定义式成立，若1q =，显然符合；若1q =-为摆动数列()111n n x x -=-，只有1x ±两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；若()1,1q ∈-，取0a =，1log 11q rN x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，当n N >时，11110n n rx x qx r x --=<=，故B 正确；对于C ，()1sin cos sin 0222n x n n n πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合；对于D ，()11n x x n d =+-，2122n d d S n x n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当0d >时，n S 单调递增并且可以取到比1r更大的正数，当n N >=时，110n nr S S -=<，同理0d <，所以D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前n 和公式以及等比数列的通项公式求解，属于中档题. 30．ACD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 31．BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】A. ()1111111n k n n n k k n a a a a qq q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误；B. ()()244441++n kn n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n kn nkn k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110kk --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110kk +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立所以23t -<，且22t -≥ 解得45t ≤<，故正确. 故选：BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 32．BC 【分析】先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值，可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项．【详解】由题意，根据等比中项的性质，可得 a 2a 3＝a 1a 4＝32＞0，a 2+a 3＝12＞0，故a 2＞0，a 3＞0．根据根与系数的关系，可知a 2，a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32＝0的两个根．解得a 2＝4，a 3＝8，或a 2＝8，a 3＝4．故必有公比q ＞0， ∴a 12a q=＞0． ∵等比数列{a n }是递增数列，∴q ＞1． ∴a 2＝4，a 3＝8满足题意．∴q ＝2，a 12a q==2．故选项A 不正确． a n ＝a 1•q n ﹣1＝2n ． ∵S n ()21212n -==-2n +1﹣2．∴S n +2＝2n +1＝4•2n ﹣1．∴数列{S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B 正确． S 8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C 正确． ∵lga n ＝lg 2n ＝n ．∴数列{lga n }是公差为1的等差数列．故选项D 不正确．故选：BC 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 33．AC 【分析】在A 中，数列{}2n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；在D 中，13r =-. 【详解】由数列{}n a 是等比数列，知：在A 中，22221n n a a q -=，22221122221nn n n a a q q a a q+-∴==是常数， ∴数列{}2n a 是等比数列，故A 正确；在B 中，若32a =，732a =，则58a =，故B 错误；在C 中，若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则01q <<，数列{}n a 是递增数列，故C 正确；在D 中，若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=， ()()332936a S S r r =-=+-+=，1a ，2a ，3a 成等比数列， 2213a a a ∴=，()461r ∴=+，解得13r =-，故D 错误. 故选：AC .【点睛】本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 34．ACD【分析】根据新定义进行判断．【详解】A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+，虽然有1n n a a ->，但当1110n n a a -+<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正确；B ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，无最大值，B 错； C ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，有最小值，最小值为1b ，C 正确； D ．若112n n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则111()121()2n n n b =-----，首先函数1y x x=-在(0,)+∞上是增函数，当n 为偶数时，11()(0,1)2n n a =-∈，∴10n n nb a a =-<，当n 为奇数时，11()2n n a =+1>，显然n a 是递减的，因此1n n n b a a =-也是递减的，即135b b b >>>，∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>， ∴156b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值．D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．35．ACD【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假．【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1，∴a 67＝17×36，∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn ) 11121131313131313n n n n a a a ---=+++---（）（）（） 12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1）故选：ACD.【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．。

高中数学必修5等比数列通项公式难测试试卷

高中数学必修5等比数列通项公式难测试试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．单选题（共__小题）1．等比数列的首项是-5，公比是-2，则它的第6项是（）A．-160B．160C．90D．102．已知{a n}中，a1=1，=，则数列{a n}的通项公式是（）A．a n=2n B．a n=C．a n=D．a n=3．在等比数列{a n}中，已知，则m等于（）A．5B．4C．3D．24．已知等比数列{a n}中，a4a8=9，则a3+a9的取值范围为（）A．[6，+∞）B．[6，+∞）∪（-∞，-6]C．（6，+∞）D．（-6，6）5．等比数列{a n}中，a2•a7•a15=64，则a8=（）A．2B．3C．4D．66．在等比数列{a n}中，a7=2a5+a6，则公比q等于（）A．1B．-1C．2D．2或-17．在等比数列{a n}中，a2=2，a4=8，则a6=（）A．64B．32C．28D．148．已知数列{a n}是等比数列，且a2=2，a5=16，则数列{a n}的公比等于（）A．B．-C．2D．29．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S7=S9=2，则a8等于（）A．-2B．-1C．1D．210．在正项等比数列{a n}中，若1og2（a1a2a3…a9）=18，且a2，a4是方程x2+mx+4=0的两根，则数列{a n}的通项公式为（）A．2B．2C．2D．211．某彩电价格在去年6月份降价10%，后来经过10、11、12三个月连续三次涨价，回升到6月份降价前的水平，则这三次价格涨价的平均回升率是（）A．-1B．（-1）%C．D．%12．（2015秋•珠海期末）一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则它的第2项为（）A．4B．8C．±4D．±8二．填空题（共__小题）13．正项等比数列{a n}其中a2•a5=10，则lga3+lga4=______．14．在等比数列{a n}中，a3•a5=4，在等差数列{b n}中，b2+b6=3，则的值等于______．15．在等比数列{a n}中，a4=8，a7=27，则公比q=______．16．等比数列{a n}中，a2+a6=24，a3a5=64，则a4=______．17．已知等比数列{a n}中q=-，a9=，则a1=______．18．等比数列{a n}中a n＞0，且a5=2a4+3a3，则公比q=______．19．等比数列{a n}中，a n＞0，a1，a9为方程x2-10x+16=0的两根，则a2a5a8的值为______．20．在等比数列{a n}中，已知a5-a1=15，a4-a2=6，若公比q＞1，则a3=______．21．2，8的等比中项为______．22．已知公比为q的等比数列{a n}中，a5+a9=q，则a6（a2+2a6+a10）的值为______．三．简答题（共__小题）23．（2015秋•乐东县校级期末）（1）在等差数列{a n}中，d=2，n=15，a n=-10，求a1及S n．（2）在等比数列{a n}中，已知a1=-1，a4=64，求q及S3．24．在等比数列{a n}中，a1=，a4=-4．（1）求通项公式a n；（2）求|a1|+|a2|+…+|a n|．25．在正项等比数列{a n}中，a1a5-2a3a5+a3a7=36，a2a4+2a2a6+a4a6=100，求数列{a n}的通项公式．26．已知等比数列{a n}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求a n．27．在等比数列{a n}中，．高中数学必修5等比数列通项公式难测试试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．单选题（共__小题）1．等比数列的首项是-5，公比是-2，则它的第6项是（）A．-160B．160C．90D．10答案：B解析：解：∵等比数列的首项是-5，公比是-2，∴它的第6项为-5×（-2）5=160故选：B2．已知{a n}中，a1=1，=，则数列{a n}的通项公式是（）A．a n=2n B．a n=C．a n=D．a n=答案：C解析：解：∵a1=1，=，∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为，∴．故选：C．3．在等比数列{a n}中，已知，则m等于（）A．5B．4C．3D．2答案：B解析：解：∵，∴，化为，∴m-4=0，解得m=4．故选：B．4．已知等比数列{a n}中，a4a8=9，则a3+a9的取值范围为（）A．[6，+∞）B．[6，+∞）∪（-∞，-6]C．（6，+∞）D．（-6，6）答案：B解析：解：由题意和等比数列的性质可得a3a9=a4a8=9，∴当a3和a9为正数时，a3+a9≥2=6，当且仅当a3=a9=3时取等号，此时a3+a9≥6；当a3和a9为负数时，a3+a9=-2（-a3-a9）≤-2=-6，当且仅当a3=a9=-3时取等号，此时a3+a9≤-6；综合可得a3+a9的取值范围为：[6，+∞）∪（-∞，-6]故选：B5．等比数列{a n}中，a2•a7•a15=64，则a8=（）A．2B．3C．4D．6答案：C解析：解：由等比数列的性质可得a2•a15=a8•a9，由已知可得a2•a7•a15=a7•a8•a9=64，而a7•a9=，故a7•a8•a9==64，解得a8=4，故选C6．在等比数列{a n}中，a7=2a5+a6，则公比q等于（）A．1B．-1C．2D．2或-1答案：D解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，由a7=2a5+a6，得q2-q-2=0，解得q=2或q=-1．故选：D．7．在等比数列{a n}中，a2=2，a4=8，则a6=（）A．64B．32C．28D．14答案：B解析：解：由等比数列的性质可得a2a6=a42，∴2a6=a42=64，解得a6=32故选：B8．已知数列{a n}是等比数列，且a2=2，a5=16，则数列{a n}的公比等于（）A．B．-C．2D．2答案：C解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=2，a5=16，∴解得．∴数列{a n}的公比q=2．故选C．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S7=S9=2，则a8等于（）A．-2B．-1C．1D．2答案：A解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，显然q≠1，由S7=S9=2，得a8+a9=0，∴q=-1；∴S7=S9=a1=2，∴a8=a2=-a1=-2．故选：A．10．在正项等比数列{a n}中，若1og2（a1a2a3…a9）=18，且a2，a4是方程x2+mx+4=0的两根，则数列{a n}的通项公式为（）A．2B．2C．2D．2答案：C解析：解：∵在正项等比数列{a n}中a2，a4是方程x2+mx+4=0的两根，∴由韦达定理可得a2a4=4，∴a1a5=a2a4=4，又∵1og2（a1a2a3…a9）=1og2a59=91og2a5=18，∴1og2a5=2，解得a5=4，∴a1=1，故公比q==，∴数列{a n}的通项公式为a n=1×（）n-1=故选：C11．某彩电价格在去年6月份降价10%，后来经过10、11、12三个月连续三次涨价，回升到6月份降价前的水平，则这三次价格涨价的平均回升率是（）A．-1B．（-1）%C．D．%答案：A解析：解：设去年6月份彩电价格为a，这三次价格涨价的平均回升率是r，则去年6月份降价10%后的价格是0.9a，所以0.9a（1+r）3=a，解得r=，故选：A．12．（2015秋•珠海期末）一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则它的第2项为（）A．4B．8C．±4D．±8答案：B解析：解：设等比数列的首项为a1，公比为q，则，②÷①得：q=．所以．则．故选B．二．填空题（共__小题）13．正项等比数列{a n}其中a2•a5=10，则lga3+lga4=______．答案：1解析：解：∵等比数列{a n}中a2•a5=10，∴a3•a4=10，∴lga3+lga4=lga3•a4=lg10=1．故答案为：1．14．在等比数列{a n}中，a3•a5=4，在等差数列{b n}中，b2+b6=3，则的值等于______．答案：解析：解：∵{a n}是等比数列，且a3•a5=4，∴=a3•a5=4，a4=±2．∵{b n}是等差数列，且b2+b6=3，∴2b4=3，．则=．故答案为：．15．在等比数列{a n}中，a4=8，a7=27，则公比q=______．答案：解析：解：等比数列{a n}中，a4=8，a7=27，即有a1q3=8，a1q6=27，两式相除，q3=，即q=．故答案为：．16．等比数列{a n}中，a2+a6=24，a3a5=64，则a4=______．答案：8解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，由a3a5=64，得，∴a4=±8．当a4=-8时，由a2+a6=24，得，即，此式不成立．∴a4=8．故答案为：8．17．已知等比数列{a n}中q=-，a9=，则a1=______．答案：192解析：解：由题意设等比数列{a n}的公比为q，则a1（-）8=，解得a1=192故答案为：192．18．等比数列{a n}中a n＞0，且a5=2a4+3a3，则公比q=______．答案：3解析：解：∵等比数列{a n}中a n＞0，且a5=2a4+3a3，∴a3q2=2a3q+3a3，∴q2=2q+3，解关于q的一元二次方程可得q=-1或q=3，∵a n＞0，∴q=-1不可能，故q=3故答案为：319．等比数列{a n}中，a n＞0，a1，a9为方程x2-10x+16=0的两根，则a2a5a8的值为______．答案：64解析：解：由题意结合韦达定理可得：a1•a9=16，由等比数列的性质可得，又a n＞0，所以a5=4，故a2a5a8=16×4=64，故答案为：6420．在等比数列{a n}中，已知a5-a1=15，a4-a2=6，若公比q＞1，则a3=______．答案：4解析：解：在等比数列{a n}中，由a5-a1=15，a4-a2=6，得，解得，∴．故答案为：4．21．2，8的等比中项为______．答案：±4解析：解：设2，8的等比中项为m，则m2=2×8=16，∴m=±4．故答案为：±4．22．已知公比为q的等比数列{a n}中，a5+a9=q，则a6（a2+2a6+a10）的值为______．答案：解析：解：∵a5+a9=q，∴，∴．又∵数列{a n}是等比数列，∴，∴a6（a2+2a6+a10）===．故答案为：．三．简答题（共__小题）23．（2015秋•乐东县校级期末）（1）在等差数列{a n}中，d=2，n=15，a n=-10，求a1及S n．（2）在等比数列{a n}中，已知a1=-1，a4=64，求q及S3．答案：解：（1）等差数列{a n}中，a n=a1+（n-1）d，∴-10=a1+14×2，解得a1=-38；又a15=-10，∴；┅┅（6分）（2）等比数列{a n}中，a n=a1•q n-1，∴，解得q=-4；又S n=，且a1=-1，∴S3===．┅┅（12分）解析：解：（1）等差数列{a n}中，a n=a1+（n-1）d，∴-10=a1+14×2，解得a1=-38；又a15=-10，∴；┅┅（6分）（2）等比数列{a n}中，a n=a1•q n-1，∴，解得q=-4；又S n=，且a1=-1，∴S3===．┅┅（12分）24．在等比数列{a n}中，a1=，a4=-4．（1）求通项公式a n；（2）求|a1|+|a2|+…+|a n|．答案：解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a1=，a4=-4，得，∴q=-2．则；（2）∵|a n|=||=2n-2，∴|a1|+|a2|+…+|a n|=2-1+20+21+…+2n-2=．解析：解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a1=，a4=-4，得，∴q=-2．则；（2）∵|a n|=||=2n-2，∴|a1|+|a2|+…+|a n|=2-1+20+21+…+2n-2=．25．在正项等比数列{a n}中，a1a5-2a3a5+a3a7=36，a2a4+2a2a6+a4a6=100，求数列{a n}的通项公式．答案：解：∵在正项等比数列{a n}中a1a5-2a3a5+a3a7=36，a2a4+2a2a6+a4a6=100，∴由等比数列的性质可得a32-2a3a5+a52=36，a32+2a3a5+a52=100，∴（a3-a5）2=36，（a3+a5）2=100，∴a3-a5=±6，a3+a5=10，当a3-a5=6，a3+a5=10时，可解得a3=8，a5=2，此时公比q==，a n=8×（）n-3=（）n-6；当a3-a5=-6，a3+a5=10时，可解得a3=2，a5=8；此时公比q==2，a n=2×2n-3=2n-2；解析：解：∵在正项等比数列{a n}中a1a5-2a3a5+a3a7=36，a2a4+2a2a6+a4a6=100，∴由等比数列的性质可得a32-2a3a5+a52=36，a32+2a3a5+a52=100，∴（a3-a5）2=36，（a3+a5）2=100，∴a3-a5=±6，a3+a5=10，当a3-a5=6，a3+a5=10时，可解得a3=8，a5=2，此时公比q==，a n=8×（）n-3=（）n-6；当a3-a5=-6，a3+a5=10时，可解得a3=2，a5=8；此时公比q==2，a n=2×2n-3=2n-2；26．已知等比数列{a n}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求a n．答案：解：设{a n}的公比为q，由题意知解得或∴a n=2n-1或a n=23-n．解析：解：设{a n}的公比为q，由题意知解得或∴a n=2n-1或a n=23-n．27．在等比数列{a n}中，．答案：解：设等比数列{a n}的公比为q，由已知得，，②÷①得：，∴．把q=代入①得：a1=8．∴，．所以，．解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，由已知得，，②÷①得：，∴．把q=代入①得：a1=8．∴，．所以，．。

等比数列基础习题选(附详细解答)

等比数列基础习题选（附详细解答）一．选择题（共27小题）1．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）．．D4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是（）D．．或﹣n15．（文）在等比数列{a n}中，，则tan（a1a4a9）=（）．C D．17．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）．C D2222．在等比数列{a n}中，若a3a4a5a6a7=243，则的值为（）．C D．2．222C．二．填空题（共3小题）28．已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+3，则此数列的一个通项公式是_________．29．数列的前n项之和是_________．30．等比数列{a n}的首项a1=﹣1，前n项和为S n，若，则公比q等于_________．参考答案与试题解析一．选择题（共27小题）1．（2008•浙江）已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）．．，=，D4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是（）D．．或﹣．由题意可得，×=3项和是=7．已知数列{a n}满足，其中λ为实常数，则数列{a n}（），此时，*，当且仅当成立；；，当且仅当，∴n=16等于，得到15．（文）在等比数列{a n}中，，则tan（a1a4a9）=（）．C D．=，，17．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）．C D项和对=322±，22．在等比数列{a n}中，若a3a4a5a6a7=243，则的值为（），再将化简，即可求得=．C D．列出方程组=112．=3222C．为等比数列，故用等比数列的求和公式化简，与最后一项合并后，将求出的值代入即可求出==16=•=8=二．填空题（共3小题）28．已知数列{a n}中，a1=1，a n=2a n﹣1+3，则此数列的一个通项公式是2n+1﹣3．29．数列的前n项之和是．=故答案为：30．等比数列{a n}的首项a1=﹣1，前n项和为S n，若，则公比q等于．得出=1+q=∴，，，故答案为：定义，避免了在转化。

高中数学课时检测25等比数列的概念等比数列的通项公式含解析苏教版选择性必修第一册

等比数列的概念等比数列的通项公式[A 级基础巩固]1．(多选)下列说法正确的有( ) A ．等比数列中的项不能为0 B ．等比数列的公比的取值范围是R C ．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D ．22，42，62，82，…成等比数列解析：选AC A 显然正确；等比数列的公比不能为0，故B 错；C 显然正确；由于4222≠6242，故不是等比数列，D 错．2．在首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列{a n }中，当a n ＝64时，项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选D 因为a n ＝a 1qn －1，所以1×2n －1＝64，即2n －1＝26，得n －1＝6，解得n ＝7.3．(多选)已知等差数列a ，b ，c 三项之和为12，且a ，b ，c ＋2成等比数列，则a 等于( )A ．－2B ．2C ．－8D ．8解析：选BD 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝12，a （c ＋2）＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4，c ＝0.故a ＝2或a ＝8.4．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.5＋12 B.5－12C.1－52D.5＋12或1－52解析：选B 设{a n }的公比为q (q >0，q ≠1)，根据题意可知a 3＝a 2＋a 1，∴q 2－q －1＝0，解得q ＝5＋12或q ＝1－52(舍去)，则a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12.故选B. 5．等比数列{a n }的公比为q ，且|q |≠1，a 1＝－1，若a m ＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5，则m 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选C ∵a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3·a 1q 4＝a 51·q 10＝－q 10，a m ＝a 1qm－1＝－qm －1，∴－q 10＝－qm －1，∴10＝m －1，∴m ＝11.6．已知{a n }是等比数列，a 1＝12，a 2＝4，则a 3＝________，a 1a 2a 3a 4a 5a 6＝________．解析：因为数列{a n }是等比数列，且a 1＝12，a 2＝4.所以等比数列{a n }的公比q ＝a 2a 1＝8，所以a 3＝a 2q ＝4×8＝32，所以a 1a 2a 3a 4a 5a 6＝(a 3)5·a 1q 5＝325×12×85＝239.答案：32 2397．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．解析：设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5， ∴q 5＝132，∴q ＝12.∴这4个数依次为80，40，20，10. 答案：80，40，20，108．若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，则2和8的等比中项为________；若两个数a －1，a ＋4的等比中项为a ＋1，则a ＝________．解析：由等比中项定义知2和8的等比中项为±4，又(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，即a ＝5. 答案：±4 59．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，求证：数列{a n }是等比数列．证明：∵S n ＝2－a n ，∴S n ＋1＝2－a n ＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1. ∴a n ＋1＝12a n .又∵S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1≠0.又由a n ＋1＝12a n 知a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12. ∴数列{a n }是等比数列． 10．在等比数列{a n }中．(1)已知a n ＝128，a 1＝4，q ＝2，求n ； (2)已知a 1＝2，a 3＝8，求公比q 和通项公式．解：(1)∵a n ＝a 1·q n －1，∴4×2n －1＝128，∴2n －1＝32，∴n －1＝5，n ＝6.(2)∵a 3＝a 1·q 2，即8＝2q 2， ∴q 2＝4，∴q ＝±2. 当q ＝2时，a n ＝a 1qn －1＝2×2n －1＝2n，当q ＝－2时，a n ＝a 1qn －1＝2(－2)n －1＝(－1)n －12n，∴数列{a n }的公比为2或－2，对应的通项公式分别为a n ＝2n或a n ＝(－1)n －12n.[B 级综合运用]11．由公比为q 的等比数列a 1，a 2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…是( )A ．等差数列B ．以q 为公比的等比数列C ．以q 2为公比的等比数列 D ．以2q 为公比的等比数列解析：选C 因为a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q 2为常数，所以该数列为以q 2为公比的等比数列． 12．(多选)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 可能的一个值是( )A.52 B.32 C.34D.12解析：选BC 由题意可设三角形的三边分别为a q，a ，aq (aq ≠0)．因为三角形的两边之和大于第三边，所以当q >1时，a q ＋a >aq ，即q 2－q －1<0，解得1<q <1＋52；②当0<q <1时，a ＋aq >a q ，即q 2＋q －1>0，解得－1＋52<q <1.综上，q 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1＋52，1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋52，则可能的值是32与34.13．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝12，a 1－a 3＝6，则a n ＝________；a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由a 1＋a 2＝12，a 1－a 3＝6，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝12，a 1－a 1q 2＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.∴a n ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4.∴a 1a 2…a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3－2－1＋0＋1＋…＋（n －4）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n （n －7）2Ｋ.令f (n )＝12n (n －7)＝12(n 2－7n )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－498，∴当n ＝3或n ＝4时，f (n )有最小值，即f (n )min ＝－6，∴a 1a 2…a n 的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫12－6＝64.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －46414．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是不是为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解：(1)由条件可得a n ＋1＝2（n ＋1）na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.[C 级拓展探究]15．设等比数列{a n }的通项公式为a n ＝3n，求出a 2·a 7，a 3·a 6并比较它们的大小，你能由此总结出一个一般性的结论并给出证明吗？解：因为a 2·a 7＝32×37＝39，a 3·a 6＝33×36＝39，所以a 2·a 7＝a 3·a 6.一般地，如果{a n }是等比数列，而且正整数 s ，t ，m ，n 满足s ＋t ＝m ＋n ，则a s ·a t ＝a m ·a n ，特别地如果2s ＝m ＋n ，则a 2s ＝a m ·a n . 证明：因为a s ·a t ＝a 1qs －1·a 1qt －1＝a 21qs ＋t －2，a m ·a n ＝a 1q m －1·a 1q n －1＝a 21qm ＋n －2，又因为s ＋t ＝m ＋n ，所以a s ·a t ＝a m ·a n ，特别地当s ＝t 时，a 2s ＝a m ·a n .。