数学物理方法第2章复变函数积分2020
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02复变函数微积分
（1）曲线积分法 （2）凑全微分法 （3）不定积分法
数学物理方法
应用
v( x, y ) dv
2 2 u ( x , y ) x y 例2.5 已知解析函数f(z)的实部
且f(0)=0,试求出虚部和f(z) 。 解： v u 2 y x y
v u 2x y x
数学物理方法
2 xy C
（2）凑全微分显示法
dv( x, y) 2 ydx 2 xdy d (2 xy C )
v( x, y) 2 xy C
（3）不定积分法
v u 2x y x
v u 2y x y
v 2 y ( x) x
l l
l1 l 2
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
l1 l2
l
l
f ( z )dz f ( z )dz , 其中 l 是l的逆向
l
f ( z )dz
l
f ( z ) dz
f ( z)dz
l l
f ( z ) ds
那么有
u v v u , x y x y
上式称为柯西－黎曼条件。简称（C-R条件）
数学物理方法
证明：
1）若 y 0, x 0
f ( z z ) f ( z ) u ( x x, y ) iv( x x, y ) u ( x, y ) iv( x, y ) lim z 0 z 0 z x u ( x x, y ) u ( x, y ) v( x x, y ) v( x, y ) lim i lim z 0 z 0 x x u ( x, y ) v( x, y ) i x x lim
数学物理方法
应用
v( x, y ) dv
2 2 u ( x , y ) x y 例2.5 已知解析函数f(z)的实部
且f(0)=0,试求出虚部和f(z) 。 解： v u 2 y x y
v u 2x y x
数学物理方法
2 xy C
（2）凑全微分显示法
dv( x, y) 2 ydx 2 xdy d (2 xy C )
v( x, y) 2 xy C
（3）不定积分法
v u 2x y x
v u 2y x y
v 2 y ( x) x
l l
l1 l 2
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
l1 l2
l
l
f ( z )dz f ( z )dz , 其中 l 是l的逆向
l
f ( z )dz
l
f ( z ) dz
f ( z)dz
l l
f ( z ) ds
那么有
u v v u , x y x y
上式称为柯西－黎曼条件。简称（C-R条件）
数学物理方法
证明：
1）若 y 0, x 0
f ( z z ) f ( z ) u ( x x, y ) iv( x x, y ) u ( x, y ) iv( x, y ) lim z 0 z 0 z x u ( x x, y ) u ( x, y ) v( x x, y ) v( x, y ) lim i lim z 0 z 0 x x u ( x, y ) v( x, y ) i x x lim
数学物理方法第二章复变函数的积分
d z b ln b ln a ln i Arg b Arg a az a
b
ln z ln(| z |e )
Arg z
此积分与路径有关系！因z = 0 是1/z的一个奇点。 如被积函数有奇点，则由不定积分给出的函数可能是 多值的。被积函数的奇点，可能是该函数的支点。
x d y y d x d d f ( z ) d z u v d t i u v d t l t d t t d t d t d t A A
t B t B
几个重要性质 1.常数因子可以移到积分号之外
c f ( z ) d z c f ( z ) d z
推广：若 f (z)在单连通域B上解析，在闭单连通 域 B 上连续，则沿 B 上任一分段光滑闭合曲 线 l (也可以是 B 的边界)，有
l
f (z)d z 0
（二）复连通域情形 如果区域内存在： (1)奇点 ；(2)不连续线段；(3)无定义区 为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的 围道 l1、l2、 l3 把它们分隔开来，形成带孔的区 域—复连通区域。
C 2
只要起点和终点固定不变，当积分路径连续变形时 （不跳过“孔”）时，函数的路积分值不变。
§2.3 不定积分（原函数）
根据 Cauchy 定理，若函数 f (z) 在单连通
区域B上解析， 则沿B上任一分段光滑曲线 l
的积分
l
f ( z) dz 只与起点和终点有关，而与
路径无关。因此如果固定起点 z0 而变化终点 z, 这个不定积分便定义了一个单值函数 F(z):
l
f (z)d z 0
George Green
数学物理方法1-2复变函数的积分
莫雷拉定理
总结词
莫雷拉定理是复变函数中一个关于全 纯函数的积分性质的定理。
详细描述
莫雷拉定理说明，如果全纯函数f(z)在圆盘 |z| < R内有界，那么对于任意实数t，积分 ∫f(z)e^(it)dz在|z| = R的边界上非零。这个 定理在研究全纯函数的性质以及解决一些数 学物理问题时非常有用。
柯西定理
总结词
柯西定理是复变函数中的一个基本定理，它表明如果一个函数在某个区域内的点上满足某种条件，则 该函数在该区域内可积。
详细描述
柯西定理说明，如果函数f(z)在某个区域D内是解析的，并且存在常数C使得对于D内的任意点z，都有 |f(z)|≤C，那么函数f(z)在D内是可积的。这意味着满足一定条件的解析函数在一定区域内具有可积性。
幂级数展开的收敛性
幂级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件。
幂级数展开的应用
幂级数展开在数学物理中广泛应用于求解微分方程和积分方程。
泰级数展开
泰勒级数展开定义
01
将一个复变函数表示为多项式的无穷级数。
泰勒级数展开的收敛性
02
泰勒级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件。
泰勒级数展开的应用
个定理在解决一些数学物理问题时非常有用。
柯西不等式
总结词
柯西不等式是复变函数中一个基本的积分不等式，它反映了函数与其共轭函数之间的积分关系。
详细描述
柯西不等式表明，对于任意实数a和b，以及在全平面上的非负函数f和g，有∫f(z)g(z*)dz ≥ |∫f(z)dz * ∫g(z*)dz|， 其中z*是z的共轭复数。这个不等式在处理一些积分问题时非常有用。
积分路径
积分性质
复数函数的积分具有线性性质、可加 性、可交换性等基本性质。
数学物理方法课后答案 (2)
若?x在无穷远点的无心邻域在大圆弧czreirr上limz?zk一致成立则lim?zdzik?12rrcr21解上第一式表明任给0存在与argz无关的m0使当zrm时dz有z?z?k利用i?复变函数性质5及上式可证c21rz?adzdzlim?zdz?ikzzkzzk2???max???rcr1crzcrz21?由于可任意小21为常量故上式可任意地小
2
2+ 4 i
1+i
[( x 2 − y 2 ) + 2ixy ](dx + idy )
86 − 6i 3
= ∫ [ x 2 − (3 x − 2) 2 + 2ix(3 x − 2)](1 + 3i ) dx = −
（3）沿1 + i 到 2 + i ，再到 2 + 4i 的折线。
I =∫
2 1
2+ 4 i
L
∫ ∫
L
f (ξ )[
f (ξ ) Δ z ∫ L (ξ − z ) 2 (ξ − z − Δ z ) d ξ
ξ − z ( ξ − z − Δz )
2
d ξ ， 现 在 讨 论 能 否 找 到 δ ( ε )， 使 当 Δ z < δ 时 d ,同 时 将 2
上 式 成 立 。 因 本 题 是 讨 论 Δ z → 0时 的 积 分 极 限 ， 不 妨 令 Δ z < min z − ξ = d 代 入 有 Δ I ≤ δ
4 4 1 1 0 0
I3 = ∫ {[2(t2 + 3) + (2t)2 ]2dt + [3(2t)-(t2 + 3)]2tdt} = ∫ (24t 2 + 12 − 2t 3 − 6t )dt =
2
2+ 4 i
1+i
[( x 2 − y 2 ) + 2ixy ](dx + idy )
86 − 6i 3
= ∫ [ x 2 − (3 x − 2) 2 + 2ix(3 x − 2)](1 + 3i ) dx = −
（3）沿1 + i 到 2 + i ，再到 2 + 4i 的折线。
I =∫
2 1
2+ 4 i
L
∫ ∫
L
f (ξ )[
f (ξ ) Δ z ∫ L (ξ − z ) 2 (ξ − z − Δ z ) d ξ
ξ − z ( ξ − z − Δz )
2
d ξ ， 现 在 讨 论 能 否 找 到 δ ( ε )， 使 当 Δ z < δ 时 d ,同 时 将 2
上 式 成 立 。 因 本 题 是 讨 论 Δ z → 0时 的 积 分 极 限 ， 不 妨 令 Δ z < min z − ξ = d 代 入 有 Δ I ≤ δ
4 4 1 1 0 0
I3 = ∫ {[2(t2 + 3) + (2t)2 ]2dt + [3(2t)-(t2 + 3)]2tdt} = ∫ (24t 2 + 12 − 2t 3 − 6t )dt =
复变函数积分计算公式
柯西定理的重要推论： f
(n)
n! 2 i
f ( ) d l ( z)n1
即解析函数可以求导任意多次。
根据柯西定理的推论： n! f ( ) (n) f d ，可有 n 1 l 2 i ( z ) n t
n
t 0
n! 2 i
l
e 1 d n 1 ( )
l
1 xdx i 1dy i 0 0 2
1 1
I 2 [u ( x, y )dx v( x, y )dy ]
l
i [v( x, y )dx u ( x, y )dy ]
l
1 xdx 0 2
1
可见,复变函数的积分值 不仅和积分的起点与终点有关 ，而且与积分路径有关，可以 用柯西定理来描述积分值与路 径的关系。
例：计算下式积分： I (z- ) dz
l
n
分析：若l不包含点，则积分值为零，若 包含点，则当n 0时，被积函数在l所围
区域内仍解析，只有当n 0时才成为奇点， 则在圆周上，z- =Re
i
现做一圆将点包围，圆心为，半径为C，
I
l
( z ) dz
n
R e Re id
第二章
复变函数的积分
设在复数平面的某分段光滑曲线l上 定义了连续函数f ( z )在l上取一系列 zn (即终 点B), 把l分成 n 个小段,在每个小段
的分点z0 (即起点A)，z1 z2
zK 1 , zK 上任取一点 K ,作和:
f ( ) z
K 1 K
n
K
z K 1
数学物理方法 第二章 复变函数的积分
wuxia@
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
数学物理方法课件-2 复变积分
其中，M (R) max f (z) , n 1,2, z R
证：
f (n) ( )
n!
2i
(
f ( ) )n1
d
n!
2
M (R) R n 1
2R
n!M (R) Rn
即
f
(n) ( )
n!M R
(
n
R)
，得证.
整函数: 在整个复平面上解析的函数称为整函数.
49
1
0 1
z100 k 1 z 2k
98!!
§2.5 解析函数的高阶导数
1.高阶导数
2. 柯西不等式与刘维尔定理
柯西不等式：设f (z)在区域B上解析，为B内一点，以
为圆心作圆周： R，只要及其所包含区域均含于
B, 则有
f
(n) ( )
n!M (R) Rn
0 2i 2i 0 0
即
C
1 z2
z
dz
0
§2.3 不定积分
证:
B
§2.4 柯西公式
1.有界区域柯西公式
( )
证: 如图，根据复连通区域柯西定理有
1 f (z)
1 f (z)
dz
dz
2i C z
2i Cr z
欲证原式，即证
第二章 复变积分
§2.1 复变积分
性质:
例:
补:简单曲线 光滑曲线
1. 简单曲线
设曲线C的参数方程为 x x(t), y y(t), z z(t) (a t b)
其中，x(t), y(t), z(t)在[a, b]连续，当t1 t2 (a t1, t2 b)时, (x(t1), y(t1), z(t1)) (x(t2 ), y(t2 ), z(t2 ))
20复变函数积分
这里dS表示弧长的微分，即 dS (dx)2 (dy)2
1. 通过定义计算
f (z)dz
L
2. 通过计算实线积分来计算
f (z)dz f (z)dz
L1
L1
C f (z)dz C (udx vdy) iC (vdx udy)
例1求 Re zdz ，C为 C
（2）曲线段的方向：规定曲线段的方向为从起点到 终点。
定义：复变积分是复数平面上的线积分 设C是复平面上的曲线，函数f(z)在C上有定义。将曲
线C任意分割为n段，分点为z0＝A,z1,z2,…,zn=B，ζk 是zk-1 → zk段上的任意一点，作和数
n
f ( k )(zk zk1)
k 1
推论
若f(z)在单连通区域D中解析，则复变积分 f (z)dz
与路径无关。
C
f (z)dz f (z)dz f (z)dz
L
L1
L2
f (z)dz f (z)dz
L
L
l f (z)dz 0
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0
或者，更一般地
C (z a)n dz 20,i,
n 1，且C内含有z a 其他情形
例6：设z0为围线C内部一点，n为整数，则
C
dz (z z0 )n
20,in, n11
P20: 1. 3.
C
闭合围道C有
C f (z)dz 0
这里C也可以是D的边 界
D
注：Cauchy定理被人们称为解析函数的基本定理
Cauchy定理从一个侧面反映了解析函数的一个基本特 性：解析函数在它的解析区域内，各点的函数值是 密切相关的
1. 通过定义计算
f (z)dz
L
2. 通过计算实线积分来计算
f (z)dz f (z)dz
L1
L1
C f (z)dz C (udx vdy) iC (vdx udy)
例1求 Re zdz ，C为 C
（2）曲线段的方向：规定曲线段的方向为从起点到 终点。
定义：复变积分是复数平面上的线积分 设C是复平面上的曲线，函数f(z)在C上有定义。将曲
线C任意分割为n段，分点为z0＝A,z1,z2,…,zn=B，ζk 是zk-1 → zk段上的任意一点，作和数
n
f ( k )(zk zk1)
k 1
推论
若f(z)在单连通区域D中解析，则复变积分 f (z)dz
与路径无关。
C
f (z)dz f (z)dz f (z)dz
L
L1
L2
f (z)dz f (z)dz
L
L
l f (z)dz 0
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0
或者，更一般地
C (z a)n dz 20,i,
n 1，且C内含有z a 其他情形
例6：设z0为围线C内部一点，n为整数，则
C
dz (z z0 )n
20,in, n11
P20: 1. 3.
C
闭合围道C有
C f (z)dz 0
这里C也可以是D的边 界
D
注：Cauchy定理被人们称为解析函数的基本定理
Cauchy定理从一个侧面反映了解析函数的一个基本特 性：解析函数在它的解析区域内，各点的函数值是 密切相关的
数学物理方法第二章
证明：对 [ f (z)]n 应用柯西公式
[ f (z)]n 1 [ f ( )]n d
2 i l z
若 |f(z)| 在l上极大值为M，|z| 的极小值为，l的长为s
f (z) n M n s
2
1
f
(z)
M
s
2
n
n
f (z) M
21
Liouville定理：如 f(z) 在全平面上解析，并且是有界 的，即 |f(z)| N，则 f(z) 必为常数。
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
l
l1
l2
ln
13
柯西定理总结 1. 闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。
2. 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向 的积分和为零。
3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的 积分等于沿所有内境ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线逆时针方向的积分的和。
P Q y x
由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分
z2
z2
z2
f (z)dz udx vdy i vdx udy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
7
单连通区域柯西定理： 如果函数f (z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任
一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有
f (z) f ()dz
max f (z) f ()
2 0
C z
18
如果l是圆周z= +reiθ，
f () 1 2 f ( rei )d 2 0
这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它
在圆周的平均值。
理工类专业课复习资料-数学物理方法总结(改)
数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y ∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法由上式可知dv=2ydx+2xdy贝易得dv=d(2xy)则显然v=2xy+C不定积分法上面已有—=2y;丝=2xdx dy则第一式对y积分,x视为参数，有v=J2xy+(p(x)=2xy+(p(x)......................dv...上式对x求导有一=2y+^\x),而由C-R条件可知(p\x)=0,dx从而(p(x)=C.故v=2xy+C.f(z)=x2-y2+i(2x y+C)=z2+iC第二章复变函数的积分单连通区域柯西定理如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任意一分段光滑闭合闭合曲线1(也可以是B的边界)，有血/⑵也=0.复连通区域柯西定理如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数，则山任)也+£由/(z)也=0.式中1为区域外边界线，诸l为区域内边界线，积分均沿边界线的正方向进行.即血力＞)也=力血/(z)d z.柯西公式f(a)=t^-也""dz2m z-an次求导后的柯西公式f(〃)(z)=£山声舄化2mi中(。
第02章_复变函数的积分
Re zdz
l
y
i
A
O
l
(2) (1)
B (1, i)
1
分别沿路径(1)和(2)，如图 解：
1 (1) I1 xdx ixdy i 0 0 2
1 1
1 1
Re zdz xd(x iy) xdx ixdy
l l
x
1 (2) I 2 0 id y x d x 0 0 2
k 1
n
k
x
当 n 而且每一个 z k 0时， 若该和的极限存在，并且其值与 各 k的选取无关，则该和的极限 称为 f ( z )沿曲线 l从 A到 B的路积分
z0
O
记作 l f ( z )dz ，即：
l
f ( z )d z
max z k 0
lim
f (
k 1
l l
复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分, 它 们分别是路积分的实部和虚部。 因此, 实变函数线积分的许多性质对复变函数的路积分也 成立。复变函数的路积分满足如下6条性质： 1. 常数因子可以移到积分号之外； 2. 函数的和的积分等于各个函数的积分之和； 3. 反转积分路径，积分变号； 4. 全路径上的积分等于各段上积分之和； 5. 积分不等式1：
l1
B' A'
f (z)dz f (z)dz
CD
l2
f ( z)dz
l1
D 'C '
f ( z)dz 0
其中沿同一割线两边缘上的积分值相互抵消，于是有
f (z)dz
l
l
f ( z )dz f ( z )dz 0
数学物理2
例2. 试计算积分 上例相同
2
z dz 其中路径 l与
2 l
f ( z) z ( x yi) =x y 2xyi
2 2 2
u=x y , v 2xy
2 2
udx i vdx vdy i udy
0 0 0 0
1
1
1
1
x dx i 0dx 2 ydy i (1 y )dy
闭复连通区域上的解析函数沿外边界线逆时针积分等于 沿所有内边界线逆时针积分之和
公式:
f ( z)dz
l i
li
f ( z )dz
柯西定理
1.闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。
2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向 的积分和为零。
3.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的 积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的和。
L1
f ( z )dz f ( z )dz
L2
证明(略，详见教材)
f ( z )dz 0
l
f ( z )dz f ( z )dz ) 0
L1 L2
推广
规律 若f(z)在闭复通区域 B 中解析， 则f(z)沿所有边界线正方向积分 之和为零。
证明(略)： 提示:把复通区域做割线，得单通区域，根据单 通区域的柯西定理 正方向：沿边界线的正方向环绕时， 保持在左边。
这是一个很重要的结果，由它可以导出一系列重要结论。
2.4 柯西公式
公式：
若f(z)在闭单连通区域 B 上解析，l为 B 的境 B B 界线，a为域内的任一点，有 柯西公式（也称柯
《数学物理方法》电子教案：第二章 复变函数的积分
dz d (t it 2 ) (1 i 2 t ) dt
24i
2
2
2
z2dz (t it2 )2 (1 i2t)dt [(t2 t4 ) 4t4 ]dt i [2t3 2t(t2 t4 )]dt
1i
1
1
1
２．
1和y 3t 2
二、 复通区域的柯西定理 定理4. 若f(z)在闭复通区域D 中解析，则f(z)沿所有边界线正
方向积分之和为零。 正方向：沿边界线的正方向环绕时，D 保持在左边。
证明：作割线将闭复通区域变成闭单通区域。闭单通区域
的边界线L由 L1, L', L2 和 L'' 组成，则
L f (z)dz 0
又
D
内的偏导数
P y
和
Q x
连续，并且
P y
Q x
由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分：
z2
z2
z2
f (z)dz (udx vdy) i vdx udy)
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件。
一、单通区域的柯西定理
定理 1. 若 f(z)在单通区域 D 内解析，则 f(z)在 D 内 的积分与路径无关。
w=f(z)在 L 上有定义；
(2)将 L 任意分成n 段，k 为第k 段[zk 1, zk ]上的任意一点;
(3)当 n ，且 max zk 0时，若和式的极限
n
lim f (k)zk
max zk 0 k 1
存在，并且极限值与 zk 和 k 的选取方式无关，则称它 为 f(z)沿 L 从 A 到 B 的积分，记作：
F’(z)=f(z)
数学物理方法第二章
积分 Cf(z)dz一定.存在
证 设光滑曲 C由线参数方程给出
zz(t)x(t)i y(t), t
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应A 于 及起 终 B , 点 点
数学物理方法第二章
6
并 z ( t) 且 0 , t,
如f(果 z) u (x ,y) iv(x ,y)在 D 内处 , 处 那u 么 (x,y)和 v(x,y)在 D内均为连 , 续函
n
n
f(k)zk [u(k,k)xkv(k,k)yk]
k1
k1
n
i[v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
数学物理方法第二章
9
公式 C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
在形式上可以看成是
f(z)uiv与 dzdxidy相乘后求 : 积
f(z)dzf ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z .
C
C 1
C 2
C n
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
数学物理方法第二章
12
性质：
设L是简单逐段光滑曲线，f,g在L上连续，则
(1)f(z)dz f(z)d;z反转积分路径，积分反号
z2
z2
f(z)dzudxvdyivdxudy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
数学物理方法第二章
24
单连通区域柯西定理：
如果函数f (z)在闭单连通域B 上解析，则沿B上任一分段光滑 闭曲线l（也可以是B的边界）， 有
f (z)dz 0
证 设光滑曲 C由线参数方程给出
zz(t)x(t)i y(t), t
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应A 于 及起 终 B , 点 点
数学物理方法第二章
6
并 z ( t) 且 0 , t,
如f(果 z) u (x ,y) iv(x ,y)在 D 内处 , 处 那u 么 (x,y)和 v(x,y)在 D内均为连 , 续函
n
n
f(k)zk [u(k,k)xkv(k,k)yk]
k1
k1
n
i[v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
数学物理方法第二章
9
公式 C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
在形式上可以看成是
f(z)uiv与 dzdxidy相乘后求 : 积
f(z)dzf ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z .
C
C 1
C 2
C n
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
数学物理方法第二章
12
性质：
设L是简单逐段光滑曲线，f,g在L上连续，则
(1)f(z)dz f(z)d;z反转积分路径，积分反号
z2
z2
f(z)dzudxvdyivdxudy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
数学物理方法第二章
24
单连通区域柯西定理：
如果函数f (z)在闭单连通域B 上解析，则沿B上任一分段光滑 闭曲线l（也可以是B的边界）， 有
f (z)dz 0
复变函数的积分
f (z)eimzdz f (Rei )eimR(cos isin ) R ei id
CR
0
f (Rei ) e Rd mRsin max f (Rei ) R e d mRsin
0
0
数学物理方法
e d mRsin 0
e d e d 2 mR sin 0
mR sin
阶连续偏导数，则曲线积分 L Pdx Qdy 与路径无关的
充要条件是
Q P ( x, y) D
x y
l zdz l xdx ydy il ydx xdy
数学物理方法
3 用极坐标计算
例4 计算 l z dz, 其中 l 为: 圆周 z 2.
解 积分路径的参数方程为
z 2ei (0 2π), dz 2iei d
2
y
y1
2
1
y2 sin
e d e d ( ) 2 mR sin 0
0 mR sin( )
O
2
2
e d e d 2 e d 2 e d 2 mR sin
2 mR sin
2 mR sin
2mR
2
0
0
0
0
2mR 2
2
e 2mR
0
(1 emR )
L f (z)dz 0
数学物理方法
推论2
若f (z)在单连通区域D内解析，则l f (z)dz与路径无关
l
l1
A
D
B
l2
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0
l
lAB
lBA
l1 AB
l2 AB
f (z)dz f (z)dz
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21
推论1 若f(z)在闭单通区域 中解析，则 f(z)沿 的边界L的积分为零．
证明 按定义, f(z)在包含 的某个开区域D+内 解析，这样 的边界线L就是D +内部的一条 闭曲线．根据柯西定定理可知, f(z)沿L的积分 为零
(2.2.5)
22
推论2 若f(z)在单通区域D内解析，则 ∫l f(z)dz 与路径无关。
C-R条件: 在解析点, f(z)的实部与虚部取值的 关联性；
§2.2.1 单通区域的柯西定理
定理 若函数f(z)在单通区域D 内解析，则f(z)在D内沿任意 闭曲线的积分为零
∮l f(z)dz = 0 (2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D内 连续” 附加条件下证明这个定理．
2
§2.1.2 复变积分的计算方法
(1) 化为两个实变线积分计算． 将 f(z) = u+iv 及 dz = dx+idy 代入，即有
(2.1.3)
(2) 化为参数积分计算．设积分曲线L的参数方程为z(t)，
将z(t)及dz(t)＝z'(t)dt代入式(2.1.4)，可得
3
【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)；
(2)沿1+ i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b) ；
(3)沿抛物线x=t, y=t2，其中1≤ t ≤2，见图2.2(c) ．
4
解 (1) 直线方程为 先将 z=x+iy 代入被积表达式，
随后将 y=3x-2 代入，即有
先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加
(2.2.2)
20
其次, 考查上述两个实变积分在什么条件下为零？
设l为D内任一闭曲线(图2.5), 若函数P(x,y),
Q(x,y) 以及
在D内连续，则格林公式
成立
由f(z)在 D内解析及 f’(z)在D内连续可得u,v
及ux,uy,vz,vy连续，将格林公式与C-R条件 代入式(2.2.2)，可得
则f(z)沿图2.3中无穷大半圆周CR的积分
证明 式(2.1.16)中的 积分是一个复数，只 要证明，当R→∞时这 个复数的模为零，则 式(2.1.16)得证.
12
根据复变积分性质(5)及式(2.1.15)，易得
13
【2.1.3】试证明 若当(Jordan)不等式
证明 分别作出
y1=2q/p 及
数学物理方法第2章复变函 数积分2020
§2.1.1 复变函数积分的定义
设L为复平面上的曲线，函 数f(z)在L上有定义，将曲
线L任意分成n段，xk是第k 段［zk-1，zk］上的任一点
．令n→∞，且每一段的长 度|Dz|→0时，若和式的极 限
存在，且与弧段的分法及各xk的选取无关，则称此
极限为f(z)沿曲线L的积分，记作
证明 设A、B分别为两积分 曲线的起点和终点，如图2.6 所示．
因为l1,与l2- (l2- 与l2重合但反 向)构成闭曲线l，由柯西定 理可得
(2.2.6)
移项，利用复变积分的性质(2)，即有
(2.2.7)
23
§2.2.2 原函ຫໍສະໝຸດ 与定积分公式既然单通区域中解析函数的积分与路径无关， 设积分路径的起点为定点z0，终点为动点z, 则 积分上限的函数 (2.2.8)
y2 = sinq 的函数 曲线图(图2.4). 易见在开区间 (0,p/2)中，有
sinq >2q/p ； 而在闭区间[0,p/2 ]的端点，有sinq = 2q/p。
14
【2.1.4】试证明 若当引理：若z在上半平 面及实轴上趋于∞时，f(z)一致地趋于零( 与辐角无关)，则
式中m>0，CR是以原点 为圆心、R为半径的上 半圆周，参看图2.3.
是单通区域内的单值函数，现在证明它是f (z) 的原函数．
24
定理 若f(z)是单通区域D内的解析函数，则
也是D内的解析函数，且
证明 由 先计算
F(z+Dz)-F(z)。利用
式(2.2.8)及复变积分 的性质(1)，可得
25
由于解析函数的积分与路径无
积分的许多性质是实变积分的直接推广。对 于这些性质，我们将不加证明地叙述．
(1)若曲线L依次由n段线段l1, l2,… ln组成，则
(2)掉转积分路径的方向，积分变号，即
式中l-与l重合，但方向相反
8
(3) 若f1(z)与f2(z)沿L的积分存在，则
(2.1.10) 上式还可推广为有限多项函数和、差的情形． (4) 被积函数中的任意复常数a 可提出积分号外 ，即
9
(5) 复变积分的模不大于被积函数的模沿曲线 的实变线积分，即
证明由实变函数线积分的定义出发，并利用“ 矢量之和的长度不大于矢量长度之和” ，以 及复变积分的定义，即有
10
(6)若在曲线 l 上, max|f(z)|=M, 曲线 l 的长度为
l ，则
11
【2.1.2】试证明，若z在上半平面及实轴上趋 于∞时, zf(z)一致地趋于零(与辐角无关)，即
由复变积分性质(5)导出的例2.1.2和例2.1.4这 两个结论，将会启发我们怎样用留数定理计 算实变积分，见4.2节．
对于解析函数的积分，还具有一些特有的性 质，由2.2节、2.3节介绍的柯西定理、柯西公 式、最大模定理等反映．
18
§2.2 解析函数的柯西定理 原函数与定积分公式
柯西定理：解析函数积分理论的基本定理，从 积分的角度给出解析函数在其解析 区域取值的关联性．
15
证明 当z 在CR上时，z=Reiq，由复变积
分性质(5)可得
将积分(2.1.19)分为两项: 0由p/2的积分与由p/2 到p的积分．第二项先作变换 q = p-j，再用q 表示j，两项合并后利用若当不等式，即有
16
17
综合式(2.1.20)和式(2.1.19)式，并利用题设条件
(2.1.21)
5
(2) 在1+i到2+i段 有 y=1，dy=o
；在2+i到2+4i段 有 x=2，
dx=0，因而
6
(3) 将z=x+iy=t(1+it)及dz＝(1+i2t)dt 代入，即有
x=t, y=t2
本题沿三个不同路径的积分值相同，但是“积 分与路径无关”这个结果不是必然的．
7
§2.1.3 复变积分的性质 既然复变积分可归结为实变积分，因此，复变