衡水中学2019-2020学年高三上学期二调考试数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本题共12小题，从每小题给出的四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑）
1.若3cos 5x =-，且2
x π
π<<，则tan sin x x +的值是( ) A. 3215
-
B. 815-
C. 815
D.
32
15
【答案】B 【解析】 【分析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinx ，tanx 的值，即可得解．
【详解】由题意，知3cosx 5=-，且π
x π2<<，
所以4sinx 5==，则sinx 4tanx cosx 3=
=-， 448
tanx sinx 3515
∴+=-+=-．
故选：B ．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 2.设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. c a b >>
【答案】D 【解析】 【分析】
利用函数的单调性，并结合取中间值法即可判断大小. 【详解】由于300.20.2<<，
22log 0.3log 10<=，
331log 2log 2
>=
， 则3
23log 0.30.2log 2<<，即c a b >>.
故选：D.
【点睛】本题主要考查对数与对数函数和指数与指数函数，利用函数的单调性比较大小是常用手段，属基础题.
3.已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（ ） A. 43
- B.
2332 C.
34
D. 38
-
【答案】A 【解析】 【分析】
利用周期性和奇函数的性质可得，()()()222log 12log 1244log 12f f f =-=--，再根据指数运算和对数运算即可求得结果.
【详解】由题意()(4)f x f x =+，故函数()f x 是周期为4的函数， 由23log 124<<，则21log 1240-<-<，即204log 121<-<， 又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，
则()()()2244log 12
222log 12
24log 12log 1244log 12223
f f f -=-=--=-=-
=-，
故选：A.
【点睛】本题主要考查对数函数，奇函数，周期函数，以及抽象函数的性质，综合性较强，属中档题. 4.已知圆22:4O x y +=与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动3
π
弧长达到点N ，以x 轴的正半轴为始边，ON 为终边的角即为α，则sin α=（ ） A.
3
B.
12
C .
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
画图分析，根据弧长公式求出旋转的角的弧度数，则可求出α的值，从而得到结果. 【详解】由题意得M (0,2)，并画出图象如图所示.
由点M 沿圆O 顺时针运动3
π
弧长到达点N ，则旋转的角的弧度数为326
π
π=，
即以ON 为终边的角3
π
α=，所以3sin α=
. 故选：D .
【点睛】本题考查三角函数的定义和弧长公式，注意仔细审题，认真计算，属基础题.
5.函数(),,00,2s ()()in x x
e e
f x x x
ππ-+=∈-的图象大致为( )
A.
B. C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性可排除B ，再根据()0,x π∈时()f x 的符号可排除D ，再根据x π→时，()+f x →∞可排除C ，从而得到正确的选项.
【详解】函数的定义域关于原点对称，且()()
()2sin x x
e e
f x f x x -+-=
=--， 故()f x 为奇函数，其图像关于原点对称，所以排除B. 又当()0x π∈，时，sin 0,0x
x
x e e
->+>，所以()0f x >，故排除D.
又当x π→时，()+f x →∞，故排除C ， 综上，选A.
【点睛】本题为图像题，考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围． 6.如图是函数sin()0,02y x πωϕωϕ⎛⎫
=+><< ⎪⎝
⎭
在区间5,66ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的图象，将该图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得图象关于直线4
x π
=
对称，则m 的最小值为（ ）
A.
12
π
B.
6
π C.
4
π D.
3
π 【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角函数的图象与性质求出()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，再根据右移得到函数()sin 223g x x m π
⎛⎫=+
- ⎪⎝
⎭
，利用对称轴的性质，得到m 的表达式，从而求得m 的最小值. 【详解】令()sin()f x y x ωϕ==+，由三角函数图象知，566
T πππ=+=，所以2π
πω=，
所以2ω=.因为函数()f x 过点,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭，且02πϕ<<，则206πϕ-⨯+=，
即3
π
ϕ=
，所以()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，
将该函数图象向右平移m 个单位后，所得图象的解析式是()sin 223g x x m π
⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭
， 因为函数()g x 的图象关于直线4
x π
=对称，所以22()4
3
2
m k k Z π
π
π
π⨯
+
-=
+∈，
解得()6
2
k m k Z π
π=
-
∈，又m >0，所以m 的最小值为6π
.
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解题的关键在于根据图象正确求出函数解析式，并熟练掌握正弦函数的性质，属中档题. 7.已知函数()(
)x
x
f x x e e
-=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ).
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】因为()(
)()
()x
x x x f x x e e x e e f x ---=--=--=-，
所以()f x 为奇函数，
0x >时，()1x x f x x e e ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭，()f x 在()0,∞+上递增，
所以函数()f x 在R 上为单调增函数， 对于任意实数a 和b ，
若0a b +>，则()(),a b f a f b >-∴>-， 函数()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，
()()0f a f b ∴+>，充分性成立；
若()()0f a f b +>，则()()()f a f b f b >-=-， 函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，
0a b ∴+>，必要性成立，
∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>”，是“()()0f a f b +>”的充要条件，
故选C.
【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试
,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原
命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 8.已知0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，0,
2πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且
sin 1cos 2cos 2cos sin 2βαβαα+=+，则tan 24παβ⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭（ ） A. －1 B. 1
C.
3
D. 3
-
【答案】A 【解析】 【分析】
利用二倍角公式和三角函数的商数关系对1cos 22cos sin 2ααα++进行化简变形，从而可得tan tan 42παβ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
再根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,424παπ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭
，结合正切函数的单调性，则42παβ=-，代入所求表
达式从而可求得结果.
【详解】
2sin 1cos 22cos cos 2cos sin 22cos 2sin cos βαα
βααααα
+==++ 2
2
2cos sin cos
sin
1tan
cos 22222tan 1sin 42sin cos 1tan sin cos 22222α
α
α
α
α
απαααα
ααα---⎛⎫=
====- ⎪+⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝
⎭， 故tan tan 42παβ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,424παπ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭，
4
2
π
α
β∴=
-
，故22
π
βα=
-，
则3tan 2tan 144
ππαβ⎛⎫
⎛⎫
++==- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
. 故选：A.
【点睛】本题考查二倍角公式，三角函数的商数关系和正切函数的性质，综合性强，要求一定的计算化简能力，属中档题.
9.已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ） ①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；
②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点； ③把函数()f x 的图像向右平移
2
π
个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内都是增函数. A. 0 B. 1
C. 2
D. 3
【答案】B 【解析】
【
分析】
求出函数f (x )的导函数g (x )，再分别判断f (x )、g (x )的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题即可一一做出判断，从而得到答案.
【详解】()sin cos 4f x x x x x x π⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
， ()sin +cos ++224g x x x x x x π⎫⎛⎫
===⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
， ①， ()4f x x π⎛⎫=
- ⎪⎝⎭，()4g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，两函数的值域相同，都是[，故①正确；
②，若0x 是函数()f x 的极值点，则04
2
x k π
π
π-=
+，k Z ∈，解得034
x k π
π=+
，k Z ∈，()03044g x k πππ⎛
⎫=++= ⎪⎝
⎭，0x ∴也是函数()g x 的零点，故②正确；
③，把函数()f x 的图象向右平移
2
π
个单位，得
sin cos cos sin ()222f x x x x x g x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=---=--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，故③错误；
④，,44x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，,042x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 是单调增函数，0,42x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()g x 也是单调增函数，
故④正确.
综上所述，以上结论中错误的个数是1. 故选：B.
【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，熟练掌握公式和正弦函数的性质是解本题的关键，属中档题. 10.已知函数()cos f x x =，若存在实数12,,
,n x x x ，满足1204n x x x π≤<<<≤，且
()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-+
+-=，2n ≥，n *∈N ，则n 的最小值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】C 【解析】 【分析】
由余弦函数的有界性可得，对任意x i ，x j (i ，j =1，2，3，…，n )，都有()()
max min ()()2i j
f x f x f x f x --=，
要使n 取得最小值，尽可能多让x i （i =1，2，3，…，n ）取得最高点和最低点，然后作图可得满足条件的最小n 值．
【详解】∵()cos f x x =对任意x i ，x j (i ，j =1，2，3，…，n )， 都有()()
max min ()()2i j
f x f x f x f x --=，
要使n 取得最小值，尽可能多让x i (i =1，2，3，…，n )取得最高点和最低点， 考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x n ≤4π，()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，
按下图取值即可满足条件，
则n 的最小值为5. 故选：C.
【点睛】本题考查三角函数与数列的综合，考查了余弦函数的图象与性质，审清题意，画出图象是解决本题的关键，属中档题.
11.设函数11,(,2)
(){1(2),[2,)2
x x f x f x x --∈-∞=-∈+∞，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】 C 【解析】 试题分析：
，转化为
如图，画出函数
和
的图像，
当时，有一个交点， 当
时，
，
，此时，是函数的一个零点， ，，满足，所以在
有两个交点，
同理，所以在有两个交点， ，所以在
内没有交点，
当时，恒有
，所以两个函数没有交点
所以，共有6个．
考点：1．分段函数；2．函数的零点．3数形结合求函数零点个数． 12.已知0>ω，2
π
ϕ≤
，在函数()sin()f x x ωϕ=+，()cos()g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交
点的横坐标之差的绝对值为
2
π，当(,)64x ππ
∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是
（ ） A. (
,)63ππ
B. ,63ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C. (
,)32ππ
D. ,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
令F （x ）＝()sin x ωϕ+﹣()cos x ωϕ+＝0求出零点，利用相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2
π
得ω值，然后根据当,64x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，f(x)>0恒成立即可得到ϕ的取值范围. 【详解】由题意，函数()()sin f x x ωϕ=+，()()cos g x x ωϕ=+的图象中相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为
2
π． 令F （x ）＝()sin x ωϕ+﹣()cos x ωϕ+＝0
sin （4
x π
ωϕ+-）＝0，
即4
x π
ωϕ+-
＝k π，k ∈Z ．
当k ＝0时，可得一个零点x 1＝4
π
ω-∅
当k ＝1时，可得二个零点x 2＝54πω
-∅
, ω＞0， 那么|x 1﹣x 2|＝|544|2
ππππωωω-∅-∅
-==
，可得ω2=,则()()sin 2f x x ϕ=+， 又当,64x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝
⎭时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方， 当f(x)>0时2k π2x φ2k ππ,<+<+解得k πx k π2
2
2
ϕ
π
ϕ
-
<<+
-
,
只需26224k k ϕπππϕπ
π⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩
即2k π2,32k ππϕπ+≤≤+
又2
π
ϕ≤
，则当k=0时，ϕ的取值范围是,32ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
故选：D ．
【点睛】本题考查三角函数图像的性质，考查恒成立问题，属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本题共4小题）
13.已知曲线3y x x =-在点()00,x y 处的切线平行于直线220x y --=，则0x =______. 【答案】－1 【解析】 【分析】
求出函数的导数，代入x 0求得切线的斜率，再由两直线平行的条件可得到关于x 0的方程，解方程即可得到所求值，注意检验.
【详解】3y x x =-的导数为2
31y x '=-，
即在点()00,x y 处的切线斜率为2
031k x =-，
由切线平行于直线220x y --=，
则2k =，即2
0312x -=，
解得01x =或1-.
若01x =，则切点为(1,0)，满足直线220x y --=，不合题意. 若01x =-，则切点为(1,0)-，不满足直线220x y --=，符合题意. 故答案为：1-.
【点睛】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线平行的问题，属基础题.
14.设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()1
21x e f x f x -<-的解集为__________．
【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】
根据条件构造函数F （x ）()x
f x e
=
，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．
【详解】设F （x ）()x
f x e
=
，
则F ′（x ）()()
'x
f x f x e
-=
，
∵()()f x f x '>，
∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()1
21x e
f x f x -<-
∴
()()21
21x
x f x f x e
e
--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）
∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()1
21x e
f x f x -<-的解为()1,+∞
故答案为：()1,+∞
【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．
15.如图，阴影部分是由曲线22y x =和223x y +=及x 轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为______.
【答案】
32
8
π
-
【解析】 【分析】
首先求出曲线的交点，然后求直线3y x =与2
2y x =围成的面积1S ，利用扇形的面积公式，求得扇形AOB 的面积2S ，则阴影部分的面积为21S S S =-，计算即可求得结果.
【详解】曲线22y x =和圆223x y +=的在第一象限的交点为33
,2A ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
， 则直线OA 的方程为：3y x =， 如图，
则直线OA 与抛物线2
2y x =所围成的面积
(
)
332
2
2310
32332333322324388S x x dx x x ⎛⎫=
-=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎰，
又扇形AOB 圆心角为3
π
α=
，则扇形AOB 的面积221132232
S r ππ
α=
=⨯⨯=， 所以阴影部分的面积213
2
S S S π
=-=
. 故答案为：
32
8
π
-
. 【点睛】本题考查了利用定积分求阴影部分的面积，关键是利用定积分正确表示对应的面积，属中档题. 16.设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1
cos cos 2
A C
B --=，延长B
C 至
D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________. 【答案】34
【解析】 【分析】
由()1cos cos 2A C B --=
，可得1
cos cos 4
A C =，由,,a b c 成等比数列，结合正弦定理 可得2sin sin sin
B A
C =，两式相减，可求得3
B π
=
，从而得ABC ∆为正三角形，
设正三角形边长为a ，ACD S ∆ ()2a =
-，利用基本不等式可得结果. 【详解】
()cos cos A C B -- ()()1cos cos 2
A C A C =-++=
， 1
cos cos 4
A C ∴=
，① 又
,,a b c 成等比数列，2b ac ∴=，
由正弦定理可得2sin sin sin B A C =，② ①-②得
21
sin cos cos sin sin 4
B A
C A C -=- ()cos cos A C B =+=-，
21cos 1cos 4B B ∴+-=-，解得1cos ,23
B B π==， 由()1
cos cos 2A C B --=，
得()1
cos cos 12A C B -=+=，
0,A C A B -==，ABC ∆为正三角形，
设正三角形边长为a ， 则2CD a =-，1
sin1202
ACD S AC CD ∆=
⋅
()()122224
a a a a =
-⨯=- ()2
2
4a a ⎡⎤+-⎣⎦≤=，1a =时等号成立。

即ACD ∆面积的最大值为
4，故答案为
4
. 【点睛】本题主要考查对比中项的应用、正弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
三、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.将函数3sin 2y x =的图像向左平移
6
π
个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐
标不变），得到()f x 的图像. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若对于任意的,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦，不等式()3f x m 恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1) 52,2,66k k k ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦Z .(2) 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
(1)本题首先可通过题意中函数3sin 2y x =图像的转化得到()3sin 3
f x x
，然后通过正弦函数的相
关性质即可计算出函数()f x 的单调递增区间； (2)首先通过,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
计算出函数()f x 的最大值以及最小值，然后将()3f x m 转化为
3()3m f x m -<<+，即可列出不等式组
max min
33
f x m f x
m ，通过计算得出结果。

【详解】（1）函数3sin 2y x =的图像向左平移
6
π
个单位长度可得3sin 2+
3
y x ，
然后将3sin 2+
3
y x 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得()
3sin 3
f x x
，
令22,2
3
2
k x k k π
π
π
ππ-
+
+
∈Z ，即5
2,2,66
x
k
k k Z ，
故()f x 的单调递增区间为5
2,2,6
6
k
k k
Z .
（2）因为,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦，所以5636
x πππ
-+
， 所以函数()f x 在,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3，此时32x ππ+=，即6x π=，
最小值为32-
，此时36x ππ+=-，即2
x π
=-.
对于任意的,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，不等式()3f x m 恒成立， 即3()3m f x m -<<+恒成立，
max min
33
f x m f x
m ，
所以
33
33
2
m m ，302m <<
，故实数m 的取值范围为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭。

【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的图像变换以及通过三角函数性质解不等式，考查推理能力，在三角函数的图像变换中一定要注意函数sin y x ω=向左平移n 个单位得出的函数是
sin ωy x n ，是中档题。

18.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22sin sin sin sin A B A C +=. （1）求证：
sin sin 2cos C
A A
=；
（2）若B 为钝角，且ABC ∆的面积S 满足2
(sin )S b A =，求角A 的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）8
A π
=.
【解析】 【分析】
（1）由22sin sin sin sin A B A C +=及正弦定理，得22c a ab -=，根据余弦定理可得sin sin cos 2sin B A
A C
+=，
再将sin 2cos C A 化简变形即可证明结论；（2）由2
(sin )S b A =和面积公式可得sin sin 22sin c C A b B
==，结合（1）
可得cos sin A B =，根据条件，2B A π=+，22C A π=-，代入sin 2cos C
A
中进行化简变形即可求得角A .
【详解】（1）由22sin sin sin sin A B A C +=及正弦定理，得22ab a c +=，即22c a ab -=，
则2222sin sin cos 2222sin b c a b ab b a B A
A bc bc c C
+-+++====
， 则()2
2
222
2sin sin 11sin 2cos sin sin 22222c R C C c ab a a A b a A B A R b a R b a R R R
+===⋅=⋅==++++， 其中R 为ABC ∆的外接圆半径，即证得
sin sin 2cos C
A A
=；
（2）由题意得221
sin sin 2bc A b A =， 所以sin sin 22sin c C A b B ==， 又sin cos 2sin C
A A =，
所以sin sin cos sin A A
A B
=，所以cos sin A B =. 又B 为钝角，所以2
B A π
=+，又A B C π++=，
所以2A A C ππ⎛⎫
+++=
⎪⎝⎭
，解得22C A π=-，
所以sin 2sin cos22sin 2cos 2cos 2cos A C A A A A A
π⎛⎫
- ⎪
⎝⎭===，
所以cos2sin2A A =，所以tan21A =. 又A 为锐角，所以()20,A π∈， 则24
A π
=
，所以8
A π
=
.
【点睛】本题考查解三角形和三角恒等变换，根据正余弦定理和三角恒等变换公式对式子进行化简变形是解决本题的关键，属中档题.
19.设函数()sin cos ,[0,]2
f x a x x x x π
=-∈． （Ⅰ）当1a =时，求证：()0f x ≥；
（Ⅱ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的最小值． 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）1. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求得()sin f x x x '= ，利用导数证明 ()f x 在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增， 从而可得()()00f x f ≥=；（Ⅱ）讨论三种情况：当1a =时，由（Ⅰ）知符合题意；当1a >时，因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，先证明()f x 在区
间0,
2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，可得()()0f x f ≥符合题意；当1a <时，存在唯一00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
使得()00g x =，任意()00,x x ∈时，()()
00f x f <=，不合题意，综合即可得结果. 【详解】（Ⅰ）因为1a =，所以()sin cos ,f x x x x =- ()sin f x x x '= . 当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()0f x '≥恒成立，所以 ()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以()()00f x f ≥=.
（Ⅱ）因为()sin cos ,0,2f x a x x x x π⎡⎤
=-∈⎢⎥⎣⎦
， 所以()()1cos sin f x a x x x =+'-.
①当1a =时，由（Ⅰ）知，()0f x ≥对0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立；
②当1a >时，因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以()0f x '>. 因此()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，
所以()()00f x f ≥=对0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立； ③当1a <时，令()()g x f x ='，则()()2sin cos g x a x x x =+'-， 因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以()0g x '≥恒成立， 因此()g x 在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增， 且()010022g a g ，ππ
⎛⎫=-=
⎪⎝⎭
， 所以存在唯一00,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
使得()00g x =，即()00f x '=.
所以任意()00,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 上单调递减. 所以()()00f x f <=，不合题意. 综上可知，a 的最小值为1.
【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题与不等式的证明问题，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
20.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+.
（1）若4a =，ABC ∆b ，c 的值；
（2）若sin sin (0)B k C k =>，且ABC ∆为钝角三角形，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）4b =，2c =或2b =，4c =；（2）10,(4,)4⎛
⎫
⋃+∞ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）由4cos cos cos a A c B b C =+及正弦定理可求cos A 和sin A ，从而利用余弦定理和面积公式建立关于b 和c 的两个方程即可求出结果；（2）由sin sin (0)B k C k =>，得b kc =，由余弦定理可得
222112a k k c ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
=，分别从角B 是钝角和角C 是钝角两种情况列不等式求解即可求出k 的范围.
详解】（1）由4cos cos cos a A c B b C =+及正弦定理得：
()4sin cos sin cos sin cos sin sin A A C B B C C B A =+=+=，
sin 0A ≠，所以1cos 4A =，所以sin A ==
由余弦定理得2
2
2
2
2
1
2cos 162
a b c bc A b c bc =+-⋅=+-
=，①
又ABC ∆的面积11=
sin 224
ABC S bc A bc ∆=⋅=，所以8bc =.② 由①②得4b =，2c =或2b =，4c =；
（2）由sin sin (0)B k C k =>，得b kc =， 所以()2
2
2
2
2
22112cos 2142a b c bc A kc c kc c k k c ⎛⎫
=+-⋅=+-⋅⋅
=-+ ⎪⎝⎭
， 若B 为钝角则222a c b +<，即2
21112k k k ⎛
⎫
-
++< ⎪⎝
⎭，解得4k >， 若C 为钝角，则222a b c +<，即2
21112k k k ⎛⎫
-
++< ⎪⎝
⎭
，解得104k <<. 综上，实数k 的取值范围为()10,
4,4⎛⎫
⋃+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形以及求满足三角形形状的参数范围，熟练掌握三角形中钝角的等价条件是解决第二问的关键，属中档题. 21.已知函数22()x f x e ax =-，a ∈R .
（1）若()f x 在区间(0,)+∞内单调递增，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间(0,)+∞内存在极大值M ，证明：4
a M <. 【答案】（1）(,2e]-∞；（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）由题意得()2220x
f x e ax '=-≥在区间()0,∞+内恒成立，即2x
e
a x
≤在区间()0,∞+内恒成立，构
造函数()2x e g x x
=，利用导数求出最小值即可得到结果；（2）构造函数()()h x f x ='，则()242x
h x e a '=-，
由此可得出函数()
f x '单调区间，利用零点存在性定理可得函数()f x '的零点所在区间：110,
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
和21,ln 2x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则可得函数()f x '的单调性，从而得到极大值1221x M e ax =-，结合条件和基本不等式即
可证明结论.
【详解】（1）由题意得()2220x
f x e
ax '=-≥在区间()0,∞+内恒成立，
即2x
e a x
≤在区间()0,∞+内恒成立， 令()2x e g x x =，则()()22222
212x x x x e xe e g x x x --=='. 当102x <<时，()0g x '<，()g x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
内单调递减； 当12x >时，()0g x '>，()g x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
内单调递增，故()min 122g x g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以2e a ≤，所以a 的取值范围为(],2e -∞；
（2）由（1）知当2a e ≤时，()f x 在区间()0,∞+内单调递增，则不存在极大值.
当2e a >时，11ln 222a <，1ln ln 22
a a >. ()222x f x e ax '=-，令()()h x f x ='，则()242x h x e a '=-.
令()0h x '=，则1ln 22
a x =， 则易知函数()f x '在区间10,ln 22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在区间1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
内单调递增. 又()020f '=>，1202f e a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭
'， ()()2ln ln 22ln 2ln 0a f a e a a a a a '=-=->（易证明ln 0a a ->）， 故存在110,2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()1211220x f x e ax '=-=， 存在21,ln 2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()20f x '=， 则当()10,x x ∈时，()0f x '>；当()12,x x x ∈时()0f x '<；当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在区间()10,x 内单调递增，在区间()12,x x 内单调递减，在区间()2,x +∞内单调递增，
所以当1x x =时，()f x 取得极大值，即1221x M e ax =-. 由1102
x <<，得110x ->，111x x ≠-，
由121220x e ax -=，得121x e ax =，
故()12
22211111111124x x x a M e ax ax ax ax x a +-⎛⎫=-=-=-<= ⎪⎝⎭，所以4a M <. 【点睛】本题考查已知单调性求参数的范围和利用导数证明不等式，其中恒成立问题通常转化为求函数最值问题，极值点问题通常转化为导函数的零点问题，应熟练掌握零点存在性定理的应用，属难题.
22.已知函数1()(ln 1)f x a x x =-+的图像与x 轴相切，21()(1)log 2
b x g x b x -=--. （1）求证：2
(1)()x f x x
-≤； （2）若2
1x b <<，求证：2
(1)0()2b g x -<<. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出()f x 的导数，设()f x 的图象与x 轴相交于点()0,0x ，可得()()0000f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩
，解方程可得1a =，原不等式等价于ln 1x x -，设()ln 1h x x x =-+，求出导数和单调区间，可得极值、最值，即可得证； （2）设1()(1)ln x h x x x
-=>，求出导数，运用（1）的结论可得()h x 单调递增，再由不等式的性质可得 211ln ln x b x b
--<，即()0>g x ，再运用()f x 的单调性和不等式的性质，证得1ln b b b -<，进而证得右边不等式.
【详解】（1）由题得()21a f x x x
-'=，设()f x 的图像与x 轴相切于点()0,0x ，则 ()()0000f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即()002001ln 1010a x x a x x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，解得01a x ==， 所以()1ln 1f x x x =-+，则()()2
1x f x x -≤，即为ln 1x x ≤-.
设()ln 1h x x x =-+，则()11h x x
'=-. 当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减.
所以()()10h x h =，即ln 1x x -，
所以()()
21x f x x -；
（2）先证()0g x >，设()1(1)ln x x x x ϕ-=>，则()()
21ln 1ln x x x x ϕ-'+=， 由（1）可知，当1x >时，1ln 10x x +
->，从而有()0x ϕ'>，所以()x ϕ单调递增. 又21x b <<，从而有()()2x b ϕϕ<，即2211ln ln x b x b
--<， 所以()()21ln 11log 2ln b b x x b x b
--<=-，即()0g x >. 再证()()212b g x -<，因为()()()221ln 111log 2ln 2
b b x x x g x b x b ---=--=- ()()22222ln 111111112ln 22ln 22ln x x x x x b b b b b b -----⎛⎫=-⋅-<-⋅-=⋅- ⎪⎝⎭
， 又由（1）知，()2110(1)f x x x x
'=
->>，故()f x 在()1,+∞单调递增， 则()1ln 1(1)0f x x f x =-+>=，即1ln 1b b >-，所以1ln b b b -<. 又21x b <<，所以()()()
()221112
2x b b g x ---<<. 综上可知，()()2
102b g x -<<. 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数证明不等式的方法，利用导数研究函数的单调性和最值，以及构造函数证明不等式，综合性强，其中，选择合适函数进行构造是解决本题的关键，属难题.。