平面向量的数量积知识点整理

平面向量的数量积

一、平面向量数量积的含义

1. 平面向量数量积的运算

1.已知2,5,(1)||a b a b ==若; (2) a b ⊥;(3) a b 与的夹角为030,分别求.

2.△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→

−BC ，则=⋅BC AB _________

3.在ABC ∆中，已知7=AB ，5=BC ，6=AC ，则________

2.夹角问题

1.已知|a |=4,|b|=3, a ·b=6，求a 与b 夹角

2.已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与的夹角为____

3.已知3||=→a ，5||=→b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→b 上的投影为_____

4.若1,2,a b c a b ===+,且c a ⊥,则向量a 与向量b 的夹角为

5.已知向量a 、b 不共线，且||||b a =，则b a +与b a -的夹角为 __________

6.在ABC ∆中c AB =，a BC = ，b CA =，则下列推导正确的是__ _

① 若0<•b a 则ABC ∆是钝角三角形 ② 若0=•b a ，则ABC ∆是直角三角形

③ 若b c b a •=•， 则ABC ∆是等腰三角形 ④ 若||||c b a -=，则ABC ∆是直角三角形 ⑤ 若c a b c b a •=•=•，则△ABC 是正三角形 3.运算律

1.下列命题中：① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+；④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ⋅=⋅则a c =；⑥22a a =；⑦2a b b a a ⋅=；⑧22

2()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+。其中正确的是______

2.已知|a |=2,|b|=4, a 与b 夹角为60°，求a ·b , (a +b )2, |a +b|

3.已知a + b +c =0 且|a |=3,|b|=1, |c |=4,计算:(1) a •b; (2) a •b+b •c+a •c

4.已知4||=a ，2||=b ，且a 与b 夹角为120°求:⑴)()2(b a b a +•-； ⑵|2|b a - 4.关于模的问题

1.已知向量,a b 满足6,4a b ==,且a b 与的夹角为060,求3a b a b +-和.

2.已知a b 与的夹角为0120,3a =,13a b += ,则b 等于

二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1．根据坐标求夹角

1.已知=（-1,2），=（2，-1），求与的夹角

2.根据夹角求坐标

1.已知，=（3，k ）与的夹角为4

π，则k 等于____ 2.设)3,(x a =，)1,2(-=b ，若a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是

3.已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______

4.已知(,),n a b =向量n m ⊥，且n m =，则m 的坐标是________