两个基本计数原理二共50页
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的活动。
当我们需要计算完成某件事情的方法数时，就会用到两个基本的计数原理：加法原理和乘法原理。
这两个原理看似简单，但却在解决各种计数问题时发挥着关键作用。
先来说说加法原理。
加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m₁种不同的方法，在第二类方式中有m₂种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁＋ m₂＋… ＋ mₙ 种不同的方法。
举个简单的例子，假如你要从A 地去B 地，有两种交通方式可选，一是坐火车，有 3 趟不同的车次；二是坐汽车，有 2 趟不同的班车。
那么你从 A 地去 B 地一共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种选择。
再比如，你周末想出去玩，有三个选择：去公园散步、去商场购物或者去电影院看电影。
去公园散步有 2 条不同的路线，去商场购物有 3 家不同的商场可去，去电影院看电影有 5 部不同的影片可选择。
那么你周末出去玩的方式就有 2 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 10 种。
加法原理的核心在于“分类”，每一类方法都是相互独立的，彼此之间没有交叉和重叠，最终将每一类的方法数相加就能得到总的方法数。
接下来谈谈乘法原理。
乘法原理是说，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m₁种不同的方法，做第二步有 m₂种不同的方法，……，做第 n 步有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁ × m₂ × … × mₙ 种不同的方法。
比如说，你要从你的家去一个朋友家，需要先坐公交车到地铁站，有 4 路公交车可选择；然后再从地铁站坐地铁到朋友家附近的站点，有 3 条地铁线路可选择；最后从地铁站走到朋友家，有 2 条不同的路可走。
那么你去朋友家的路线就有 4 × 3 × 2 ＝ 24 种。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的任务。
而加法原理和乘法原理就是两个帮助我们解决计数问题的基本原理。
让我们先来聊聊加法原理。
想象一下，你要从 A 地去 B 地，有三条不同的路可以走，分别是路 1、路 2 和路 3。
那么从 A 地到 B 地，总的路线选择就是这三条路的总和，这就是加法原理。
加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m1 种不同的方法，在第二类方式中有 m2 种不同的方法，以此类推，在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是 m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种。
比如说，在一个班级里评选优秀学生，有学习成绩优秀的、品德优秀的、社会实践积极的三种类型。
假设学习成绩优秀的有 10 人，品德优秀的有 8 人，社会实践积极的有 6 人。
那么这个班级里优秀学生的总数就是 10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。
再比如，你周末想去图书馆看书，图书馆在三个不同的区域分别有分馆，第一个区域有 2 家分馆，第二个区域有 3 家分馆，第三个区域有 1 家分馆。
那么你可以选择去的图书馆分馆总数就是 2 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 6 家。
接下来，我们说一说乘法原理。
假设你早上要穿衣服出门，上衣有3 件不同的款式可以选择，裤子有 2 条不同的款式可以选择。
那么你搭配衣服的方式总共有 3×2 ＝ 6 种。
这就是乘法原理。
乘法原理是指，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，以此类推，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是m1×m2×…×mn 种。
比如说，要从 0 、 1 、 2 、 3 这 4 个数字中选出 3 个数字组成一个三位数，百位上有 3 种选择（因为 0 不能在百位），十位上有 3 种选择，个位上有 2 种选择，那么总共能组成的三位数个数就是 3×3×2 ＝18 个。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，经常会遇到需要计算各种可能性和数量的情况。
而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，就为我们解决这类问题提供了有力的工具。
先来说说加法原理。
想象一下你要去一个地方，有两条不同的路可以选择，一条是大路，一条是小路。
大路有 3 种不同的交通工具可以到达目的地，比如公交车、出租车、自行车；小路有 2 种不同的交通工具，比如步行和电动车。
那么，你到达目的地总的交通方式有几种呢？很简单，就是把走大路的 3 种方式和走小路的 2 种方式加起来，一共 5 种。
这就是加法原理，即如果完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类方案中有 m1 种不同的方法，在第二类方案中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
加法原理的关键在于“分类”，每一类方法都能独立完成这件事，而且类与类之间是相互独立的，没有重复和交叉。
比如上面的例子，选择大路的交通方式和选择小路的交通方式是完全不同的两类，不会有既属于大路又属于小路的交通方式。
再看一个例子，假设你要从书架上选一本书，书架分为三层，第一层有 5 本小说，第二层有 3 本传记，第三层有 2 本历史书。
那么你选一本书的总方式就是 5 ＋ 3 ＋ 2 ＝ 10 种。
这里把书按照所在的书架层次进行分类，每一层的书的选择方式是相互独立的。
接下来谈谈乘法原理。
假设你早上要穿衣服，有 3 件上衣和 2 条裤子可供选择。
那么你搭配服装的方式有几种呢？很显然，每件上衣都可以搭配 2 条裤子，所以总共有 3×2 ＝ 6 种搭配方式。
这就是乘法原理，即如果完成一件事需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们的日常生活和学习中，计数是一项经常会遇到的任务。
比如，计算从家到学校有多少种不同的路线，或者在商店里挑选衣服时有多少种搭配方式。
而在解决这些计数问题时，两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，就发挥着至关重要的作用。
先来说说加法原理。
加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m1 种不同的方法，在第二类方式中有m2 种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
为了更好地理解加法原理，我们来看一个例子。
假设你要从 A 地去B 地，有三种交通方式可以选择：飞机、火车和汽车。
如果选择飞机有 5 个航班可选，选择火车有 10 趟车次可选，选择汽车有 8 趟班车可选。
那么从 A 地到 B 地，总的出行方式就有 5 ＋ 10 ＋ 8 ＝ 23 种。
在这个例子中，选择飞机、火车、汽车这三种交通方式是相互独立的，彼此之间没有交叉和关联。
无论选择哪种方式，都能够完成从 A地到 B 地的行程。
所以，我们只需要将每种方式的可选数量相加，就可以得到总的出行方式数量。
再来看乘法原理。
乘法原理是说，如果完成一件事情需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
比如说，你要从你的衣柜里挑选一套衣服出门，上衣有 5 件可选，裤子有 3 条可选。
那么你搭配出一套衣服的方式就有 5 × 3 ＝ 15 种。
这里，挑选上衣和挑选裤子是两个相互独立的步骤。
只有先完成挑选上衣的步骤，才能进行挑选裤子的步骤。
而且，对于每一件上衣，都可以与 3 条裤子进行搭配；对于每一条裤子，也都可以与 5 件上衣进行搭配。
两个基本计数原理PPT优秀课件2
了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强
项专业，具体情况如下： A大学
解：选择一个专业可以有2类 生物学
B大学 数学
方法：第1类是从A大学选，有 化学
会计学
5种方法，第2类是从B大学选， 医学
有4种方法。根据分类加法计
数原理，共有
物理学
信息技术学 法学
N=m1+m2=5+4=9(种）
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
上海
b1 b2 b4 b3
b5
b6
按交通工具分类 第1类 6种
第2类 2种
a1
a2 共 6+2= 8种
枣庄
（一）分类加法计数原理：
完成一件事，有两类不同方案
在第一类方案中有m种不同的方法，
在第二类方案中有n种不同的方法。
那么完成这件事共有
( N=m+n
)
种不同的方法。
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
少种不同的挂法？
解：从3副画中选出2副分别挂在左、右墙上，可以分2 步来完成： 第1步，选挂在左墙上的，有3种方法， 第2步, 选挂在右墙上的，有2种方法。 根据分步乘法计数原理，共有
N=m1×m2 = 3×2 = 6（种）
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，经常会遇到需要计算可能性或数量的情况。
而解决这些问题的有力工具，就是两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理。
让我们先来聊聊加法原理。
想象一下，你要从北京去上海，有三种交通方式可以选择：飞机、高铁和汽车。
那么你去上海的方法总数，就是这三种方式的总和，这就是加法原理。
简单来说，加法原理就是指完成一件事，如果有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
举个例子，学校组织活动，周一到周五每天都有不同的活动安排，周一可以选择参加篮球比赛或者足球比赛，周二可以选择参观博物馆或者参加文艺表演，周三可以选择参加志愿者活动或者科技竞赛，周四可以选择参加书法比赛或者绘画比赛，周五可以选择参加演讲比赛或者辩论赛。
那么这一周内你参加活动的选择总共有多少种呢？答案就是把每天的选择数相加，即 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＝ 10 种。
再来说说乘法原理。
假如你要从A 地去B 地，中途需要经过C 地，从 A 地到 C 地有 3 条路可走，从 C 地到 B 地有 2 条路可走。
那么从 A地经过 C 地到 B 地，一共有多少种走法呢？答案是 3×2 ＝ 6 种。
这就是乘法原理。
具体而言，乘法原理是指完成一件事，如果需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。
比如，你要搭配一套衣服，上衣有 3 种选择，裤子有 2 种选择，鞋子有 2 种选择。
那么你能搭配出的服装总数就是 3×2×2 ＝ 12 种。
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谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 1的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
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31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
《两个计数原理》课件
概率计算问题
概率的基本性质
概率具有非负性、规范性、可加性等基本性质，用于描述随机事件发生的可能性。
概率计算方法
通过列举法、古典概型、几何概型等方法计算概率。
分步计数原理在概率计算问题中的应用
将复杂事件分解为若干个简单事件的组合，利用分步计数原理计算每个简单事件发生的概率，然后根据 概率的加法原则和乘法原则计算出复杂事件发生的概率。
04
两个计数原理的实例分析
排列组合实例
总结词
通过具体实例，理解排列与组合的概念及计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如不同颜色球的不同排列方式、不同组合的彩票中奖 概率等，来解释排列与组合的基本概念，以及如何使用计数原理进行计算。
概率计算实例
总结词
通过实例掌握概率计算的基本方 法。
详细描述
选择分步计数原理
当问题涉及多个独立步骤，且需要按照顺序逐步计算每一步 的数量时，应选择分步计数原理。例如，计算排列数时，需 要按照顺序计算从n个不同元素中取出k个元素的所有排列数 。
THANK YOU
感谢聆听
05
总结与思考
两个计数原理的异同点
相同点
两个计数原理都是用来解决计数问题，特别是涉及多个独立事件 的问题。
不同点
分类计数原理是针对完成某一任务的不同方式进行计数，而分步 计数原理则是针对完成某一任务的不同步骤进行计数。
两个计数原理的应用范围
分类计数原理
适用于问题涉及多种独立的方式或方法，需要分别计算每一种方式或方法的数量 ，然后求和得到总数。
分步计数原理的适用范围是：当完成 一个任务时，需要分成几个有序的步 骤，并且各个步骤之间有相互影响。
两个计数原理的对比
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的活动。
无论是计算物品的数量、安排活动的方案，还是解决各种数学问题，都离不开计数原理。
而其中最基本的两个计数原理就是加法原理和乘法原理。
加法原理，简单来说，就是完成一件事情，如果有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
比如说，我们要从 A 地去 B 地，有三种交通方式可以选择：坐火车、坐汽车或者坐飞机。
如果坐火车有 5 个车次可选，坐汽车有 8 个班次可选，坐飞机有 3 个航班可选，那么从 A 地去 B 地总的出行方式就有 5 ＋ 8 ＋ 3 ＝ 16 种。
再举个例子，一个班级组织活动，同学们可以选择参加体育运动、文化活动或者艺术表演。
参加体育运动有篮球、足球、羽毛球三种项目；参加文化活动有书法、朗诵、写作三种形式；参加艺术表演有唱歌、跳舞、小品三种类型。
那么同学们选择参加活动的方式就有 3 ＋ 3 ＋ 3 ＝ 9 种。
从这些例子可以看出，加法原理的关键在于“分类”，各类办法之间相互独立，每一类办法中的方法都能单独完成这件事情。
接下来我们再看乘法原理。
乘法原理是指完成一件事情，如果需要分成 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
比如，我们要给一个密码锁设置密码，密码由三位数字组成。
第一位数字可以从 0 到 9 这 10 个数字中任选一个，第二位数字同样有 10 种选择，第三位数字也有 10 种选择。
那么设置密码的总方案数就是 10 × 10 × 10 ＝ 1000 种。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们的日常生活和数学学习中，计数是一项经常会遇到的任务。
而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，就像是我们解决计数问题的两把神奇钥匙，能帮助我们轻松应对各种复杂的情况。
首先，咱们来聊聊加法原理。
想象一下，你要从家去学校，有三条不同的路可以选择，分别是小路、大路和中间的那条道。
那么，你从家到学校的走法一共有几种呢？很简单，就是这三条路的总和，也就是 3 种。
这就是加法原理的一个简单例子。
加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类不同的办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
比如说，在一个班级里，要选一名班长，候选人有男生 5 名，女生3 名。
那么选班长的可能性一共有多少种呢？答案就是 5 ＋ 3 ＝ 8 种。
因为选男生当班长是一类办法，有 5 种可能；选女生当班长是另一类办法，有 3 种可能。
把这两类办法的数量加起来，就是总的可能性。
再比如，你周末想去看电影，有喜剧片、动作片和科幻片三种类型的电影可以选择，每种类型分别有 5 部、4 部和 3 部正在上映。
那么你能选择的电影总共有多少部呢？这时候就要用加法原理，5 ＋ 4 ＋ 3 ＝12 部。
接下来，咱们说一说乘法原理。
假设你早上起床要穿衣服，上衣有3 件不同的款式，裤子有 2 条不同的款式。
那么你搭配衣服的方式有几种呢？这就要用到乘法原理啦，因为你选上衣有 3 种选择，选裤子有 2 种选择，所以总的搭配方式就是 3×2 ＝ 6 种。
乘法原理是指，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。
两个基本计数原理
两个基本计数原理基本计数原理是组合学中应用广泛的数学原理，用于计算组合问题的方法。
它包括两个主要原理，分别是加法原理和乘法原理。
以下是关于这两个基本计数原理的详细介绍。
一、加法原理加法原理也称为分支原理，是一种用于计算多个不同情况的总数的方法。
具体而言，加法原理提供了计算不同情况总和的方法。
加法原理适用于以下情况：1.互斥情况：如果事件A和事件B是不相关的，且两者不能同时发生，那么发生A或发生B的总数就是事件A和事件B发生总数的和。
例如，抛掷一枚硬币，获得正面或者获得背面的总数是1+1=22.不互斥情况：如果事件A和事件B之间存在重叠的情况，那么发生A或发生B的总数是事件A的总数加上事件B的总数，再减去两者发生的重叠部分的总数。
例如，有10个人中，有4人会弹吉他，5人会弹钢琴，其中有2人既会弹吉他又会弹钢琴。
那么会弹吉他或会弹钢琴的总数是4+5-2=7二、乘法原理乘法原理也称为选择原理，是一种用于计算事件依次发生的组合计数问题的方法。
具体而言，乘法原理提供了计算每个阶段都有n种选择的总数的方法，以及计算一些特定情况下的总数的方法。
乘法原理适用于以下情况：1.每个阶段都有n种选择的情况：假设一些事件有m个阶段依次发生，且每个阶段都有n种选择，那么该事件发生的总数就是每个阶段选择数量的乘积。
例如，晨跑时路线有3个选择（A、B、C），早餐有4个选择（米饭、面包、牛奶、鸡蛋），那么不同的晨跑路线加上早餐的总数是3*4=122.一些特定情况下的总数：假设一些事件有m个阶段依次发生，而其中有k个阶段存在多种选择，那么该事件发生的总数就是每个阶段选择数量的乘积。
例如，密码锁有4位数字密码，每一位数字是0-9之间的任意一个数字，那么可能的密码总数是10*10*10*10=10^4总结：加法原理和乘法原理是组合数学中常用的计数方法。
加法原理用于计算互斥情况和不互斥情况下的总数，可以通过求和、减法和加减混合等操作实现。
两个计数原理优秀课件
排列问题
排列是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列的问题。排列数表示为P(n,m)，计算公式为P(n,m)=n×(n-1)×...×(n-m+1)。
组合问题
组合是从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），不考虑顺序的问题。组合数表示为C(n,m)，计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
练习题2
一个骰子有6个面，分别标有数字1-6，求掷出偶数点的概率？
解析2
在解决概率问题时，需要先明确问题的条件和要求，然后根据概率的基本概念和公式进行计算。
概率计算练习题及解析
总结词
练习题3
解析1
解析2
练习题2
练习题1
掌握决策的基本原则和方法
一个公司有5个项目需要投资，每个项目的投资额和收益率都不同，如何分配资金才能使得总收益率最大？
01
02
03
04
两个计数原理的发展趋势与展望
THANKS.
排列组合练习题及解析
总结词
理解概率的基本概念和计算方法
练习题3
一个硬币有两面，正面和反面，掷一次出现正面的概率为多少？
练习题1
一个袋子中有5个红球和3个蓝球，从中随机取出3个球，求取出红球数的概率？
解析1
概率的计算公式为$P(A) = frac{有利于A的基本事件数}{全部可能的基本事件数}$。通过这个公式可以计算出不同情况下概率的大小。
分类计数原理定义
分类计数原理在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，例如在排列组合、概率论、统计学等领域都有涉及。
分类计数原理的应用
例如，从A地到B地有3种交通方式，每种方式都有各自的路线和费用，则从A地到B地的总路线和总费用就是三种交通方式路线和费用的总和。
完整版两个计数原理
两个计数原理两个计数原理1•分类计数原理：做一件事，有n类办法，在第1类办法中有m i种不同的方法, 在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N m i m2 L 种不同的方法•例从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有____________ 种练习一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有 _种.2•分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m i种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N m1 m2 L m*种不同的方法•例1一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有种不同的选法•例2 一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有种•练习1从分别写有0,1，2，3，…，9十张数字的卡片中，抽出两张，数字和为奇数的卡片共有种不同的抽法。
数字和为偶数的卡片共有种不同的抽法•练习2从1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x) ax2 bx c 的系数，可组成不同的二次函数共有—，其中不同的偶函数共有个.18,63两个原理的综合应用例1如图10-1-2所示，从A地到B地有3条不同的道路,从B地到C地有4 条不同的道路，从A地不经B地直接到C地有2条不同的道路.（1）从A地到C地共有多少种不同的走法？（14）（2）从A地到C地再回到A 地有多少种不同的走法？（196）⑶从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时不同的道路，有多少种走法？（182）⑷从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时完全不同的道路，有多少种走法？（122）例2如下图的街道上，从A到B不走回头路，则有n i& 11不同的走法.（15）例3某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元. 某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29 中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若这个人要把这种要求的号全买下，至少要花_____________________ 钱•（2100）练习1如图，从A C有___________ 种不同走法•（6）练习2在3000到8000之间有_______ 无重复数字的奇数.（1232个）分两类；一类是以3、5、7为首位的四位奇数，可分三步完成：先排首位有 3 种方法，再排个位有4种方法，最后排中间两个数位有8 X7种方法，所以共有 3 X4 X8 X7=672 个.另一类是首位是4或6的四位奇数，也可以3步完成，共有2 X5 X8X7=560个•由分类计数原理得共有672+560=1232 个.练习3有一角、二角、五角人民币各一张，一元人民币3张，五元人民币2张，一百元人民币2张,由这些人民币可组成_____ 中不同的非零币值.（287 ）练习4用0, 1，2，3，4，5可以组成—无重复数字且比2000大的偶数（120）.涂色问题 例1如图：某班宣传小组要出一期向英雄学习的专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中 A 、B 、C 、D 每一部分只写一种 颜色，如图所示，相邻两块颜色不同，则不同颜色的书写方法共有1 -------A―i1------------* B 斗一CD例2如图，用4种不同的颜色涂入 图中的矩形A ，的矩形涂色不同，则不同的涂法有（）A练习1如图所示，用五种不同的颜色，给图中标有①，②，③，④的各个部分涂色,每部分只能涂一种颜色，且相邻部分要涂不同色，那么不同涂色的方法种数为 _____ （240 ）种（180）A . 72 种B . 48 种C . 24 种D . 12 种例2有5名同学争夺4项竞赛冠军，冠军获得者共有种可能.练习2用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色,(260)□ □ □练习3将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图中的五个区域内，要求相邻三 模型法（投信法） （1）可重复问题例1有5名同学报名参加4个课外活动小组，若每人限报1个，共有 _ 中不 同的报名方法•若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有种不同的涂色方法的两个区域的颜色都不相同，贝U 不同的涂色方法有种例1将三封信投入4个邮箱，不同的投法有_________ 种.例2有3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有____ 中不同的报名方案•例3有数学、物理、文学3个课外活动小组,6个同学报名，每人限报一组，一共有种报名的方法•（2）无重复问题例1把4张不同的参观券分给5个代表，每人最多分一张，参观券全部分完, 则不同的分法共有种•练习1五个工程队承建某个工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项, 其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有___种.（96）练习2从黄瓜，白菜，油菜，扁豆4中蔬菜中选3中，分别种在不同土质的三四间接法和排除法例1已知集合A a i ,a 2,a 3,a 4以集合B bb ， 合B 为值域能构成 _____ 不同函数•（ 14）例2从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数, 数，可得到 ____ 个不同的对数值.（17）块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法有种.（18）则以集合A 为定义域，以集分别作为对数的底数和真练习 1 用数字2，3组成四位数，且数字 2 ，3至少都出现一次，这样的四位数共有____ 个.（14 ）练习 2 用0，1，L ，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数个数为（252）。
两个基本计数原理
两个基本计数原理基本计数原理是概率论中的重要概念，用于计算和求解组合问题和排列问题。
其核心思想是通过分析事件的性质和条件，利用计数的方法，得到事件的可能性。
第一个基本计数原理是加法原理，也称做并事件的计数原理。
它指的是如果一个事件可以被分解为若干个互不相交的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的和。
假设有n1种物品和n2种物品，如果两种物品都相互独立地选择，那么一共有n1 + n2种选择的可能性。
例如，现在有一堆红色木块，绿色木块和蓝色木块，其中红色木块有n1种，绿色木块有n2种，蓝色木块有n3种。
如果要从这些木块中选择一个来搭建一个木块城堡，那么一共有n1 + n2 + n3种可能的选择。
第二个基本计数原理是乘法原理，也称做交事件的计数原理。
它指的是如果一个事件可以被分解为若干个相互独立的子事件，那么这个事件的发生总数等于这些子事件发生总数的乘积。
假设有n1种选择第一个事件的方式，n2种选择第二个事件的方式，n3种选择第三个事件的方式，以此类推，那么这些事件同时发生的总数等于n1 ×n2 ×n3 × ... 。
例如，现在有一张卡片，有n1种选择颜色的方式；另外还有一本书，有n2种选择封面的方式；还有一个背包，有n3种选择图案的方式。
如果要同时选择卡片颜色、书封面和背包图案，那么一共有n1 ×n2 ×n3种可能的选择。
综上所述，加法原理和乘法原理是组合问题和排列问题中常用的数学原理。
这两个原理为我们计算和分析事件的可能性提供了重要的数学工具。
通过应用这两个原理，我们可以解决各种各样的组合问题，例如计算排列的总数、选择可能性的总数、计算概率等。
这些原理在概率论、组合数学以及其他领域的应用非常广泛。
《两个基本计数原理》课件
决策树应用
决策树可以用于解决多阶段决策 问题，如资源分配、路径规划等
。
Part
03
分步计数原理的应用
组合数学问题
组合数学问题
分步计数原理在组合数学问题中有着广泛的应用。例如， 在排列组合、概率论和统计学等领域，分步计数原理可以 帮助我们计算不同事件同时发生的可能性。
排列组合问题
排列组合问题涉及到从n个不同元素中取出m个元素（ n>m）的所有排列的个数。分步计数原理可以帮助我们计 算这些排列的数量。
P(A) = m/n，其中m是 事件A发生的次数，n是 试验的总次数。
互斥事件
两个事件不能同时发生， 即两个事件的概率之和为 1。
决策树问题
决策树概念
决策树是一种表示决策过程的方 法，其中每个内部节点表示一个 决策，每个分支表示一个可能的 决策结果，每个叶节点表示一个
状态点 开始，按照决策逻辑逐步构建决
例如，一个骰子有6个面，每个面出现的概率是1/6，掷出骰子的总概率就是6个面各自概率 的和。
分步计数原理
01
分步计数原理也被称为乘法原理。
02
它的主要内容是：如果一个事件E的发生需要连续进行$n$个彼此互斥的子事件 $D_1, D_2, ..., D_n$，且这$n$个子事件的发生是两两独立的，那么事件E发生 的概率为：$P(E) = P(D_1) times P(D_2) times ... times P(D_n)$。
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排列
通过具体实例展示排列组 合的应用，帮助理解两个 基本计数原理。
STEP 03
组合
以某班级学生参加运动会 为例，计算选择不同项目 参赛的组合方式。
以某班级学生参加运动会 为例，每个项目可以由不 同学生报名，计算不同项 目的排列方式。
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种不同方案?
拓展（: 1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三
例2、用红、黄、蓝不同颜色的旗各三 面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆 上纵向排列，共可以组成多少种不同的信 号？
例3、为了确保电子信箱的安全，在注 册时，通常要设置电子信箱密码。在某网站 设置的信箱中， （1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个数字，这样的密码共有多少个？ （2）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的 1个。这样的密码共有多少个？ （3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个 数字中的一个。这样的密码共有多少个？
排数字问题
例4 用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位 的奇数? (2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000 的自然数? (3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位 数字不允许重复的四位数?
变式:
（1993年全国高考题）同室4人各写1张 贺年卡，先集中起来，然后每人从中各 拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡 不同的分配方式有( )
C1
解:如图,从总体上看A ,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法 从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条 第二类, m2 = 1×2 = 2 条 第三类, m3 = 1×2 = 2 条 根据分类计数原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。
N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步计数原理（乘法原理） 做一件事情，完成它需 要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第 二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同 的方法，那么完成这件事有
N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。
分类计数原理(加法原理)中，“完成一件
事，有n类方式”，即每种方式都可以独立地
完成这件事。进行分类时，要求各类方式彼此 之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一 种方法，都能独立完成这件事。只有满足这个 条件，才能直接用加法原理，否则不可以。
分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件
事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足
以完成这件事。如果完成一件事需要分成几个 步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有 步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立， 即相对于前一步的每一种方法，下一步有m种不 同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直 接用乘法原理。
4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路 可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可 通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
解:从总体上看,由甲到丙有
两类不同的走法,
第一类, 由甲经乙去丙,
又需分两步, 所以 m1 = 甲地
乙地
2×3 = 6 种不同的走法;
第二类, 由甲经丁去丙,
也需分两步, 所以 m2 = 4×2 = 8 种不同的走法;
所以从甲地到丙地共有
N = 6 + 8 = 14 种不同的 丁地
丙地
走法。
提示：对于有些较“复杂”的问题，往往不是单纯 的“分类”、“分步”就可解决的，而往往将两者结合使 用，一般是先“分类”，再在每一类中进行“分步”。
例1、某艺术组有9人，每人至少会钢 琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴， 3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各 一人，有多少种不同的选法？
Hale Waihona Puke 1.1 两个基本计数原理（二）
什么是分类计数原理？ 什么是分步计数原理？ 应用这两个原理时应注意什么问题？
分类计数原理（加法原理） 做一件事情，完成它可以 有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类 办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn 种不同的方法。那么完成这件事共有
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
问题拓展:
❖ (1) 若直线方程ax+by=0中的a,b可以从 0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字, 则方程所表示的不同的直线共有多少条?
(2)．集合 A={1,2,-3 },B={-1,-2,3,4}．从 A、B 中各取 1个元素作为点P(x,y) 的坐标．
2.如图,该电路, 从A到B共有多 少条不同的线 路可通电？
A
B
解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据分类计数原理, 从A到B共有 N=3+1+4=8
条不同的线路可通电。
当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2 类求解。
m1
点评: 我们可以把
A
m2
分类计数原理看成 B “并联电路”;分
……
步计数原理看成“
串联电路”。如图
mn
:
A m1
B m2 …... mn
课堂练习3
如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从它的一个顶点爬 到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？
（1）可以得到多少个不同的点？ （2）这些点中，位于第一象限的有几个？
(3)、某赛季足球比赛的记分规则
是：胜一场得3分，平一场得1分，
负一场得0分。一球队打完15场比
赛积33分，若不考虑顺序，该队
胜、平、负的情况共有（ ）
（A）5种
（B）4种
（C）3种
（D）6种
映射个数问题:
❖ 例5 设A={a,b,c,d},B={x,y,z},从A到B共有多 少种不同的映射?
两个基本计数原理二
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿