不可逆过程热力学简介

第六章 不可逆过程热力学简介

6.45 局部熵产生率

前面几章主要讨论了可逆过程或平衡态的热力学向题。对于不可逆过程，我们只能得到非常有限的信息。例如，根据热力学函数的不等式可以判断过程的方向；如果不可逆过程的初态和终态都是平衡态，可以通过初态和终态间热力学函数的关系求得整个过程的总效应；如果过程进行得足够缓慢也可以近似地把过程看作可逆过程进行计算，等等。但是平衡态热力学不可能考虑过程进行的速率，而在分析不可逆过程时，速率问题往往是一个中心问题。四十年代以后发展了不可逆过程的热力学。本章对不可逆过程热力学作一简略的介绍。 在不可逆过程中，系统处在非平衡状态。非平衡状态的描述一般来说是十分复杂的问题。我们限于讨论这样的情况，虽然整个系统处在非平衡状态，不过如果将系统分成若干个小部分，使每一部分仍然是含有大量粒子的宏观系统却可以看作处在局部的平衡状态。在这种情形下，每一部分的温度、压力、内能和熵等就都有确定的意义，我们称它们为局部的热力学量。我们假设，这些局部热力学量的改变仍然满足前面得到的基本热力学微分方程： （45.1） i

i

i dn pdV dU TdS ∑−+=μ对于广延量(例如体积、内能和嫡等)，整个系统的热力学量是相应的局部热力学量之和；对于强度量(例如温度，压力、化学势等)，整个系统不具有统一的数值。

热力学第二定律对不可逆过程得到了下述不等式 T

Q d dS > （45.2） 可以把(45. 2)式写成 S d T

Q d S d S d dS i i e +=+= (45.3) 式中T 是直接从外界吸收热量Q d 的那一部分系统的温度。T Q d S d e =

是由于从外界吸取热量Q d 所引起的熵变，它是可正可负的，取决于系统是吸热还是放热。是恒正的，是系统内部的不可逆过程所引起的熵产生。我们假设，在任何宏观区域中由不可逆过程引起的熵产生都是正的。设想系统内发生一个不可逆过程，如果将系统分成两个宏观区域1和2，系统中的熵产生可写为

S d i

21S d S d S d i i i +=我们的假设要求

0,021>>S d S d i i 而完全排除例如，但的可能性。这就是说，我们假设(45.2)式对于局部熵也成立。

0,021<>S d S d i i 021>+S d S d i i 公式(45.1)和(45.2)对于局部热力学量仍然成立在热力学理论中是假设，其正确性只能由其推论与实际相符而得到肯定。统计物理理论可以分析这假设的正确性及其适用的限度。 在不可逆过程热力学中，需要计算各种不可逆过程的熵产生率。这里举两个例子。 当物体各处温度不均匀时，物体内部将发生热传导过程。我们首先考虑单纯的热传导

过程，即在过程中没有物质的迁移，并忽略体积的膨胀。考虑物体中一个固定的体积元。在单纯的热传导过程中，体积元中物质内能的增加是热量流入的结果。以u 表示体积元中的内能密度，表示单位时间内通达单位截面的热量，名为热流密度或热流通量，即有

q J q J t

u ⋅−∇=∂∂ (45.4) (45. 4)式表达能量守恒定律。

在没有物质滴动和体积膨胀时，热力学基本微分方程(45.1)为

(45.5)

du Tds =式中的s 和u 是体积元中的熵密度和内能密度。由(45.5)式得熵密度的增加率为

t

u T t s ∂∂=∂∂1 （45.6） 将（45.4）代入，得

q J T t s ⋅∇−=∂∂1 但 T

J T J J T q q q 11∇⋅−⋅∇=⋅∇ （45.7） (45.7)式指出，熵密度增加率可分为两部分。T J q

⋅∇−是从体积元外流入的热量所引起的局部熵密度的增加率。T J q 称为熵流密度或熵流通量。T

J q 1∇⋅是体积元中的热传导过程所引起的局部熵密度的产生率。以dt

S d i 表熵密度的产生率，有 T

J dt S d q i 1∇⋅= （45.8） 前面说过，温度的不均匀性是引起热传导的原因。如果把称为热流通量，把q J T X q 1∇

=称为热流动力，则熵密度产生率可写为热流通量与热流动力的乘积：

q q i X J dt

S d ⋅= （45.9） 假设热传导过程遵从付里叶(Fourier)定律：

(45.10)

T K J q ∇−=K 称为热传导系数，它是一个正数，则(45.8)式可以表为

()01222>∇=∇⋅−=∇⋅=T

T K T T J T J dt S d q q i 由此可知，在热传导过程中的局部熵产生率是恒正的。

如果除了温度不均匀之外物体性质(例如化学性质或电学性质)也不均匀，即物体各处的温度和化学势不等，则除了热传导之外,还特有物质的输运。现在讨论同时存在热传导和物质输运时的局部熵产生率。

考虑物体中的一个固定的体积元。体积元中粒子数密度n 的变化满足连续方程 0=⋅∇+∂∂n J t

n (45.11) 共中是粒子流密度，即单位时间内通过单位截面的粒子数．（45.11)式是物质守恒定律的表达式。

n J 类似地，体积元中物质的内能密度的变化率满足连续方程

0=⋅∇+∂∂u J t

u (45.12) u J 称为内能流密度。(45.12)式是能量守恒定律的表达式。

(45.1)式告诉我们，当数子数增加dn 时，内能的增加为dn μ，其中μ是一个分子的化学势。因此，当存在粒子流时，内能流密度可表为

u J n q u J J J μ+= (45.13)

取内能流密度是热流密度与粒子流所携带的能流密度之和。

将(45.13)式代入(45.12)式得

(n q J J t

u μ⋅∇−⋅−∇=∂∂) (45.14) 当忽略体积的变化时，基本热力学方程(45.1)可表为

dn du Tds μ−= (45.15)

其中s,u 和n 分别是熵，内能和粒子数密度。

由(45.15)式可得，熵密度的增加率为

t

n T t u T t S ∂∂−∂∂=∂∂μ1 (45.16) 将(45.11)和(45.14)式代入,得

()n n q J T J T J T t S ⋅∇+⋅∇−⋅∇−=∂∂μμ11 μ∇−∇⋅+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−∇=T J

T J T J n q q 1 (45.17) (45.17)式右方第一项是从体积元外流入的热量所引起的熵密度的增加率，第二项是体积元中的热传导过程历引起的熵密度产生率，第三项是体积元中的物质输运过程所引起的熵密度产生率。如果把称为物质流通量，称为物质流动力，则烷密度产生率可表为两种通景灼动力的乘积之和：

n J n X n n q q i X J X J dt

S d ⋅+⋅= (45.18)