2020年高中物理竞赛—电磁学B版：第七章 电磁波的辐射(5-7对称线天线和天线阵的概念等)(共44

基尔霍夫公式是上述思想的数学表述。设闭合面S中的源在 闭合面S上产生的场为ES及HS，在闭合面外任一点P产生的场为 EP及HP，如图7 - 13所示。
图7-13 惠更斯原理
2 k 2 0
式中k2=ω2με。为方便起见，取P点为坐标原点(r=0)。现引入另 一标量函数G(r)，它满足方程
2G(r) k 2G(r) (r)
半波振子的辐射电阻：
D 2
0
0
F
2
4 ( ,
)
Rr
sin
2Pr
I
2 m
d
73
2
.128
c os
4 cos
2
2
s
in
d
0 0 sin
2
2 1.641
cos2 cos
1.2188
0
2 d sin
7.5.2 天线阵的概念 图 7 - 9 N元均匀直线阵
设相邻阵元的间距为d，各阵元上电流的振幅为1，但相位 自第一个阵元起依次超前一个相角β，即
V (E2 J1 E1 J2 )dV 0
注意到空间区域V3为无源区，因此
V3 (E2 J1 E1 J2 )dV 0
综上可见，
V1 E2 J1dV V2 E1 J2dV
由卡森互易定理知， 两种情况下的源与场的关系为
V1 E2 J1dV V E1 J2dV
当天线为细导线时，对于线电流，JdV=Idl，从而上式变为
cos
cos
f ( , ) F ( , ) 2
sin
图 7 - 8 对称振子的E面方向图
2) 对称振子的辐射功率和辐射电阻
2
Pr S Sav dS 0
0
E 2 r2 sindd 20
30I
2 m
0
[cos(klcos ) coskl]2 d sin
半波振子的辐射功率为
z
e jkr r
ez
e jkr r
cos
e jkr
r
jk
1 r
对于远区场，
n
e |r
jk|r r '|
r'|
jk
e jkr r
cos
(r) j S0 dS (1 cos )e jkr 2r
(r) j S0 (r)dS' (1 cos ' )e jkr|rr'| 2 | r r'|
E
e E
j
Idz
2r
s
ine
dE 1
j 60I (z)dz sin 0r1
e jkr1
dE 2
j 60I (z)dz sin e jkr2 0r2
r1 r | z | cos , r2 r | z | cos
dE dE1 dE 2
j 60I ( z)dz sin [e jk (r|z|cos ) e ] jk (r|z|cos ) 0r
S [(E1 H2 ) (E2 H1)] ndS 0
上式是洛仑兹互易定理的简化形式。
2. 卡森互易定理 图 7 - 16 卡森互易定理用图
V (E2 J1 E1 J2 )dV V1V2 V3 (E2 J1 E1 J2 )dV 0
即当两个电流源均在V时， 仍然有下式成立：
解： 设口径面位于z=0平面，如图7 - 15所示。口径场的某一直 角坐标分量为
ES
E e jkz S0
式中ES0是常数。
图 7 - 15 均匀同相矩形口径面的远区辐射场
EP
j
ES0
2
b b
a a
e jkr (1 cos ')dx' dy'
r
式中r为口径面上(x′, y′, 0)点到场点P(x, y, z)的距离：
(A B) B ( A) A( B)
(E1 H2 ) H2 ( E1) E1 ( H2 )
E jH, H J jH
(E1 H2 ) H2 ( jH1) E1 (J2 jE2 )
jH1 H2 E1 E2 E1 J2
(E2 H1) H1 ( jH2 ) E2 (J1 jE1)
r
e |r
jk |r r '|
r'|
e |r
jk |r r '|
r'|
n
HS
(r' )dS
7.6.2 口径面的辐射场 图7-14 惠更斯元
设惠更斯元上场的传播方向为z方向，那么惠更斯元上的
场可以表示为
S S0 e jkz
n
z0
z
z0
jk S0
n
e jk|rr '| | r r'|
cosm
kd
此式表明天线阵的最大辐射方向φm取决于相邻阵元之间的 电流相位差β。改变β，就可以改变天线阵的最大辐射方向，这 就是相控阵天线的工作原理。当β=-kd时，最大辐射方向φm=0， 所以天线阵的最大辐射方向在其轴线方向上。这种均匀直线阵 称为端射式天线阵。
7.6 面天线的辐射场
1.
这种方法是先求出天线的金属导体面在初级辐射器照射下产 生的感应面电流分布，然后计算此电流在外部空间产生的辐射场。
2. 口面场法
这种方法包括两部分：先作一个包围天线的封闭面，求出此 封闭面上的场(称为解内场问题)；然后根据惠更斯原理，利用该 封闭面上的场求出空间的辐射场(称为解外场问题)。由于金属封 闭面上无电磁场，故实际上只需考虑封闭面的开口部分的辐射作 用，即口面场的辐射。
7.6.1
惠更斯原理指出，包围波源的闭合面(波阵面)上任一点的场 均可认为是二次波源，它们产生球面子波，闭合面外任一点的 场可由闭合面上的场(二次波源)的叠加决定。
波振子。其远区辐射场为
E
j
60Im
cos
2
cos
r sin
e jkr
H
E
0
2. 对称振子的电参数
1)
f ( , ) | E( , ) | cos(kl cos ) coskl
60 Im / r
sin
F ( , ) f ( , )
fmax
式中fmax是f(θ，φ)的最大值。对于半波振子，有
E1
2
sin
E1 fN ( )
2
式中：
sin N
fN ( )
2
sin
2
dfN ( ) d d d
sin N
2
sin
N sin cos N 1 cos sin N
2 2 22 2 2
sin2
0
2
2
tan
N
N
2
2
此式仅当Ψ=0时成立，所以阵函数出现最大值的条件为
0
图7-10 N元均匀直线阵
Pr
30I
2 m
0
cos
2
cos
sin
2
d
30I
2 m
1.2188
36.564I
2 m
(W )
由于对称振子天线的辐射功率与辐射电阻的关系为
因此辐射电阻为
Pr
1 2
I
2 m
Rr
Pr
2Pr
I
2 m
60
0
[cos(klcos ) coskl]2 d sin
此式积分可以用正弦积分和余弦积分表示， 但更直接的 计算是作数值积分。
r (x x')2 ( y y')2 z2 x2 y2 z2 2xx'2 yy'x'2 y'2
r02 2xx'2 yy' x'2 y'2 r0
1
2 r02
( xx'
yy' )
x' r0
2
y' r0
2
对于远区， r0>>x′, r0>>y′，上式可以近似为
r
r0
xx' yy' r0
(r) j
S0 (r' )dS' (1 cos ' )e jk|rr'|dS'
2 S | r r'|
例 7 - 8 设一无限大金属平面位于z=0坐标平面，其上开有口 径为2a×2b的矩形孔。现在让我们来求一均匀平面波从-z向+z方 向垂直投射到这块金属板上通过矩形口径时，均匀同相矩形口径 面的远区辐射场。
2020高中物理竞赛
电磁学B版 7.5—7.7
7.5 对称线天线和天线阵的概念
7.5.1 对称振子天线 1. 对称振子的电流
分布和远区场
图 7 - 7 臂长为l的对称振子
如图7-7所示，设对称振子沿z轴放置，振子中心位于坐标原 点，则振子上的电流分布表示式为
I (z) Im sin[k(l | z |)]
j 120Im sin[k(l | z |)]dz sin cos(k | z | cos ) e jkr 0r
将dEθ从0到l对z积分，便得对称振子的辐射场
E
j 60 Im r
cos
(k
l
cos ) sin
cos
k
l
e
jkr
其远区磁场与电场的关系仍为
H E /120
对称振子最常见的长度是l=λ/4，即振子全长2l=λ/2，称为半
j 2abES0 (1 cos ) sin(kasin cos) sin(kbsin cos) e jkr0
r0
kasin cos kbsin cos
由上式可知，均匀同相矩形口径场的方向性函数为
F ( ,) (1 cos ) sin(kasin cos) sin(kbsin cos) kasin cos kbsin cos
(r) 1
4
S
(r')
n
e jk|r r '| | r r'|
e jk|rr '| | r r'|
n
(r ' ) dS
ES
(r)
1
4
S
ES (r')
r
e |r
jk |r r '|
r'|
e |r
jk |r r '|
r'|
n
ES
(r' )dS
H S
(r)
1
4
S
HS (r')
当r0>>a、r0>>b时，可以近似取θ≈θ′, 1/r≈1/r0。如果场点采用球坐 标表示，即取x=r0sinθcosφ，y=r0sinθsinφ，那么
EP (r0, ,)
j
E e jkr0 S0 2r0
(1 cos )
a
dx'
a
eb jk sin ( x'cos y'sin )dy'
b
最大辐射方向在θ=0处， 此时，
EP
EPmax
j
4abES0
r0
e jkr0
P
|
Sav
| 4ab
4ab | ES0
2
|2
P0
4r02
E Pm a x
2
2
32a2b2 ES0 2
2
D
P0 P
相等电场强度
16ab 2
4 2
S
7.7 互 易 定 理
假设空间区域V1中的电流源J1产生的电磁场为E1和H1，空间 区域V2中的电流源J2产生的电磁场为E2和H2，两电流源振荡在同 一频率上，且空间区域V1和V2及它们之外的空间区域V3中的媒质 是线性的，根据矢量恒等式
E1
dl1
U1
处
外， 电场切向分量仍为零，在mn段有由天线2上电压U2产生的短
路电流I2=I12。 因此上式左边应等于I12U1。同理，该式右边等于
I21U2。于是
I12U1 I21U2
令天线1对天线2的互导纳为Y12=I12/U2，天线2对天线1的互导纳为 Y21=I21/U1，则上式可写为
Ii 1e j(i1) (i 1,2, , N )
E E1 E2 EN E1[1 e j e j2 e j( N 1) ]
式中E1、E2、…、EN分别为阵元1、2、…、N在场点所产生的远 区辐射场。
如果天线阵有每个阵元都相同的半波振子，
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E
E1
1 e jN 1 e j
sin N
l1l2 I2E1 dl l1l2 I1E2 dl
即
l1 I12E1 dl1 l2 I22E1 dl2 l1 I11E2 dl1 l2 I12E2 dl2
如果天线为理想导体，其上电场切向分量为零，则上式左边第二
项积分和右边第一项积分为零；在l1上除输入端mn
m n
jH2 H1 E2 E1 E2 J1
(E1 H2 ) (E2 H1) E2 J1 E1 J2
S (E1 H2 ) (E2 H1) ndS V (E2 J1 E1 J2 )dV
1. 洛仑兹互易定理 设两个电流源J1和J2均在空间区域V外，则空间区域V内为无 源空间，因而式(7 - 86)右端的体积分等于零，故其左边的封闭面 积也等于零， 即
S0 n
n
S0 r
r
G
dS G
GdS
r ra S0
ra S0 r
dS dS dS 2dV k 2dV
S0 r
S0 n
S0
V0
V0
P
G G dS
S n n
当P点在r点处时，格林函数 G e jk|rr'| 闭合面S外任一点r处，
4 | r r'|
G(r) e jkr
4r
标量函数G(r)称为标量格林函数，其物理意义为在r=0处的点源 在距源点r处产生的标量场。
[2G G2 ]dV
G G dS
V V0
S S0 S n
n
2G G2 (k 2G) G(k 2 ) 0
S0面上的面积分为
G G dS G G dS
N
sin
fN ( )
2
sin
2
sin N
F '( ) fN ( )
2
sin
2
当各个阵元的激励电流同相时，β=0, Ψ=kdcosφ，最大辐射
条件Ψ=0对应于
(2m 1) (m 0,1,2,...)
2
图7-11 四阵元侧射天线阵的方向图
图7-12 八阵元端射式天线阵的方向图
cos