《高等数学》单元自测题

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第一章 极限与函数的连续性

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一、 填空题：

1．设()x

x x f +-=11，则()[]x f f =_____________。 2． =<<+-∞→)0(lim b a b a b a n

n n

n n ________ __。 3． ()x

x x 3021lim -→=_______ ___。 4． =++∞→x

x x x 1sin 2332lim 2___ _______。 5． 已知0→x 时()11312-+ax

与1cos -x 是等价无穷小，则=a __________。

6． 函数

()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=0,1sin ,0, 0 ,0, e 1x x x x x x f x

的连续区间是_____ _____。

二、 选择题：

1．设函数()x f 的定义域是[]1,0，2

10<

（A ）[]a a -1,； （B ）[]a a +1,； （C ）[]a a --1,； (D) []a a +-1,。 2．已知极限0)2(lim 2=++∞→kn n

n n ，则常数=k （ ）。 (A) 1- ； (B) 0 ；(C) 1； (D) 2 。

3．若()A x f x x =→0

lim ，则下面选项中不正确的是（ ）。 (A) α+=A x f )(，其中α为无穷小； (B))(x f 在0x 点可以无意义；

(C))(0x f A = ； (D) 若0>A ，则在0x 的某一去心邻域内0)(>x f 。

4． 当0→x 时，下列哪一个函数不是其他函数的等价无穷小（ ）。

(A) 2sin x ； (B) 2cos 1x -； (C) ()21ln x +； (D) ()

1e -x x 。 5．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>=0

),1ln(1

0,0,

sin )(x x x x b x x ax x f 在点0=x 处连续，则常数b a ,的值为（ ）。 (A) 0,0==b a ； (B) 1,1==b a ；

(C) 1,1-=-=b a ； (D)1,1-==b a 。

6． 方程014=--x x 至少有一个根的区间是（ ）。

(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛210，； (B) ⎪⎭⎫

⎝⎛121，； (C) ()21，； (D)

()32，。 三、 计算下列各题：

1．求函数1e e +=x x

y 的反函数，并求反函数的定义域。

2．求极限()11lim --+∞→n n n n 。

3．求极限⎪⎭⎫ ⎝

⎛++++++∞→n n n n n n 2222211lim 。

4．求极限⎪⎭⎫

⎝⎛---→1311

lim 31x x x 。

5．设82lim =⎪⎭⎫

⎝⎛-+∞→x

x a x

a x ，求常数a 。

6．求极限()212

0tan 31lim x x x +→。

7．讨论函数()()()1122--=

x x x x x f 的间断点及其类型。

四、 证明题：

1. 设21=x ，)1(211n

n n x x x +=+() ,2,1=n ，证明极限n n x ∞→lim 存在，并求极限值。

2. 设函数()x f 在[]b a ,上连续，且()b x f a <<。证明至少存在一点()b a ,∈ξ，使()ξξ=f 。