第22讲 正弦稳态电路的功率
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正弦电路的功率
《电工技术》
知识点：正弦交流电路的功率
1. 瞬时功率
=⋅+ωωϕI U p t t sin sin()m m =-+ϕωϕI U t 2
[cos cos(2)m
m （设电感性电路）
=⋅p i u
2 . 平均功率（有功功率）P
u与i 的相
位差角
总电压总电流
1 UI
pdt ϕ
cos
T
P T =
=⎰
上述公式为有功功率的一般表达式，可推广到任何复杂交流电路，其有功功率等于电阻上消耗的功率。
===2
R R
P P U I I R
功率因数
ϕ
cos
=-=-=L C L C Q I X I X I U U IU 22sin ϕ
)(Q ＝Q L +（-Q C ） 3 . 无功功率 Q
单位：V A 、kV A
4. 视在功率 S。
电源（发电机、变压器等）可能提供的最大功率（额定电压×额定电流）
ϕ U U R U L -U C S=UI
---功率三角形
5 . 有功功率、无功功率与视在功率间的关系
=S U I
视在功率 =Q U I sin ϕ无功功率
=P U I cos ϕ有功功率
---功率三角形 S
Q P 功率三角形 U R
U
+ U U L C 电压三角形
阻抗
三角
形 R X L -X C ϕ
THE END。
《电路基础》第22讲 正弦稳态电路的计算
已知：U=115V , U1=55.4V ,
U2=80V , R1=32 , f=50Hz 求： 线圈的电阻R2和电感L2 。
解一： I U1 / R1 55.4 / 32
U
I
(R1 R2 )2 (L)2
U2
I
R22 (L)2
115
55.4
(32 R2 )2 (314L)2 32
80
55.4
i2 0.182 2 cos(314t 20) A
i3 0.57 2 cos(314 t 70) A
14
例4. 已知：IS 490o A , Z1 Z 2 j30Ω
Z3 30Ω , Z 45Ω 求：I.
Z2 I
解： 法一：电源变换
IS
Z1 Z3 Z
Z1
//
Z3
30( j30) 30 j30
∑i (t) = 0 ∀t ∑I= 0
∑u (t) = 0 ∀t ∑U= 0
3. 基本元件VCR（VAR）的相量形式
UR RIR
UR RIR
UL jL IL
U L LIL
UC
1
jC
IC
j
1
C
IC
UC
1
C
IC
∑Im = 0 ∑Um = 0
u i
u
i
2
u
i
2
7
3. 感抗、容抗、电抗、复阻抗、感纳、容纳、电纳、复导纳
i2 R1 i1
i3 C
+
R2
_u
L
I1 I2 R1
I3
j 1 C
+
R2
U _
Z1
Z2
jL
正弦稳态电路功率的分析
【标题】正弦稳态电路功率的分析【作者】吕晓蓉【关键词】功率功率因数无功补偿【指导老师】彭厚德【专业】电子信息科学与技术【正文】1. 前言在电工和无线电技术等领域中存在着许多周期性的正弦、非正弦电压、电流（或信号）。
对于非正弦电压、电流（或信号），可利用傅里叶变换，将周期性时间函数分解为许多不同频率和幅值的正弦时间函数之和。
然后应用叠加定理对每一频率的正弦时间函数，用相量法计算它们的稳态响应，将所有这些响应叠加起来，就可以得到周期性时间函数激励下的稳态响应。
对称的三相非正弦激励下的三相电路，也可以根据叠加定理，先分别计算各谐波电压单独作用时三相电路中的电压、电流谐波，然后叠加求出各电压、电流[1] 。
电路的正弦稳态是电路在正弦电压（流）的激励作用下，电路最终所达到的稳定状态。
实际上，当电路中的自由响应衰减到可以不计时，便可认为电路进入了稳态。
在正弦稳态下，电路中所有电流、电压都依电源的频率按正弦方式变化。
按正弦规律变化的物理量称为正弦量。
分析正弦电路，就是要找出正弦电路的变化规律，这个规律就是描述正弦电路方程的解。
在时域中，描述正弦电路的方程是常系数微分（或积分）方程，它的完全解由两部分组成：一部分是对应齐次方程的通解--- 这部分解与激励性质无关，它可通过一般解微分方程的方法而求得；另一部分是方程的特解它取决于激励形式。
以正弦电流为例，数学表达式。
式中三个量、、为正弦量的三要素。
称为正弦电流的振幅（又称最大值或峰值）。
它表示正弦电流变化过程中所能达到的最大值。
称为正弦电流的角频率，它表达了正弦量的相位角（）随时间变化的速度，或者说表示单位时间增加的相位角。
描述交流电变化快慢除用角频率外，还用周期T 来描述，周期T 是指交流电变化一周所用的时间，即交流电从零开始变到最大，然后逐渐减小到零，接着反方向变到负的最大，最后又回到零所需时间。
还可用频率f 来描述交流电变化快慢。
频率是指1S 内交流电重复出现的次数。
第22讲 正弦稳态电路的功率要点
4. 视在功率(表观功率)S 定义： S
def
1 UI U m I m 2
单位 : VA (伏安)
反映发电机、变压器等电气设备的容量。 例如某变压器的容量为560 kVA。如果负载是纯电阻, 则λ=cosθ= 1, 其传输功率为560 kW ; 如果负载是感 性 的 , 譬 如 λ=cosθ=0.5 时 , 它 所 传 输 的 有 功 功 率 为 280kW 。所以这类设备只能用视在功率 S 来衡量其容 量。
S Sk
k 1
b
例. 已知如图，求各支路的复功率。
I 2
+
10∠0o A
U
I 1
10W j25W
5W -j15W
_
解一： 100o [(10 j 25) //(5 j15)] 236(37.1o ) V U
电流源: ~ o o S发 236(37.1 ) 100 1882 j1424 VA
U
_
负 载
P jQ j Se
复功率守恒
~ Sk 0
k 1 b
b
U
k 1
b
k
Ik 0
*
(P
k 1
k
jQk ) 0
b Pk 0 k 1 b Qk 0 k 1
* 复功率守恒 , 不等于视在功率守恒 .
一般情况下：
PC=UIcos=UIcos(-90)=0 C QC =UIsin =UIsin (-90) = -UI= -U2/XC=-I2XC<0
5 复功率
记
~ * 为复功率，单位VA S U I
j u
正弦稳态电路分析和功率计算
仍为感性。
(5) 导纳三角形
Y G B
2 2
|Y|
|Y|
|B| G
(6) 导纳是频率的函数
Y(j) = G() + jB()
例 已知 R = 15 , L = 10mH , C = 100µ F , 求 uS(t)分别 2 cos 500 t V 2 cos 3000 t V 为 120 与 120 时的稳态电 流 i(t)，并画出相量图。
1 I 记为 Y。 即 Y 。单位：西门子（S）. Z U
元件
I
Y
U
I Y U
—— 欧姆定律的相量形式
U Z I
1 I Y Z U
一端口
+ U
I
N0
—— 输入阻抗 (导纳)
N 只含阻抗与受控源
3. 分析
I Y U
(1) 元件与不含独立源的一端口的 VCR 统一表达为： ，不再表现为微积分的关系； I Y U I (2) Y 为一复数，记为 Y = G + jB . U 其中： G — 电导分量 (S)； B — 电纳分量 (S) 1 BL — 感纳 BC = C — 容纳； L I I I 2 2 (3) Y Y i u Y G B U U U
正弦稳态电路：（ m个网孔，m个网孔电流 Im1 , Im2 , … Imm）
Z Im Im2 Z Im m U 11 1 Z 12 1 m S 11 I Z I Z I U Z 21 m 1 22 m 2 2m m m S22 Z I Z I Z I U 1 m 1 m 2 m 2 m mm m Sm m m
正弦稳态电路的功率2
无功功率是交流电动机和变压器运行的必要条件
四.视在功率
视在功率一般不守恒
S UI 单位： V A
又叫容量，表示电源有可能提供的最大有功功率
有功功率： P UI cos 单位： W 无功功率： Q UI sin 单位： var
视在功率： S P2 Q2 单位：V A
Z
I
X
U
U X
I
S
Q
iR 2IR sin ω t
pR
+
+
u
iR
oo
t
pR uiR 2U sint 2IR sin ωt
UIR[1 cos(2t)]
2sin2 1 cos 2
pR 0
电阻总是吸收功率
2.电感的瞬时功率
i
+
U
u -
L L IL
u 2U sinωt
iL 2I L sin (t 90o )
cos P P
S P2 Q2
提高cos 的意义：
（1）提高电源的利用率 （2）减小线路的功率损耗
提高功率因数的方法 P cos
S
S1 S
Q1
1
Q
P
Q1
P1
有功功率不变，减小视在功率，需减少无功功率 视在功率不变，增大有功功率, 需减少无功功率
R
U R
P
五. 功率因数
有功功率与视在功率的比值 P cos
I
S
++
U Z
-
Z R jX
U
Z
I
R
0 cos 1
对电源利用 率的衡量 功率因数角
X
X 0 ， 0 ， 感性 ， 滞后的功率因数 X 0 ， 0， 容性 ， 超前的功率因数
正弦稳态电路的功率、 复功率 、最大功率传输
U2 XL
0
i
容性负载
+ u -
C
PC=UIcos(-90)=0
发出无功
QC =UIsin (-90)= -UI I 2 X C
U2 XC
0
8
电压、电流的有 UR _
•
U
P UI cos URI
•
+
U_
R+ UX_ jX
U X Q UI sin UX I
不明显。因此一般将cos 提高到0.9左右即可。
21
§9-6 最大功率传输
I
有
源 网 络
负 等效电路 载
Zeq
+
•
U OC
ZL
-
Zeq= Req + jXeq， ZL= RL + jXL
Z=Zeq+ZL= (Req+RL) + j(Xeq+XL)
问：Zeq给定，ZL取何值时获得最大功率？
I
U OC
C
P
U
2
(tanφ1
tanφ2 )
+R
U
_
L
C IL
10 103 (tg53.13 tg25.84) 557 F
314 2202
未并电容时：
I
IL
U
P
cos1
10 103 220 0.6
75.8A
并联电容后：
I
P
10 103
50.5A
U cos2 220 0.9
20
若要使功率因数从0.9再提高到0.95 , 试问还应增
•
•
•
•
I UR
正弦稳态的功率
2
PL UocI I 2 Ro
再对电流求导数，并令其等于零
dPL U oc 2 IR o 0 dI
次导数，并令其小于零
U oc 2 Ro RL ＝Ro I
得到极大值或极小值的条件是RL=Ro。再对电流I求一
d 2 PL 2 Ro 0 2 dI
上式表明在Ro>0的前提下，负载获得最大功率的条件 是
复功率的虚部Q=UIsin称为无功功率，它反映电源和 单口网络内储能元件之间的能量交换情况，为与平均功率
相区别，单位为乏(var)。
复功率的模称为视在功率，它表示一个电气设备的容
量，是单口网络所吸收平均功率的最大值，为与其它功率
相区别，用伏安(VA)为单位。例如我们说某个发电机的容 量为100kVA，而不说其容量为100kW。
当单口网络呈现纯电阻时，功率因数角为零以及功 率因数cos=1，功率利用程度最高。当单口网络等效为一
个电阻与电感或电容连接时，即单口呈现电感性或电容性
时，功率因数角=090以及功率因数cos<1，以致于 P<UI。为了提高电能的利用效率，电力部门采用各种措施 力求提高功率因数。
例11-1 图(a)表示电压源向一个电感性负载供电的电路模 型，试用并联电容的方法来提高负载的功率因数。
由上可见，采用共轭匹配网络，负载获得的平均功率
将大大增加。
例11-2 图(a)电路工作于正弦稳态，已知电压源电压为
uS (t ) 2 2 cos t V ，求电压源发出的平均功率。
解：图a)电路的相量模型，如图(b)所示。先求出连接电压
源单口网络的等效阻抗
Z 0.5 j1.5 ( j1)(j1 1 j1) 0.5 j1.5 0.5 j0.5 (1 j1) 1 j1
正弦稳态电路有功无功文档
定义 P UI cos 为有功功率 单位为瓦特（W） 定义 Q UI sin 为无功功率 单位为乏（var）
（有功功率和无功功率的动态演示见视频） 有功功率表征了电阻、电源等平均吸收或者发出功率的能力。 有功功率又称平均功率。 无功功率表征了电容、电感等中转（吞吐）功率的能力。
电阻、电容和电感的有功功率和无功功率
（以上内容通过视频中示波器显示的波形可以看出，
并由此提出后面的两个关键问题）
问题的提出
• 第一个问题：
电阻始终吸收功率比较容易理解，而电容和电感
在一个周期内发出功率等于吸收功率，那岂不是 好象电容和电感什么都没做，没有起到任何作用？
• 第二个问题：
正弦稳态电路的支路功率都随时间变化， 我们又该怎样定量的衡量正弦稳态电路的功率呢？
电路概念和生活实例的类比
（动画演示过程见视频）
有功功率和无功功率表达式的推导
设正弦稳态电路任意一条支路
电压 u(t ) 2U cos(t u ) 电流 i(t ) 2I cos(t i )
则该支路任一时刻的功率为
p(t ) u(t )i(t ) 2UI cos(t u ) cos(t i )
例题
PR U R I I 2 R
R 30
U Z I
U 50 Z 50 I 1
Z R j L
Z R 2 2 L2 50
L 0.4H
QL U L I LI 2 40 var
UI cos(2t u i ) UI cos(u i )
u i )
UI cos 2t 2u (u i ) UI cos(u i )
UI cos(2t 2u ) cos(u i ) UI sin(2t 2u )sin(u i ) UI cos(u i )
（有功功率和无功功率的动态演示见视频） 有功功率表征了电阻、电源等平均吸收或者发出功率的能力。 有功功率又称平均功率。 无功功率表征了电容、电感等中转（吞吐）功率的能力。
电阻、电容和电感的有功功率和无功功率
（以上内容通过视频中示波器显示的波形可以看出，
并由此提出后面的两个关键问题）
问题的提出
• 第一个问题：
电阻始终吸收功率比较容易理解，而电容和电感
在一个周期内发出功率等于吸收功率，那岂不是 好象电容和电感什么都没做，没有起到任何作用？
• 第二个问题：
正弦稳态电路的支路功率都随时间变化， 我们又该怎样定量的衡量正弦稳态电路的功率呢？
电路概念和生活实例的类比
（动画演示过程见视频）
有功功率和无功功率表达式的推导
设正弦稳态电路任意一条支路
电压 u(t ) 2U cos(t u ) 电流 i(t ) 2I cos(t i )
则该支路任一时刻的功率为
p(t ) u(t )i(t ) 2UI cos(t u ) cos(t i )
例题
PR U R I I 2 R
R 30
U Z I
U 50 Z 50 I 1
Z R j L
Z R 2 2 L2 50
L 0.4H
QL U L I LI 2 40 var
UI cos(2t u i ) UI cos(u i )
u i )
UI cos 2t 2u (u i ) UI cos(u i )
UI cos(2t 2u ) cos(u i ) UI sin(2t 2u )sin(u i ) UI cos(u i )
第22讲 正弦稳态功率 三相电路(1)
第 二十二 讲
1
第九章
9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 9-6 9-7
正弦稳态功率 三相电路
基本概念 电阻的功率 电感、电容的功率 单口网络的功率 复功率 复功率守恒 正弦稳态最大功率传递定理 三相电路
2
本章教学要求
1、进一步理解功率与能量的概念； 2、熟练掌握正弦稳态电路中电阻的功率； 3、理解正弦稳态电路中电容、电感的储能； 4、掌握正弦稳态单口网络平均功率和无功功率的计 算方法 ；
2
计算方法： 用公式计算：Q=UIsin
用无功功率守恒计算： Q I X i 或
i 1 2 i
n
U i2 Q i 1 X i
n
用贮能公式计算：
Q 2 (WL WC )
16
4、视在功率 功率三角形 功率因数
视在功率：
S
Z
S U I 表示设备的容量。单位：伏安（VA）
1885 j1423 VA
两种解法，都验证了复功率的平衡关系，且计算出的电流源 25 发出的总复功率也是一致的。
例9-12 已知电路如图，求 两负载的复功率、 总电流及总功率因 数λ 。
解：
10000 负载1的视在功率 S1 12500(VA ) 0.8 阻抗角 1 cos 1 0.8 36.9o 无功功率 Q1 S1 sin( 36.9o ) 7500( var )
~ ~ ~ 总复功率 S S1 S 2 25000 j12500（VA）
o 2795126.56（ VA）
27
例9-12 （续）
，则
I I i
的模即为视在功率S，幅角即电路的阻抗角。 18 S
1
第九章
9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 9-6 9-7
正弦稳态功率 三相电路
基本概念 电阻的功率 电感、电容的功率 单口网络的功率 复功率 复功率守恒 正弦稳态最大功率传递定理 三相电路
2
本章教学要求
1、进一步理解功率与能量的概念； 2、熟练掌握正弦稳态电路中电阻的功率； 3、理解正弦稳态电路中电容、电感的储能； 4、掌握正弦稳态单口网络平均功率和无功功率的计 算方法 ；
2
计算方法： 用公式计算：Q=UIsin
用无功功率守恒计算： Q I X i 或
i 1 2 i
n
U i2 Q i 1 X i
n
用贮能公式计算：
Q 2 (WL WC )
16
4、视在功率 功率三角形 功率因数
视在功率：
S
Z
S U I 表示设备的容量。单位：伏安（VA）
1885 j1423 VA
两种解法，都验证了复功率的平衡关系，且计算出的电流源 25 发出的总复功率也是一致的。
例9-12 已知电路如图，求 两负载的复功率、 总电流及总功率因 数λ 。
解：
10000 负载1的视在功率 S1 12500(VA ) 0.8 阻抗角 1 cos 1 0.8 36.9o 无功功率 Q1 S1 sin( 36.9o ) 7500( var )
~ ~ ~ 总复功率 S S1 S 2 25000 j12500（VA）
o 2795126.56（ VA）
27
例9-12 （续）
，则
I I i
的模即为视在功率S，幅角即电路的阻抗角。 18 S
正弦稳态电路的功率、 复功率 、最大功率传输
有功功率守恒 无功功率守恒
S UI S1 S 2 (U1 U 2 ) I 视在功率不守恒
14
3. 功率因数的提高
功率因数：
P cos S
功率因数反映了用电设备的有功功率占供电设备 视在功率的比重。 一般用电设备多为感性负载（可等效为电阻和电 感的串联电路），导致电路的功率因数较低。
UR
电压三角形
I
+ U _
IG G
IB jB
IG
IB
P UI cosφ UIG U Q UI sinφ UI B
I
称 I G 为 I 的有功分量 称 I B 为 I 的无功分量
9
电流三角形
|Z|
R
X
|Y|
G
B
U
UR
UX
I
IG
IB
P
S
Q
相似三角形 5. 正弦交流电路功率的测量
§9-4 正弦稳态电路的功率
I
+
U
-
无源 线性 网络
u (t ) 2U cos t i (t ) 2 I cos(t φ)
φ u i
1. 瞬时功率p(t)
p(t ) u (t )i(t ) 2U cos t 2 I cos(t φ)
UI[cos φ cos( 2t φ)] 第一种分解方法 UI cos φ(1 cos 2t ) UI sin sin 2t
讨论：ZL=RL+jXL获得最大功率的条件？ 1）讨论 ZL=RL+jXL可任意改变的情况 ① 先假设RL不变，XL可变。 当XL = -Xeq时，Z＝Req+RL，P达到最大。
第二十二讲 正弦功率关系
二、有功功率 （平均功率） P
u(t ) U m cos(t u )V + 设： NO u ( t ) i(t ) I m cos(t i ) A 定 T 1 p( )d U I Cos Z (W ) 义 P 0
i (t )
就是瞬时功率的恒定部分 1、Z为零，P最大，NO相当于纯电阻电路； Z 为/2时，P最小， NO相当于纯电抗电路。 2、 NO中的总有功功率是NO中各电阻有功功率 之和。即：
2
例题一的另一解法
又解：利用复功率
45 ~ 2 1 0 S U I U ( ) 100 5 245 5 j5 Z 10 2
* 0
*
∴P=5（W）
Q=5 （Var）
例题二： 已知： U=U1=U2=220V 瓦特表P=1730W u V 电源频率f=5KHz 求R，L，C？ 2 2 U 220 解 R 2 28() U
P 40 I 227mA U Cos Z 2 220 0.8
相量图法（二）
已知I、IL若能解出IC即可。
I L630
U00 I36.90
I C 900
63 36.9 26.1
0 0
0
用余弦定理 I I I 2 I I LCos
2 C 2 2 L
UR R I 490 1，L 1.56 H 100 250 0.4 2，U L X L I 490 0.4 196V 100V 1 R 1 250 3， Z Cos Cos 630 Z 550
XL
Cos Z Cos63 0.454[感性]
I LC
正弦稳态电路的功率、 复功率 、最大功率传输
有功功率守恒 无功功率守恒
S UI S1 S 2 (U1 U 2 ) I 视在功率不守恒
14
3. 功率因数的提高
功率因数：
P cos S
功率因数反映了用电设备的有功功率占供电设备 视在功率的比重。 一般用电设备多为感性负载（可等效为电阻和电 感的串联电路），导致电路的功率因数较低。
+
I
U
_
负 载
* S UI
def
单位：V· A
S UI u i UIφ Sφ
UIcosφ jUIsin φ P jQ
复功率是一个复数，它的模是视在功率，辐角是 功率因数角，实部是有功功率，虚部是无功功率。
13
复功率的计算：
* 2 Z I I ZI S UI * I * U (YU )* U U *Y * Y *U 2 S U
Z L Z L Z Z L cos Z j Z L si2 | Z L | cos Z U ( Req | Z L | cos Z ) 2 ( X eq | Z L | sin Z ) 2
2. 功率守恒
U I 1
U _
Z1
复功率守恒 U )I * S S I * (U S U 1 2 1 2
Z2 U 2 _
S P jQ ( P1 P2 ) j(Q1 Q2 )
P P1 P2
Q Q1 Q2
讨论：ZL=RL+jXL获得最大功率的条件？ 1）讨论 ZL=RL+jXL可任意改变的情况 ① 先假设RL不变，XL可变。 当XL = -Xeq时，Z＝Req+RL，P达到最大。
10-22正弦电路功率分析
，线路损耗大。
+i u -
1 2 I
U
P UI cos I U cos I
解决办法： （1）高压传输 （2）改进自身设备 （3）并联电容(diànróng)，提高功率因数 。
第十八页，共四十六页。
分析(fēnxī)
I
IC
+ R IL
U
_
L
C
1 2 I
U
IL IC
特点 ： (tèdiǎn)
并联(bìnglián)电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有 功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路 的功率因数提高了。
def
S UI 单位： VA (伏安)
它表示一个电气设备的容量，是单口网络所吸收平均功率的最 大值，为与其它功率相区别，用伏安(VA)为单位。例如我们说某个发电 机的容量为100kVA，而不说其容量为100kW。
第六页，共四十六页。
有功，无功(wú ɡōnɡ)，视在功率的关系：
有功功率(gōnglǜ): P=UIcos 单位：W
+
u
Z QZ =UIsin =I2|Z|sin =I2X
-
=I2(XL－XC)=QL－QC
QL I 2 X L QC I 2 X C
S P2 Q2 I 2 R2 X 2 I 2 Z
S
Q
P
相似三角形
第九页，共四十六页。
Z
X
R
电感(diàn ɡǎn)、电容的无功补偿作 用
iR
L
+
+ uL - +
9.4 正弦(zhèngxián)稳态电路的功率
1. 瞬时功率
i
+
+i u -
1 2 I
U
P UI cos I U cos I
解决办法： （1）高压传输 （2）改进自身设备 （3）并联电容(diànróng)，提高功率因数 。
第十八页，共四十六页。
分析(fēnxī)
I
IC
+ R IL
U
_
L
C
1 2 I
U
IL IC
特点 ： (tèdiǎn)
并联(bìnglián)电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有 功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路 的功率因数提高了。
def
S UI 单位： VA (伏安)
它表示一个电气设备的容量，是单口网络所吸收平均功率的最 大值，为与其它功率相区别，用伏安(VA)为单位。例如我们说某个发电 机的容量为100kVA，而不说其容量为100kW。
第六页，共四十六页。
有功，无功(wú ɡōnɡ)，视在功率的关系：
有功功率(gōnglǜ): P=UIcos 单位：W
+
u
Z QZ =UIsin =I2|Z|sin =I2X
-
=I2(XL－XC)=QL－QC
QL I 2 X L QC I 2 X C
S P2 Q2 I 2 R2 X 2 I 2 Z
S
Q
P
相似三角形
第九页，共四十六页。
Z
X
R
电感(diàn ɡǎn)、电容的无功补偿作 用
iR
L
+
+ uL - +
9.4 正弦(zhèngxián)稳态电路的功率
1. 瞬时功率
i
+
正弦交流电路的功率
正弦交流电路的功率电类设备及其负载都要提供或吸收一定的功率。
如某台变压器提供的容量为250kV A ，某台电动机的额定功率为2.5kW ，一盏白炽灯的功率为60W 等等。
由于电路中负载性质的不同，它们的功率性质及大小也各自不一样。
前面所提到的感性负载就不一定全部都吸收或消耗能量。
所以我们要对电路中的不同功率进行分析。
3.8.1瞬时功率如图 3.21所示，若通过负载的电流为)sin(2i t I i ϕω+=，负载两端的电压为)sin(2u t U u ϕω+=，其参考方向如图。
在电流、电压关联参考方向下，瞬时功率为()()i u t I t U ui p ψωψω++==sin 2sin 2()()i u i u t t UI t t UI ψωψωψωψω+++---+=cos cos()()i u i u t UI UI ψψωψψ++--=2cos cos设i u ψψϕ-=，且为了简化，设0=i ψ，上式可写成)2cos(cos ϕωϕ+-=t UI UI p（3-45）可见，正弦交流电路的瞬时功率由恒定分量和正弦分量两部分构成，其中，正弦分量的频率是电压、电流频率的两倍，波形如图3.22所示图3.21 复阻抗 图3.22 瞬时功率由图可以看出，当i u ,瞬时值同号时0>p ，从外电路吸收功率，当i u ,瞬时值异号时0<p ，向外电路提供能量，二端口网络与外电路之间进行能量交换，这是由于储能元件造成的。
还可以看出，在一个循环内，0>p 的部分大于0<p 的部分，因此，电路是从外电路吸收功率的，这是由于二端口网络中存在着耗能的电阻的原因。
3.8.2 有功功率如前所述，有功功率也称为平均功率。
在交流电路中，有功功率反映了电阻元件所消耗的能量。
根据有功功率的的定义，可求出正弦交流电路的有功功率为[]dt t UI UI T pdt T P TT⎰⎰+-==00)2cos(cos 11ϕωϕ λϕUI UI ==cos （3-46）λ称为功率因数，ϕ称为功率因数角，它等于二端网络等效复阻抗的阻抗角。
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u i
为电压u超前于电流 i 的相位差。
1. 瞬时功率 (instantaneous power)
p(t ) ui 2U cos( t u ) 2I cos( t u )
UI cos UI cos(2t 2 u )
2
p(t) UI cos UI cos(2t 2 u )
Hale Waihona Puke Q 的单位：Var (乏，即无功伏安）
电阻 =0°
电感 = 90°
sin 0 QR 0
sin 1 QL UI 2 U / L
sin 1 Q UI 2 U C
结论： 电阻无功功率等于零，电感无功功率大于 零，电容无功功率小于零，说明电感和电容与外 界有能量交换。 6
7
有功，无功，视在功率的关系： 有功功率: P=UIcos 单位：W
U
UR
UX
无功功率: Q=UIsin 视在功率: S=UI
单位：var 单位：VA
2
电压三角形
Z
S P Q
2
º +
R
X
_ + UR
R +
阻抗三角形
S
P
Q
U
_ º
U X
_
X
功率三角形
8
例 已知：电动机 PD=1000W，U=220V，f =50Hz，C =30F，cosD=0.8(滞后）。求负载电路的功率因数。 解： + I P I C 1000 ID 5.68A U D C Ucos D 220 0.8 _
当 Z Zo R X
2 o 2 o
2 2 Z Z o Ro Xo
时，负载获得最大功率为： 称为模匹配
19
2 U oc cos Pm 2 Z o [1 cos( o )]
三、 多频电路的平均功率 电路分析中, 常会遇到几个不同频率的电源作用于电路 的情形, 这时电流、 电压的分析计算可用叠加定理。 由叠加定理知 , 通过电阻 R 的 电流 i是电源 uS1与uS2单独作用产 生的电流i1与i2的叠加, i(t) = i1(t)+ i2(t) p(t) = R［ i1(t)+ i2(t)］2 = Ri21(t)+R i22 (t)+2R i1 (t) i2(t) 一般对所有的时 间t, i1(t) i2(t)≠0, 故p(t) ≠ p1(t) + p2(t), 即叠加定理 不适用于计算瞬 时功率。 20
电阻 =0° 电感 = 90° 电容 = -90°
cos 1 P UI
cos 0 P0
cos 0 P0
结论：电阻消耗有功功率，
而电容和电感不消耗有功功率。
5
3.无功功率Q
定义：
Q
def
UI sin 1 U m I m sin 2
电容 = -90°
o o
9
5 复功率
记
~ * 为复功率，单位VA S U I
j u
+
I
Ue U j i I Ie j i * 的共轭值 电流相量 I I Ie ~ * S UI UI(u i ) UI UIc o s j U I s in
U
_
负 载
P jQ j Se
10
复功率守恒
~ Sk 0
k 1 b
b
U
k 1
b
k
Ik 0
*
(P
k 1
k
jQk ) 0
b Pk 0 k 1 b Qk 0 k 1
* 复功率守恒 , 不等于视在功率守恒 .
2 U oc cos
Zo Z 2 Z o cos( o ) Z
2
18
P
2 U oc cos
Zo Z 2 Z o cos( o ) Z
2
2
Zo Uoc
i
+ + u - -
Z
Zo 显然, 当 Z 最小时, P最大。 Z
Zo 2 令 d Z0 dZ Z 即：
2吸
电流源
~ * o S发 I S I1 Z1 10 8.77(105.3 )(10 j25) 1885 j1423 VA
13
6. 功率因数的提高
并联电容
1 2 I
I L
I C
U
分析:
+
U
I
I C
R
I L
再从功率这个角度来看 : 有功功率：P=UIL cos1 =UI cos2 无功功率：Q=UILsin1 > UIsin2 视在功率：S=UIL>U I
I
U oc ( Ro R) ( X o X )
2 2
16
负载吸收的功率为：
U R P I R ( R RO )2 ( X O X )2
2
2 oc
Zo
Uoc
i
在R一定，仅调节X时，则
+ + u - -
Z
U R 当X X o时, Pm ( Ro R)2 在X X o条件下 , 若再调节 R, 则 2 U oc 当R Ro时, Pmm 4 Ro
_
解二：
100 o I 1
5 j15 8.77( 105.3 o ) 10 j25 5 j15
A
I I 14.9434.5o A I 2 S 1 ~ 2 * 2 S1吸 UI1 I1 Z1 8.77 (10 j25) 769 j1923 VA ~ 2 * 2 S UI 2 I 2 Z2 14.94 (5 j15) 1116 j3348 VA
一般情况下：
S Sk
k 1
11
b
例. 已知如图，求各支路的复功率。
I 2
+
10∠0o A
U
I 1
10W j25W
5W -j15W
_
解一： 100o [(10 j 25) //(5 j15)] 236(37.1o ) V U
电流源: ~ o o S发 236(37.1 ) 100 1882 j1424 VA
= p1(t)+p2(t)+2R i1 (t) i2(t)
下面讨论平均功率, i1(t) =Im1cos(ω1t+1) i2(t) = Im2 cos(ω2t+2) 且ω1 / ω2 = T2 / T1 =m/n为有理数，则令
T mT1 nT2 (公 共 周 期 ) 2 ( 称 为 基 波 角 频 率 ) T 则1 m , 2 n 1 T 1 T P p(t )dt [ p1 (t ) p2 (t ) 2 Ri1 (t )i2 (t )]dt T 0 T 0 T 2 R P1 P2 i1 (t )i2 (t )dt T 0
21
T 2 R P P1 P2 i1 (t )i2 (t )dt coscos = [cos(α + β） + cos(α - β）] T 0 2 2 R T i (t )i (t )dt 2 R I I T cos(mt ) cos(nt )dt 1 2 T 0 1 2 T m1 m 2 0
p>0, 电路吸收功率
p<0，电路发出功率
3
2. 平均功率 (average power)P：又称有功功率
def 1 定义： P T
对于正弦量：
T
平均功率单位：
0
pdt
瓦（W） =0
T T 1 1 P UI cosdt UI cos(2t 2 u )dt T 0 T 0
cos D 0.8(滞后） D 36.9
I D
o 设 U 2200 5.68 36.9o I D jC 2200o j2.08 I C o I I I 4.54 j1.33 4.73 16.3
D C
cos cos[0 (16.3 )] 0.96 (滞后)
~ I * U 2Y * 2362 ( 1 )* 768 j1920 VA S1吸 U 1 1 10 j 25
~ * 2 * S2吸 UI 2 U Y2 1113 j3345 VA
12
I 2
+ 10∠0o A
U
I 1
10W j25W
5W -j15W
4. 视在功率(表观功率)S 定义： S
def
1 UI U m I m 2
单位 : VA (伏安)
反映发电机、变压器等电气设备的容量。 例如某变压器的容量为560 kVA。如果负载是纯电阻, 则λ=cosθ= 1, 其传输功率为560 kW ; 如果负载是感 性 的 , 譬 如 λ=cosθ=0.5 时 , 它 所 传 输 的 有 功 功 率 为 280kW 。所以这类设备只能用视在功率 S 来衡量其容 量。
1 2 ) RI m1 I m 2 cos( 0
mn mn
对于同频率的正弦量 , 其平均功率不能叠加计算 ; 若m ≠ n,则平均功率P = P1 + P2, 可以叠加计算。
推广以上结论可知, 多个不同频率(各频率之比为有 理数 )的正弦电流 (或电压 )形成的总平均功率等于每个 正弦电流 ( 或电压 ) 单独作用时所形成的平均功率之和。