高中数学不等式课件

=
(x
1)( x
1)(2 x 2
2x
1)
=
(x
1) 2
2( x
1)2 2
1 2
0
∴A>B
3.若a、b、x、y∈R，则 成立的（C ）
x y a (x a)( y
b b)
是 0
x
y
a b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：
3、若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时 x 1
x 1 有最小值，最小值为几？
解：∵ x 1 ∴ x 1 0
1 0 x 1
∴
x
1 x 1
=
x 1
1 1 x 1
2
(x 1) 1 1 2 1 1 x 1
当且仅当
x 1 1 即 x 1
x
0
时
x
1 x 1
有最小值1
4、求函数y x 1 的值域. x
所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)
比较法的基本步骤： 1.作差(或作商) 2.变形 3.定号(与0比较或与1比较).
一: 不等式的性质
①、对称性：a b b a 传递性：_a___b_,b___c_ a c
②、 a b,c R，a+c＞b+c （可加性） ③、a＞b， c 0， 那么ac＞bc； （可乘性）
a,
0<h=min{a,
a2
b
b2 }
a2
b
b2
,
h2 ag b 1 ,从而h 2 .
a2 b2 2
2
b c
证明: c d 0, cd 0,c d 0, 1 0, 1 1 c d 0
cd
d c cd
1 1 0, 又a 0, a a 0, ①
dc
dc
又 a b 0, 1 0, a b 0, ②
c
cc
由①②可得
a b 0, dc
a d
b c
课堂练习:
1.判断下列命题是否正确:
a＞b， c 0，那么ac＜bc （乘法法则）
④、a＞b＞0，c d 0 那么，ac＞bd ⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件 n N, n 2 ）
（乘方性）
⑥、 a＞b＞0 那么 n a n b（条件 n N, n ）2
（开方性）
例2
已知a b 0,c d 0,求证
a d
(1) a b,c b a c (× )
(3) a b ac2 bc2 (×)
(5)
a c2
b c2
ab
(√)
(7) a b a2 b2 (×)
(2) a b c a c b (√) (4) a b, c d ac bd (× ) (6) a2 b2 a b (×) (8) a b a2 b2 (√)
三：三个正数的算术—几何平均不等式
类比基本不等式得
定理3：如果a、b、c∈ R+，那么a
+
b 3
+
c
≥
3
abc，
当且仅当a = b = c时，等号成立。
推广：对于n个a1,a2 ,a3 ,L an，正数它们的算术 平均数不小于它们的几何平均数，
即
a1 + a2 + a3 +L n
+ an,≥ n a1 g
5
解下：面y的 解5 x法2 (对2 吗2？x) 5 xgx( 2 2x),
Q y 12g4xgx5(1 5x) 21 ( 4x 5 x 1 5x)3 1 ,
Q 0 x 4 1 , 2 2x 0,4
3
108
y
ymax 5
5 1 x108x [
.5
(
2 5
2x) ]3
4
.
2
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
675
例1: 如图，把一块边长是a的正方形 铁 片的各角切 去大小相同的小正方形，
再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖 方底的盒子，问切去的正方形边长是多 小时？才能使盒子的容积最大？
x
解：依题意有 v =(a - 2x)2 gx
（0 < x < a)
a
2
例1 求函数y x2 (1 5x )(0 x 1)的最值。
解: (1)当x 0时, x 1 2 x 1 2
x
x
(2)当x 0时,x, 1 R , x
x 1 2 (x)( 1) 2
x
x
x 1 2 y (,2][2,). x
作业
1、求函数y=
1 x-3
x的最小值( x
f
3)；
2、求函数y= x2 8的值域. x 1
3、求证 4 a 7(其中a f 3) a3
(9) a b 0, c d 0 a b ( × )
cd 2．设 A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R 且 x≠1，比较 A，B 的大小.
解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)=(2x4 2x3 ) (1 x2 )
= 2x3 (x 1) (1 x)(1 x) = (x 1)(2x3 x 1)
C、6
D、非上述答案
课本P10第15题
已知a>0, b>0, 且h=min{a,
b a2 b2 },
求证：h 2 . 2
证明：Q a 0,b 0, a2 b2 2ab,
a2 b2
2,
ab
1 ,即ag
b
1,
ab
a2 b2 2
a2 b2 2
由于
0<h=min{a,
a2
b
b2
}
x3
解: ⑵∵ x 3,∴ x 3 0
∴ y 2x2 2(x2 9) 18 2x 6 18
x3
x3
x3
= 2(x 3) 18 12 ≥24 x3
当且仅当 2(x 3) 18 即 x 6 时取等号. x3
∴函数 y 2x2 (x 3) 的最小值为 24,且当 x 6 时取得. x3
第一讲 不等式和绝对值不等式
一:不等式的基本性质
AB
gg ab
b>a
B
A
g
g
b
a
a>b
a>ba-b>0
基本不等式 a < b a - b < 0
b=a b-a=0
注:是比较两个数大小的依据
例1：比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。
解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6) =x2+3x+2-(x2+3x-18) =20>0，
∴ x(3 2x) = 1 2x(3 2x) ≤ 2
当且仅当 x 3 时取等号. 4
1 2x 3 2x = 3 2
22
4
∴函数 y x(3 2x) 的最大值为 3 2 ,当且仅当 x 3 取得.
4
4
例 2．⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2 ⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值.
4
注：一正、二定、三等。
例 3求证:
(1)在所有周长相同的矩形中,正 方形的面 积最大;
(2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周 长最短.
例 2．⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2 ⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值.
x3
解⑴(重要不等式法)∵ 0 x 3 ,∴ x 0且3 2x 0, 2
当且仅当x
x
2 5
2x，即x
2 15
时，y
max
4 675
.
例２: 当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值.
解: 0 x 1, 1 x 0,
y x2 (1 x) 4 x x (1 x) 22
x x 1 x
4( 2 2
)3
4
3
27
构造三 个数相
加等于 定值.
当 x 2
几何解释
b
a b
a
b
三: 基本不等式
定理2：（基本不等式）
如果a，b
0，那么a
+ 2
b
≥
ab，
当且仅当a = b时等号成立。
算术平均数
C 几何平均数
几何解释
ab
A
a O DbB
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
定理：设 x, y, z 都是正数，则有 ⑴若 xy S （定值），则当 x y 时， x y 有最小值2 s. ⑵若 x y p （定值），则当 x y 时， xy 有最大值 p2 .
1
x,
x
2 时, 3
ymax
4 27
.
练习：
1、函数y
4x2
16 (x2 1)2
的最小值是
___8___
2、函数y x4 (2 x2 )(0 x 2)的最大值是
（ D） A、0 B、1
C、1267
32
D、27
3、若x, y R , xy2 4则x 2 y的最小值是B
A、4
B、33 4
（（12））若若ca>>ab>, b1a>0，b1则，c则aaa>0，cbb<0b。（（真真命 命题 题） ）
5.已知f(x)=ax2+c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求 f(3)的取值范围。 f(3)的取值范围是[-1, 20]