重心
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求：其重心坐标 只求重心的x,y坐标即可。 解:厚度方向重心坐标已确定， 用虚线分割如图， 为三个小矩形， 其面积与坐标分别为
2 A 300 mm x1 15mm y1 45mm 1 2 y 30 mm A2 400mm x 2 5mm 2 2 A 300 mm x 3 15mm y 3 5mm 3
Fix 0
得
FAx FADCx 0
FADCx 0
取ADC 杆，画受力图。
取BC，画受力图。
' F M B 0 C b Px 0
得
x F P b
' C
' ADCy
对ADC 杆
MD 0 F x ' 得 FADCy FC P b 对销钉A Fy 0 FAB FAy FADCy 0
P zc Pi zi
P 则计算重心坐标的公式为
xC Px P
i
i i
zC
Pz
i i
yC
Py P
i
zC
Pz P
i i
2 质心与形心
1)质心：
定义:
mi ri rC m
, Gi = mi gi
当g 相同时，质心与重心重合.
投影:
mi xi mi yi mi zi xC , yC ,zC m m m
第八讲 重心与习题课 二
湖南理工学院——曾纪杰
一 重心的计算公式
1 平行力系中心——是重心？
对y 轴用合力矩定理
P xc Pi xi
有
xC Px P
i i
对x 轴用合力矩定理
P yc Pi yi
有
yC Py
i i
P
旋转坐标轴，再对x 轴用合力矩定理
解：用负面积法， 为三部分组成，设大半圆面积为A1 ,
小半圆（半径为 r b ）面积为 A2 , 小圆（半径为 r）面积为 A3 ，为负值。
2 而 A1 R , A2 (r b)2 , A3 r 2 , 2 2
Ay A
由对称性，有 x C 0,
4R 4(r b) y1 , y2 , y3 0 3 3
得
FBx 2a FDx a 0
FBx F
各杆重不计， C,E处光滑； 求证： AB 杆始终受压，且大小为P。 解： 取整体，画受力图
例6：已知： a ,b ,P,
Fix 0
ME 0
FAx 0
P (b x) FAy b 0
P 得 FAy (b x) b 取销钉A，画受力图
FBy 0
取ADB 杆，画受力图
取DEF 杆，画受力图
MD 0
得
FE sin 45 a F 2a 0
FE sin 45 2 F
' FE cos 45 FDx 0
Fix 0
得
' FDx FE cos 45 2 F
由ADB 杆受力图：
MA 0
Ai x i A1 x1 A2 x 2 A3 x 3 xC 2mm A A1 A2 A3 Ai y i A1 y1 A2 y 2 A3 y 3 yC 27mm A A1 A2 A3
例4：已知：等厚均质偏心块的 R 100mm, r 17mm, b 13mm 求：其重心坐标.
yBiblioteka Baidu
解：可分割为4个矩形或2个矩形
1400mm
16mm
c
yC 0
50mm
828mm
x
16mm 16mm
1400 860 700 1334 828 717 xC 511.2(mm) 1400 860 1334 824
1.4 物体的重心
例2.求图示均质细杆的重心。已知R =200，a =100，
1.4 物体的重心
质心的定义是独立的，重心与地球有关。 2) 形心： 定义: 当
Vi ri rC V
mi = Vi i
i 为常数时（均质）,形心与质心重合
Vi xi Vi yi Vi zi xC , yC ,zC V V V
投影:
, g
同为常数，则三心合一。
均质薄平板的形心：
均质杆的形心公式。
1.4 物体的重心
Ai xi xC A
Ai yi yC A
二. 确定重心的方法
1.计算法 (1)积分法 将上述求和公式化为定积分得出,常用公式见附录。
(2)组合法 将物体分割为已知重心的部分，再叠加，包括负 面(体)积法。
1.4 物体的重心
例1:求图示均质薄片重心(形心)。
xC
x3 400 y3 250 z3 0
li xi 200 400 100 400 147.4(mm) li 314 400 100
z
1
R
同理：
yC 178.1 mm zC 49.1 mm
2
y
b
x
3
a
1.4 物体的重心
例3：已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示。
整理后，得
F2 F1 1 zC r l2 H 2 P H
若汽车左右不对称，如何测出 重心距左（或右）轮的距离？
三 关于物系的平衡
静定: 只用静力平衡条件能求解的问题。 (各构件全部外力)
未知量个数Nr≤独立方程数Ne
超静定: 只用静力平衡条件不能求解的问题 未知量个数Nr>独立方程数Ne
x x FAB P P P 0 b b
b b FC 0 2 2
解得
FAB P(压）
作业：哈工大，《理论力学》（第7版） 2-35；3-25
2.4 物体系统平衡问题
刚架：
M
F
Nr =5
Ne =6
运动机构(k=1):一个自由度
M
F
Nr =6
Ne =6
静定结构
M
F
Nr =7
Ne =6
超静定结构
2.4 物体系统平衡问题
例5：已知：F , a ,各杆重不计； 求：B 铰处约束反力. 解：取整体，画受力图
MC 0
解得
FBy 2a 0
i i
由 yC
得 yC
A1 y1 A2 y 2 A3 y 3 40.01mm A1 A2 A3
2． 确定重心实验法 （1） 悬挂法
图a中左右两部分的重量是否一定相等？
（2） 称重法
F1 测定纵向坐标,有：xC l P
抬高H,测定高度坐标,有：
F xC 2 l P
b =400(mm)
解：分三段:1、2、3
z
1
R
1/4圆弧段重心坐标为
2
y
b
x1 0 y1 z1
x
π 2 0
y ds R cos R d 2 R 127.4(mm) 1 π πR 2
3
a
长b 段:
x2 200 y2 200 z2 0
1.4 物体的重心
长a 段: 故
2 A 300 mm x1 15mm y1 45mm 1 2 y 30 mm A2 400mm x 2 5mm 2 2 A 300 mm x 3 15mm y 3 5mm 3
Fix 0
得
FAx FADCx 0
FADCx 0
取ADC 杆，画受力图。
取BC，画受力图。
' F M B 0 C b Px 0
得
x F P b
' C
' ADCy
对ADC 杆
MD 0 F x ' 得 FADCy FC P b 对销钉A Fy 0 FAB FAy FADCy 0
P zc Pi zi
P 则计算重心坐标的公式为
xC Px P
i
i i
zC
Pz
i i
yC
Py P
i
zC
Pz P
i i
2 质心与形心
1)质心：
定义:
mi ri rC m
, Gi = mi gi
当g 相同时，质心与重心重合.
投影:
mi xi mi yi mi zi xC , yC ,zC m m m
第八讲 重心与习题课 二
湖南理工学院——曾纪杰
一 重心的计算公式
1 平行力系中心——是重心？
对y 轴用合力矩定理
P xc Pi xi
有
xC Px P
i i
对x 轴用合力矩定理
P yc Pi yi
有
yC Py
i i
P
旋转坐标轴，再对x 轴用合力矩定理
解：用负面积法， 为三部分组成，设大半圆面积为A1 ,
小半圆（半径为 r b ）面积为 A2 , 小圆（半径为 r）面积为 A3 ，为负值。
2 而 A1 R , A2 (r b)2 , A3 r 2 , 2 2
Ay A
由对称性，有 x C 0,
4R 4(r b) y1 , y2 , y3 0 3 3
得
FBx 2a FDx a 0
FBx F
各杆重不计， C,E处光滑； 求证： AB 杆始终受压，且大小为P。 解： 取整体，画受力图
例6：已知： a ,b ,P,
Fix 0
ME 0
FAx 0
P (b x) FAy b 0
P 得 FAy (b x) b 取销钉A，画受力图
FBy 0
取ADB 杆，画受力图
取DEF 杆，画受力图
MD 0
得
FE sin 45 a F 2a 0
FE sin 45 2 F
' FE cos 45 FDx 0
Fix 0
得
' FDx FE cos 45 2 F
由ADB 杆受力图：
MA 0
Ai x i A1 x1 A2 x 2 A3 x 3 xC 2mm A A1 A2 A3 Ai y i A1 y1 A2 y 2 A3 y 3 yC 27mm A A1 A2 A3
例4：已知：等厚均质偏心块的 R 100mm, r 17mm, b 13mm 求：其重心坐标.
yBiblioteka Baidu
解：可分割为4个矩形或2个矩形
1400mm
16mm
c
yC 0
50mm
828mm
x
16mm 16mm
1400 860 700 1334 828 717 xC 511.2(mm) 1400 860 1334 824
1.4 物体的重心
例2.求图示均质细杆的重心。已知R =200，a =100，
1.4 物体的重心
质心的定义是独立的，重心与地球有关。 2) 形心： 定义: 当
Vi ri rC V
mi = Vi i
i 为常数时（均质）,形心与质心重合
Vi xi Vi yi Vi zi xC , yC ,zC V V V
投影:
, g
同为常数，则三心合一。
均质薄平板的形心：
均质杆的形心公式。
1.4 物体的重心
Ai xi xC A
Ai yi yC A
二. 确定重心的方法
1.计算法 (1)积分法 将上述求和公式化为定积分得出,常用公式见附录。
(2)组合法 将物体分割为已知重心的部分，再叠加，包括负 面(体)积法。
1.4 物体的重心
例1:求图示均质薄片重心(形心)。
xC
x3 400 y3 250 z3 0
li xi 200 400 100 400 147.4(mm) li 314 400 100
z
1
R
同理：
yC 178.1 mm zC 49.1 mm
2
y
b
x
3
a
1.4 物体的重心
例3：已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示。
整理后，得
F2 F1 1 zC r l2 H 2 P H
若汽车左右不对称，如何测出 重心距左（或右）轮的距离？
三 关于物系的平衡
静定: 只用静力平衡条件能求解的问题。 (各构件全部外力)
未知量个数Nr≤独立方程数Ne
超静定: 只用静力平衡条件不能求解的问题 未知量个数Nr>独立方程数Ne
x x FAB P P P 0 b b
b b FC 0 2 2
解得
FAB P(压）
作业：哈工大，《理论力学》（第7版） 2-35；3-25
2.4 物体系统平衡问题
刚架：
M
F
Nr =5
Ne =6
运动机构(k=1):一个自由度
M
F
Nr =6
Ne =6
静定结构
M
F
Nr =7
Ne =6
超静定结构
2.4 物体系统平衡问题
例5：已知：F , a ,各杆重不计； 求：B 铰处约束反力. 解：取整体，画受力图
MC 0
解得
FBy 2a 0
i i
由 yC
得 yC
A1 y1 A2 y 2 A3 y 3 40.01mm A1 A2 A3
2． 确定重心实验法 （1） 悬挂法
图a中左右两部分的重量是否一定相等？
（2） 称重法
F1 测定纵向坐标,有：xC l P
抬高H,测定高度坐标,有：
F xC 2 l P
b =400(mm)
解：分三段:1、2、3
z
1
R
1/4圆弧段重心坐标为
2
y
b
x1 0 y1 z1
x
π 2 0
y ds R cos R d 2 R 127.4(mm) 1 π πR 2
3
a
长b 段:
x2 200 y2 200 z2 0
1.4 物体的重心
长a 段: 故