重心
重心
若有若干个力组成的平行力系，合力作用点： 若有若干个力组成的平行力系，合力作用点： 将上式在直角坐标轴上投影， 将上式在直角坐标轴上投影，得
xC
rC
zC
∑F r = ∑F
i
i i
∑Fx = ∑F
i
i i
yC
∑F y = ∑F
i i
i
∑Fz = ∑F
i
i i
4.5 重心和形心
二、重心 地球半径很大， 地球半径很大，地球表面物体的重力可以看成是平行 力系，此平行力系的中心即物体的重心。 力系，此平行力系的中心即物体的重心。重心有确定的位 与物体在空间的位置无关。 置，与物体在空间的位置无关。 设物体由若干部分组成，其第i部分重 部分重P 重心（ ， 设物体由若干部分组成，其第 部分重 i，重心（xi， yi，zi） 则物体的重心为
4.5 重心和形心
试求Ｚ形截面重心的位置，其尺寸如图所示。 例：试求Ｚ形截面重心的位置，其尺寸如图所示。 取图示坐标， 解：取图示坐标，将该图形分割 为三个矩形。 为三个矩形。
A1 = 300 A2 = 400 A3 = 300 x1 = −15 x2 = 5 x3 = 15 y1 = 45 y1 = 30 y1 = 5
M M M
同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心） 坐标分别为：
∑∆Vi xi , y = ∑∆Vi yi ,z = ∑∆Vi zi 立体: xC = C C
V V V
∑∆Ai xi , y = ∑∆Ai yi ,z = ∑∆Ai zi 平板: xC = C C
A A A
∑∆li xi , y = ∑∆li yi ,z = ∑∆li zi 细杆: xC = C C
重心的原理 儿童
重心的原理儿童重心是指一个物体在重力作用下的平衡点，即物体所受的重力可视为集中于该点。
在物体平衡时，重心处于物体的重力中心位置。
对于一个均匀分布质量的物体，其重心就是物体的几何中心。
但对于不均匀分布质量的物体，重心位置会发生变化。
重心的位置对物体的平衡和稳定性起到关键作用。
当一个物体受到外力作用时，只有当重心处于物体的支撑点或旋转轴上，物体才能保持平衡。
如果重心不在支撑点或旋转轴上，物体就会发生运动，直到重心达到平衡位置。
重心的位置可以通过以下方法确定：1. 几何法：对于规则的物体，可以通过几何计算得到重心的位置。
例如，一个均匀分布质量的正方形，其重心位于正方形中心的位置。
对于不规则的物体，可以通过将物体切割成许多小块，然后计算每个小块的重心位置，并将其加权平均得到整个物体的重心位置。
2. 实验法：通过实验可以确定物体的重心位置。
一种常用的方法是利用悬挂物体来确定重心位置。
可以使用一根细线或细杆，在物体上找到一个合适的支撑点，将其悬挂起来，然后找到物体平衡的位置。
这个平衡位置就是物体的重心位置。
重心对于儿童的认知和运动起着重要作用。
儿童在学习行走、跑跳等基本动作时，需要了解和掌握重心的位置。
在行走时，儿童需要控制自己的重心位置，保持身体的平衡。
在跑跳时，儿童需要调整重心的位置，使身体能够顺利地进行跑跳动作。
通过学习和实践，儿童可以逐渐掌握重心的原理和调节重心位置的技巧。
此外，重心的原理也应用于一些日常生活和工程设计中。
例如，设计一个稳定的建筑物或机械结构时，需要考虑重心的位置，以确保结构的稳定性和安全性。
在运输和堆放物体时，也需要考虑物体的重心位置，以防止物体倾倒或发生其他意外情况。
总之，重心是物体平衡和稳定的关键，对于儿童的运动发展和生活学习都起到重要作用。
通过学习和理解重心的原理，儿童可以更好地掌握平衡和调节身体姿势的技能，提高运动能力和日常生活的安全性。
确定重心的方法
确定重心的方法
定义重心：重心是某一物体的物理点，它反映了物体的物理特性，是物体的力学性质的重要表现。
重心位置的高低表示物体的重量分布，可以反映出物体稳定性的强弱。
一般来说，重心越高，物体越不稳定，容易发生倾覆。
确定重心的方法：
（1）称重法。
将要测试的物体放在天平上，把天平平衡，重量大的一边称量下来，再把重量小的一边称量下来，将两个数值相减，得到重心的位置。
（2）定心线法。
将物体放在水箱中，用水冲洗，当水箱内的水清澈，物体就浮在水面上，此时将物体的中心线投影到水面上，这条线就是重心的位置。
（3）划线法。
将物体放在某一垂直面上，用绳子将物体一分为二，在物体的两端划一条线，结果中点的直线就是重心的位置。
（4）质点法。
将物体静止在某一定点上，在其周围径向向外画四条线，相交的最大四边形的中心就是重心的位置。
（5）计算法。
此法比较耗时，是根据物体各零件的重量，计算出物体各零件的位置，由此计算重心的位置。
以上就是确定重心的几种方法，此外，大多数情况下，我们可以根据经验来确定重心的位置，也可以具体问题具体分析，使用其他方法，如地形分析法、移动式重心法等，以确定重心的位置。
重心及其位置非常重要，它关系到一个物体的稳定性。
当我们
知道物体的重心，就可以根据重心的位置，以及它向任何方向的偏移情况，来判断物体倾斜的程度，从而决定物体的安全性。
因此，在工程中，需要重视确定重心的位置，进行相应的计算。
重心移动原理
重心移动原理
重心移动原理是一个物体在外力作用下发生运动时的基本原理之一。
重心是物体的质量中心，即物体所有质点质量的平均位置。
在平衡状态下，物体的重心位于物体的几何中心。
当物体受到外力作用时，重心会随着物体的运动而移动。
重心移动的原因是由于外力作用在物体不同部分上所产生的力矩。
力矩是一个力作用在物体某点上的力乘以力臂的乘积，反映了力对物体旋转产生的影响。
当外力在物体的重心上产生的力矩为零时，物体将保持平衡状态，重心不会移动。
然而，当外力在物体的重心上产生一个不为零的力矩时，就会出现一个扭矩，使重心发生移动。
根据牛顿第二定律和力矩定律，当物体受到外力作用时，重心将按照以下规律移动：
1. 如果外力作用在物体的重心上，即力矩为零，物体将不发生旋转，重心也不会移动。
2. 如果外力作用在物体的重心之外某点上，即力矩不为零，根据牛顿第二定律和力矩定律，物体将发生加速度，并且重心将向加速度方向移动。
3. 当外力作用在物体重心之外某点上的力矩引起物体旋转时，重心将相对于旋转轴沿着旋转方向移动。
重心移动的原理在物理学和工程学中具有重要的应用，例如在机械设计、建筑结构分析和运动控制等方面。
通过理解重心移
动原理，人们能够更好地预测和控制物体的运动，确保运动过程中的稳定性和平衡性。
高中物理有关“重心”的 汇总
高中物理有关“重心”的资料汇总霸州市第一中学 周茂森一.定义：一个物体的各部分都受到重力作用，从效果上来看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。
重心是为了研究问题的方便而引入，是假想的点，不是真实存在的。
二.重心位置的确定方法一：几何法。
几何形状规则且质量分布均匀的物体的重心，在它的几何中心。
例如：①质量分布均匀的细直杆，重心在杆的中点。
②质量分布均匀的金属球，重心在球心。
③质量分布均匀的长方形木块，重心的对角线的交点。
④质量分布均匀的圆柱体，重心在中轴线的中点。
方法二：悬挂法。
如图（1）所示，用悬挂法可以确定一块薄板重心的位置。
现在A 点把物体悬挂起来，通过A 点画一条竖直线AB ，然后再选另一处C 点把物体悬挂起来，同样通过C 点画一条竖直线CD ，AB 和CD 的交点O ，就是薄板重心的位置。
方法三：牵引法。
对于长条形棒状物，可以用牵引法来确定其重心的位置。
如图（2）所示。
将长条形棒状物用细绳AB 悬挂起来，另一端用细绳CD 缓慢牵引到一定位置，分别将AB 和CD 两条线延长并交于一点E ，E 点正上方且在棒上的O 点处，即为该物体的重心位置。
方法四：支撑法。
如图（3）所示，将粗细不均质量分布不均的圆柱状物体，置于两根平行细杆上，让两细杆相向缓慢靠拢，最终两细杆合拢在一起，圆柱状物体静止于细杆上，这个圆柱状物体的重心就在两细杆合拢处的正上方。
方法五：平衡法。
如图（4）所示，有一个质量分布不均，粗细不均的棒状物，重力为G ，用细绳系于接近中心的O 点上，悬吊起来，棒状物体由于重心不在其几何中心上，导致它的一端低，另一端高。
将重为0G 的物体用细线套挂在棒状物翘起的一端，缓慢调整细线的位置，使棒状物处于平衡状态，用刻度尺测出悬线到O 点的距离L ，利用力矩平衡原理算出棒的重心到O 点的距离L GG L x 0 . 方法六：割补法。
对于质量分布均匀，有一定形状的几何物体，由于挖取或补贴了某一部分而失去原有的规则性，在求解此类问题时可以通过等效法，假想恢复物体的原状，再利用平衡法确定其重心位置。
重心
三者定义1、重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。
(与组成该物体的物质有关)重心只在重力场中才有意义，一旦物体离开重力场，重心就没有任何意义；而质心是反映质点系质量分布情况的一个几何点，它与作用力无关，无论质点系是否在重力场中，质心总是存在的。
在重力场中，物体的重心和质心的位置是重合的。
2、质心：指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。
值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。
说明白一点,质心就是物体质量集中的假想点(对于规则形状物体就是它的几何中心),重心就是重力的作用点,通常情况下,由于普通物体的体积比之于地球十分微小,所以物体所处的重力场可看作是均匀的,此时质心与重心重合;如果该物体的体积比之于地球不可忽略(例如一个放在地面上半径为3000km的球体),则该球体所处的重力场就不均匀了,具体说是由下自上重力场逐渐减小,此时重力的作用点靠下,也就是重心低于质心. 如果物体所处的位置不存在重力场(如外太空),则物体就无所谓重心了,但由于质量仍然存在,所以质心仍然存在。
质心和重心的关系就好象质量与重量的关系3、形心：物体的几何中心。
(只与物体的几何形状和尺寸有关，与组成该物体的物质无关)。
一般情况下重心和形心是不重合的，只有物体是由同一种均质材料构成时，重心和形心才重合。
当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心。
据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形的形心；只有一个对称轴的截面，其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。
对于一些常见的简单图形，如圆形、矩形、三角形、正方形等，其形心都是熟知的，利用这些简单图形的形心，由叠加法即可确定由这些简单图形组成的组合图形的形心。
重心重心在工程中具有重要的意义。
例如，水坝的重心位置关系到坝体在水压力作用下能否维持平衡；飞机的重心位置设计不当就不能安全稳定地飞行；构件截面的重心（形心）位置将影响构件在载荷作用下的内力分布规律，与构件受力后能否安全工作有着紧密的联系。
三角形的重心知识点
三角形的重心知识点一、重心的定义。
1. 在三角形中，重心是三角形三条中线的交点。
- 中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。
例如，对于△ABC，设D为BC边的中点，连接AD，则AD是BC边上的中线。
三角形有三条中线，分别是三条边对应的中线，这三条中线交于一点，这个点就是重心，通常用字母G表示。
二、重心的性质。
1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
- 以△ABC为例，G为重心，AD是BC边上的中线，则AG = 2GD，同理，若BE是AC边上的中线，BG = 2GE；若CF是AB边上的中线，CG = 2GF。
2. 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
- 即S△ABG = S△BCG = S△ACG。
因为每个三角形的面积等于三角形ABC面积的三分之一。
这是由于重心将每条中线分成2:1的两段，根据等底同高三角形面积比等于底边比等原理可以得出。
3. 若在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)，则重心G的坐标为((x_1 + x_2+x_3)/(3),(y_1 + y_2 +y_3)/(3))。
- 例如，若A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，则重心G的坐标为((1 + 3+5)/(3),(2 +4+6)/(3))=(3,4)。
三、重心的应用实例。
1. 在求解三角形相关线段长度问题中的应用。
- 例如，已知三角形的一条中线长为6，求重心到这条中线所对顶点的距离。
根据重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，设重心到对边中点的距离为x，则重心到顶点的距离为2x，中线长为3x = 6，解得x = 2，所以重心到顶点的距离为2x=4。
2. 在求解三角形面积相关问题中的应用。
- 若已知三角形的面积为S，求由重心和三角形三个顶点组成的每个小三角形的面积。
根据重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，可知每个小三角形的面积为(S)/(3)。
什么是重心
什么是重心
重心是指地球对物体中每一微小部分引力的合力作用点。
物体的每一微小部分都受地心引力作用，这些引力可近似地看成为相交于地心的汇交力系。
由于物体的尺寸远小于地球半径，所以可近似地把作用在一般物体上的引力视为平行力系，物体的总重量就是这些引力的合力。
重心位置确定
物体的重心位置，质量均匀分布的物体（均匀物体），重心的位置只跟物体的形状有关。
有规则形状的物体，它的重心就在几何中心上，例如，均匀细直棒的中心在棒的中点，均匀球体的重心在球心，均匀圆柱的重心在轴线的中点。
不规则物体的重心，可以用悬挂法来确定，物体的重心，不一定在物体上。
质量分布不均匀的物体，重心的位置除跟物体的形状有关外，还跟物体内质量的分布有关。
载重汽车的重心随着装货多少和装载位置而变化，起重机的重心随着提升物体的重量和高度而变化。
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y
10
Ⅰ
xⅠ
C (y ,x )
解：将截面分为1、2两个矩形。
建立坐标系如图示。
各矩形的面积和形心坐标如下： 矩形I
A1 10120 1200mm2
120 y1 y
Ⅱ
10
Ⅱ
O xⅡ 80
x1 10 5mm 2
y1
120 2
60mm
x
矩形II A2 10 70 700mm2
x2 10 70 45mm 2
第四节
一､物体重心的概念
物体的重心
地球上的物体都受到地球的吸引力，这个吸引力就是重
力。严格地讲，物体的重力是一个分布力，分布在物体的各 个部分，我们通常所说的重力是指这个分布力的合力。可以 证明，无论物体如何放置，其重力(合力)均通过一个确定的 点，这个点就是物体的重心。
重心是力学中的一个十分随时随地彰显尊贵身份。
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解：将截面分为1、2两个矩形。
建立坐标系如图示。
重心
定义重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。
性质重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为[(X1+X2+X3)/3],[Y1+Y2+Y3/3)]。
向量的定义数学中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。
向量的表示1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。
2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。
有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。
这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。
）3、坐标表示：1) 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。
a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。
由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。
这就是向量a的坐标表示。
其中（x，y）就是点P的坐标。
向量OP称为点P的位置向量。
[编辑本段]向量的模和向量的数量向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。
向量a的模记作|a|。
注：1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的。
2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。
对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。
例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的单位向量长度为单位1的向量，叫做单位向量．与向量a同向且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。
零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。
重心名词解释
重心名词解释重心，是力学概念中的一个术语，指物体所受的重力所作用的中心点。
重心的位置取决于物体形状和密度分布，它是物体所具有平衡稳定性和运动状态的一个重要参数。
下面将对重心的相关概念和应用进行详细解释。
一、重心的概念：重心，也称质心或重心中心，是指物体所受的重力所作用的中心点。
在物理学中，重心的概念常常与物体的平衡和稳定性有关。
重心的位置通常用数学表达式进行描述，表示为物体各部分质量的加权平均值的点。
在不同的物体中，重心的位置可能会有所变化，但它总是位于物体的中心，对物体的运动和平衡状态起到至关重要的作用。
二、重心的计算方法：计算物体的重心位置通常需要考虑物体的形状和密度分布。
在一般情况下，重心的位置可以通过求解物体各部分质心的坐标来确定。
对于连续分布的物体，可以使用积分的方法进行求解。
三、重心的应用：重心在物理学和工程领域有着广泛的应用，它可以用来解决许多与平衡和稳定性有关的问题。
下面是重心在某些领域的具体应用。
1. 建筑工程中的应用：在建筑物设计中，重心的位置通常需要考虑设计的稳定性和抗风能力。
对于高层建筑，重心位置的计算和控制是非常重要的。
2. 汽车设计中的应用：在汽车设计中，重心的位置对于行驶稳定性、转弯半径和悬挂系统的设计都有重要影响。
为了提高汽车的安全性能，需要减少汽车重心的高度。
3. 船舶设计中的应用：对于船舶，重心的位置对于船体的稳定性、承重能力和最大载重量都有很大的影响。
在船舶设计中，需要合理安排货物的位置和分布以控制船体的重心。
4. 航空工程中的应用：在航空工程中，重心位置的计算和控制对于飞机的飞行稳定性、起飞和着陆能力都有着至关重要的作用。
对于不同类型的飞机，需要采用不同的重心控制策略。
总的来说，重心作为物体平衡和稳定性的重要参数，在各种工程领域都有着广泛的应用。
它对于提高工程设施的安全性能和使用效能，具有十分重要的意义。
重心
例 题 9 求：若将图示均质梯形板在E点挂起，
且使AD保持水平，BE等于多少。 解：建立如图的坐标系
要使AD保持水平，梯形板的重心应 在y上，即xC＝0 把梯形分为三角形与矩形两部分 设 由 BE＝x
E
x
B
x
① D a
②
y
A
Ai xi xC Ai
x 0.366a
x 1 a x bx a x b 0 2 2 3
§6-3重心
1. 重心的概念及其坐标公式
z
△Vi
PxC=P1x1+P2x2+…+Pnxn=∑Pixi
xC
Pi
zi
O
C
Px P
i
i i
yC
Py P
i
i i
zC
Pz P
i
i i
P
zC y xC xi
如果单位体积的重量为γ常量
xC
yi
xV V
i
i i
yC
yV V
l l cos
xC xC cos h sin
H l2 H 2 sin , cos l l
F2
F2 F1 1 2 zC r l H2 P H
结论与讨论
1. 力在空间直角坐标轴上的投影
z
间接投影法
z
直 接 投 影 法
O
F
F
y
xi Si x1S1 x2 S 2 x3 S3 xc 2mm S1 S 2 S3 Si yi Si y1S1 y2 S 2 y3 S3 yC 27mm S1 S 2 S3 Si
物理重心学习知识点
物理重心学习知识点物理重心是指一个物体或系统的质量均匀分布的中心点。
在物理学中，重心是一个重要的概念，对于理解物体的平衡和运动具有重要的意义。
下面将介绍一些与物理重心相关的知识点。
一、重心的定义和性质重心是物体或系统质量均匀分布的中心点，在均匀重力场中，重心也是物体的重力作用点。
重心的坐标可以通过将物体分割成小块，计算每个小块的质量和质心坐标，并将其加权求和得到。
重心的性质有以下几点：1. 重心在物体的对称轴上，对称轴是指物体具有对称性的轴线。
2. 重心在物体的几何中心，即物体的各部分距离几何中心的距离相等。
3. 重心是物体的底面重心和顶面重心的连线所在直线上。
二、重心和平衡重心在物体平衡中起着关键作用。
对于一个静止的物体，当重力作用线通过物体的重心时，物体才处于平衡状态。
三、重心和稳定性重心的位置对物体的稳定性也有很大的影响。
当物体的重心位置越低，稳定性越好。
稳定性可以通过受力分析来确定，当物体受到外力扰动时，如果重心上升，物体将倾覆。
四、重心和刚体在刚体力学中，重心有着重要的作用。
刚体的平衡状态可以通过重心的位置来判断。
当一个刚体受到力的作用时，如果重心处于受力的延长线上，刚体将保持平衡。
五、重心和力矩力矩是力与力臂的乘积，它是刚体平衡的重要条件之一。
当物体处于平衡状态时，物体所受的合力矩为零。
对于一个平衡物体，可以利用重心和力矩的关系来进行力学分析。
六、重心的测量方法测量物体的重心可以用吊线法、悬挂法和振荡法等多种方法。
吊线法是一种简单的测量重心位置的方法，可以通过将物体用细线吊起来，使其达到平衡状态，然后通过垂直线来确定重心的位置。
综上所述，物理重心是物体或系统质量均匀分布的中心点，它与平衡和稳定性密切相关，并在刚体力学和力矩分析中有着重要的应用。
学习重心的概念和性质，对于理解物体的平衡和运动有着重要的意义。
通过合适的测量方法，可以准确地确定物体的重心位置。
重心的公式
重心的公式
重心是一个重要的物理概念，也是物体运动的基本原理。
定义为一个物体拥有的重力力，重心是物体内外部力均衡和抵消的结果，也可以被定义为力矩的集中点。
在机械科学中，重心是物体运动的基础，因此，了解重心的计算公式，对于更好地理解物体运动有重要意义。
在本文中，我将探讨重心的公式，以及如何计算物体的重心。
首先，我们来介绍重心的公式。
重心的公式是一个物理定律，其定义为：重心的位置=重力能量的积分）/（物体的总质量）。
这个公
式表明，重心的位置是物体内外不同部分重力能量的积分和抵消的结果。
其次，计算物体的重心相对比较容易，只要获取物体的总质量和重力能量的各个部分积分值，就可以很容易地计算出这个物体的重心。
例如，如果想计算一个10公斤、60厘米长的长方体的重心，就需要先获取它的总质量，也就是10公斤，然后将它的长度，宽度和高度
的重力势能积分，然后再将它们的积分值除以总质量，得出的就是这个长方体的重心。
除了重心的公式外，还有一些其他需要注意的问题。
首先，重心是动态变化的，它会随着物体内部力的变化而变化，例如物体内部有重力旋转或作用力，重心就会变化。
其次，重心也受质量分布的影响，当物体质量分布不均匀时，重心就会发生变化。
最后，也要注意重心的位置，物体的重心一般都不在原点，会有一定的偏移。
以上就是关于重心的公式及如何计算物体的重心的简要介绍。
重心是物体运动的重要原理，理解它的公式及其计算方法，可以帮助我
们更好地理解物理概念，有助于更好地研究物体的运动。
重心的知识点总结
重心的知识点总结重心是物体受重力作用时所处的平衡位置，也是物体的质心。
在物理学和工程学中，重心是一个重要的概念，它在力学、静力学、动力学以及结构设计和分析中起着关键作用。
了解重心的概念和相关知识对于理解物体的平衡、稳定性和运动特性非常重要。
本文将围绕重心的概念、计算方法、应用和相关理论进行综合总结。
一、重心的概念重心是一个物体在受重力作用时的平衡位置，也称为质心。
它是物体整体质量的平均位置，也可以理解为物体在受重力作用时的“集中位置”。
对于一个均匀材料构成的物体，其重心通常位于物体的几何中心或对称轴上，但对于复杂形状、不均匀密度分布的物体，其重心位置需要通过计算得出。
重心的概念对于力学、静力学、动力学的理论分析和工程设计具有重要的意义。
二、重心的计算方法重心的计算方法取决于物体的形状和密度分布。
对于规则形状的物体，可以通过几何方法直接计算出重心位置；对于不规则形状和复杂密度分布的物体，通常需要通过积分或数值计算的方法求解重心位置。
以下是常见物体重心计算方法的概述：1. 离散质点组的重心计算：对于由离散的质点组成的物体，其重心位置可以通过每个质点的质量及坐标的加权平均来计算。
2. 连续体的重心计算：对于连续分布的物体，其重心位置可以通过积分计算来求解。
通常需要将物体划分成微元，然后对每个微元的质量及坐标进行积分求和，最终得到整个物体的重心位置。
3. 特殊形状重心的计算：对于特殊形状的物体，比如圆环、弧形等，可以利用几何性质和积分计算来求解重心位置。
以上是重心计算的基本方法，根据具体情况可以结合不同的数学工具和技术来求解重心位置。
三、重心的应用重心的概念在工程领域有着广泛的应用，它对于物体的平衡、稳定性和运动特性具有重要影响。
以下是重心在工程应用中的几个典型案例：1. 结构设计：在建筑、机械、航天等领域的结构设计中，重心的位置是一个重要考虑因素。
合理设计和布置物体的结构和材料，可以使重心位置处于合适的位置，从而确保物体的平衡和稳定性。
关于重心的知识点
关于重心的知识点
以下是 6 条关于重心的知识点：
1. 嘿，你知道吗？重心就是物体的平衡点呀！就好像一个人站立时，只有保持重心稳定才能站得稳稳当当，不然就晃晃悠悠啦！比如咱平时走路，要是重心歪了，那不得摔个大跟头啊！
2. 哎呀呀，重心可重要啦！它决定了物体会不会容易倒下哦。
你想想看，一个高高的积木塔，如果重心没在合适的位置，那稍微一碰不就哗啦啦倒了，就像我们的心要是没在正确的地方不也容易乱嘛！
3. 哇塞，重心还会影响物体的运动状态呢！好比一辆快速行驶的车子，如果重心没调好，转弯时多危险呀！这就跟我们做事一样，要是没抓住重点，不就手忙脚乱啦！
4. 嘿，你发现没，物体形状改变重心也会变哦！就像一个气球，没吹气的时候重心在这，吹起来后重心就不一样啦！这多神奇呀，咱的生活不也是每天都有变化，重心也在变嘛！
5. 呀，重心对一些运动项目可关键了呢！像体操运动员，他们在空中翻转的时候得时刻注意自己重心的位置，不然怎么能完美落地呀！这就好像我们在人生的舞台上，得找到自己的重心才能精彩表演！
6. 哈哈，别忘了重力和重心也有关系哟！重力作用在重心上呢。
好比地球吸引着我们，我们的重心要稳稳的。
就像我们对生活要有坚定的信念，才能不被轻易打倒呀！
总之，重心真的好重要，在生活中无处不在，咱可得好好了解和利用它呀！。
重心 计算公式
重心计算公式什么是重心？在物理学中，重心是指物体的质量分布平衡点。
换句话说，它是物体所受重力的合力作用点。
重心的位置可以决定物体的稳定性和平衡性。
那么重心的计算公式是什么呢？重心的计算公式是根据物体的质量分布来确定的。
对于一个均质物体，重心的位置可以简单地表示为物体各个质点的质量与其相对于某一参考点的距离的乘积之和除以物体总质量。
数学上可以表示为：重心位置= Σ(mi * ri) / Σmi其中，mi代表物体中第i个质点的质量，ri代表第i个质点相对于参考点的距离。
我们可以通过一个简单的例子来说明如何应用这个公式来计算重心位置。
假设我们有一个均匀的长方形木板，长为L，宽为W，质量为M。
我们想要计算这个木板的重心位置。
我们需要选择一个参考点。
在这个例子中，我们可以选择木板的左上角作为参考点。
接下来，我们需要确定木板上各个质点的质量和相对于参考点的距离。
由于木板是均匀的，我们可以将其质量均匀地分布在木板的各个部分。
假设木板的密度为ρ，那么木板上每个单位面积的质量可以表示为m = ρ * ΔA，其中ΔA为一个小面积元素。
现在我们可以计算重心位置了。
由于木板是长方形的，我们可以将其分成无数个小面积元素ΔA，并对每个小面积元素应用重心公式求和。
最后，根据重心公式，重心位置可以表示为：重心位置= Σ(mi * ri) / Σmi = Σ(ρ * ΔA * ri) / Σ(ρ * ΔA)其中，ri为第i个小面积元素的相对于参考点的距离。
由于木板是平面的，可以将ri简化为两个方向上的距离，即x方向和y方向上的距离。
通过对每个小面积元素应用重心公式求和，并将ΔA趋近于0，我们可以得到重心位置的具体数值。
通过这个例子，我们可以看出重心计算公式的重要性和实际应用。
无论是在物理学、工程学还是建筑学中，都需要准确计算重心位置以确保物体的稳定性和平衡性。
总结一下，重心是物体的质量分布平衡点，可以通过重心计算公式来确定。
重心位置的计算需要考虑物体的质量分布以及质点相对于参考点的距离。
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P zc Pi zi
P 则计算重心坐标的公式为
xC Px P
i
i i
zC
Pz
i i
yC
Py P
i
zC
Pz P
i i
2 质心与形心
1)质心：
定义:
mi ri rC m
, Gi = mi gi
当g 相同时，质心与重心重合.
投影:
mi xi mi yi mi zi xC , yC ,zC m m m
均质薄平板的形心：
均质杆的形心公式。
1.4 物体的重心
Ai xi xC A
Ai yi yC A
二. 确定重心的方法
1.计算法 (1)积分法 将上述求和公式化为定积分得出,常用公式见附录。
(2)组合法 将物体分割为已知重心的部分，再叠加，包括负 面(体)积法。
1.4 物体的重心
例1:求图示均质薄片重心(形心)。
xC
x3 400 y3 250 z3 0
li xi 200 400 100 400 147.4(mm) li 314 400 100
z
1
R
同理：
yC 178.1 mm zC 49.1 mm
2
y
b
x
3
a
1.4 物体的重心
例3：已知：均质等厚Z字型薄板尺寸如图所示。
1.4 物体的重心
质心的定义是独立的，重心与地球有关。 2) 形心： 定义: 当
Vi ri rC V
mi = Vi i
i 为常数时（均质）,形心与质心重合
Vi xi Vi yi Vi zi xC , yC ,zC V V V
投影:
, g
同为常数，则三心合一。
Ai x i A1 x1 A2 x 2 A3 x 3 xC 2mm A A1 A2 A3 Ai y i A1 y1 A2 y 2 A3 y 3 yC 27mm A A1 A2 A3
例4：已知：等厚均质偏心块的 R 100mm, r 17mm, b 13mm 求：其重心坐标.
Fix 0
得
FAx FADCx 0
FADCx 0
取ADC 杆，画受力图。
取BC，画受力图。
' F M B 0 C b Px 0
得
x F P b
' C
' ADCy
对ADC 杆
MD 0 F x ' 得 FADCy FC P b 对销钉A Fy 0 FAB FAy FADCy 0
整理后，得
F2 F1 1 zC r l2 H 2 P H
若汽车左右不对称，如何测出 重心距左（或右）轮的距离？
三 关于物系的平衡
静定: 只用静力平衡条件能求解的问题。 (各构件全部外力)
未知量个数Nr≤独立方程数Ne
超静定: 只用静力平衡条件不能求解的问题 未知量个数Nr>独立方程数Ne
FBy 0
取ADB 杆，画受力图
取DEF 杆，画受力图
MD 0
得
FE sin 45 a F 2a 0
FE sin 45 2 F
' FE cos 45 FDx 0
Fix 0
得
' FDx FE cos 45 2 F
由ADB 杆受力图：
MA 0
2.4 物体系统平衡问题
刚架：
M
F
Nr =5
Ne =6
运动机构(k=1):一个自由度
M
F
Nr =6
Ne =6
静定结构
M
F
Nr =7
Ne =6
超静定结构
2.4 物体系统平衡问题
例5：已知：F , a ,各杆重不计； 求：B 铰处约束反力. 解：取整体，画受力图
MC 0
解得
FBy 2a 0
求：其重心坐标 只求重心的x,y坐标即可。 解:厚度方向重心坐标已确定， 用虚线分割如图， 为三个小矩形， 其面积与坐标分别为
2 A 300 mm x1 15mm y1 45mm 1 2 y 30 mm A2 400mm x 2 5mm 2 2 A 300 mm x 3 15mm y 3 5mm 3
x x FAB P P P 0 b b
b b FC 0 2 2
解得
FAB P(压）
作业：哈工大，《理论力学》（第7版） 2-35；3-25
解：用负面积法， 为三部分组成，设大半圆面积为A1 ,
小半圆（半径为 r b ）面积为 A2 , 小圆（半径为 r）面积为 A3 ，为负值。
2 而 A1 R , A2 (r b)2 , A3 r 2 , 2 2
Ay A
由对称性，有 x C 0,
4R 4(r b) y1 , y2 , y3 0 3 3
i i
由 yC
得 yC
A1 y1 A2 y 2 A3 y 3 40.01mm A1 A2 A3
2． 确定重心实验法 （1） 悬挂法
图a中左右两部分的重量是否一定相等？
（2） 称重法
F1 测定纵向坐标,有：xC l P
抬高H,测定高度坐标,有：
F xC 2 l P
得
FBx 2a FDx a 0
FBx F
各杆重不计， C,E处光滑； 求证： AB 杆始终受压，且大小为P。 解： 取整体，画受力图
例6：已知： a ,b ,P,
Fix 0
ME 0
FAx 0
P (b x) FAy b 0
P 得 FAy (b x) b 取销钉A，画受力图
第八讲 重心与习题课 二
湖南理工学院——曾纪杰
一 重心的计算公式
1 平行力系中心——是重心？
对y 轴用合力矩定理
P xc Pi xi
有
xC Px P
i i
对x 轴用合力矩定理
P yc Pi yi
有
yC Py
i i
P
旋转坐标轴，再对x 轴用合力矩定理
y
解：可分割为4个矩形或2个矩形
1400mm
16mm
c
yC 0
50mm
828mm
x
16mm 16mm
1400 860 700 1334 828 717 xC 511.2(mm) 1400 860 .求图示均质细杆的重心。已知R =200，a =100，
b =400(mm)
解：分三段:1、2、3
z
1
R
1/4圆弧段重心坐标为
2
y
b
x1 0 y1 z1
x
π 2 0
y ds R cos R d 2 R 127.4(mm) 1 π πR 2
3
a
长b 段:
x2 200 y2 200 z2 0
1.4 物体的重心
长a 段: 故