加速度为恒矢量质点运动

作业： P27 1-14 1-18
§1.4 相对运动
一.运动的绝对性和描述运动的相对性 只有相对确定的参考系才能具体描述物体的运动， 选择的参考系不同，对同一物体运动的描述不相同。 一个坐标系 中的描述
变换
另一个坐标 系中的描述
二.低速 (v c)下的变换
时间和空间的测量是绝对的。分别从 S (o xyz) 系和 S (o xyz) 系描述质点 p 的运动，
ds v0 dt ds v et v0 et dt
v0
a a et an n
s
O
O
r
dv d s a 2 0 dt dt 2 2 v0 v an r
2 v 0 因此，a an n r
2
y
v0
v0

2
思考
用类比方法写出用角量表示的圆周运动公式 和 α= 恒量 时的形式
t
v v0 adt
0 dt
0
t
x x0 vdt
0 t
v v 2 adx
2 2 0 x0
x
0
0 dt
0
t
2 d
2 2 0

0
v v0 at 1 2 x x0 v0t at 2 2 2 v v0 2a( x x0 )
O'
逆时针为正
3. 角速度
平均角速度: t
旋转方向
O

R

角速度: 角速度矢量:
d lim t 0 t dt
v

方向沿轴
O'

r
P
v r
大小: v rsin R 方向: 右手螺旋法则
4. 角加速度 平均角加速度: 角加速度:
O
推广：
P
x
O
x
vAO vAB vBC vCD vDO
加速度矢量 (当o, o间只有相对平动时 ) aPO aPO aOO
位移矢量 : r r D 速度矢量 : v v u
物理意义是：质点相对S系的速度等于它相对
n
Hale Waihona Puke et en(1) 位置：在轨道上取一固定点O，用质点距离O 的路程长度 s，可唯一确定质点的位置。 位置 s有 正负之分。
(2) 位置变化:
s
(3) 速度： 沿切线方向。
ds v v et et dt
*（4） 加速度：
d (vet ) det dv dv a et v dt dt dt dt
2 2 2
1
v a

a
an
此时总加速度的大小为 a与v 的夹角为 a an a 1.22 9.82 9.87 (m s 2 )
2 2
an 9.8 arctg arctg 83.0 a 1.2
总结：运动学的两类基本问题
dv et dt
et t
et 2

et
第一项： 第二项：
lim
t 0
et1
lim
t 0
d en en t dt
或： d ( r ) d dr dv a r dt dt dt dt d r v r et ven dt
d 由 得 ： d = dt dt
若 t 0 时 ， 0 ， 则 有 ：
0 t
2.匀变速率圆周运动
其角加速度为常量，故有： 切 向 加 速 度 a t r et 常矢量
v 2 法 向 加 速 度 a n r en en 常矢量 r 2 a an +a t r en r et
det d v v en v en dt dt
dv v a et en a an dt
切向加速度：
2
a an
n

a
et
dv a et dt
描述速度大小改变的快慢，不影响速度的方向。
法向加速度：
a 总是指向曲线凹侧
dv dv dt dt
练习：
1.讨论
?
Av
v
a a
vB
v
四、匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1.匀速率圆周运动
质点作匀速率圆周运动时，其速率和角速度
都为常量，故有： 角 加 速 度 a=0 切 向 加 速 度a t 0
2 v 法 向 加 速 度 a n r 2 en en 常矢量 r 2 v 2 a an r en en 常矢量 r
0 t
1 2 0 0t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
例： 设一质点在半径为 r 的圆周上以匀速率 写出自然坐标系中质点的速度和加速度。 解：建立如图坐标系
以 O 为自然坐标系的原点和计时起点
v0
v0
运动，
s
O
r
O
第二类问题 加速度 a =恒量质点的运动方程
a 恒 矢 量 ; t 0: r r0 v v0
求： v (t ) , r (t ) dv a dt d v a dt v t v0 dv 0 adt v v0 at v v0 at

P (t)
θ
O
s
r
O'
参考 方向
三. 质点运动的自然坐标描述 自然坐标系 —— 坐标原点固接 B et 于质点, 坐标轴沿质点运动轨道 s 的切向和法向的坐标系，叫做自 A 然坐标系。切向以质点前进方向 s 为正，记做 ，法向以曲线凹 et en o 侧方向为正，记做 。 e
1 1 2 2 v r D 3t 4 0.4 0.2 3t 4 2 2 a r 6t 0.2 1.2t an r 3t 4 0.2
2 2 2
t 1s时，v 0.2(3 4) 1.4(m s ) a 1.2(m s ) an 3 4 0.2 9.8(m s )
aO
r
s
O
x
在直角坐标中重做，可发现
用自然坐标描述匀速率圆周 运动较直角坐标简便。
练习
某发动机工作时，主轴边缘一点作圆周运动方
程为 t 3 4t 3 (SI ) (1) t = 2s时，该点的角速度和角加速度为多大？
(2) 若主轴直径D = 40 cm，求 t = 1 s 时,该点的速度和
S`系的速度与S`系相对S系的速度之矢量和
把视为静止的参考系S作为基本参考系，把相
对S系运动的参考系S’作为运动参考系。
质点相对基本参考系S的速度～绝对速度
质点相对运动参考系S’的速度～叫做相对速度
(a)车作匀速直线运动时，车上的人观察到石子作直线运动
(b)车作匀速直线运动时，地面上的人观察到石子作抛物线运动
位置矢量 rPO rPO rOO
y
s
y
s
v
rPO rPO
rAO rAB rBC rCD rDO
位移矢量: rPO rPO rOO 速度矢量: vPO vPO vOO
r
O

x r cos 和y sin
二、圆周运动的角量描述 线量 —— 在自然坐标系下，基本参量以运动曲
线为基准，称为线量。
角量 —— 在极坐标系下，以旋转角度为基准的 基本参量，称为角量。 1. 角位置： 2. 角位移
P (t


O
t )
P

单位：
rad
θ
R
s
(t )
参考 方向
一.已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度 （微分法）；
r (t ) v ,
a
； (t ) ,

二.已知加速度(或速度)及初始条件，求质点任一时刻 的速度和运动方程(积分法）。
a(t ) , (t 0时 r0 , v0 ) v (t ) , r (t )
v2 an en

描述速度方向改变的快慢，不影响速度的大小。
dv v a a et an en et en dt
2
a an e

a
et
2 2 大小： a a an
n
an 方向： a与a的夹角 arctg a
加速度 解: (1)由运动方程得边缘一点的角速度和角加速度
t 4t 3 (SI )
3
d d 2 3t 4 6t dt dt
t 2 s : 3 2 4 16 rad s
2
-1
6 2 12 rad s2
(2) 由角量和线量的关系，得边缘一点的速度、切向加 速度和法向加速度
t
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
P (t t)
5. 角量与线量的关系
s r ds d v r r dt dt dv d a r r dt dt v2 ( r ) 2 an r 2 r
dr v dt dr vdt r t dr vdt
r0 0 t r r0 (v0 at)dt 0