高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教案 新人教版选修2-3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
§1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
教学目标:
知识与技能:掌握二项式系数的四个性质。
过程与方法:培养观察发现,抽象概括及分析解决问题的能力。
情感、态度与价值观:要启发学生认真分析书本图1-5-1提供的信息,从特殊到一般,归纳猜想,合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。
教学重点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型:新授课 课时安排:2课时 教学过程:
一、复习引入:
1.二项式定理及其特例:
(1)01()()n n n
r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈,
(2)1
(1)1n r r
n n n x C x C x x +=++
++
+.
2.二项展开式的通项公式:1r n r r
r n T C a b -+=
3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对r 的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性
二、讲解新课:
二项式系数表(杨辉三角)
()n a b +展开式的二项式系数,当n 依次取1,2,3…时,二项式系数表,表中每行
两端都是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
2.二项式系数的性质:
()n a b +展开式的二项式系数是0n C ,1n C ,2n C ,…,n n C .r
n C 可以看成以r 为自
变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,
,}n ,例当6n =时,其图象是7个孤立的点(如图)
(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵m n m n n C C -=).
直线2
n
r =
是图象的对称轴. (2)增减性与最大值.∵1(1)(2)(1)1!k
k n n n n n n k n k C C k k
----+-+=
=⋅,
∴k n C 相对于1
k n C -的增减情况由1n k k -+决定,1112
n k n k k -++>⇔<,
当12
n k +<时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值;
当n 是偶数时,中间一项2n
n C 取得最大值;当n 是奇数时,中间两项12n n
C -,12n n
C
+取得最大值.
(3)各二项式系数和:
∵1
(1)1n r r n n n x C x C x x +=++
++
+,
令1x =,则012
2n r n
n n n n n C C C C C =+++
++
+
三、讲解范例:
例1.在()n
a b +的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
证明:在展开式01()()n n n
r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中,令1,1a b ==-,
则0123
(11)(1)n n n
n n n n n C C C C C -=-+-+
+-,
即02
13
0()()n n n n C C C C =++-++
,
∴02
13n n n n C C C C ++
=++
,
即在()n
a b +的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
说明:由性质(3)及例1知02
1312n n n n n C C C C -++
=++
=.
例2.已知72
70127(12)x a a x a x a x -=+++
+,求:
(1)127a a a +++; (2)1357a a a a +++; (3)017||||||a a a ++
+.
解:(1)当1x =时,7
7
(12)(12)1x -=-=-,展开式右边为
0127a a a a +++
+
∴0127a a a a +++
+1=-,
当0x =时,01a =,∴127112a a a +++=--=-,
(2)令1x =, 0127a a a a +++
+1=- ①
令1x =-,7
012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②
①-② 得:7
13572()13a a a a +++=--,∴ 1357a a a a +++=7
132
+-.
(3)由展开式知:1357,,,a a a a 均为负,0248,,,a a a a 均为正,
∴由(2)中①+② 得:7
02462()13a a a a +++=-+,
∴ 7
0246132
a a a a -++++=,
∴017||||||a a a ++
+=01234567a a a a a a a a -+-+-+-
702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3
的系数
解:)
x 1(1]
)x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(1010
2
+-+-+=+++++)(
=x
x x )1()1(11+-+,
∴原式中3x 实为这分子中的4x ,则所求系数为7
C
例4.在(x 2+3x+2)5
的展开式中,求x 的系数
解:∵5
552)2x ()1x ()2x 3x (++=++
∴在(x+1)5
展开式中,常数项为1,含x 的项为x 5C 1
5=,
在(2+x)5
展开式中,常数项为25
=32,含x 的项为x 80x 2C 4
15=
∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅, ∴此展开式中x 的系数为240
例5.已知n
2
)x 2x (-
的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为14;3,求展开式的常数项 解:依题意2
n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒= ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10
设第r+1项为常数项,又 2
r 510r 10r r 2r
10r 10
1r x C )2()x
2()x (C T --+-=-=
令
2r 02
r
510=⇒=-, .180)2(C T 22
1012=-=∴+此所求常数项为180
例6. 设()()()()2
3
1111n
x x x x ++++++++=2012n n a a x a x a x +++
+,
当012254n a a a a +++
+=时,求n 的值