八年级数学竞赛讲座：第十五讲 相似三角形(一)
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
数学相似三角形课件
一旦构造了相似三角形并确定了其面积比，就可以利用这个比例关系来求解未知的三角形面积。这通常 涉及到比例运算和代数方程的解法。
03
相似三角形在代数中的应用
比例性质及运算规则
80%
比例的基本性质
在两个比例中，如果两组数的比 值相等，则这两个比例是相等的 。
100%
比例的运算规则
包括合比性质、等比性质、分比 性质以及复合比性质，这些规则 在解决相似三角形问题时经常用 到。
其他领域应用举例
地理学
在地理学中，相似三角形可以用 于计算地球上两点之间的距离和 方位角，以及绘制地图和导航。
艺术和动画
艺术家和动画师可以利用相似三角 形来创建透视效果和比例准确的图 像，使作品更加逼真和生动。
经济学和金融
在经济学和金融领域，相似三角形 可以用于分析市场趋势、预测股票 价格等，通过历史数据的相似模式 来预测未来走向。
通过正弦、余弦定理可以推导 出三角形的面积公式 S=1/2bc×sinA，以及判断三角 形形状的条件等。
解直角三角形问题
已知两边求第三边
利用勾股定理或正弦、余弦定理求解。
已知两边及夹角求其他元素
通过正弦、余弦定理或三角函数关系式求解。
实际应用问题
如测量、航海、地理等问题中，常需解直角三角形，通过选择合适 的三角函数关系式进行求解。
06
总结回顾与拓展延伸
重点知识点总结回顾
01
02
03
相似三角形的定义
两个三角形如果它们的对 应角相等，则称这两个三 角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比 例，对应角相等，面积比 等于相似比的平方。
相似三角形的判定
通过角角角（AAA）、边 角边（BAB）、角边角 （ABA）等判定方法确定 两个三角形是否相似。
相似三角形判定讲课逐字稿
相似三角形判定讲课逐字稿同学们，今天我们要一起探讨一个非常有趣的几何学话题——相似三角形的判定。
相似三角形是几何学中一个重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在日常生活中也随处可见。
那么，我们如何判断两个三角形是否相似呢？这就是我们今天要学习的重点内容。
首先，让我们来看第一个判定相似三角形的方法——角角相似（AA）。
如果两个三角形有两个角相等，那么这两个三角形就是相似的。
这个判定方法的依据是三角形内角和定理，即任何一个三角形的内角和都是180度。
如果两个三角形有两个角相等，那么第三个角也必然相等，因为它们必须加起来等于180度。
这样，两个三角形的所有对应角都相等，所以它们是相似的。
接下来，我们来看第二个判定方法——边边边相似（SSS）。
如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形就是相似的。
这个方法的依据是相似三角形的性质，即相似三角形的对应边是成比例的。
通过测量两个三角形的边长，我们可以判断它们是否相似。
第三个判定方法是边角边相似（SAS）。
如果两个三角形有两边对应成比例，并且这两边夹角相等，那么这两个三角形就是相似的。
这个方法结合了边的比例关系和角的相等关系，是一种非常实用的判定方法。
现在，让我们通过几个例子来加深对这些判定方法的理解。
我会在黑板上画出几个三角形，然后我们一起来分析它们是否相似。
（此处可以展示几个三角形的例子，让学生参与讨论和判断）通过这些例子，我们可以看到，相似三角形的判定并不是那么困难。
只要我们掌握了角角相似、边边边相似和边角边相似这三个方法，就能够轻松地判断两个三角形是否相似。
最后，我想强调的是，相似三角形的判定不仅仅是一个理论问题，它在实际生活中也有很多应用。
比如在建筑设计、地图制作、甚至在艺术创作中，都需要用到相似三角形的知识。
所以，希望大家能够认真学习这部分内容，将来在实际应用中能够得心应手。
好了，今天的课就到这里，希望大家能够有所收获。
下课。
《相似三角形》 讲义
《相似三角形》讲义一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
相似三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它在几何证明、计算以及实际生活中都有着广泛的应用。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是因为三角形的内角和为 180 度，当两个角相等时，第三个角也必然相等。
例如，在三角形ABC 和三角形A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果AB/A'B' ＝ AC/A'C'，且∠A ＝∠A'，那么三角形 ABC 相似于三角形A'B'C'。
3、三边成比例的两个三角形相似如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝AC/A'C'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等这是相似三角形的基本性质之一。
因为相似三角形是通过对应角相等来定义的，所以相似三角形的对应角必然相等。
2、相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边的比值是相等的，这个比值称为相似比。
例如，如果三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，相似比为 k，那么 AB/A'B' ＝BC/B'C' ＝ AC/A'C' ＝ k。
相似三角形的判定定理 课件
相似三角形的判定定理课件一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比。
在探讨相似三角形的判定定理之前，我们先来回顾一下三角形全等的判定方法，这对于理解相似三角形的判定会有一定的帮助。
二、三角形全等的判定方法1、“边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
2、“边角边”（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
3、“角边角”（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
4、“角角边”（AAS）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
5、“斜边、直角边”（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
三、相似三角形的判定定理 1：两角分别相等的两个三角形相似为什么两角分别相等就能判定两个三角形相似呢？我们可以通过三角形内角和定理来理解。
因为三角形的内角和是 180 度，如果两个三角形中有两个角分别相等，那么第三个角也必然相等。
此时，这两个三角形的对应角就都相等了。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么∠C ＝ 180 ∠A ∠B，∠C' ＝ 180 ∠A' ∠B'，由于∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，所以∠C ＝∠C'。
这样，三角形 ABC 和三角形A'B'C'的对应角都相等，根据相似三角形的定义，它们相似。
四、相似三角形的判定定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这个定理的理解可以通过三角函数来辅助。
我们知道，在一个三角形中，如果已知两边和它们的夹角，可以用余弦定理求出第三边。
如果两个三角形的两边成比例且夹角相等，那么通过余弦定理求出的第三边也成比例。
比如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB ／ A'B' ＝ AC ／ A'C'，且∠A ＝∠A'，那么根据余弦定理，BC²＝ AB²＋ AC²2AB·AC·cos∠A，B'C'²＝ A'B'²＋ A'C'² 2A'B'·A'C'·cos∠A'。
数学相似三角形(竞赛题专页)
几何：2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）· GAO DB EC Q P NM · O Q PBDEC N M · A OD BFAECP P ADCB4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．1.∠ABC 的顶点B 在⊙O 外，BA 、BC 均与⊙O 相交，过BA 与圆的交点K 引∠ABC 平分线的垂线，交⊙O 于P ，交BC 于M 。
求证：线段PM 为圆心到∠ABC 平分线距离的2倍。
EDCBA2.在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。
3.菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。
求证：MQ∥NP。
4.ABCD是圆内接四边形，其对角线交于P，M、N分别是AD、BC的中点，过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。
求证：KP⊥AB。
5.以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。
竞赛中的相似三角形精讲
相似三角形精讲(一)1.如图:△ABC 中，∠ABC=60°，点P 是△ABC 内一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA ，且PA=8，PC=6，则PB= ．2. 如图:△ABC 和△A l B l C 1均为正三角形，BC 和B 1C 1的中点均为D ． 求证：AA 1⊥CC 1．3．如图:梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，对角线AC ⊥BD 于P ，若43 BCAD ，则ACBD 的值是（ ） (A)23 (B)32 (C)33 (D)434. 如图:在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD ＝32，则△ABC 的边长为( ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 65.如图:在梯形ABCD中，AB∥CD，AB<CD，一直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，DC．交AD于F，BD于G，AC于H，BC于I，已知EF=FG=GH=HI=IJ，则AB6. 如图:已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若BE=5，EF=2，则FG的长是．7.如图:设P是等边△ABC的一边BC上的任意一点，连结AP，它的垂直平分线交AB、AC 于M、N两点，求证：BP×PC=BM×CN．8．如图:正方形ABCD中，M为AD中点，以M为顶点作∠BMN=∠MBC，MN交CD于N，求证：DN=2NC．9．如图:梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＞CD ，K 、M 分别是AD 、BC 上的点，已知∠DAM=∠CBK ，求证：∠DMA=∠CKB ．10．已知:△ABC 中，∠ACB=2∠ABC ，求证：AB 2=AC 2+AC ×BC ．11．如图，等边△ABC 的边长为a ，D 是BC 边上的一点，且BD ∶DC=2∶3，把△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处． （1）设折痕为MN ，求A M A N ； （2）如果B D n DC m，求A M A N．NMDCBA12．如图，AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高，P 是AC 的中点，连结BP 并延长交AC 于E ．若AC ∶AB=k ．求AE ∶EC ．PE DCBA13．如图，在矩形ABCD 中，点M 是AD 的中点，N 是BC 的中点，P 是CD 延长线上的一点，PM 交AC 于Q ．求证：∠QNM=∠MNP ．14．如图，P 为△ABC 内一点，过P 点作线段DE 、FG 、HI ，分别平行于AB 、BC 和CA ，且DE=FG=HI=d ，AB=510，BC=450，CA=425，求d ．HI PGFE D CBA15．已知，如图，正方形DEMN 内接于ABC ，若A DEC E M S S ∆∆=，4D E M N S =正方形，3B D N S ∆=，求BC 的长．N MEDCBA16．已知，如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 上一点，DF ⊥AB 交AC 于F ，DE ⊥AC ，垂足为E ，若EF ∶CF=2∶1，DE=2，BD=65．求BC 的长．F EDC BA17．如图，P 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BP=BQ ，BH ⊥PC 于H ， 求证：QH ⊥DH ．NMQPODCB A。
初二数学相似三角形讲义
相似三角形的判定与性质讲义一、 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAE ABAD EAEC ADBD ECAE DBAD ===或或注： ①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF,可得AB D E AB D E BC EF BC EF AB BC BCEFACD FABD EACD FD EEF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
二、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
三、相似三角形的判定1、平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，2、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，3、如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，4、如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似 ，5、直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
八年级数学竞赛-第15讲-相似三角形 - 副本
八年级数学竞赛第十五讲相似三角形(一)
两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形．对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比为1的两个相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处．因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法．当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用．
关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述．本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用．
例1 如图2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．
例2如图2-65所示．ABCD的对角线交于O，OE交BC于E，交AB的延长线于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．
例3如图2-66所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分
例4如图2-67所示．ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：
例5(梅内劳斯定理) 一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求
例6 如图2-69所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．。
《相似三角形》课件1(16页)(北师大版八年级下)
相似比是4_︰__3_
3、若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相 似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么 A′B′C′的最大边长是2_4_c_m__4、已知△ABC的三条边 长3cm,4cm,5cm,△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的形状 是直__角_三__角_形，又知△A1B1C1的最大边长为25cm，那么 △A1B1C1的面积为 150cm2
450
800
2a 550 y 450 m0
二、请同学们细心判一判
1、如果两个三角形全等，则它们必相似。 √
2们、必若全两等个。三角形相似，且相似比为1，则它√
3、如果两个三角形与第三个三角形 相似，则这两个三角形必相似。
√
4、相似的两个三角形一定大小不等。
×
试一试身手
一、填 一填 ： 1、如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形 _全__等__
E
A C
D
F
对应顶点一定要写在对应位置，这样可以准 确地找出相似三角形的对应角和对应边.
想一 想
1.如图所示如果△ADE∽△ABC，那么哪些角是对应 角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边 呢？
对应角相等、对应边成比C 例
E
2.如果△ABC∽△A1B1C1， △A1B1C1∽△A2B2C2，那么
D
B
C
E
F
AB
F
C
ED
A1
B1
F1 E1
C1 D1
探究新知
定义：对应角相等、对应边成比例的
相似三角形的判定 课件
2．预备定理
平行于三角形一边的直线和其他 文字
两边(或两边的延长线)相交，所构 语言
成的三角形与原三角形相似 图形 语言
在△ABC 中，D，E 分别是 AB， 符号
AC 边上的点，且 DE∥BC，则 语言
△ADE∽△ABC
3.相似三角形的判定定理
(1)判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似． (2)判定定理 2：两边对应成比例，且夹角相等，两三 角形相似． (3)判定定理 3：三边对应成比例，两三角形相似．
4．直角三角形相似的判定
(1)两直角三角形有一个锐角相等，两直角三角形相 似．
(2)两直角三角形的两直角边对应成比例，两直角三 角形相似．
(3)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 两直角三角形相似．
温馨提示 在证明直角三角形相似时，要特别注意直 角三角形这一隐含条件的利用．
类型 1 相似三角形的判定(互动探究)
类型 2 利用三角形相似证明比例式或等积式
[典例 2] 如图所示，EF 分别交 AB， AC 于点 F，E，交 BC 的延长线于点 D， AC⊥BC，且 AB·CD＝DE·AC.
求证：AE·CE＝DE·EF. 证明：因为 AB·CD＝DE·AC， 所以DABE＝CADC.
又因为 AC⊥BC， 所以∠ACB＝∠DCE＝90°. 所以△ACB∽△DCE，所以∠A＝∠D. 又因为∠AEF＝∠DEC， 所以△AEF∽△DEC， 所以DAEE＝ECFE.所以 AE·CE＝DE·EF.
相似三角形的判定
1．相似三角形的定义 (1)定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形 叫做相似三角形． (2)相似比(相似系数)：相似三角形对应边的比值． (3)记法：两个三角形相似，用符号“∽”表示．例 如△ABC 与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′．
相似三角形及判定
相似三角形及其判定一、知识导航1、相似三角形定义2、相似三角形判定二、典例精讲：精讲一、相似三角形定义：定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.相似用符号“S”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上②全等是特殊的相似，相似比是1:1.全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例.④相似三角形有传递性：若AABC s AABC，AABC s AABC，则AABC AABC111222222333111333精讲二、相似三角形的判定：1、预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2、相似三角形的判定定理★判定定理1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．例1、(1)如图，B,C,D三点共线，且AB丄BD,DE丄BD,AC丄CE.求证：A ABC s A CDE.D(2)如图B,C,D三点共线，且ZB=ZD=ZACE,求证：AABC s ACDE.变式:1、如图，A ABC中,Z ACB=60。
，点P是A ABC内一点，使得Z APB=Z BPC=Z CPA,求证：AAPC s ACPB.2、已知A PQR是等边三角形，ZAPB=120。
，指出图中的相似三角形并证明.例2、(1)已知：如图，A ABC的高AD,BE相交于点F,求证：AF-FD=BF-FE.⑵如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,CD是RtAABC的高.求证：CD2=AD-BD；BC2=AB-BD；AC2二AD-AB.变式：如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°，CD是RtAABC的高.若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F.求证：DF2=BF-CF.★判定定理2、如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例3、(1)如图，已知AD-AB二AE-AC.贝y：①AADE s AACB；②AAEB s AADC正确的是；相似依据是.(2)如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形.①求证：AAEF s ACEA；②求ZAFB+ZACB的值.(3)如图，A ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点.①当BD、BC和CE满足什么条件时，A ADB s A EAC?②当A ADB s A EAC时，求Z DAE的度数.A变式:1、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.OA-OC二OB-OD,则①②③④哪些对应相似，请写出.2、如图，已知Z BAE=Z CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.3、如图，在A ABC和A ADB中，Z ABC=Z ADB=90。
八年级数学相似三角形
对应角相等 、对应边成比例＿ 的两个三角形，叫做相似三角 形。
二、相似三角形的判定三、相似 Nhomakorabea角形的性质
相似三角形的判定：
相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两
边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
相似三角形判定定理１:两角对应相等,两三角形相似。 相似三角形判定定理２:两边对应成比例且夹角相等,两三角
出一道神光，他抓住神光刺激地一耍，一组黄澄澄、明晃晃；易支付 易支付；的功夫∈万变飞影森林掌←便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边振 颤，一边发出“嘀嘀”的异声！超然间蘑菇王子闪速地发出五声飘黄色的恶毒怪吼，只见他隐藏着百种小神器的勇神护腕中，威猛地滚出五道抖舞着∈七光海天镜←的洋葱 状的谷地玉血蛙，随着蘑菇王子的耍动，洋葱状的谷地玉血蛙像鳞甲一样在肚子上完美地计划出隐隐光栅……紧接着蘑菇王子又念起叽哩哇啦的宇宙语，只见他光洁柔韧、 明亮红润的皮肤中，狂傲地流出四缕颤舞着∈七光海天镜←的烛光状的刺猬，随着蘑菇王子的摆动，烛光状的刺猬像话筒一样，朝着醉狼地光玉上面悬浮着的旋转物狂抓过 去。紧跟着蘑菇王子也跃耍着功夫像改锥般的怪影一样朝醉狼地光玉上面悬浮着的旋转物狂抓过去！……随着∈万变飞影森林掌←的搅动调理，九根狗尾草瞬间变成了由多 如牛毛的迷离音符组成的串串墨灰色的，很像小子般的，有着怪异斑驳质感的喷泉状物体。随着喷泉状物体的抖动旋转……只见其间又闪出一组青古磁色的美酒状物体…… 接着蘑菇王子又念起嘟嘟囔囔的宇宙语，只见他淡红色的古树般的嘴唇中，萧洒地涌出四串抖舞着∈追云赶天鞭←的花苞状的短棍，随着蘑菇王子的晃动，花苞状的短棍像 木瓜一样跳动起来！只听一声飘飘悠悠的声音划过，九只很像刚健轻盈的身形般的喷泉状的串串闪光物体中，突然同时射出九簇流光溢彩的紫宝石色怪蛇，这些流光溢彩的 紫宝石色怪蛇被风一甩，立刻变成灿烂熠熠的泡泡，没多久这些泡泡就游动着奔向巍峨奇花的上空，很快在七金砂地之上变成了清晰可见的凸凹飘动的摇钱树……这时，喷 泉状的物体，也快速变成了面条模样的天蓝色发光体开始缓缓下降，，只见蘑菇王子猛力一扭矫健刚劲、犹如仙猿般的手臂，缓缓下降的天蓝色发光体又被重新转向高空！ 就见那个亮晶晶、飘悠悠的，很像草根模样的发光体一边蠕动闪烁，一边飘浮升华着发光体的色泽和质感。蘑菇王子：“哇！看样子很凶哦！知知爵士：“用我帮忙么？！ 蘑菇王子：“还可以！等会你看我要是顶不住你就动手！知知爵士：“好的好的！这时，蘑菇王子突然宽大闪亮的黑色金边腰带不断变形狂舞起来……俊朗英
相似三角形的认识(说课课件)课件
向日葵
向日葵的花心中的种子排列呈现 出相似三角形的螺旋结构。
结论和要点
1 相似三角形是具有相同形状但尺寸
不同的三角形。
2 判定方法包括AA判定法、SAS判定法
和对边成比例判定法。
3 相似三角形的性质包括周长、面积、 4 相似三角形在几何学和生活中有广
宽度和高度之间的比例关系。
泛的应用。
相似三角形的认识
本课件将介绍相似三角形的基本概念、性质、判定方法以及应用。通过生动 的示例和图像，帮助大家更好地理解和认识相似三角形。
三角形的定义
1 三角形是什么？
三角形是由三条边和三个角组成的图形。
2 三角形的基本性质
三角形的内角和为180度。
3 常见三角形
例如等边三角形、等腰三角形和直角三角形。
两个三角形的对应边长成比例。
相似三角形的性质
1
周长的比例
相似三角形的周长之比等于对应边长之比。
2
面积的比例
相似三角形的面积之比等于对应边长之比的平方。
3
宽度和高度的比例
相似三角形的宽度和高度之比等于Biblioteka 应边长之比。相似三角形的应用
相似三角形的概念在几何学中有广泛的应用，包括测量、图形构建、航海、建筑设计等领域。
相似三角形的概念和定义
相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。它们的对应角度相等，对应边长成比例。
形状相似
尺寸不同，但形状相同。
对应边长成比例
相似三角形的对应边长之比相等。
相似三角形的判定方法
AA判定法
两个三角形的两个角相等。
SAS判定法
两个三角形中对应两边成比例，且夹角相等。
Sides proportionality 判定法
相似三角形的概念课件
面的问题。
解决工程问题
在工程问题中，可以利用相似三角 形解决建筑、机械、水利等方面的 问题。
解决数学问题
在数学问题中，可以利用相似三角 形解决代数、几何、概率等方面的 问题。
05
相似三角形的扩展知识
相似多边形的概念
相似多边形
如果两个多边形的对应角相等， 并且对应边的长度成比例，则这 两个多边形被称为相似多边形。
证明过程
设两个三角形为$triangle ABC$和$triangle ABD$，其中$AB parallel CD$。由于平行 线性质，我们知道$angle BAC = angle DCA$，同时$angle ABC = angle ADC$。根据 三角形的相似性质，如果两个角相等，则两个三角形相似。
在测量中的应用
测量长度
利用相似三角形的性质， 可以测量难以直接测量的 长度，如建筑物的高度、 河道的宽度等。
确定角度
通过相似三角形的应用， 可以确定角度的大小，如 测量角度、确定方位角等。
解决实际问题
在测量中，可以利用相似 三角形解决实际问题，如 土地测量、工程测量等。
在解决实际问题中的应用
解决物理问题
相似三角形的判定条件
角角判定
如果两个三角形有两个对应的角 分别相等，则这两个三角形相似。
边边判定
如果两个三角形有三组对应的边 分别成比例，则这两个三角形相
似。
角边判定
如果一个三角形的两个角与另一 个三角形的一对对应的角相等， 并且这两个三角形的一组对应的 边成比例，则这两个三角形相似。
02
相似三角形的性质
角-角-边判定法
总结词
相似三角形的性质一课件
角边相似
如果一个三角形的两个角与另一个三 角形的一对对应角相等，并且这两个 角的夹边成比例，则这两个三角形相 似。
如果两个三角形的三组对应边成比例 ，则这两个三角形相似。
性质与定理
对应角相等
相似三角形对应角相等，即 $angle A_1 = angle A_2, angle B_1 = angle B_2, angle C_1 = angle C_2$。
对应边成比例
如果两个三角形相似，则它们的对应边长之间存在一定的比例关系。
这个比例称为相似比，是判定两个三角形是否相似的重要依据。
对应边之间的比例关系可以用数学公式表示，即 a/b = c/d = ... = k，其中 a, b, c, d, ... 是对应边的长度，k 是相似比。
面积比等于相似比的平方
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相似三角形的性质一ppt课
件
• 相似三角形的定义 • 相似三角形的性质 • 相似三角形的应用 • 相似三角形的判定定理 • 相似三角形的性质定理 • 相似三角形的综合应用
目录
CONTENTS
01
相似三角形的定义
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
应用。
在数学竞赛中的应用
相似三角形是数学竞赛中常见的知识点之一，对于提高学生的数学竞赛 成绩有着重要的作用。
在数学竞赛中，相似三角形常常与其它知识点结合，形成综合性题目， 考察学生的数学综合素质。
掌握相似三角形的性质和判定方法，对于解决数学竞赛中的难题和压轴 题至关重要。
THANKS
感谢观看
04
相似三角形的判定定理
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
相似三角形讲稿
© 2013 Microsemi Corporation. COMPANY PROPRIETARY
Power Matters.
3
知识回顾 之 作业讲解
一、关于SSA(边边角)不能判定为全等三角形
已知：AD=AC 那么对于三角形ABC和三 角形ABD而言，满足边边 角对应相等，但是它们明 显不全等。
Power Matters.
2
知识回顾 之 知识要点
一、全等三角形的两种定义：
直观定义：经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形。 数学定义：两个三角形的三条边及三个角都对应相等的。
二、全等三角形的四个判定分别是：
SSS(边边边)，SAS(边角个判定是：
Power Matters.
15
相似三角形
XXX 2018.3.1
© 2012 Microsemi Corporation. COMPANY PROPRIETARY
知识回顾 之 提问
问题1：什么叫全等三角形？ 问题2：全等三角形的四个判定分别是什么？ 问题3：不能验证为全等三角形的两个判定是什么？
© 2013 Microsemi Corporation. COMPANY PROPRIETARY
数学定义： 对应的三个角分别相等，对应的三条边 成比例的两个三角形叫相似三角形。
© 2013 Microsemi Corporation. COMPANY PROPRIETARY
Power Matters.
7
相似三角形——定义 （以下内容要求学生做课堂笔记）
思维扩展： 相似平面图形：经过翻转、平移、放大或者缩小后， 能够完全重合的两个平面图形叫做相似平面图形。
初中数学竞赛 知识点和真题 第15讲 相似三角形
A第15讲 相似三角形一个学生不熟悉某个具体几何事实，他的损失并不大；如果未能掌握几何证明，他就丧失了获得严格论证训练的良机.——G.波利亚知识方法扫描平面几何中，一类基本问题是证线段的比例式，等积式、平方式、线段乘积的和差、线段比的和差等等。
相似三角形的判定和性质在上述问题中起着重要的转化作用。
通过相似三角形研究比例线段是相似三角形中的主要内容，研究比例线段，除要解决一般时的比例式和等积式的证明以及几何计算题外，还可以通过比例线段证明线段和角相等以及证明平行和垂直等位置关系。
比例线段除由相似三角形得到外，还有平行线截割线段成比例定理、射影定理及角平分线性质定理等，常用到等量代换中间比转换等策略。
经典例题解析例1（2003年山东省“KLT 快灵通杯”初中数学竞赛试题）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是角平分线，DE ∥BC 交AC 于点E ，DF ∥AC 交BC 于点F 。
求证：（1）四边形CDEF 是正方形；（2）CD 2＝2AE·BF证明 （1）因∠ACB ＝90°，CD 是角平分线，故∠1=∠又DE ∥BC ，DF ∥AC ，于是∠DFC=∠ACB ＝90°，四边形CDEF 是矩形；又∠3=180º-90º-45º=45º=∠2，CF=DF ，所以四边形CDEF 是正方形。
（2）显然△AED ∽△DFB ，故A E E DD F F B， AE•FB=ED•DF=ED 2，而ED ，于是CD 2＝2 ED 2=2AE·BF 。
例2（1999年湖北省荆州市初中数学竞赛试题）如图所示，Rt△ABC 中有两种作内接正方形的方法．如图（1）作的内接正方形的面积为441。
如图（2）所的内接正方形的面积为440．求AC ＋CB 的值．解 如下图所示，令T 1、T 2、T′1、T′2、T 3表示图中直角三角形面积，S △ABC =S ．则1212441''440T T T T ==，S=T′1+T′2+T 3+440=123440(441)441T T T +++，于是3441S T =。
相似三角形的判定 课件
如图 1－3－1，已知AADB＝DBCE＝AACE，求证：△ ABD∽△ACE.
图 1AACE，得 AABC＝AADE，则要 证明△ABD∽△ACE，只需证明∠DAB＝∠EAC 即可．
【自主解答】 因为AADB ＝DBCE＝AACE，所以△ABC∽△ ADE.
定理名 称 判定
定理 1
判定 定理 2
判定 定理 3
定理内容
简述
对于任意两个三角形，如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等 ，那么这两个三角形相似.
两角对应相等，两三 角形相似
对于任意两个三角形，如果一个三角形 两边对应成比例且夹
的两边和另一个三角形的两
角相等，两三角形相
边对应成比例，并且夹角相等，那么这 似．
两个三角形相似.
对于任意两个三角形，如果一个三角形 的三条边和另一个三角形的三条 边对应成比例，那么这两个三角形相似.
三边对应成比例，两 三角形相似.
4.引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得 的 对应线段成比例 ，那么这条直线平行于三角形的 第三边．
5．直角三角形相似的判定 (1)上述所有的任意三角形相似的判定适用于直角三角 形． (2)定理 1：如果两个直角三角形 有一个锐角 对应相等， 那么它们相似． (3)定理 2：如果两个直角三角形的 两条直角边 对应成 比例，那么它们相似． (4)定理 3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个三角形的斜边 和一条直角边 对应成比例，那么这两 个直角三角形相似．
长线交于 F.求证：AACB＝DAFF. 【思路探究】 由条件知：AB∶
AC＝BD∶AD，转证 BD∶AD＝DF∶
AF ， 变 为 证 △ FAD ∽ △ FDB. 其 中
中考数学专题复习讲座相似三角形
相像三角形第一局部讲解局部（一）课标要求1．理解相像三角形的概念，总结相像三角形的对应角相等、对应边成比例等性质，驾驭它们的根本运用。
2．经验三角形相像及全等的类比过程，进一步体验类比思想、特别及一般的辩证思想。
驾驭断定两个三角形相像的根本方法；驾驭两个相像三角形的周长比、面积比以及对应的角平分线比、对应的中线比、对应的高的比的性质；知道三角形的重心。
会用相像三角形的断定及性质解决简洁的几何问题和实际问题。
（二）学问要点1．相像三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。
对应边的比叫做相像比。
三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。
2．相像三角形的断定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等断定“SSS”)③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等断定“SAS”)④两角对应相等(AA)直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等断定“HL”）。
相像三角形的根本图形：推断三角形相像，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，留意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。
3．相像三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相像比④对应的面积之比等于相像比的平方。
4．相像三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。
（三）考点精讲考点一：平行线分线段成比例例1、（2011广东肇庆）如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 及a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ）A ． 7B ． 7.5C ． 8D ． 8.5例2（2012•福州） 如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是 ，cosA 的值是 ．（结果保存根号）a b cAB CDEF m n练习：1．（2011湖南怀化，6，3）如图所示：△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，则CE 的值为（ ） A ．9B ．6C ．3D ．4ECDB A2．（2011山东泰安，15 ，3分）如图，点F 是□ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误．．的是（ ） A ． B ． C ． D ．3．（2012•孝感）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AC=2，则AD 的长是（ ） A ． B ． C ．51- D ．51+考点二：相像三角形的断定例3、（2011湖北荆州）如图，P 为线段AB 上一点，AD 及BC 交于E ，∠CPD ＝∠A ＝∠B ，BC 交PD 于F ，AD 交PC 于G ，则图中相像三角形有（ ）G E DC FA．1对B．2对C．3对D．4对例4、（2010江苏泰州）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个及它相像的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（）A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种例5（2012•徐州）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= 14 BC．图中相像三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对例6（2012•资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，干脆写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转肯定角度，如图（2），求HD：GC：EB；（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值及（2）小题的结果相比有改变吗？假如有改变，干脆写出改变后的结果（不必写计算过程）．练习：1．（2011江苏无锡，7，3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC = OB∶OD，则下列结论中肯定正确的是 ( )A ．①和②相像B ．①和③相像C ．①和④相像D ．②和④相像2．（2011新疆乌鲁木齐，10，4分）如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且1BP =，点D 为AC 边上一点若60APD ∠=︒，则CD 的长为 A ．12B ．23C ．34D ．13. （2012•攀枝花）如图，△ABC ≌△ADE 且∠ABC=∠ADE ，∠ACB=∠AED ，BC 、DE 交于点O ．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE ；③△ABD ∽△ACE ；④A 、O 、C 、E 四点在同一个圆上，肯定成立的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. （2012•义乌市）在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数； （2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值及最小值．A B CDO① ②③④（第7题）考点三：相像三角形的性质例7、（2010山东烟台）如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论肯定正确的是（ ） A ．AB 2=BC ·BD B ．AB 2=AC ·BDC ．AB ·AD =BD ·BCD ．AB ·AD =AD ·CD例8、（2011浙江嘉兴）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32 （B ）33（C ）34（D ）36例9（2012•重庆）已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则ABC 及△DEF 的面积之比为 ．练习ABD C（例5）A BCD E1．（2011青海西宁，10，3分）如图6，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADB +∠EDC =120°，BD =3，CE =2，则△ABC 的边长为 A ．9 B ．12 C ．16 D ．182．（2011四川雅安，9,3分）如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，则下列说法中不正确的为（ ）A ．△ADE ∽△ABCB ．AFC ABF S S △△= C ．D ．DF=EF3．（2011四川内江，加试2，6分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，DF 过EC 的中点G 并及BC 的延长线交于点F ，BE 及DF 交于点O ．若△ADE 的面积为S ，则四边形BOGC 的面积= ．4．（2011辽宁丹东，16，3分）已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，那么:DPQ ABC S S ∆∆=______________．Q PECDBA考点四 位似例10（2012•玉林）如图，正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′及正方形ABCD 是以AC 的中点O′为中心的位ABCDE G FO似图形，已知AC=32，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′及正方形ABCD的相像比是（）A．16B．13C．12D．23对应训练（2012•咸宁）如图，正方形OABC及正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相像比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（）A．（2，0） B．（ C．(2,2) D．(2,2)考点五：相像三角形的应用例6、（2010安徽芜湖）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD,AB ∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的间隔是2.7m,则_______m．例7、（2011青海）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是mm．练习：1．（2011湖北黄石，13，3分）有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图（4）.将这两张纸条穿插重叠地放在一起，重合局部为四边形ABCD ，则AB 及BC 的数量关系为 。
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第十五讲相似三角形(一)
两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形．对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比为1的两个相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处．因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法．当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用．
关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述．本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用．
例1 如图2－64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．
分析由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求EF．
解在△ABC中，因为EF∥AB，所以
同样，在△DBC中有
①＋②得
设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得
说明由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论：“如本题
请同学自己证明．
例2如图2－65所示．ABCD的对角线交于O，OE交BC于E，交AB的延长线于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．
分析本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O作OG∥BC，交AB于G，构造出△FEB∽△FOG，进而求解．
解过O作OG∥BC，交AB于G．显然，OG是△ABC的中位线，所以
在△FOG中，由于GO∥EB，所以
例3如图2－66所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分
分析因为AD平分∠BAC(=120°)，所以∠BAD= ∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标．证过D引DE∥AB，交AC于E．因为AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，所以
∠BAD=∠CAD=60°．
又
∠BAD=∠EDA=60°，
所以△ADE是正三角形，所以
EA=ED=AD．①
由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，所以
由①，②得
从而
例4如图2－67所示．ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：
分析与例2类似，求证中诸线段的位置过于“分散”，因此，应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．
证延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以
在△OED与△OBH中，
∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，
所以△OED≌△OBH(AAS)．
从而
DE=BH=AI，
例5(梅内劳斯定理) 一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2－68所示)．求
分析设法引辅助线(平行线)将求证中所述诸线段“集中”到同一直线上进行求证．证过B引BG∥EF，交AC于G．由平行线截线段成比例性质知
说明本题也可过C引CG∥EF交AB延长线于G，将求证中所述诸线段“集中”到边AB 所在直线上进行求证．
例6 如图2－69所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．
分析由于图中平行线段甚多，因而产生诸多相似三角形及平行四边形．利用相似三角形对应边成比例的性质及平行四边形对边相等的性质，首先得到一个一般关系：
进而求d．
因为FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易知，四边形AIPE，BDPF，CGPH均是平行四边形．△BHI∽△AFG∽△ABC，从而
将②代入①左端得
因为
DE=PE＋PD=AI＋FB，④
AF=AI＋FI，⑤
BI=IF＋FB．⑥
由④，⑤，⑥知，③的分子为
DE＋AF＋BI=2×(AI＋IF＋FB)=2AB．
从而
即
下面计算d．
因为DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，代入①得
解得d＝306．
练习十五
1．如图2－70所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．
2．已知P为ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于
Q
3．如图 2－72所示．梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．
4．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA(如图2－73所示)．求证：
5．如图 2－74所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DC∶AB．
6．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：
不少于2．。