物理竞赛第一章运动学

单位时间内的速度增 量即平均加速度 v a t
2（瞬时）加速度 v dv a lim t 0 t dt
y
A
O
vA
B
vB
x
vA
v
vB
例、如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一 滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定 在C点，再绕过B、D，BC段水平，当以恒定水 平速度V拉绳上的自由端时，A沿水平面前进，求 当跨过B的两段绳子的夹角为α 时，A的运动速度。
v 汽地 v 汽火 v 火地
如果汽车中有一只小狗，以相对汽车为 v 狗汽
的速度在
奔跑，那么小狗相对地面的速度就是
v 狗地 v 狗汽 v 汽火 v 火地
从以上二式中可看到，上列相对运动的式子要遵 守以下几条原则： ①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标 相同。合速度的后脚标和最后一个分速度 的后脚标相同。 ②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一 个分速度的前脚标相同。 ③所有分速度都用矢量合成法相加。 ④速度的前后脚标对调，改变符号。 以上求相对速度的式子也同样适用于求相对位移 和相对加速度。
第一章 运 动 学
（一） 基本概念
一、位置矢量 1 位置矢量
运动方程
位移
y
r xi yj zk
y
j
位矢r 的值为
r r x y z
2 2 2
r
x
*P
z
o
k
i
x
z
2 运动方程
y
y (t )
r (t ) x (t )i y (t ) j z (t ) k

V
2 0
tan coc
2
2g
练习5 如图 1-25，从 O 点以初速度 v0 射出一颗子弹，
同时从距地面高为 h 的 A 点自由落下一物体，若两者 在 B 点相遇（B 点离 O点的水平距离为 l），求子弹的 初速度与水平方向的夹角θ .
答案
图 1-25
解 对子弹而言， 在水平方向有
在竖直方向
直于AB的方向向下移动，而直线CD以大小为V2 的速度沿垂直于CD的方向向右下方移动，两条直 线的交角为θ ，如图所示，求它们的交点P的速 度大小与方向？
D A P v1 C
（删去）例、直线AB以大小为V1的速度沿垂
B
v2
练习3. 如图 1-14， 半径为 R 的半圆凸轮以等速 v0 沿水平面向右运动，带动从动杆 AB 沿竖直方向上 升，O 为凸轮圆心，P 为其顶点,求当∠AOP = α 时， AB 杆的速度.
得
圆台转一周所需时间为
练习6. 如图 1-34 所示，直杆 AB 以匀速 v0 搁在半径为 r
的固定圆环上作平动，试求图示位置时，杆与环的交点 M 的速度和加速度.
答案
图 1-34
由于 M 点作圆周运动， 故其 运动加速度 aM 由法向加速度 an和切向加速度 aτ 组成， 即
因 M 点的运动具有直线 AB 运动的特征 即沿 y 方向的加速度为零 aτ
和差化积
cos(α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
当
有极大值1时，即
时， 有极小值．
因为
所以
从这个一题多解中可说明：一个较复杂的运动 可按不同的观念分解成不同的两个运动，分得合理 会给解题带来一些方便．
练习4. 从底角为 θ 的斜面顶端， 以初速度 v0 水
平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长,如图 122 所示，则小球抛出后离开斜面的最大距离 H 是多少？
2.物系相关速度 正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动 合成的知识外，还可充分利用物系相关速度之 间的关系简捷求解，以下三个结论在实际解题 中十分有用： 1、刚性杆，绳上各点在同一时刻具有相同 的沿杆、绳的分速度 2、接触物系在接触面法线方向的分速度相 同，切向分速度在无相对滑动时亦相同 3、线状交叉物系交叉点是相交物系双方沿 双方切向运动分速度的矢量和
即
这是一个有关
②
的一元二次方程，其判别式为
②式的解为
取
作为未知数，可以解得
舍去不合理解， 此时
换一种坐标取法：以AB方向作为x轴（如图）．这 样一取，小球在x、y方向上做的都是匀变速运动了， 和g都要正交分解到x、y方向上去．
小球的运动方程为
当小球越过墙顶时，y方向 的位移为零，由上式可得: 则：
o
x
o
xB
x

r rB r A
r
x y z
2
2
2
二、
速度 1 平均速度
y
B
r (t t )
s r
2 瞬时速度
r t dr dt
r (t )
o
A
x
v lim
t 0

三、
加速度 1 平均加速度
a 与 v 同方向 .
而 A 点速度沿线方向的投影为
练习1. 如图 1-3 所示， 几辆相同的汽车以等速 度 v 沿宽为c 的直公路行驶，每车宽为 b，头尾 间距为a，则人能以最小速度沿一直线穿过马路所 用的时间为多少？
图 1-3
图 1-4
练习2 在听磁带录音机的录音时发觉： 带轴 上带卷的半径经过时间 t1 =20min 后减少一半， 问此后半径又减小一半需要多少时间？
答案
图 1-22
当物体速度与斜面平行时， 物体距斜面最远， 以水平 向右为 x 轴正向， 竖直向 下为 y 轴正向， 则由
O
V0
v
图1
该点坐标为
对于与垂直斜 面方向的类竖 直上抛运动， 小球上升的最 大高度为
V0sinθ
gcosθ
V0cosθ
gsinθ
H
V
2 0
sin
2
2 g cos
当
最大，即
时，
有极小值．
再换一种观念：将斜抛运动看成是
方向的匀速直线运动
和另一个自由落体运动的合运动，如图所示． 在位移三角形ADB中用正弦定理
①
由①式中第一个等式可得 将②式代入①式中第二个等式
②
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
这一定理对于任意三角形ABC，都有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆半径
x x (t ) y y (t )
r (t )
分量式
o
z (t )
x (t )
z z (t )
从中消去参数 t 得轨迹方程
z
x
f ( x, y, z ) 0
3 位移
y
A r rA rB
y
B
yB yA
A r rA rB
xA xB x A
B
yB yA
解 :如图 1-4 所示，v 即为 人安全穿过马路的最小速度, 则
人min
故所需时间为
解 :设带卷的初半径为 4r， 经 t1 时间半径 减为 2r， 则相应的面积减少为
这等于所绕带的长度 l1 与带的厚度 d 之乘积, 因带速恒定，故 同理有
（二）运动的合成
1.相对wk.baidu.com动
物体相对静止参照系的运动称为绝对运动，相应的速度和 加速度分别称为绝对速度和绝对加速度； 物体相对运动参照系的运动称为相对运动，相应的速度和 加速度分别称为相对速度和相对加速度； 而运动参照系相对静止参照系的运动称为牵连运动，相应 的速度和加速度分别称为牵连速度和牵连加速度。
图 1-14
图 1-15
解 ：取与半圆柱体一起运动的参照系为运动参照系， 则竖直杆与半圆柱体的接触端 P 的运动为圆周运动， 即相对速度 v′的方向为圆上 P 点的切向. 由题意， 杆下端 P 的绝对速度 vp 的方向为竖直方向，所以 有
得
α
故此时竖直杆的运动速度为
（三）斜抛运动
根据运动的独立性，经常把斜抛运动分解 成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的上 抛运动来处理，但有时也可以用其它的分解 方法．
（四）圆周运动
例. 如图 1-30 所示，一个圆台，上底半径为 r1， 下底 半径为 r2，其母线 AB 长为 l，放置在水平地面上，推 动它之后，它自身以角速度ω 旋转，整体绕 O点作匀速圆 周运动，若接触部分不打滑，求旋转半径 OA 及旋转一周 所需的时间.
解 ：设旋转半径 OA 长为 R， 由相似三角形相似比关系得
an
由此可得
练习7. 缠在线轴上的线被绕过滑轮 B 后， 以恒定速度
v0 拉出，如图 1-40 所示，这时线轴沿水平平面 无滑动滚动. 求线轴中心点 O的速度随线与水平 方向的夹角 α 的变化关系，线轴的内、外半径 分别为 R 和 r. 答案
图 1-40
线轴的运动可以看作是速度 为 v 的平动和角速度为 ω 的转 动的合成， 而且因为线轴不沿 水平面滑动，有
绝对运动、相对运动、牵连运动的速度矢量关系是：
v 绝对 v 相对 v 牵连
如果有一辆平板火车正在行驶，速度为 （脚标 “火地”表示火车相对地面，下同）。有一个大胆的驾 驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度 为 v 汽火 ，那么很明显，汽车相对地面的速度为：
v 火地
接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分 速度在无相对滑动时亦相同 例：如图所示，AB杆的A端以匀速V运动，在 运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为R， 当杆与水平线的交角为θ 时，求杆的角速度及杆 上与半圆周相切点C的速度和杆与圆柱接触点C′ 的速度大小？
线状交叉物系交叉点是相交物系双方沿双方切向 运动分速度的矢量和
例.如图所示，从A点以的初速度 抛出一个小球， 在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC，要求 小球能超过B点．问小球以怎样的角度抛出，才能使 最小？
先用最一般的坐标取法：以A点作为原 点，水平方向（AC方向）作为x轴，竖 直方向作为y轴．小球的运动方程为
s
这是一个有关 和 成 的函数关系，需要求 为多少时 有极小值．将①式改写