全等三角形压轴题与分类解析

B

A

O D

C

E

图8

七年级下三角形综合题归类

一、 双等边三角形模型

1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，

连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；

（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.

2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O.

① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。

③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。

（·中考题）

同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE. (1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；

(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；

(3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.

图c

3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证：

CD BE =，△AMN 是等边三角形．

（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由．

C

B

O D

图7

A

E

A B C

M

N

O

P Q

同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =；

（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.

4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ．

（1）证明：△ABG ≌△ADE ；

（2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由；

（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积 为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明．

C

F G

E

D

B

A

H

图9 图10 图11

C

E

N D

A

B

M

图①

C

A

E M B

D

N 图②

5.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使

DE DB =，连接AE CD ，．

（1）求证：AGE DAC △≌△；

（2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论．

C

G

A

E

D

B

F

二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察容）

考点1：利用垂直证明角相等

1. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交

CF 的延长线于D ．

求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长．

2. （中考）如图(1), 已知△ABC 中, ∠BAC=900, AB=AC, AE 是过A 的一条直线, 且B 、C 在A 、E 的

异侧, BD ⊥AE 于D, CE ⊥AE 于E 。

图(1) 图(2) 图(3) (1)试说明: BD=DE+CE.

(2) 若直线AE 绕A 点旋转到图(2)位置时(BDCE), 其余条件不变, 问BD 与DE 、CE 的关系如何? 写出结论,可不说明理由。

3. 直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠． （1）若直线CD 经过BCA ∠的部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：

①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则EF

AF -（填“>”，“<”或“=”号）；

②如图2，若0180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系是 ；

（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．

考点2：利用角相等证明垂直

1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系

2. 如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． (1)求证：CD=BF ； (2)求证：AD ⊥CF ；

(3)连接AF ，试判断△ACF 的形状.

拓展巩固：如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．

A

B

C E F D

D

A

B C

E F A

D

F

C E

B

图1 图2 图3

B

A

C

E

F

Q

P

D A

B

C D

E

F

图9