(完整版)幂的知识点

幂的运算（基础）
【要点梳理】
要点一、同底数幂的乘法性质
+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即m n p m n p
a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们
的指数之和等于原来的幂的指数。

即m n
m n a
a a +=⋅（,m n 都是正整数）.
要点二、幂的乘方法则 ()=m n
mn
a a
(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p
mnp
a a
(0≠a ，,,m n p 均为正整数)
（2）逆用公式： ()()n
m
mn
m n a
a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从
而解决问题. 要点三、积的乘方法则
()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n
n
n
n
abc a b c (n 为正整数).
（2）逆用公式：()n n n
a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计
算更简便.如：1010
101122 1.22⎛⎫⎛⎫
⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
要点四、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法性质
1、计算：
（1）2
3
4
444⨯⨯；（2）3
4
5
2
6
22a a a a a a ⋅+⋅-⋅； （3）1
1211()()()()()n
n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．
【答案与解析】 解：（1）原式23494
4++==．
（2）原式3452617777
2222a a a a a a a +++=+-=+-=．
（3）原式11
211222()
()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+． 【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别
同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体． 举一反三： 【变式】计算：
（1）5
3
2
3(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()
()p
p p x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；
（3）232(2)(2)n
⨯-⋅-（n 为正整数）．
【答案】
解：（1）原式5
3
2
5
3
2
532
103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-．
（2）原式22122151()p
p p p p p p x x x x x +++++=⋅⋅-=-=-． （3）原式525216222
(2)22n
n n +++=⋅⋅-=-=-．
2、已知2
220x +=，求2x 的值．
【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅
【答案与解析】 解：由2
2
20x +=得22220x ⋅=．
∴ 25x
=． 【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：
m n m n a a a +=⋅．
类型二、幂的乘方法则
3、计算：
（1）2
()m a ；（2）34[()]m -；（3）32
()m a
-．
【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-． 【答案与解析】
解：（1）2
()m a 2m
a =．
（2）34[()]m -1212
()m m =-=．
（3）32()m a -2(3)62m m
a a --==．
【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.
4、已知25m
x
=，求61
55
m x -的值．
【答案与解析】
解：∵ 25m
x
=，∴
6233111
5()55520555
m m x x -=-=⨯-=． 【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：()()mn m n n m
a a a ==．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．
举一反三：
【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a b
x +的值．
【答案】 解：32323232()()238972a b
a b a b x
x x x x +===⨯=⨯=g g ．
【变式2】已知84=m
，85=n
，求328+m n
的值．
【答案】 解：因为3338
(8)464===m
m , 2228(8)525===n n .
所以32328
8864251600+=⨯=⨯=m n
m
n
.
类型三、积的乘方法则
5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：
（1）2
2
()ab ab =； （2）3
33
(4)64ab a b =； （3）32
6
(3)9x x -=-． 【答案与解析】
解：（1）错，这是积的乘方，应为：2
22
()ab a b =． （2）对．
（3）错，系数应为9，应为：32
6
(3)9x x -=． 【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方． （2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法性质
1、计算：
(1)3
5
(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)2
3
(2)(2)x y y x -⋅- ．
【答案与解析】
解：（1）3
5
351
9(2)(2)(2)(2)
(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+．
（2）2
3
2
3
5
(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--． 【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．
（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：
()()(),n n n
a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()
n n
n
b a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数． 类型二、幂的乘方法则
2、计算：
（1）23
[()]a b --； （2）32
23
5
()()2y y y y +-g ；
（3）22412
()()m m x
x -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．
【答案与解析】
解：（1）23
[()]a b --236()
()a b a b ⨯=--=--．
（2）32
23
5
()()2y y y y +-⋅6
6
6
6
6
2220y y y y y =+-=-=． （3）22412()()m m x
x -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=．
（4）32
34
()()x x ⋅6
12
18
x x x =⋅=． 【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．
3、已知84=m ，85=n ，求328
+m n
的值．
【思路点拨】由于已知8,8m
n
的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把328+m n 变成323288(8)(8)m
n m n ⨯=⨯，再代
入计算.
【答案与解析】
解：因为3338
(8)464===m
m , 2228(8)525===n n .
所以32328
8864251600+=⨯=⨯=m n
m n .
【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8,8m
n
当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 举一反三： 【变式】已知322,3m
m
a
b
==，则()()()
3
6
322
m
m m m a
b a b b +-⋅＝ ．
【答案】－5；
提示：原式()()()()
2
3
2
2
3232m m m m a
b a b =+-⋅
∵
∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.
类型三、积的乘方法则
4、计算：
（1）24
(2)xy - （2）2
4333
[()]a a b -⋅- 【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算. 【答案与解析】
解：（1）24
4
4
24
4
8
(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-．
（2）2
4333
[()]a a b -⋅-23
1293
6
36
27
4227
()()()a a b a a b a b =-⋅-=-⋅-⋅=． 【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：
【变式】下列等式正确的个数是( )．
①()3
2
36
9
26x y
x y -=- ②()3
26m m
a a -= ③()3
69
33a a = ④()()5735
5107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()
100
100
101
0.520.522-⨯=-⨯⨯
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 【答案】A ；
提示：只有⑤正确；
()3
236928x y x y -=-；
()326m m a a -=-；
()3
618327a a =；
()()5
7
12
135107103510
3.510⨯⨯⨯=⨯=⨯
同底数幂的除法
【要点梳理】
要点一、同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m n
a a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >） 要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1.即0
1a =（a ≠0）
要点诠释：底数a 不能为0，0
0无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 要点三、负整数指数幂
任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1
n
n a
a
-=
（a ≠0，n 是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.
m n m n a a a +=（m 、n 为整数，0a ≠）；
()m
m m ab a b =（m 为整数，0a ≠，0b ≠）
()n
m mn a a =（m 、n 为整数，0a ≠）.
要点诠释：()0n a a -≠是n
a 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如()
1
122xy xy
-=
（0xy ≠），()
()
5
5
1
a b a b -+=
+（0a b +≠）.
要点四、科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成10
n
a ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10
n
a -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<.
用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】
类型一、同底数幂的除法
1、计算：
（1）8
3
x x ÷；（2）3
()a a -÷；（3）5
2
(2)(2)xy xy ÷；（4）53
1133⎛⎫⎛⎫
-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号． 【答案与解析】 解：（1）8383
5x x x
x -÷==．
（2）3312
()a a a a --÷=-=-．
（3）5
2
52
333(2)(2)(2)
(2)8xy xy xy xy x y -÷===．
（4）5
353
2
1111133339
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭． 【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．
2、计算下列各题：
（1）5
()()x y x y -÷- （2）12
5
(52)(25)a b b a -÷-
（3）64
62
(310)(310)⨯÷⨯ （4）33
24
[(2)][(2)]x y y x -÷- 【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，
如1212
(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0． 【答案与解析】
解：（1）5
51
4()()()
()x y x y x y x y --÷-=-=-．
（2）12
5
12
5
7
(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=- （3）64
62
642
6212(310)(310)(310)
(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯．
（4）33
24
[(2)][(2)]x y y x -÷-9
8
98
(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-．
【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算． 3、已知32m =，34n =，求129m n
+-的值．
【答案与解析】 解： 12122222222122224444
9(3)33333(3)39
9(3)33(3)(3)
m m m m m m m n
n n n n n n ++++-======g g g ． 当32m
=，34n
=时，原式224
239
464
⨯==． 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ，3n
的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数
的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：
【变式】已知2552m
m
⨯=⨯，求m 的值． 【答案】
解：由2552m m ⨯=⨯得1152m m --=，即11
52
1m m --÷=，1
512m -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
∵ 底数5
2
不等于0和1，
∴ 1
5522m -⎛⎫⎛⎫
= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，即10m -=，1m =． 类型二、负整数次幂的运算
4、计算：（1）2
23-⎛⎫- ⎪⎝⎭
；（2）23131
()()a b a b ab ---÷．
【答案与解析】
解：（1）2
2
2119434293-⎛⎫
-=== ⎪⎝⎭⎛⎫
- ⎪⎝⎭
； （2）2313123330
()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===g g ．
【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义． 举一反三：
【变式】计算：4
5
13012222( 3.14)2π----⎛⎫
++⨯⨯+- ⎪⎝⎭
．
【答案】
解： 4
513012222( 3.14)2π----⎛⎫
++⨯⨯+- ⎪⎝⎭
45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+ 1151611732832
=+++= 5、 已知1327m
=，1162n
⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则n m 的值＝________．
【答案与解析】
解： ∵ 3311
33273
m
-=
==，∴ 3m =-． ∵ 122n
n -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，4
162=，∴ 422n -=，4n =-．
∴ 4
411(3)(3)81
n m -=-==-． 【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122n
n -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，4162=，然后确定m 、n 的值，最后代值求n
m ．
举一反三：
【变式】计算：（1）1232
()a b c --；（2）3
232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
；
【答案】
解：（1）原式4
246
26b a b c a c
--==．
（2）原式8
2369
812
12888b b c b c b c
c
---=⨯==． 类型三、科学记数法
6、用科学记数法表示下列各数： （1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067 【答案与解析】 解：（1）0.00001＝5
10-；
（2）0.000000203＝7
2.0310-⨯； （3）-0.000135＝41.3510--⨯； （4）0.00067＝4
6.710-⨯. 【总结升华】注意在10n a -⨯中n 的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．
【巩固练习】 一.选择题
1. ()()3
5
c c -⋅-的值是( )． A. 8
c - B. ()15
c -
C. 15
c D.8
c
2．2n
n a a
+⋅的值是( )．
A. 3
n a + B. ()
2n n a
+
C. 22
n a
+
D. 8
a
3．下列计算正确的是( )．
A.2
2
4
x x x += B.3
4
7
x x x x ⋅⋅= C. 4416a a a ⋅= D.23
a a a ⋅=
4．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).
A. 100×2
10＝3
10 B. 1000×10
10＝30
10 C. 100×3
10＝5
10 D. 100×1000＝4
10 5．下列计算正确的是( )． A.()3
3
xy xy =
B.()222455xy
x y -=- C.()2
24
39x
x -=-
D.()
3
23628xy x y -=-
6．若()3
915
28m n a b a b =成立，则( )．
A. m ＝6，n ＝12
B. m ＝3，n ＝12
C. m ＝3，n ＝5
D. m ＝6，n ＝5
二.填空题
7. 若26,25m
n
==，则2m n
+＝____________．
8. 若()
319x a
a a ⋅=，则x ＝_______．
9. 已知35n
a
=，那么6n a =______． 10．若38m a a a ⋅=，则m ＝______；若31
381x +=，则x ＝______．
11. ()322⎡⎤-=⎣⎦______； ()3
3n ⎡⎤-=⎣⎦
______； ()5
2
3-＝______．
12.若n 是正整数，且210n
a =，则3222()8()n n a a --＝__________.
三.解答题
13. 判断下列计算的正误．
（1）336
x x x += ( ) （2） 32
5
()y y -=- ( )
（3）2224(2)2ab a b -=- （ ） （4） 224
()xy xy = ( )
14.（1） 38
43
()()x x x ⋅-⋅-； （2）233322
1()()3
a b a b -+-；
（3）35
10(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯； （4）()()3522b a a b --；
（5）
()()2
3
63353a a a -+-⋅；
15.（1）若33
35n
n x x
x +⋅=，求n 的值．
（2）若(
)
3
915n m
a b b a b ⋅⋅=，求m 、n 的值．
【答案与解析】 一.选择题
1. 【答案】D ；
【解析】()()()()3535
8
8c c c c c +-⋅-=-=-=.
2. 【答案】C ； 【解析】2
222n n n n n a a a a ++++⋅==.
3. 【答案】D ；
【解析】2
2
2
2x x x +=；3
4
8
x x x x ⋅⋅=；4
4
8
a a a ⋅=. 4. 【答案】C ；
【解析】100×2
10＝4
10；1000×10
10＝13
10；100×1000＝5
10. 5. 【答案】D ；
【解析】()3
3
3
xy x y =；(
)2
224525xy
x y -=；()2
2439x x -=.
6. 【答案】C ； 【解析】(
)
3
33915288,39,315m n m n a b a b a b m n ====，解得m ＝3，n ＝5.
二.填空题
7. 【答案】30；
【解析】2
226530m n m n
+==⨯=g . 8. 【答案】6；
【解析】31
19
,3119,6x a
a x x +=+==. 9. 【答案】25；
【解析】()
2
632525n n a
a
===.
10.【答案】5；1； 【解析】3
38,38,5m
m
a a a
a m m +⋅==+==；3143813,314,1x x x +==+==.
11.【答案】64；9
n -；10
3-； 12.【答案】200； 【解析】()()
3
2
32
2222()8()
81000800200n n
n n a a a
a
--=-=-=.
三.解答题 13.【解析】 解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）× 14.【解析】
解：（1）38432412
37()()x x x x x x x ⋅-⋅-=-⋅⋅=-；
（2）23332269
6411()()327
a b a b a b a b -+-=-
+；
（3）35358
10(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯；
（4）()()
()()()3
5
358
22222b a a b a b a b a b --=---=--；
（5）(
)()
2
3
6331293125325272a a a a a a a -+-⋅=-⋅=-.
15.【解析】 解：（1）∵33
35n
n x x x +⋅= ∴ 43
35n x
x +=
∴4n ＋3＝35 ∴n ＝8
（2）m ＝4，n ＝3
解：∵(
)
3915n m
a b b
a b ⋅⋅=
∴ 333
333
915n
m
n
m a b b a b a b +⋅⋅=⋅=
∴3n ＝9且3m ＋3＝15 ∴n ＝3且m ＝4。