数值计算习题2

《数值计算方法》试题集及答案 (2)

《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。

答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。

12、为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。

13、用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

数值计算与MATLAB第二章

第二章非线性方程求根习题2-11. 试寻找f(x)= x 3+6.6 x2-29.05 x +22.64=0的实根上下界,及正根所在的区间，区间长度取1。

解:由笛卡儿符号规则知，f(x)=0可能有二个正根或无正根f(-x)= -x 3+6.6 x2+29.05 x +22.64=0即x 3 -6.6 x2-29.05 x -22.64=0f(-x)=0有一个正根，因此，f(x)=0有一个负根。

由定理2-3，f(x)=0的正根上界f(x)=0的负根下界x0123456 6.39f(x)++-+++++正根所在区间为(1, 2),(2, 3)。

2．你能不利用多项式的求导公式，而借鉴于余数定理的思想，构造出P n(x)=a0x n+a1x n-1+...+a n-1x+a n在x0这点上的导数值的算法吗？习题2-21.用二分法求方程x2-x-1=0的正根，要求准确到小数点后第一位a F(a)b F(b)x F(x)0-1211-11-121 1.5-0.251.5-0.2521 1.750.31251.5-0.25 1.750.3125 1.6250.3015625 1.5-0.25 1.6250.015625 1.5625-0.12109375 1.5625-0.12104375 1.6250.015625 1.59375-0.053710937 1.59375-0.053710937 1.6250.015625 1.609375-0.019287109 1.609375-0.019287109 1.6250.015625 1.6171875-0.001892089 1.6171875-0.001892089 1.6250.015625 1.621093750.006851196 1.6171875-0.001892089 1.621093750.006851196 1.6191406250.002175738 1.6171875-0.001892089 1.619140620.002475738 1.6181640630.000290904X*=1.618K=5X*=1.593752．试证明用试位法（比例求根法），求在区间[0, 1]内的一个根必然收敛。

数值计算方法课后习题答案

第一章绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ，相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

数值分析习题课2

用n=2的高斯-勒让德公式计算积分：
I ≈ 0.5555556 × [ f (−0.7745967) + f (0.7745967)] + 0.8888889 × f (0) ≈ 10.9484
用n=3的高斯-勒让德公式计算积分：
I ≈ 0.3478548 × [ f (−0.8611363) + f (0.8611363)] +0.6521452 × [ f (−0.3399810) + f (0.3399810)] ≈ 10.95014
x+5 y= 4
，则
作变换
1
y=
1 I2 = ∫ dx, −1 x + 7 1 f ( x) = , x+7 I 2 ≈ f (−0.5773503) + f (0.5773503) ≈ 0.2876712
x+7 4
，则
作变换
1
1 1 1 I4 = ∫ dx, I3 = ∫ dx, −1 x + 11 −1 x + 9 1 1 , f ( x) = , f ( x) = x + 11 x+9 I ≈ f ( −0.5773503) + f (0.5773503) ≈ 0.1823204 I 3 ≈ f (−0.5773503) + f (0.5773503) ≈ 0.2231405 4
R( f ) = − ≤
b − a b − a 4 (4) ( ) f (η ) 180 2
1 1 × 4 × e0 = 0.00035,η ∈ (0,1) 180 2
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
解：采用复化梯形公式时，余项为

数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k kx a x x x x +-⎫⎛-=+==⎪ ⎝⎭（2）取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218，而()k k k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。

8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。

数值计算课后习题答案

习题一解答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。

求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。

注意，不应先求相对误差再求绝对误差。

有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。

有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。

根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。

解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。

相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x-==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。

而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。

（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。

相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。

而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。

（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265...=0.314159265 (10)22 3.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。

数值分析计算方法第二章作业

第二章作业题答案
1.当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3,4，求f(x)的二次差值多项式（1）用单项式基底（2）用拉格朗日插值基底
（1）解：设 f(x)abxcx2 则a+b+c=0 a-b+c=-3 a+2b+4c=4
解得
a7,b3,c5 326
所以 f(x)73x5x2
解：由p(0)=0,p(1)=1,p(2)=1,我们可以得出
P 2 ( x ) ( x ( 1 1 ) ) ( ( x 2 ) 2 ) 0 ( 1 ( x ) 0 ( ) x ( 1 2 2 ) ) 1 ( ( 2 x ) ) ( ( 2 x 1 1 ) ) 1 1 2 x 2 3 2 x
将 p'(0)0,p'(1)1 代入到上式中，得出
a 3 ,b 1
4
4
从而有 P4(x)1 4x43 2x39 4x2
p ( x 0 ) f ( x 0 ) , P '( x 0 ) f '( x 0 ) , P ''( x 0 ) f ''( x 0 ) ,p ( x 1 ) f ( x 1 )
解：设 P ( x ) f( x 0 ) f'( x 0 ) ( x x 0 ) f''2 ( x ! 0 )( x x 0 ) 2 a ( x x 0 ) 3
解：设P（x）= ax3bx2cxd
则 P'(x)3ax22bxc
d 0 代入已知条件，得到： c 1
abcd 1 3a 2b c 2
解得a=1,b=-1,c=1,d=0
所以P（x）= x3 x2 x

数值计算与最优化复习2答案

《数值计算与最优化》期末考试复习2一、填空（每题3分×12题）1．经过四舍五入得出1 6.1025x =，280.115x =，试问它们分别具有 5 ， 5 位有效数字。

1x +2x 的绝对误差限是 0.5ⅹ101-5+0.5ⅹ102-5 。

2．设()1(0)n n n f x a x a =+≠，则011[,,...,]n f x x x += 0 。

3．n 个节点的高斯求积公式具有 2n+1 次代数精度。

4．将区间[a,b]分为n 等份，复化梯形公式为 (b-a)/(2n)(f1+2f2+2f3+..+2fn+f n+1) 。

5．已知矩阵4316A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则1||||A = 9 ，||||A ∞= 7 。

6．矩阵369282271218A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的Crout 分解为A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

527042003- 1004103217．用迭代法解线性方程组(1)()k k x Bx f +=+,若0230B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，55f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则此方法不收敛（填“收敛”或者“不收敛”）。

8．设Ax=b ，用SOR 迭代法解线性方程组，收敛的条件是（1）A 为可逆矩阵；（2）ω的取值范围是 0<ω<2 。

910．求方程23xx e -12ln ln 3k k x x +=+则发散。

（填“收敛”或者“发散”） 11．线性规划问题的基可行解X 对应于可行域D 的基变量。

12．将下列数学模型123123123123123max 23..72325,0,z x x x s t x x x x x x x x x x x x =-+-⎧++≤⎪-+≥⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩为无约束化为标准型。

解：min -z=x 1-2x 2+3x 3s.t. x 1+x 2+x 3+x 4=7x 1-x 2+x 3-x 5=2-3x 1+x 2+2x 3=5二、判断（每题1分×4题）1．将3.141作为π的近似值，则它具有4位有效数字。

数值计算课后规范标准答案2

习题二解答1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31102-⨯。

分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。

解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。

由34311*1022222n n n n n n b a b a x x -----≤===<⨯ 有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000，所以n ＝11，即只需要二分11次即可。

x *≈x 11=3.632。

指出：（1）注意精确度的不同表述。

精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。

（2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。

如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。

1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。

解：令32247y x x x =---，则2344322()()y x x x x '=--=+-当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有12223,x x =-=。

函数单调区间列表分析如下：因为214902150327(),()y y -=-<=-<，所以方程在区间223(,)-上无根；因为21490327()y -=-<，而函数在23(,)-∞-上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。

所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。

2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于41102-⨯的根，需要迭代多少次？分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。

数值分析课后习题答案

x2 6.6667x2 8.205
再解
1
15 56
x31.785,7得 x35.769
1 25069x4 0.47847x4 1.4872
1 x5 5.3718 x5 5.3718
2-10.证明下列不等式:
(1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y;
证明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y
b.用Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=0.
102 x Байду номын сангаасy 1
100y 100
再用列主元Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=1.
x y
y 1
2
2-8.用追赶法求解方程组:
4 1
x1 100
1 4 1
x2 0
3-8.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性.
2 1 0 0 x1 1
1
0 0
2 1 0
1 2 1
0 12
x2 x3 x4
0 00
解直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称
1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位有效数字?
解因为101/2=3.162…=0.3162…10,若具有n位有效数字,则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
1 2
0
12 1,
1 2
1 2
0
12

数值计算基础习题集

《数值计算基础》习题集第1章引论1、已知，求近似值的有效数字位数、绝对误差限和相对误差限。

2、下列各数均为四舍五入得到，指出它们各具有几位有效数字及绝对误差限和相对误差限： (1) 6000 (2)7000.00 (3)2.00023、将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差。

(1) 2.1514 (2) －392.85 (3) 0.0039224、已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差： (1) 13267 (2) 0.2965、已知各近似值及其绝对误差，试确定各数的有效位数。

(1) 0.3941 (2)293.481 (3) 0.003816、已知各近似值及其相对误差，试确定各数的有效位数。

(1) 1.8921 (2) 22.351 (3) 48361 注：相对误差与有效数字的关系请使用以下定理定理：设x 是准确值，x*是近似值)(10....0*21Z k x x x x k n ∈⨯±=，其中n x x x ,...,,21都是0~9十个数字之一，且01≠x 。

（1）若x*有n 位有效数字，则其相对误差限为111021+-⨯n x 。

（2）若x*的相对误差限为1110)1(21+-⨯+n x ，则x*有n 位有效数字。

参考答案1、有效数字位数4位，，2、（1）4位，，（2）6位，，（3）5位，，3、（1）2.15，，（2）-393，，（3）0.00392，，4、（1）（2）5、（1）2位（2）3位（3）2位6、（1）3位（2）1位（3）2位第2章解线性方程组的直接法1、用高斯顺序消元法解线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡141421123412321x x x 2、用高斯列主元消去法解线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11124112345111321x x x 3、用Doolittle 三角分解法求解方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----5481332222224321x x x4、求矩阵的Crout 三角分解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----13322222245、求矩阵的Cholesky 三角分解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--22484548416参考答案 1、 2、 3、4、⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1112121192212413322222245、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--33221433221422484548416第3章插值法与最小二乘法Newton 插值法求其插值多项式，并给出余项。

2015数值分析练习题 (2)

2015《数值分析》练习题1、填空题（1）1.73和1.7321都是3的近似值，已知 7320508.13=则1.73具有位有效数字，则1.7321具有位有效数字。

（2）设25.1=x 是四舍五入后得到的某个量的近似值，则x 有位有效数字（3）设80~=x ，若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近似数x 至少取位有效数字。

（4）为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为。

（5）设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝，1x = 。

（6）矩阵3132A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则1A =_____，2A =_____，A ∞=_____，()cond A ∞=_____。

（7）已知4222102226A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，对于A 作Cholesky 分解T A LL =，则L = . （8）设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为。

（9）设14)(34-++=x x x x g ，则差商[]4,3 ,2 ,1 ,0g =________ 。

（10）已知16)4(,8)2(,4)1(===f f f ，则=]2,1[f ，=]4,2,1[f ；相应的二次Newton 插值多项式为；（11）解方程0)(=x f 的Newton 迭代公式为，Newton 迭代法对于单根是阶局部收敛的。

（12）用迭代格式)1(31-+=+kk k x c x x 法求方程013=-x 的实根，为了保证迭代法的局部收敛性，则参数c 的选取范围是。

（13）用二分法求方程0152)(3=--=x x x f 在区间[1,3]内的根,进行一步后根所在区间为 ,进行二步后根所在区间为 .（14）当 a （满足怎样的条件）时，用高斯—赛德尔迭代法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-+=+-36410218321321321ax x x x x x x x x 一定收敛。

数值计算方法答案

数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。

解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。

（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。

解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）++；（2）+（+）哪个较精确解：（1）++ ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl ⨯+=210⨯（2）+（+）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =210⨯易见++=210⨯，故（2）的计算结果较精确。

4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些为什么（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++；（2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。

数值计算方法课后习题答案吕同富

数值计算方法课后习题答案吕同富【篇一：《数值计算方法》(二)课程教学大纲】txt>课程编号： l124008课程类别：专业必修学分数： 3 学时数：48 适用专业：信息与计算科学应修(先修)课程：数学分析、高等代数一、本课程的地位和作用数值分析(二)为数值分析课程的第二部分，它是信息与计算科学专业的一门专业必修课。

主要内容包括函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程数值解法。

通过本课程的学习，学生将初步具备用计算机去有效地解决实际问题的能力。

二、本课程的教学目标通过本课程的学习，使学生了解和掌握求解函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程等问题所涉及的各种常用的数值计算方法、数值方法的构造原理及适用范围。

本课程坚持理论与实践教学并重的原则，理论上主要讲述求解函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程等问题的基本理论和基本方法。

与此同时，通过上机实验加深学生对各种计算方法的理解，为今后用计算机去有效地解决实际问题打下基础。

三、课程内容和基本要求(“*”记号标记难点内容，“▽”记号标记重点内容，“▽*”记号标记既是重点又是难点的内容)第六章函数最佳逼近 1．教学基本要求（1）理解：几类常用的正交多项式。

（2）掌握：最佳一致逼近和最佳平方逼近。

（3）掌握：曲线拟合的最小二乘法。

2．教学内容（1）*正交多项式。

（2）▽*最佳一致逼近。

（3）▽最佳平方逼近。

（4）正交多项式的逼近性质。

（5）▽曲线拟合的最小二乘法。

第七章数值积分 1．教学基本要求（1）理解：机械求积公式的基本思想、插值型求积公式的特点。

（2）掌握：newton-cotes求积公式、复合求积公式。

（3）掌握：romberg求积公式、gauss求积公式。

2．教学内容（1）*机械求积公式。

（2）▽newton-cotes求积公式。

（3）▽复合求积公式。

（4）变步长求积公式。

（5）▽romberg求积公式。

（6）▽*gauss求积公式第八章数值微分 1．教学基本要求（1）了解：数值微分的中点法。

数值分析第2章习题

第二章非线性方程（组）的数值解法考题第二章非线性方程（组）的数值解法考题一、选择题(每题5分，共计20分)1、已知方程0523=--x x 在区间[]32，存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代（代（ C ）次可以保证误差不超过31021-´。

（二分法二分次数） A 5； B 7； C 10；D 12 2、用一般迭代法求方程()0=x f 的根，将方程表示为同解方程()x x j =，则()0=x f 的根是（的根是（C C ）（不动点迭代法根的几何意义） A.x y =与()x y j =的交点的交点 B. B.x y =与x 轴交点的横坐标轴交点的横坐标C.x y =与()x y j =交点的横坐标交点的横坐标D. D.()x y j =与x 轴交点的横坐标轴交点的横坐标3、分别改写方程042=-+x x 为42+-=x x 和2ln /)4ln(x x -=的形式，对两者相应迭代公式求所给方程在[1,2]内的实根，下列描述正确的是:（B ）（迭代的收敛性）A. 前者收敛，后者发散前者收敛，后者发散B. 前者发散，后者收敛前者发散，后者收敛C. 两者均收敛发散两者均收敛发散D. 两者均发散两者均发散分析：()x ,j <14、解非线性方程0)(=x f 的牛顿迭代法的收敛阶为（的牛顿迭代法的收敛阶为（D ）。

（收敛阶数） A 线性收敛；线性收敛； B 局部线性收敛；局部线性收敛； C 平方收敛；平方收敛；D 局部平方收敛。

二、填空题（每小题5分，共计20分）分）1、非线性方程0)(=x f 的迭代函数)( x x j =在有解区间满足在有解区间满足，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。

（迭代函数）答案：1)(<¢x j2、在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )的二阶导数不变号，则初始点x 0的选取依据为的选取依据为。

数值计算课后答案2

习题二解答1．用二分法求方程x 3-2x 2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过31102-⨯。

分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。

解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。

由34311*1022222n n n n n n b a b a x x -----≤===<⨯ 有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000，所以n ＝11，即只需要二分11次即可。

x *≈x 11=3.632。

指出：（1）注意精确度的不同表述。

精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。

（2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。

（3）用秦九韶算法计算f(x n )比较简单。

1*．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。

解：令32247y x x x =---，则2344322()()y x x x x '=--=+-当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有12223,x x =-=。

因为214902150327(),()y y -=-<=-<，所以方程在区间223(,)-上无根；因为21490327()y -=-<，而函数在23(,)-∞-上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；因为2150()y =-<，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。

所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。

2．证明1sin 0x x --=在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于41102-⨯的根，需要迭代多少次？分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。

解：令()1sin f x x x =--，因为(0)10sin 010,(1)11sin1sin10f f =--=>=--=-<，则(0)(1)0f f <，由零点定理，函数f(x)在[0,1]区间有一个根。

《数值计算》课后习题汇总

《数值计算》课后习题汇总习题⼀解答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各⾃的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

2、⽤四舍五⼊原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。

346．7854，7．000009，0．0001324580，0．6003003、下列各数都是对准确数进⾏四舍五⼊后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。

4.0.1％。

5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对31120.14281100.31415910x x =?=-?与，试求它们的机器浮点数()(1,2)i fl x i =及其相对误差。

6、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数4220.2337125810,0.3367842910,0.3367781110x y z -=?=?=-?，试按(),()x y z x y z ++++两种算法计算x y z ++的值，并将结果与精确结果⽐较。

7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U)，⽤浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算10.40.30.20.040.030.020.01+++++++试⽐较所得结果。

8、对于有效数1233.105,0.001,0.100x x x =-==，估计下列算式的相对误差限21123212333,,x y x x x y x x x y x =++==9、试改变下列表达式，使其计算结果⽐较精确（其中1x 表⽰x 充分接近0，1x表⽰x 充分⼤）。

(1)1212ln ln ,x x x x -≈； (2)11,111x x x x---+；(3)1x ；(4)cot ,01x x xx-≠且。

10、⽤4位三⾓函数表，怎样算才能保证1cos 2-有较⾼的精度？11、利⽤27.982≈求⽅程25610x x -+=的两个根，使它们⾄少具有4位有效数字。

12、试给出⼀种计算积分11(0,1,2,3,...)n x n I ex e dx n -==?，近似值的稳定算法。