【2021版 九年级数学培优讲义】专题16 相似三角形的性质
相似三角形的性质
相似三角形的性质一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛运用于日常生活和科学技术领域。
相似三角形的性质揭示了三角形之间的一种特殊关系，即它们的形状相同但大小不同。
本文将对相似三角形的性质进行详细阐述，以便更好地理解这一几何概念。
二、相似三角形的定义1.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（对应角相等）2.AB/DE=BC/EF=AC/DF（对应边成比例）那么，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作△ABC≌△DEF。
三、相似三角形的性质1.对应角相等相似三角形的一个基本性质是对应角相等。
这意味着如果两个三角形相似，那么它们的每个角都对应相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2.对应边成比例相似三角形的另一个基本性质是对应边成比例。
这意味着相似三角形的每条边都与另一三角形的对应边成相同的比例。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3.对应高的比相等相似三角形的对应高（从顶点到对边的垂线）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有h₁/h₂=k，其中h₁和h₂分别是△ABC和△DEF的对应高，k是相似比。
4.对应中线的比相等相似三角形的对应中线（连接顶点和对边中点的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有m₁/m₂=k，其中m₁和m₂分别是△ABC和△DEF的对应中线，k是相似比。
5.对应角平分线的比相等相似三角形的对应角平分线（将顶点角平分的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有s₁/s₂=k，其中s₁和s₂分别是△ABC和△DEF的对应角平分线，k是相似比。
6.面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有S₁/S₂=k²，其中S₁和S₂分别是△ABC和△DEF的面积，k是相似比。
四、相似三角形的判定方法1.AA（角角）相似判定法如果两个三角形有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
相似三角形的性质ppt课件
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等，面积比等于相似比的 平方。
判定方法
预备定理
判定定理1
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
∠C'。
由于内角相等，我们可以通过正 弦定理或余弦定理来证明对应边
之间的比例关系。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应边成比例的性质被广泛应用于解决各种问题，如测量高度、计 算距离等。
例如，如果我们知道一个三角形的一边和它的一个内角，以及另一个三角形的一边和它的一 个内角，我们可以利用相似三角形的性质来找出这两个三角形之间的相似比，从而计算出未 知边的长度。
证明过程
可以通过相似三角形的定义和性质，结合几何图形进行证明 。
具体证明方法包括：利用相似三角形的对应角相等，通过作 高线将三角形分割为若干个小三角形，再利用小三角形的面 积关系推导出原三角形的面积比关系。
应用举例
在几何题目中，可以利用相似三角形的面积比性质求解一 些与面积相关的问题，如求某个图形的面积、判断两个图 形面积的大小关系等。
由于相似三角形的对应边成比 例，我们可以通过三角函数或 者角度的平分线等性质来证明 它们的对应角相等。
具体证明过程可以通过几何画 图或者数学推导来完成，这里 不再赘述。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应角相等的性质被广泛应用于解决各种问题，比如测量 高度、计算角度等。
例如，在测量建筑物高度时，我们可以通过测量建筑物与地面之间的角度和距离， 然后利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
相似三角形的基本定义和性质
相似三角形的基本定义和性质相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例的三角形。
在几何学中，相似三角形具有一些基本定义和性质。
本文将探讨这些定义和性质，并且解释它们的意义和应用。
1. 基本定义相似三角形的基本定义是指两个三角形具有相等的对应角，并且对应边成比例。
具体而言，如果两个三角形ABC和DEF的对应角分别为∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F，并且对应边AB与DE、BC与EF、AC与DF成比例，那么这两个三角形就是相似的。
2. 相似比例相似三角形中，对应边的比例被称为相似比例。
对于相似的三角形ABC和DEF，可以表示为：AB/DE = BC/EF = AC/DF相似比例的意义在于，它表示了相似三角形各边之间的对应关系。
通过相似比例，我们可以推断出三角形内部的长度比例关系，从而进行各种几何推理。
3. 相似三角形的性质相似三角形具有许多重要性质，这些性质使得相似三角形成为几何学中的重要概念。
（1）对应角相等：相似三角形的对应角相等。
这意味着两个相似三角形的内角度量是相等的，具有相似的形状。
（2）对应边成比例：相似三角形的对应边成比例。
这意味着两个相似三角形的边长比例是相等的。
例如，如果一个三角形的边长是另一个三角形边长的2倍，那么这两个三角形就是相似的。
（3）面积比例：相似三角形的面积比例等于边长比例的平方。
即，如果两个相似三角形的边长比例为k，那么它们的面积比例为k²。
这个性质在实际问题中的应用非常广泛。
（4）高度比例：相似三角形的高度比例等于边长比例。
这意味着如果两个相似三角形的边长比例为k，那么它们的高度比例也为k。
这个性质在解决三角形高度相关问题时非常有用。
4. 相似三角形的应用相似三角形在几何学和实际问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：（1）测量高度：通过相似三角形的高度比例，我们可以使用已知长度来测量无法直接测量的高度。
比如，通过测量建筑物阴影的长度和光线的角度，我们可以计算出建筑物的高度。
相似三角形的性质
相似三角形的性质嘿，同学们！咱们今天来聊聊相似三角形那些有趣的性质。
大家想想，在我们的生活中，是不是经常能看到各种三角形的影子？就像我之前去公园散步的时候，看到湖面上有一座漂亮的桥，桥的倒影和桥本身就构成了一组相似三角形。
那清晰的轮廓，在波光粼粼的水面上，别提多有意思了！咱们先来说说相似三角形的对应角相等这个性质。
这就好比是双胞胎兄弟，虽然大小可能不一样，但长得那是一模一样的帅气，角度也完全相同。
比如说，一个三角形的三个角分别是 30 度、60 度和 90 度，那和它相似的三角形，对应的角也肯定是 30 度、60 度和 90 度，跑都跑不掉！再讲讲相似三角形的对应边成比例。
这就好像是做蛋糕，配方变了，但是各种材料的比例不变，做出来的还是那个美味的蛋糕。
比如说有两个相似三角形，一个边长分别是 3、4、5，另一个大一点的相似三角形，对应边按照一定比例放大，可能就是 6、8、10。
还有啊，相似三角形的周长比等于相似比。
这就好比是跑步比赛，速度快的和速度慢的，跑的路程比例和他们的速度比例是一样的。
如果两个相似三角形的相似比是 2:1，那它们的周长比也是 2:1。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
这就像是分披萨，大的披萨和小的披萨，如果大小比例是 3:1，那面积比例就是 9:1。
咱们回到一开始说的那座桥和它的倒影。
从远处看，桥和倒影是不是形状完全一样，角度也相同？这就是因为它们是相似三角形呀，对应角相等。
而且桥的长度和倒影的长度之间是有比例关系的，这就是对应边成比例。
同学们，相似三角形的性质在实际生活中的应用可多啦！比如建筑师在设计大楼的时候，要根据相似三角形的性质来计算比例，确保大楼的结构稳定又美观。
工程师在建造桥梁时，也得靠这个知识来保证桥梁的安全性和合理性。
所以啊，大家一定要把相似三角形的性质学扎实了，这样以后咱们不管是看风景，还是解决实际问题，都能轻松应对，发现更多有趣的数学奥秘！。
相似三角形的性质
相似三角形的性质在我们的数学世界中，相似三角形就像是一对有着特殊关系的“姐妹花”，它们之间存在着许多有趣且重要的性质。
今天，就让我们一起来深入探究一下相似三角形的那些性质。
相似三角形，简单来说，就是形状相同但大小可能不同的三角形。
如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
首先，相似三角形的对应角是相等的。
这意味着，如果两个三角形相似，那么它们的三个角的度数是一一对应的，而且完全相同。
比如说，一个三角形的三个角分别是 30°、60°和 90°，那么与它相似的三角形的三个角也必然是 30°、60°和 90°。
这一性质就像是一把钥匙，能够帮助我们快速判断两个三角形是否相似。
其次，相似三角形的对应边成比例。
假设三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，那么边 AB 与边 A'B' 的比值，等于边 BC 与边 B'C' 的比值，也等于边 AC 与边 A'C' 的比值。
这个比例关系在解决很多几何问题时非常有用。
相似三角形的对应高的比等于相似比。
什么是对应高呢？就是从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高。
如果两个相似三角形的相似比是 k，那么它们对应边上的高的比也是 k。
比如说，一个三角形的边长是 3、4、5，另一个与其相似的三角形的边长是 6、8、10，相似比为 2。
那么第一个三角形的高是 24，第二个三角形对应边的高就是 48，高的比也是 2。
相似三角形对应中线的比也等于相似比。
中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段。
相似三角形中，对应中线的长度之比与相似比保持一致。
相似三角形对应角平分线的比同样等于相似比。
角平分线是将三角形一个角平均分成两个相等角的线段。
接下来，我们看看相似三角形的周长比。
相似三角形的周长比等于相似比。
九年级数学竞赛培优专题及答案16相似三角形的性质.docx
专题16相似三角形的性质阅读与思考相似三角形的性质有：1.对应角相等；2.对应边成比例；3.对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比；4.周长之比等于相似比；5.面积之比等于相似比的平方.性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角.如图，正方形EFGH内接于△ ABC, AD±BC,设BC=a , AD = h,试用如力的代数式表示正方形的边长.例题与求解【例1】如图，已知中，过点B的直线顺次与AC, AD及CD的延长线相交于E, F, G, 若BE = 5, EF = 2,则FG的长是.（“弘晟杯”上海市竞赛试题）解题思路：由相似三角形建立含FG的关系式，注意中间比的代换.EC【例 2】如图，已知ZXABC 中，DE//GF//BC,且 AD:DF:FB = 1:2:3, A.l:9:36 B.l:4:9 C.l:8:27 D. 1:8:36解题思路:AADE, AAFG 都与/XABC 相似，用/XABC 面积的代数式分别表示△#>£、四边形DFGE 、 四边形FBCG 的面积.【例3】如图，在/XABC 的内部选取一点P,过F 点作三条分别与AABC 的三边平行的直线，这样所得 的三个三角形A ，S 打的面积分别为4, 9和49,求△A3C 的面积.（第二届美国数学邀请赛试题）解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑 应用相似三角形的性质.如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以得到:① AFDP S 」IPES /X PHG S /XABC ；HG IE DF 1-------- 1 ------- BCAC ABDE FG HI 1-------- 1 ------- BC AC ABS 4ABC上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心 独运，请读者给出证明.【例4】如图，/XABC 中，。
九年级数学相似三角形知识点
九年级数学相似三角形知识点九年级数学：相似三角形知识点1. 相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边成比例的三角形。
也就是说，如果两个三角形的三个角分别相等，且每组对应边的比值都相等，那么这两个三角形就是相似的。
2. 相似三角形的标记在标记相似三角形时，通常使用希腊字母来表示对应的顶点。
例如，如果三角形ABC与三角形DEF相似，我们可以标记为：△ABC ∼△DEF。
3. 相似三角形的性质- 对应角相等：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
- 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
- 对应高的比值也相等：AH/DH = BH/EH = CH/FH（其中H是三角形的高所在的顶点）。
- 对应中线的比值也相等：AM/DM = BM/EM = CM/FM（其中M是三角形的中线所在的顶点）。
4. 相似三角形的判定- 三角形相似的判定定理一：如果两个三角形的两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。
- 三角形相似的判定定理二：如果两个三角形的三组对应边的比值都相等，那么这两个三角形相似。
- 三角形相似的判定定理三：如果两个三角形的两组对应边的比值相等，且它们之间的夹角也相等，那么这两个三角形相似。
5. 相似三角形的应用- 解决实际问题：在建筑设计、地图制作等领域，相似三角形的概念可以用来解决比例缩放问题。
- 计算面积比：相似三角形的面积比等于对应边长的平方比。
即，如果AB/DE = x，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为x²。
- 证明几何定理：在证明某些几何定理时，可以通过证明三角形相似来简化证明过程。
6. 相似三角形的计算- 使用比例关系解决实际问题时，通常需要先确定比例系数，然后利用这个系数来计算其他边长或角度。
- 在计算面积比时，应先计算出三角形的边长比，然后根据边长比计算面积比。
7. 相似三角形的证明- 在证明三角形相似时，需要明确指出所使用的判定定理，并确保所有的条件都满足。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是指对应角相等且对应边成比例的两个三角形。
在几何学中，相似三角形有一些重要的性质。
本文将详细介绍相似三角形的性质，包括比例关系、角度关系以及面积关系。
一、比例关系1. 边比例关系：设两个相似三角形分别为△ABC和△DEF，若它们的对应边AB、BC、AC和DE、EF、DF满足比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF = k （k为常数）则称两个三角形的边为成比例边，比例因子为k。
这表明两个相似三角形的对应边长度之比是相等的。
2. 角度比例关系：两个相似三角形的对应角度相等。
设∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则称△ABC与△DEF为相似三角形。
根据角度对应的边比例关系，我们可以得到以下重要的比例关系： AB/DE = BC/EF = AC/DF = k (边比例关系)∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F (角度比例关系)二、角度关系1. 对应角相等：已知两个相似三角形△ABC和△DEF，它们的对应角分别为∠A、∠B、∠C和∠D、∠E、∠F。
根据相似三角形的定义，我们可以得到∠A = ∠D∠B = ∠E∠C = ∠F这意味着两个相似三角形的对应角是相等的。
2. 内角之和：两个相似三角形的内角之和相等。
设∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F = 180°，这意味着两个相似三角形的内角之和相等，都等于180°。
三、面积关系1. 面积比例关系：设两个相似三角形的比例因子为k，那么它们的面积之比等于边长之比的平方，即面积(△ABC)/面积(△DEF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2 = k^2这意味着两个相似三角形的面积之比等于边长之比的平方。
2. 高比例关系：两个相似三角形的相应高之比等于边长之比，即高(△ABC)/高(△DEF) = AB/DE = BC/EF = AC/DF这表明两个相似三角形的相应高之比等于边长之比。
《相似三角形的性质》PPT课件
目录
• 相似三角形基本概念 • 相似三角形性质探究 • 相似三角形在几何证明中应用 • 相似三角形在解决实际问题中应用 • 拓展：全等三角形与相似三角形联系
与区别
01
相似三角形基本概念
定义及判定方法
定义
两个三角形如果它们的对应角相等，那 么这两个三角形相似。
AAA相似
01
利用相似三角形对应角相等 的性质，可以证明两个角相
等。
02
通过构造相似三角形，将待 证相等的两个角作为对应角 ，从而证明角度相等关系。
03
相似三角形中，若已知两角 对应相等，则第三角也必然 相等，这一性质可用于证明
复杂角度相等关系。
证明图形形状和大小关系
利用相似三角形形状相同的性质 ，可以证明两个图形形状相同。
01
04
对应角相等；
全等三角形的性质
02
05
面积相等；
对应边相等；
03
06
周长相等。
全等与相似关系探讨
联系 全等三角形是相似三角形的特例，即
相似比为1:1的情况；
全等和相似都涉及到两个三角形的形 状和大小关系。
区别
全等要求两个三角形完全重合，而相 似只要求形状相同，大小可以不同；
全等三角形的对应边和对应角都相等 ，而相似三角形只要求对应角相等， 对应边成比例。
02
相似三角形性质探究
对应角相等性质
01Biblioteka 0203性质描述
相似三角形的对应角相等 。
证明方法
通过三角形的相似定义和 角的对应关系进行证明。
应用举例
在几何问题中，利用相似 三角形的对应角相等性质 ，可以解决角度相关的问 题。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是我们在初中数学中经常遇到的一个概念，它具有一些重要的性质。
本文将详细介绍相似三角形的定义及其性质。
一、相似三角形的定义两个三角形如果对应的角相等，且对应的边成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。
相似三角形的定义可以表示为以下形式：对于△ABC和△DEF，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么△ABC和△DEF是相似三角形。
二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形相似，那么它们对应的角必定相等。
例如，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC和△DEF 是相似三角形。
2. 对应边成比例性质：如果两个三角形相似，那么它们对应的边长必定成比例。
设AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，其中k为正实数，则△ABC和△DEF是相似三角形。
这个性质常常被用于求解相似三角形的边长。
3. 相似三角形的比例关系性质：在相似三角形中，对应边的比例关系成立。
即AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，其中k为正实数。
根据这个性质，我们可以通过已知的边长，求解未知的边长。
4. 相似三角形高度和底边的比例关系性质：在相似三角形中，两个三角形的高度和底边的比例相等。
例如，设h1为△ABC的高度，h2为△DEF的高度，b1为△ABC的底边，b2为△DEF的底边，那么h1/h2=b1/b2=k，其中k为正实数。
这个性质在解决实际问题中经常被利用。
5. 相似三角形面积比性质：如果两个三角形相似，那么它们的面积比等于边长比的平方。
设S1为△ABC的面积，S2为△DEF的面积，AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，那么S1/S2=(AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(AC/DF)^2=k^2。
根据这个性质，我们可以计算相似三角形的面积。
6. 相似三角形的周长比性质：如果两个三角形相似，那么它们的周长比等于边长比。
设L1为△ABC的周长，L2为△DEF的周长，AB/DE=BC/EF=AC/DF=k，那么L1/L2=AB+BC+AC/DE+EF+DF=k。
初三相似三角形讲义
相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C /。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比，根据这一性质，可计算角的度数或边的长度。
平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EFDE BC AB =====或或或或等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 知识点4、如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的性质
相似三角形的性质关键信息项1、相似三角形的定义及表示方法2、相似三角形的对应角相等3、相似三角形的对应边成比例4、相似三角形的对应高、中线、角平分线的比例关系5、相似三角形的周长比等于相似比6、相似三角形的面积比等于相似比的平方11 相似三角形的定义相似三角形是指三角分别相等，三边成比例的两个三角形。
如果两个三角形相似，通常用“∽”符号表示，例如△ABC∽△A'B'C'。
111 相似比相似三角形对应边的比值称为相似比。
在△ABC∽△A'B'C'中，相似比为 AB ： A'B' ＝ BC ： B'C' ＝ AC ： A'C' 。
12 相似三角形的对应角相等由于相似三角形的三角分别相等，所以在△ABC∽△A'B'C'中，∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C' 。
121 应用这一性质在解决角度相关的问题中非常有用。
例如，已知两个相似三角形中的某些角度，可以通过对应角相等的性质求出其他未知角度。
13 相似三角形的对应边成比例即如果△ABC∽△A'B'C'，则有 AB ／ A'B' ＝ BC ／ B'C' ＝ AC ／A'C' 。
131 比例关系的应用通过这一性质，可以根据已知的相似三角形的边长比例关系，求出未知的边长。
14 相似三角形的对应高、中线、角平分线的比例关系相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
141 对应高的比例关系假设 AD 和 A'D' 分别是△ABC 和△A'B'C' 的对应高，则 AD ／A'D' ＝相似比。
142 对应中线的比例关系若 AE 和 A'E' 分别是△ABC 和△A'B'C' 的对应中线，则 AE ／ A'E'＝相似比。
相似三角形的基本概念及性质
相似三角形的基本概念及性质相似三角形是平面几何中重要的概念之一。
在几何学中，当两个三角形的对应角度相等，并且对应边的长度成比例，我们就可以说这两个三角形是相似的。
相似三角形具有许多有趣的性质和应用。
本文将介绍相似三角形的基本概念及其性质。
一、相似三角形的定义相似三角形是指两个或多个三角形具有相同的形状，但是大小不同的情况。
当两个三角形的对应角度相等，并且对应边长度成比例时，我们可以称这两个三角形为相似三角形。
二、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边比例关系在相似三角形中，对应边的长度是成比例的。
假设两个三角形ABC 和DEF是相似的，他们的对应边分别为AB与DE、AC与DF、BC与EF。
那么我们可以得到以下比例关系：AB/DE = AC/DF = BC/EF2. 相似三角形的对应角相等在相似三角形中，对应角是相等的。
也就是说，如果两个三角形ABC和DEF是相似的，那么他们的对应角度分别为∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 相似三角形的周长比和面积比在相似三角形中，对应边的长度比例关系可以推导出周长比和面积比的关系。
假设两个相似三角形ABC和DEF，对应边的长度比为k，那么周长比k和面积比k²。
4. 相似三角形的高比和中线比在相似三角形中，对应边的长度比例关系还可以推导出高比和中线比的关系。
假设两个相似三角形ABC和DEF，对应边的长度比为k，那么高比k，中线比k。
5. 相似三角形的角平分线比在相似三角形中，对应边的长度比例关系还可以推导出角平分线比的关系。
假设两个相似三角形ABC和DEF，对应边的长度比为k，那么角平分线比为k。
三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有着广泛的应用。
以下列举了几个常见的应用：1. 比例测量相似三角形的比例关系可以用于测量无法直接测量的长度。
通过已知长度的比例和相似三角形的性质，我们可以计算出未知长度。
2. 利用相似三角形进行图形的放大和缩小相似三角形的形状相同但尺寸不同，因此可以利用相似三角形进行图形的放大和缩小。
相似三角形的性质讲义
相似三角形的性质一、知识点讲解1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线比等于相似比。
相似三角形对应周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
二、典例分析(一)相似三角形对应线段的比例1如图，i∆ABCs^k A'B'C',相似比为k,AD、N D z分别是边BC、B'C'上的中线，求证:AD, =K OA,D,变式练习：1、∆ABC</>∆A,B'C',AD和A'D'分别是aABC和aA'B'C,的中心，假设BC=IoCm,B zC f=6cm,AD=7cm,那么A'D'=()16 21 35A、12cmB、——cmC、——cmD、——cm3 5 32、如图，在aABC中，点D在线段BC上，且aABCsaDBA,那么以下结论一定正确的选项是()A、AB2=BC∙BDB、AB2=AC-BDC、AB・AD=BD・BCD、AB・AD=AD・CD3、如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光的影子长为CD,AB〃CD,AB=2cm,CD=5cm,点P到CD的距离是3cm,那么点P到AB的距离是O5 6 6 10A、—mB、—m C^—m D、一tn6 7 5 34、如下图，在Rt△ABC中，NACB=90°,CD_1.AB于D,E为AC的中点，F为BC的中点，NDCB=30°,求DE：DF的值。
(二)相似三角形对对应周长与面积的比例2如图，在正方形网格上有ZXABC和4DEF0(1)求证：^ABC S∕∖DEF;(2)计算这两个三角形的周长比；(3)根据上面的计算结果，你有何猜测？变式练习：1、假设^ABCsaDEF,Z∖ABC与ADEF的相似比为2：3,那么S MB C：S ADEF为0A、2：3B、4：9C、72:73D、3：2ΔΓ)12、如图，在AABC中，DE/7BC,——=-,那么以下结论中正确的选项是0DB2AE1 A、 --- =—AC2DE 1 ZXADE的周长 1 ZXADE的面积 1 B、= Cx ,. ,—Ds —BC 2 4ABC的周长 3 ZXABC的面积 3第2题第3题第4题第5题3、如图，在aABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE〃BC,且那么aADE的周长3与aABC的周长之比为。
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但大小可以不同的三角形。
在数学中，相似三角形是一个重要的概念，它具有一系列独特的性质和特点。
本文将介绍相似三角形的性质，以及与之相关的定理和应用。
一、比例关系相似三角形中，对应边的长度成比例。
设ABC和DEF是相似三角形，对应边的长度满足以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF其中，AB、BC、AC为三角形ABC的边长，DE、EF、DF为三角形DEF的边长。
这个比例关系可以推广至所有对应边。
二、角度关系相似三角形中，对应角度相等。
设ABC和DEF是相似三角形，对应角度满足以下关系：∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F其中，∠A、∠B、∠C为三角形ABC的内角，∠D、∠E、∠F为三角形DEF的内角。
三、边长比例定理设ABC和DEF是相似三角形，若两个相似三角形的边长比例相等，则它们是相似的。
即如果AB/DE = BC/EF = AC/DF成立，那么三角形ABC与三角形DEF相似。
四、高度定理相似三角形的高度成比例。
设ABC和DEF是相似三角形，h1和h2分别为三角形ABC和DEF的高度，则有h1/h2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF成立。
五、面积定理相似三角形的面积成比例的平方。
设ABC和DEF是相似三角形，S1和S2分别为三角形ABC和DEF的面积，则有S1/S2 = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2成立。
六、勾股定理相似直角三角形中，斜边成比例。
设ABC和DEF是两个相似的直角三角形，且∠C和∠F是直角，则有AC/DF = BC/EF成立。
七、应用举例1. 角平分线定理：在相似三角形中，角平分线分割对应边成比例。
2. 重心定理：在相似三角形中，连接重心和顶点的线段成比例。
相似三角形的性质在几何学和实际问题中有着广泛的应用。
例如，在测量不便的情况下，我们可以利用相似三角形来计算无法直接测量的长度和距离。
相似三角形的性质和定义
相似三角形的性质和定义相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在几何学中，相似三角形是一种重要的概念，它们具有一些特定的性质和定义。
本文将介绍相似三角形的性质和定义，以及一些相关的应用。
一、相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角度相等，并且对应的边长成比例。
具体来说，如果两个三角形的角对应相等，而且对应边的比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：相似三角形的对应角度相等。
即如果两个三角形的某一角相等，那么它们的对应角也相等。
2. 对应边成比例性质：相似三角形的对应边成比例。
即如果两个三角形的一对对应边的比例相等，那么它们是相似的。
3. 对角比例性质：相似三角形的两个对应角的正弦值、余弦值或正切值的比例相等。
三、相似三角形的判定方法在实际应用中，为了判断两个三角形是否相似，我们可以使用以下的判定方法：1. AAA判定法：如果两个三角形的对应角度相等，那么它们是相似的。
2. SSS判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。
3. SAS判定法：如果两个三角形的两对边成比例，并且夹角相等，那么它们是相似的。
四、相似三角形的应用1. 测量高大物体的高度：通过相似三角形的性质，可以利用地面上的影子和物体的影子长度来计算物体的高度。
其中一个三角形由物体本身的高度和物体的影子长度构成，另一个三角形由地面上的影子长度和地面距离构成。
2.导弹拦截系统：相似三角形的性质也可以应用于导弹拦截系统中。
通过拦截系统中摄像头的角度和距离的变化，可以计算导弹的运动轨迹和速度，从而进行拦截。
3. 针孔成像原理：在相机的针孔孔径足够小的情况下，光线会通过孔径进入相机，形成在胶片或传感器上的成像。
这个过程可以利用相似三角形的性质进行描述，通过长焦距与短焦距的比例来计算成像的大小和位置。
4. 美术设计：相似三角形的概念可以应用于美术设计中，通过描绘不同大小但相似形状的三角形来表达透视感和远近距离。
数学九年级相似三角形知识点
数学九年级相似三角形知识点
在九年级数学中，相似三角形是一个重要的知识点。
下面是与相似三角形相关的主要知识点：
1. 相似三角形的定义：两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例，则这两个三角形相似。
2. 相似三角形的性质：相似三角形的对应边比例相等，即如果ABC和A'B'C'是相似三角形，那么AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'。
3. 相似三角形的判定方法：
- AAA判定法：如果两个三角形的对应角分别相等，则这两个三角形相似。
- SSS判定法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形相似。
- SAS判定法：如果两个三角形的一个对应角相等，且对应边成比例，则这两个三角形相似。
4. 相似三角形的应用：
- 求比例：已知两个相似三角形的一个边和它的对应边比例，可以求出其他对应边的比例。
- 求长度和面积：已知一个三角形及其相似三角形的一些边的长度，可以通过比例关系求出其他边的长度和面积。
- 证明定理：可通过相似三角形的性质证明一些重要的几何定理，如角平分线定理、四边形内角和定理等。
以上介绍了一些九年级数学中关于相似三角形的知识点，希望对您有帮助！。
相似三角形的判定、性质及常见模型
相似三角形的判定、性质及常见模型
1、相似三角形的定义与性质
(1)定义：如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
(2)表示：在两个相似三角形中，对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边。
(3)性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；推论：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.(4)相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比.设▲ABC 与▲A'B'C'的相似比为k，▲A'B'C'与▲ABC的相似比为k'，则k'=1/k.注意：①两个三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关;②当两个相似三角形的相似比k=1时，这两个相似三角形就成为全等三角形.反过来，两个全等三角形一定是相似三角形，它们的相似比等于1.因此全等三角形是相似三角形的特例.2、相似三角形的预备定理和判定定理
相似三角形的3条判定定理证明思路如下：
3、直角三角形相似的判定定理
如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似，即：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.4、相似三角形的基本图形(1)平行线型：A型与X型.
(2)斜交型.
(3)共边共角型
(4)双垂型
(5)旋转型
5、判定三角形相似的思路
6、三角形相似的性质
相似三角形的性质定理1证明思路如下：。
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专题16 相似三角形的性质阅读与思考相似三角形的性质有：1. 对应角相等；2. 对应边成比例；3. 对应线段（中线、高、角平分线）之比等于相似比；4. 周长之比等于相似比；5.面积之比等于相似比的平方.性质3主要应用于三角形内接特殊平行四边形的问题，性质5进一步丰富了面积的有关知识，拓展了我们研究面积问题的视角.如图，正方形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC ，设BC a =，AD h =，试用a 、h 的代数式表示正方形的边长.HGEF D CBA例题与求解【例1】如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC ，AD 及CD 的延长线相交于E ，F ，G ，若5BE =，2EF =，则FG 的长是 . （“弘晟杯”上海市竞赛试题）解题思路：由相似三角形建立含FG 的关系式，注意中间比的代换.GEFDCBA【例2】如图，已知△ABC 中，DE ∥GF ∥BC ，且::1:2:3AD DF FB =，则:ADE DFGE S S △四边形:FBCG S =四边形（ ） （黑龙江省中考试题） A.1:9:36 B.1:4:9 C.1:8:27 D. 1:8:36解题思路：△ADE ，△AFG 都与△ABC 相似，用△ABC 面积的代数式分别表示△ADE 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积.GEFD CBA【例3】如图，在△ABC 的内部选取一点P ，过P 点作三条分别与△ABC 的三边平行的直线，这样所得的三个三角形t 1，t 2，t 3的面积分别为4，9和49，求△ABC 的面积. （第二届美国数学邀请赛试题）解题思路：由于问题条件中没有具体的线段长，所以不能用面积公式求出有关图形的面积，可考虑应用相似三角形的性质.t 1t 2t 3I P HGEF DCBA如图所示，经过三角形内一点向各边作平行线（也称剖分三角形），我们可以得到：① △FDP ∽△IPE ∽△PHG ∽△ABC ； ② 1HG IE DFBC AC AB ++=； ③ 2DE FG HIBC AC AB++=； ④2ABC S =△.上述性质，叙述简捷，形式优美，巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题，简明而迅速，奇特而匠心独运，请读者给出证明.【例4】如图，△ABC 中，O 是三角形内一点，满足BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠.求证：2BC AC AB =⋅. （北京大学自主招生考试试题） 解题思路：这实际上是一个著名的问题：布洛卡点问题. 设P 是△ABC 内一点，满足PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，称点P 是△ABC 的布洛卡点，则有cot cot cot cot BAC ABC ACB θ∠+∠+∠=.OCBA【例5】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AD =，5DC =，AB =，45B ∠=︒. 动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动，设运动的时间为t 秒.（1）求BC 的长；（2）当MN ∥AB 时，求t 的值；（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形. （济南市中考试题） 解题思路：对于（2），由，构造相似三角形，由三角形相似得对应边成比例，进而解决问题；对于（3），需要分情况讨论.在证明含线段平行关系的问题时，常常联想到以下知识：①勾股定理；②相似三角形面积比等于相似比的平方.MCB【例6】 设△A 1B 1C 1的面积为S 1，△A 2B 2C 2的面积为S 212()S S <，当△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且120.30.4S S ≤≤时，则称△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2有一定的“全等度”. 如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ， 30B ∠=︒，60BCD ∠=︒，连接AC . （厦门市中考试题）（1）若AD =DC ，求证：△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”；（2）你认为：△DAC 与△ABC 有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明.解题思路：本题设置了“全等度”这一新概念，要求在对其理解的基础上进行辨析和判断，并举例说明符合或不符合概念特征的正例或反例，这是试题对概念理解考查的有力保障..EDCBA能力训练A 级1. 如图，在△ABC 与△BED 中，若53AB BC AC BD BE DE ===，且△ABC 与△BED 的周长之差为10cm ，则△ABC 的周长为cm.FECADBCADBEDCBA（第1题） （第2题） （第3题）2. 如图，△ABC 中，:1:2CE EB =，DE ∥AC . 若△ABC 的面积为S ，则△ADE 的面积为 . （苏州市中考试题）3. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ，CD 交于F ，且3EFC FED S S =△△，则:ADE ABC S S =△△ .4. 若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm 和4cm ，则此正方形的边长为 cm. （武汉市中考试题）5. 如图，□ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是AD 的中点，EF 交AC 于点O ，FE 的延长线交CB 的延长线于G 点，那么:AOF COG S S =△△（ ）A.1:4B.1:9C.2:5D.1:2O NMFMG O F E CADBECAD BED CBA（第5题） （第6题） （第7题）6. 如图，直角梯形ABCD 中，90BCD ∠=︒，AD ∥BC ，BC =CD ，E 为梯形内一点，且90BEC ∠=︒. 将△BEC 绕点C 旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连接EF 交CD 于点M . 已知5BC =，3CF =，则:DM MC 的值为（ ）A.5:3B.3:5C.4:3D.3:4（荆州市中考试题）7. 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，AO 与DE ，BC 分别交于点N ，M ，则下列结论错误的是（ ）A.AN ON AM OM =B.22ONE OMB S AN S AM =△△C.AN OEAM OC = D.22ADE ABCS ON OM S =△△ （ ）A.12 B.13C.23D.25NMC ADBDCB A（第8题） （第9题）B级1. 如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB. 若△ADE，△EFG，△GIC的面积分别为20cm2，45 cm2，80 cm2，则△ABC的面积为.31S =，那么正方形OPQR 的边长是（ ）（全国初中数学联赛试题）C.2D.3（第3题） （第4题） （第5题）4. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且3CD AB =，EF ∥CD ，EF 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分，则:AE ED =（ ） （“希望杯”邀请赛试题） A.2 B.325. 如图，△ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AB 上的点，且123∠=∠=∠. 如果△ABC ，△EBD ，△ADC 的周长依次是m ，m 1，m 2，证明：1254m m m +≤. （全国初中数学联赛试题）6. 如图，P 是△ABC 内的一点，等长的三条线段DE ，FG 和HI 分别平行于边AB ，BC 和CA ，并且12AB =，8BC =，6CA =. 求证：::1:5:3AI IF FB =. （江苏省竞赛试题）（第6题） （第7题）7. 如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且ABC PQRS S nS =△矩形，其中n 为不小于3的自然数. 求证：BSAB为无理数. （上海市竞赛试题）8. 如图，已知直线l 1的解析式为36y x =+，直线l 1与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，直线l 2经过B ，C 两点，点C 的坐标为(8,0). 又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线l 2上从点C 向点B 移动，点P ，Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度. 设移动时间为t 秒.（1）求直线l 2的解析式；（2）设△PCQ 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数关系式； （3）试探究：当t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？（山西省中考试题）9. 如图，设△ABC 三边上的 内接正方形（两个顶点在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另两边上）的面积相等. 求证：△ABC 为正三角形. （江苏省竞赛试题）FG ED CBA10. 在矩形ABCD 和矩形CEFG 中，已知AD CGk AB CE==，连接DE 与AF 交于点P ，连接CP . （1）如图1，当1k =时，点B ，C ，E 三点在同一条直线上，求AFDE的值.（2）如图2，当1k =时，将图1中的矩形CEFG 绕点C 顺时针旋转一个角度. ① 求AFDE的值； ② 求证：CP ⊥AF .（3）如图3，当1k ≠时，请直接写出用含k 的式子表示的AFDE的值. ADBCEFGPGABCP DEFFED PCBAG图1 图2 图311. 在直角梯形ABCD 中，CB ∥OA ，90COA ∠=︒，3CB =，6OA =，BA =分别以OA ，OC 边所在的直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.（1）求点B 的坐标；（2）已知D ，E 分别为线段OC ，OB 上的点，5OD =，2OE EB =，直线DE 交x 轴于点F ，求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.（山西省中考试题）。