Z变换

z
X
2(z)
x2
n
(n)z n
1
(an
)z
n
n
m1
(a 1 z ) m
n0
z a
n
z a
0
1
n0
z a
n
1
1
1 (z
a)
z za
z 1 or ROC : z a
a
2
可见：ROC是以 z 为半径的圆形区域、以奇点为边界。
§4.1 Z变换及收敛域—2.收敛域
讨论：序列与其ZT的收敛域的对应关系
[x(n) Z k1dZ]
c
c n
由柯西定理
c
Z
k 1dZ
2j
0
n
c
k 0(or n m)
k 0(or n m)
得： X (Z )Z m1dZ 2jx(m)
Z逆变换
c
x(n)
1
X (Z )Z n1dZ
Res[X (Z)Z n1在c内的奇点]
2j
c
1
X (Z ) x(n)Z n n
X (z) x(i)Z (i) x(i 1)Z (i 1) x(i 2)Z (i 2) Roc为某圆内时，x(n)为左边序列， X(Z)级数应升幂排列
X (z) x(i 2)Z (i 2) x(i 1)Z (i 1) x(i)Z (i)
例：设 X (z) z ，分别求出
n
2
时、频能量相等
20
e j e j2 s以 s 为周期
§4.4 Z变换与LT变换的关系
1. s 与 z 的映射关系： z esTs eTs e jTs z e j
其中：
z
eTs
2
e s
Ts
2 s
j
s
Z
0
01
21
e j e j2 s以 s 为周期 §4.4 Z变换与LT变换的关系
za
当 RCO: z a 和 ROC: z a 时的 x(n)
5
§4.2 Z逆变换
1、（根据ROC ）幂级数展开（长除法，幂级数展开法）
幂级数展开法： （当X(Z)为特殊无理函数时）
例：已知 X (z) lg(1 az1)(ROC: z a) 求 x(n)
解： 利用已知的泰勒公式
lg(1 )
面
上
的
全
部
极
点
即：
ResF (z)在 某 闭 合 曲 线C内 部 的 全 部 极 点
ResF (z)在 某 闭 合 曲 线C外 部 的 全 部 极 点
10
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
1. 线性：若 x(n) X (Z) y(n) Y(Z) 且 ROC x ROC y 则 ax(n) by(n) aX(Z) bY(Z)
Z Rx1 Rx2
X (z) x(n)zn n
1
x(n)zn x(n)zn
n
n0
z Rx2 z Rx1
其实：Z域的圆、环形区域对应于LT的半面、带状区域。
—3.典型序列的ZT（证明自习）
4
§4.2 Z逆变换
1、（根据ROC ）幂级数展开（长除法，幂级数展开法）
长除法：（当X(Z)为有理函数时） Roc为某圆外时，x(n)为右边序列， X(Z)级数应降幂排列
1
左边序列
某圆内 0? Z Rx2
X (z)
n2
x(n)z n
x(n n2) 0
Z
n
根值值判Z
1 lim n n
x(n) R3x2
§4.1 Z变换及收敛域—2.收敛域
讨论：序列与其ZT的收敛域的对应关系
序列类型： ROC ：
导出：
双边序列 某环内
x(n)
Rx1 Z Rx2
( n )
n
Z 1
注：“ lim x(n) 收敛”等价于“lim(Z 1)X (Z)
n
Z 1
判最
收敛”定 实
条用 件的
等价于
Z 1 ROC /的极点均在单位圆内
（X(z)在单位圆上解析 仅可有一个一阶极点 z=1 ）19
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
9. 帕斯瓦尔定理：
若 x(n) X (Z ) y(n) Y(Z)
则 x(n)y(n)
1
X Z Y (v)v1dv F(Z )
2 j C v
（C在X( Z v )和Y(v)的公共收敛域中）
做变量置换 z re j
Roc : RX1RY1
v e j 得：
zv v
RX 2RY 2
F (Z ) 1 X ( r e j( ) )Y ( e j )d
第四章 Z变换
§4.1 Z变换及收敛域 1.定义
[定义]直接由序列给出（满足收敛条件时）
Z正变换： X (Z ) x(n)Z n
若将上式两边同乘Z m1
n
Z
C
0
再沿包围原点，沿函数X(z)解析的闭合曲线 c 计算 积分：
X (Z)Z m1dZ
x(n)Z nZ m1dZ m n k
解： (a)
(a)n1
u(n
1)
a
f (n) (a)
Z
F (v)v 1dv
n
n
Z v2
(a) 1 av1dv
Z
d (av1) 1 av1
ln(1
av1)
Z
ln(1
az 1 )
ln1
17
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
7. 初值定理：
若 x(n 0) 0（x(n) 为有始/因果序列）
注意到：是对
Z
做部分分式展开
由ROC确定各分式对应左边或右边序列 代入公式得 x(n)7
§4.2 Z逆变换
3、由定义计算（在ROC内）围线积分/留数法
[x(公n)式 ]1 X (Z)Z n1dZ
2j C
Res[X (Z)Z n1在c内的奇点]
X (Z)Z n1 在一阶极点 Zi 处的留数公式：
2 （可看做以 为变量的卷积）
（证明自习）
14
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
4. 时域卷积定理
x(n) y(n) X (Z)Y(Z) （证明自习）
例：求以下二序列的卷积和，
x1(n) u(n) x2(n) anu(n) an1 u(n 1)
解：
X1(Z )
Z Z 1
( Z 1)
(1) n1 n
n1
n
( 1)
由 az1 1 得 X (z) (1)n1an z n
n1
n
显然 x(n) (1)n1 an u(n 1) (a)n u(n 1)
n
n
6
§4.2 Z逆变换
2、部分分式展开（后根据ROC及公式变换）法
若X(Z)= N(Z)/D(Z)为有理函数：利用已知变换公式
且 x(n) X (Z)
则 x(0) lim X (Z ) Z
（证明自习）
18
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
8. 终值定理：
若 x(n 0) 0（ x(n)为有始/因果序列）
且 x(n) X (Z)，又 lim x(n) 存在 n
则 lim x(n) lim(Z 1)X (Z )
（Z a 处零极点相消 Roc : Z 0 ）
11
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
2. 位移性：若 x(n) X (Z) 则 x(n m) Z m X (Z )
事实上，
Z[x(n m)]
x(n
m)
z
n
n
m
k
x(k)z
k
m
Z
m
X
(Z
)
n
k
注：ROC可能增加一个极点：左移时为z = 右移时为z = 0 或，增加一个零点：左移时为z = 0右移时为z =
算子
推论 (n)k f (n) Z d k F(Z )
dZ
例. F (Z ) ln(1 aZ 1) ( Z a) 求: f (n)
解：
Z d[ln(1 aZ 1)] dZ
Z a
Z
aZ 2 1 aZ 1
(a)
Z 1Z Z (a)
a(a)n1u(n 1)
(a)n u(n 1) nf (n)
若序列为双边：
m1
x(n m) Z[x(n m)u(n)] Z m[ X (Z ) x(k )Z k ]
k0 1
x(n m) Z[x(n m)u(n)] Z m[ X (Z ) x(k )Z k ]
若序列为单边：
km
m1
x(n m) Z m[ X (Z ) x(k )Z k ]
x(n m) Z m X (Z )
k0
（Roc在Z 0,处可能有变化）x(m), x(m 1),...x(1) 13
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
3. 频域卷积/序列相乘定理
设 x(n) X (Z ) RX1 Z RX 2 y(n) Y(Z ) RY1 Z RY 2
则
(a)n
f (n)
u(n 1)
n
16
§4.3
f
(n)
(a)n1u
(n
1)
F
(v)
1
v 1 av1
Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
6. 复频域积分
f (n) Z F (v)v 1dv
n
特别地 lim f (n) f (0) 0时 存在
n0 n
(a)n
例：求 n u(n 1) ?
序列类型： ROC ：
?
有限长 序列
右边序列
至少
0? Z ?
n2
X (z) x(n)zn
(n2 n1)
nn1
Z
(n2 0)
z
0
(n1 0)
0, (n1 0 & n2 0)
某圆外 Rx1 Z ? X ( z) x(n)z n
x(n n1) 0
n n1
Z
比值值判 x(n 1)z (n1) x(n) z n
Res[X (Z )Z n1, Zi ] [ X (Z )Z n 1(Z X (Z)Z n1在 s 阶极点 Zi 处的留数公式：
Zi )] Z
Zi
Res[X
(Z)Z
n1,
Zi
]
(s
1 1)!
d s 1 dZ s 1
[
Xபைடு நூலகம்
(Z
)Z
n
1(Z
Zi
)s]
Z
Zi
8
作业
4- 1（2、3、4、8、9、10、11、13）、2、3（1、4）、
1. s 与 z 的映射关系：
Ts
2 s
Z esTs eTs e jTs Z e j
当 任意时，s 与 z 的映射出现多值性，将不一一对应。
anu(n) Z (Roc: Z a) Z a
anu(n 1) Z (Roc: Z a) Z a
A (n) A,
X (z) 分解为： 多项式 +
真分式
Y(Z) + N'(Z)/D(Z)
X (Z ) A BZ CZ 2 ... kZ hZ ... Z a Z b
N (Z ) D(Z )
4（1、3、6、8、10）、5、6、7 、9、10 、11、13 思考题 1. 单位圆上极点对应的逆Z变换一定是等幅震荡吗？单
位圆外极点对应的逆Z变换一定是增幅震荡吗？ 2. 若x(n)为x(0)≠0的因果序列，
则X(z)在 z = 0或 z = ∞处有极点吗？又，有零点吗？ 3. 已知X(z)为x(n)的Z变换，
证明：x*(n) 的Z变换是X* (z*)。
9
§4.2 Z逆变换
3、由定义计算（在ROC内）围线积分/留数法
为简化 n 阶极点留数运算 引入 [留数辅助定理]
设：F(z)在z平面上有有限个极点，且
lim F (z) 0
z
（不低于二阶的无穷小）
则：
L
F (z)dz
0
L：闭合曲线
or
ResF
(
z
)在z平
X 2 (Z )
Z Z
a
Z Za
Z 1
Z 1 Z a
(Z a)
Z
Y(Z) X1(Z)X2(Z) Z a
(Z a)
则 y(n) anu(n) （ Z 1 处极点被零点抵消）
15
§4.3 Z变换的性质
[与LT对应相似的性质]
5. 复频域微分 / Z域微分：
nf (n) Z d F(Z ) dZ
例： (n) 1
(n n0) Z n0
n0 n0
0时，ROC : 0时，ROC :
Z Z
0
12
§4.3 Z变换的性质
x(0), x(1),...x(m 1)
[与LT对应相似的性质] 2. 位移性：若 x(n) X (Z) 注意到：对单边ZT
则 x(n m) Z m X (Z )
则 x(n) y(n) 1 X (Z )Y (1 Z)Z 1dZ
n
j2 C
特别地，当X(z)Y(z)收敛域包含单位圆，可令 Z e j
得：
x(n) y(n)
1
X (e j )Y (e j )d
n
2
特别当 x(n) y(n) ，上式即DTFT的帕斯瓦尔定理
x(n) 2 1 X (e j ) 2 d
注：可能出现零极点相同而相消的情况，导致ROC扩大
例：x(n)
a
n
0
0 n N 1 其他
求：X(Z)
解： x(n) anu(n) anu(n N ) anu(n) a N anN u(n N )
得
X(Z) Z ( Z Z a
aN Z N Z
a)
(Z
Z a
ZN aN a) Z N 1(Z a)
§4.1 Z变换及收敛域—2.收敛域
例：求序列的ZT 解：由定义
a n
x1 (n)
0
n0 n0
0 n0 x2 (n) an n 0
X1(z)
x1(n)zn
n
an z n
n0
1
az 1
a2 z 2
...
a n z
...
1 z 1 (a z) z a
a 1 or ROC : z a