不动点定理及其应用(高考)

摘要

本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式.其次，通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点，总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.

关键词：Banach不动点定理，数列通项，有界性，单调性，收敛性.

Abstract

This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing the characteristics of tests emerged on math papers of all parts of our country recent years, including the problem of general term and boundedness of a sequence of number. At last, attractive fix point and rejection fix point in Fixpoint Theorem v/ere introduced v/hich can solve the problem about the monotonicity and astringency of sequence of number.

Keywords:Banach fixed point theorem, Sequence, Boundedness, Monotonicity Convergence.

第1章绪论 (1)

1.1导论 (1)

1.1.1选题背景 (1)

1.1.2选题意义 (2)

1.1.3课题研究内容 (2)

1.2研究现状 (2)

1.3本章小结 (3)

第2章不动点定理 (4)

2.1有关概念 (4)

2.2不动点定理和几种推广形式 (4)

2.3本章小结 (7)

第3彖不动点定理在数列中的应用 (8)

3.1求数列的列项公式 (8)

3.2数列的有界性 (9)

3.3数列的单调性及收敛性 (11)

3.3.1数列的单调性、收敛性的重要结论 (11)

3.3.2数列的单调性、收敛性的证明 (14)

3.4本章小结 (17)

第6章结束语 (18)

参考文献 (19)

第1章绪论

1.1导论

不动点理论的研究兴起于20世纪初，荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论⑴.在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想.美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论⑵.1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题, 并提出了尼尔森数的概念⑶.我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理［句.

不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体［5】上的映射，不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射，而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动

点问题.最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)【6】，他于1922年提出的压缩映像原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理⑹.这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论.

1.1.1选题背景

不动点定理在微分方程、函数方程、动力系统理论等中有极为广泛的应用. 函数的“不动点“理论虽然不是中学教材的必修内容，但是它的存在确实使一些数学问题在无法想象中得到了解决•已知递推公式求其数列通项，数列有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但乂难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键.因此，它就自然成为各类数学竞赛和选择性考试必选的内容之一，尤其在近年的高考中对该定理的应用越来越频繁.

1.1.2选题意义

利用“不动点”法巧解高考题，递推公式求数列的通项，证明数列的有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，那些已知递推关系但乂难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键.与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此本文对函数“不动点''问题的研究结果，来简化求数列的通项公式、数列的有界性、数列的单调性及收敛性等问题具有指导意义和理论意义.

1.1.3课题研究内容

本文通过介绍不动点定理的证明，不动点定理的迭代思想和不动点定理的推论，研究了以下的内容：

①利用不动点定理的迭代思想，简化求递推数列的通项问题.

②以不动点定理为指导思想，证明数列的有界性.

③利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题.

1.2研充现状

不动点理论一直是一个既比较古老的问题，乂比较有新生命力的领域，它的历史悠久，却乂是近现代一个发展较快的理论定理.自不动点理论问世以来，特别是最近的二三十年来，由于学术上的不断发展和数学工作者的不懈努力，这门学科的理论及应用的研兖已经取得了重要的进展，不断有新的不动点理论研究成果涌现，并日臻完善.

不动点的有关理论是泛函分析中最重要的原理之一，它依据于著名的巴拿赫(Banach)压缩