图像处理

同理对于离散余弦反变换IDCT，可首先在变换空间将[F(u)]作如 下延拓:
当u=0,1,2,3…,N-1时
=
当u=N,N+1,N+2…,2N-1时 =0
那么，反变换可表示：
=
=
= = 公式(2-6)
由上式可见，IDCT可以由 的2N点的IDFT的快速算法实现。
在计算二维的DCT变换时，可使用下面的计算公式把二维的 DCT变换变成一维的DCT变换：
的函数的和：
这些函数称为DCT变换的基函数。这样，就可以看成是应用于每个 基函数的加权。
2.3 DCT的算法
离散余弦变换可以由定义式出发进行计算。但这样的计算量太 大，在实际应用中很不方便。所以需要寻求一种快速算法。以一维离 散余弦变换为列，对快速算法进行推导。
首先，从定义出发,作如下推导: ==
公式(2-7)
公式(2-8)
3 DCT图像压缩
3.1 DCT图像压缩的原理
图像数据压缩的目的是在满足一定图像质量的条件下，用尽可能少 的比特数来表示原始图像，以提高图像传输的效率和减少图像存储的容 量，在信息论中称为信源编码。图像压缩是通过删除图像数据中冗余的 或者不必要的部分来减小图像数据量的技术，压缩过程就是编码过程， 解压缩过程就是解码过程。
2.2 DCT的定义
DCT变换利用傅立叶变换的性质，采用图像边界褶翻将图像变换为 偶函数形式，然后对图像进行二维傅立叶变换，变换后仅包含余弦项， 所以称之为离散余弦变换。
二维离散余弦变换DCT(Discrete Cosine Transform)的定义为,假设矩 阵A的大小为M×N。
公式(2-1)
图像数据可以进行压缩有以下几方面的原因。首先，原始图像数据 是高度相关的，存在很大的冗余度。如图像内相邻象素之间的空间冗余 度。序列图像前后帧之间的时间冗余度。多光谱遥感图像各谱间的频率 域冗余度。数据冗余造成比特数浪费，消除这些冗余就可以节约码字， 也就达到了数据压缩的目的。其次，基用相同码长表示不同出现概率的 符号也会造成符号冗余度。如果采用可变长编码技术，对出现概率高的 符号用短码字、对出现概率低的符号用长码字表示，就可消除符号冗余 度，从而节约码字。
假设有一个无记忆的信源,它产生的消息为,,其出现的概率是已知 的,记为。则其信息量定义为:
公式（3-1） 由此可见一个消息出现的可能性越小，其信息量就越多，其出现对 信息的贡献量越大，反之亦然。 信源的平均信息量称为“熵”（entropy），可以表示为：
公式(3-2) 对上式取以2为底的对数时，单位为比特（bits）：
经过大量图像信号在频域的统计分析发现，图像数据经DCT变换 后，频谱系数主要成分集中在此较小的范围，且主要位于低频部分。矩 阵左上角数值较大，它代表图像信息的低频分量，是图像信息的主体, 即图像高度变化的主体部分；矩阵右下角部分数值小，它表示图像信息 的高频分量，幅值较小,它主要反映图像的细节部分。所以,对大多数自 然图像DCT 能将最多的信息放到最少的系数上去。因此,DCT变换并不 对数据压缩，它只是为压缩过程的“量化”阶段做准备。
1.4 图像压缩编码的方法
1.4.1 图像压缩编码方法的简介
图像压缩算法就是要在保证图像一定的重建质量的同时，通过去除 冗余数据可以节约文件所占的码字从而极大地降低原始图像数据量，解 决图像数据量巨大的问题，以达到对图像压缩的目的。图像数据压缩技 术就是研究如何利用图像数据的冗余性来减少图像数据量的方法。因 此，进行图像压缩研究的起点是研究图像数据的冗余性。
其中，称为矩阵A的DCT系数。在MATLAB中，矩阵的下标从1开
始而不是从0开始的，所以MATLAB中的矩阵元素A(1,1)和B(1,1)分别
对应于上面定义中的值A00和B00，依此类推。
DCT是一种可逆变换，离散反余弦变换定义如下：
公式(2-2)
上式的含义是任何M×N的矩阵A都可以表示为一系列具有下面形式
的。
DCT是经典谱分析常采用的工具，考察整个时域过程的频域特征或 整个频域过程的时域特征，特别适合静止图像的压缩。图像数据中存在 大量的冗余信息，若去掉这些冗余信息，则使数字化的图像数据量大大 减少。这是通过 DCT 变换来实现的，通过离散余弦的数字运算，将空 间域的图像编码信号变换到频率域。由于绝大部分在空间和时间上变化 的复杂信号，能量主要集中在频率较低的频谱分量中，而对视觉不太敏 感的高频分量携带的能量较低，一般可删去或压缩，所以在频域上的编 码数据总是相对简单。
= （Re是取实部的意思） 公式(2-3)
对时域数据向量做如下列延拓：
当x=0,1,2,……N-1时 =
当x=N,N+1,……2N-1时 =0
则Fe(x)的离散余弦变换可写成下列：
=
公式(2-4)
=
= =wk.baidu.com公式(2-5)
由上式可见：是2N点的离散傅立叶变换。所以在做离散余弦变换 时，可以把序列长度延拓为2N，然后作离散傅立叶变换，产生的结 果取其实部即可得到余弦变换。
图像压缩方法主要分成两种类型：一种是基于空间线性预测技术，即 差分脉冲编码调制的无失真压缩算法，另一种是基于DCT的有失真压缩 算法，并进一步应用熵编码。
a. 无失真预测编码压缩算法
无失真预测编码压缩算法能准确无误地恢复原信息，它只是去掉了 信源的冗余部分，却不能提供较高的压缩比。
b. 基于DCT的有失真压缩编码算法 基于DCT的有失真压缩编码算法包括基本系统和增强系统两种不同层次 的系统。并定义了顺序工作方式和累进工作方式。基本系统只采用顺序 工作方式，熵编码时只能采用Huffman编码，且只能存储两套码表。增 强系统是基本系统的扩充，可采用累进工作方式，熵编码时可选 用Huffman码或算术编码。有失真压缩能提供较高的压缩比，但由于损 失了信源的熵，压缩后的数据是无法准确无误地恢复，而是利用人的视 觉特性使解压缩后的图像看起来与原始图像一样。主要方法有预测编 码、变换编码、模型编码、基于重要性的编码以及混合编码方法等。压 缩比随着编码方法的不同差别较大。二维图像块经过各种正交变换后比 较它们的优越性： DCT、DST、K—L>斜坡变换>哈达码变换、哈尔变 换（随图像块尺寸增大而饱和）。虽然DCT变换在处理过程中需要用乘 法电路，但由于LSI技术发展已使乘法器较为容易实现，所以DCT是正 交变换编码的主要方式。基于DCT编码的过程为先进行DCT正变换，再 对DCT系数进行量化，并对量化后的直流系数和交流系数分别进行差分 编码或行程编码，最后再进行熵编码。
图像经DCT变换以后，DCT系数之间的相关性已经很小，而且大部 分能量集中在少数的系数上，因此，DCT变换在图像压缩中非常有用， 是有损图像压缩国际标准JPEG的核心。从原理上讲可以对整幅图像进 行DCT变换，但由于图像各部位上细节的丰富程度不同，这种整体处理 的方式效果不好。为此，发送者首先将输入图像分解为8×8或16×16的 块，然后再对每个图像块进行二维DCT变换，接着再对DCT系数进行量 化、编码和传输；接收者通过对量化的DCT系数进行解码，并对每个图 像块进行的二维DCT反变换，最后将操作完成后所有的块拼接起来构成 一幅单一的图像。对于一般的图像而言，大多数DCT系数值都接近于0，
允许图像编码有一定的失真也是图像可以压缩的一个重要原因。在 许多应用场合，并不要求压缩及复原以后的图像和原图像完全相同，可 以允许有少量失真。只要这些失真并不被人眼所察觉，这就给压缩比的 提高提供了十分有利的条件。图像质量允许的损失愈多，可以实现的压 缩比就愈大。这种有失真的编码称为限失真编码，在多数应用中，人眼 往往是图像信息的最终接收者（信宿）。如果能充分利用人眼的视觉特 性，就可以在保证所要求的图像主观质量的前提下实现较高的压缩比。 这就是利用了视觉冗余度。其实人类的视觉系统（HVS）是有缺陷的。 其对某些失真不敏感，难以觉察。
在发送端，输入的原始图像首先经过DCT变换后，其低频分量都集 中在左上角，高频分量分布在右下角（DCT变换实际上是空间域的低通 滤波器）。由于该低频分量包含了图像的主要信息，而高频分量与之相 比就不那么重要了，所以可以忽略高频分量，从而达到压缩的目的。将 高频分量去掉就要用到量化，这是产生信息损失的根源。“量化”的主
在编码过程中,将图像分解为8×8的象素块,对这个8×8块进行二维 离散余弦变换,每个块就产生了64个DCT系数,其中一个DC系数位于左 上角，是直流(DC)系数,它表示了8×8 输入矩阵全部值的平均数,其余 63个系数为交流(AC)系数。接下来对DCT系数进行量化, 相邻的8×8 块之间的DC系数有较强的相关性。63个AC系数在8×8矩阵中按 照"Z"字形的次序进行，这样可增加零的连续次数，系数编码后都采用 统一的格式表示。最后将量化的DCT系数进行编码和传送,就形成了压 缩后的图像格式。在解码过程中,先对已编码的量化的系数进行解码,然 后求逆量化并利用二维DCT反变换把DCT系数转化为8×8样本像块,最 后将反变换后的块组合成一幅图像。这样就完成了图像的压缩和解压过 程。
输入图像被分成8×8或16×16的小块，然后对每一小块进行二维 DCT变换，变换后的系数量化、编码并传输；解码量化了的DCT系数， 对每一块计算二维逆DCT变换，最后把结果块拼接成一个完整的图像。 在DCT变换后舍弃那些不严重影响图像重构的接近0的系数。DCT变换的 特点是变换后图像大部分能量集中在左上角，因为左上放映原图像低频 部分数据，右下反映原图像高频部分数据。而图像的能量通常集中在低 频部分。
在接收端，接收到的压缩图像数据首先经过Huffman译码，通过搜 索已生成的Huffman表，根据码字与量化后象素值的对应关系，搜索出 与码字对应的象素值，并转换为二维矩阵。反量化时将以上二维矩阵中 的每一个象素值乘以量化因子Q。最后通过DCT反变换得到重建图像。
3.2 DCT图像压缩的模型
图3-1 DCT图像压缩的模型
3.3 DCT图像压缩的方法
DCT编码属于正交变换编码方式，用于去除图像数据的空间冗余。 变换编码就是将图像光强矩阵(时域信号)变换到系数空间(频域信号)上 进行处理的方法。在空间上具有强相关的信号，反映在频域上是在某些 特定的区域内能量常常被集中在一起，或者是系数矩阵的分布具有某些 规律。我们可以利用这些规律在频域上减少量化比特数，达到压缩的目
1.3 图像压缩编码的必要性和可能性
图像压缩编码的目的是以尽量少的比特数表征图像，同时保持复原 图像的质量，使它符合预定应用场合的要求。压缩数据量、提高有效性 是图像压缩编码的首要目的。图像编码是一种信源编码，其信源是各种 类型的图像信息。
研究表明，在人类所接受到的全部信息中，有70%以上是通过视觉得 到的。和其他信息相比，图像包含的信息量更大、更直观、更确切，因 此具有很高的使用效率和更广泛的适应性。因此在多媒体通信中，数字 图像通信占有很重要的地位。但是由于数字图像的数据量非常巨大，若 不经压缩，数字图像传输所需的高传输速率和数字图像存贮所需的巨大 容量阻碍了图像通信的发展。所以有必要对图像进行压缩编码。
要任务是用有限个离散电平来近似表达已抽取出的信息。在此采用均匀 量化，通过改变程序中的量化因子Q的值以得到不同压缩比的图 像。Huffman编码时，首先对经DCT变换及量化后的图像收据扫描一 遍，计算出各种象素出现的概率；然后按概率的大小指定不同长度的唯 一码字，由此得到一张Huffman表。编码后的图像记录的是每个象素的 码字，而码字与量化后象素值的对应关系记录在码表中。生成的一维字 符矩阵即为实际中要传输的序列，压缩后的图像数据在信道中进行传 输。
2 离散余弦变换DCT
2.1 DCT的基本原理
DCT变换在图像压缩中有很多应用，它是JPEG，MPEG 等数据压缩 标准的重要数学基础。在压缩算法中，先将输入图像划分为8×8 或 16×16,的图像块，对每个图像块作DCT变换；然后舍弃高频的系数， 并对余下的系数进行量化以进一步减少数据量；最后使用无失真编码来 完成压缩任务。解压缩时首先对每个图像块做DCT反变换，然后将图像 拼接成一副完整的图像。
公式(3-3) 在图像压缩 中，压缩比是一个重要的衡量指标。可以定义压缩比为：
C=原始数据的平均比特率（B）/压缩数据的平均比特率（H） 公式(3-4)
DCT变换后系数的量化是引起失真的主要原因,压缩效果与图像内容 本身有较大的关系。
图像编码包括两个阶段，前一个阶段就是利用预测模型或正交模型 对图像信号进行变换；后一个阶段是利用已变换信号的统计特性，对其 分配适当的代码来进行编码传输。