全等三角形之中线倍长法讲课讲稿
全等三角形辅助线秘籍-中线倍长发(优质讲义)可编辑打印
全等三角形的辅助线秘籍（一）—中线倍长学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容中线倍长的辅助线添加课型教学目标1.让学生理解中线倍长的思想方法，明确什么时候需要添加此种辅助线.2.让学生掌握中线倍长的特点，构造SAS型全等.重、难点中线倍长辅助线的添加知识导图知识梳理1.中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．2.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线（或类中线）延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．3.倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，用SAS证全等。
倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
口诀：遇中线，先倍长；证全等，找关系。
4.利用中线倍长我们通常可以解决：线段的不等关系（结合三角形的三边关系），线段相等，线段倍分。
5.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．（8字型）△ABC中，AD是BC边中线（1）方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE（2）延长MD到N，使DN=MD，连接CD导学一：利用中线倍长证明线段的等量关系例 1. 已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。
我爱展示1. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE．求证：AD+BC=DC．导学二：利用中线倍长证明线段的等量关系例 1. 如图，在△ABC中，点0为BC的中点，点M为AB上一点，ON⊥OM交AC于N．求证：BM+CN＞MN．我爱展示1. 如图，△ABC中，D为BC的中点．（1）求证：AB+AC＞2AD；（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．导学三：利用中线倍长证明线段的倍分关系例 1. 如图．AB=AE，AB⊥AE，AD=AC．AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM 。
倍长中线法(经典例题)讲课讲稿
倍长中线法(经典例题)倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】△ABC中延长AD到E， AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD 到N，作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE过D作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAEBABFDEC自检自测：1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE.2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.3、如图，AD为ABC∆的中线，DE平分BDA∠交AB于E，DF平分ADC∠交AC于F. 求证：EFCFBE>+EAB C4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图 DF CBEADABCMTE。
(完整版)三角形全等之倍长中线(讲义)
三角形全等之倍长中线（讲义）➢课前预习1.填空（1）三角形全等的判定有：三边分别___________的两个三角形全等，即（____）；两边和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和它们的_____分别相等的两个三角形全等，即（____）；两角和其中一个角的______分别相等的两个三角形全等，即（____）；斜边和_______边分别相等的两个直角三角形全等，即（____）．（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑放在两个三角形中证________；要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明．其中AAA，SSA不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．2.想一想，证一证已知：如图，AB与CD相交于点O，且O是AB的中点．（1）当OC=OD时，求证：△AOC≌△BOD；（2）当AC∥BD时，求证：△AOC≌△BOD．O BC A➢ 知识点睛1. “三角形全等”辅助线：见中线，要__________，________之后______________． 2. 中点的思考方向：①（类）倍长中线延长AD 到E ，使DE =AD ， 延长MD 到E ，使DE =MD ， 连接BE 连接CE②平行夹中点延长FE 交BC 的延长线于点GD CBAMAB CD F EDCBA➢精讲精练1.如图，AD为△ABC的中线．（1）求证：AB+AC >2AD．（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．D C BADBA3.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF=∠EAF．DCB AFED CA5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．GFE DB AGFE DB AFE DCB A7.如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG=CG且EG⊥CG．GFE D CB A【参考答案】➢ 课前预习1. （1）相等，SSS ；夹角，SAS ；夹边，ASA ；对边，AAS ；直角，HL（2）全等，三，边 2. （1）证明：如图∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO在△AOC 和△BOD 中AO BO AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOC ≌△BOD （SAS ） （2）证明：如图 ∵O 是AB 的中点 ∴AO =BO ∵AC ∥BD ∴∠A =∠B在△AOC 和△BOD 中A B AO BOAOC BOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOC ≌△BOD （ASA ） ➢ 精讲精练1. （1）证明：如图，21BCDA延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ∴AE =2AD∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴BE =AC在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （2）解：由（1）可知 AE =2AD ，BE =AC 在△ABE 中， AB -BE <AE <AB +BE ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+3 ∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDB AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC21EDCB A3. 证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDF DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠1=∠F ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =BF ∵∠1=∠F ∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180° 又∵AC =AB ∴∠1+∠2=∠5 又∵∠4+∠5=180° ∴∠4=∠5+∠6 即∠CBE =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠2=∠3 ∴CE =2CD CB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠1=∠M ，AC =MB ∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠3 ∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2 ∴∠1=∠2 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠1=∠M ∴∠1=∠F ∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2 ∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线321MABCD EF G 321MA BCDEF6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G∵AD ∥BC ∴∠3=∠G ∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中3GAFD GFC DF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG∵AD =2.7∴CG =2.7∵AE =BE∴∠1=∠B∵AB ⊥AF∴∠1+∠2=90°∠B +∠G =90°∴∠2=∠G∴EG =AE =5∴CE =EG -CG=5-2.7=2.37. 证明：如图，延长EG 交CD 的延长线于点M由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180°∴EF ∥CD∴∠FEG =∠M∵点G 为FD 的中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中 1M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB∴BE =MD在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠3=∠4=45° ∴∠2=∠3=45°∴EG =CG。
人教版八年级上册第十二章全等三角形——倍长中线 专题教案
三角形全等辅助线之倍长中线【教学目标】熟悉并掌握三角形全等证明中遇见中线时辅助线的添加方法 【教学重难点】教学重点：倍长中线辅助线的添加方法教学难点：证明题中遇见中线时如何思考添加辅助线 课前回顾：1.将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A=90°， AD 边与AB 边重合， AB ＝2AD ＝4．将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD 的延长线交直线CE 于点P.（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是 , 位置关系是 ； （2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长；1. “三角形全等”辅助线：见中线，要__________，________之后______________．【例1】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【基础练习1】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为∠CAB 的角平分线．GFEDCBA【基础练习2】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFED CB AFA CD E B【例2】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．FEMCBA【基础练习3】已知ABC ∆中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ∆的AB 边上的中线．求证：2CD CE =DCB A综合训练：1.如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.图22.如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ．求证：AD 为△ABC 的角平分线．GFE DCA3.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．FEDC BA4.如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．GF EDCB A难度提升：已知：ΔAOB 和ΔCOD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH 。
初二上学期全等三角形专题之倍长中线与截长补短教案(有答案)
倍长中线与截长补短互动精讲知识点一、倍长中线【知识梳理】△ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长，延长MD到N，使DN=MD，连接CN方式3：同时向中线作垂线，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE【例题精讲】例1、△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。
例2、已知：如图，在ABCDF//AB≠，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BA ∆中，AC∠交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分BAC【课堂练习】1、在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC 于F，求证：AF＝EF。
2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF 与EF的大小.ED F CBA知识点二、截长补短【知识梳理】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【例题精讲】例1、如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD例2、已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.【课堂练习】1、（1）如图1-1，△ABC 中，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于D ，且AB+BD=DC ，则∠C=__20°．（2）如图1-2，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别是边BC 、CD 上的点，连接PQ ．若△CPQ的周长是2，则∠PAQ=___________．图1-1 图1-2课堂检测1、如图，ABC ∆中，AB AC =，108A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+．D C B AA B C DP QADB C2、已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE课后作业1、已知：△ABC中，AB=4cm ，BC=6cm ，BD是AC边上的中线，求BD的取值范围是。
12.2 三角形全等的判定(5)中线倍长、中线作垂、截长补短
12.2 三角形全等的判定（五）基础版【教学目标】1．理解并掌握中线倍长法作辅助线构造全等三角形推导线段数量关系的原理和步骤，熟练解题．2．理解并掌握中线作垂法作辅助线构造全等三角形推导线段数量关系的原理和步骤，熟练解题．3．理解并掌握截长补短法作辅助线构造全等三角形推导线段数量关系的原理和步骤，熟练解题．【重点难点】1．中线倍长法；2．中线作垂法；3．截长补短法．【基本图形】中线倍长法：中线作垂法：重难点1中线倍长法♀例一♀．（△三边关系）如图，已知△ABC中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，BD是AC边上的中线，求BD的取值范围．♂巩固练习♂1．求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半．♀例二♀．（平行线＋角平分线＝等腰△）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，△BAE ＝△EAF，AF与DC的延长线交于点F，求证：AF＋CF＝AB．1．如图，CD为△ABC的角平分线，E、F分别在CD、BD上，且DA＝DF，EF＝AC，求证：EF∥BC．2．如图，D为CE的中点，F为AD上一点，且EF＝AC，求证：△DFE＝∠DAC．♀例三♀．如图，AD是△ABC的中线，AE⊥AC，AF⊥AB，且AE＝AC，AF＝AB．求证：AD＝12 EF．1．如图，已知CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB＝AC，△ACB＝△ABC，求证：CD＝2CE．♀例四♀．（1）阅读理解：如图△，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE、DF、EF之间的数量关系，并加以证明．①△ △♂巩固练习♂1．如图，在△ABC中，点D是BC中点，点E为AB上一点，DF⊥DE交AC于F，求证：BE＋CF＞EF．♀例五♀．如图，在△ABC中，AD是△A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点．（1）求证：PB＋PC＞AB＋AC；（2）若P是△A的角平分线上一点，且AC＞AB，画出图形，分析PB、PC、AB、AC间又有怎样的不等关系．♂巩固练习♂1．如图，已知△ABC．（1）请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明：AB＋AC＞AD＋AE．重难点2中线作垂法♀例六♀．如图，△ABC中，D为BC的中点．（1）在图中作出CM⊥AD，BN⊥AD，垂足分别为M、N；（2）求证：DM＝DN；（3）若AD＝3，求AM＋AN的值．♂巩固练习♂1．如图所示，AD是△ABC的中线，E、F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF、CE．下列说法：△CE＝BF；△△ABD和△ACD面积相等；△BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有个．2．如图，CD为△ABC的中线，M、N分别为直线CD上的点，且BM∥AN．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：CM＋CN＝2CD．♀例七♀．如图，△ABC中，△ABC＝90°，AC＝CE，BC＝CD，△ACE＝△BCD＝90°，BC的延长线交DE于点F．（1）求证：EF＝DF；（2）求证：S△ABC＝S△DCE．♂巩固练习♂1．如图，DA＝DE，△ADE＝90°，C为DE延长线上一点，AB⊥AC，且AB＝AC，延长AD交BE于F．（1）求证：EF＝BF；（2）求DFCE的值．2．如图，△C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于F．（1）求证：点F是ED的中点；（2）求证：S△ABC＝2S△BEF．重难点3截长补短法♀例八♀．如图，△ABC中，△CAB＝△CBA＝45°，CA＝CB，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N．（1）求证：△1＝△2；（2）求证：AE＝CN＋EN（请用多种方法证明）（一）直接截长法（2）间接截长法（3）直接补短法（4）间接补短法♂巩固练习♂1．如图，已知在△ABC内，∠BAC＝60°，△C＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．2．如图，正方形ABCD中，∠GBH的两边分别与直线AD、CD相交于G、H两点，且GH＝AG＋CH，求证：△BEH为等腰直角三角形．。
全等难题——倍长中线法
板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求全等三角形 的性质及判疋会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质， 会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题三角形中线的定义： 三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一 （底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合 ）三角形中位线定义： 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.中位线判定定理： 经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边. 中线中位线相关问题（涉及中点的问题） 见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理 （以后还要学习中线长公式 ），尤其是 在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见.中考要求第二讲全等三角形与中点问题重点：主要掌握中线的处理方法，遇见中线考虑中线倍长法版块一倍长中线【例1】（ 2002年通化市中考题）在厶ABC中，AB 5, AC 9，贝U BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？【补充】已知：ABC中，AM是中线•求证：AM -(AB AC).2B M C【例2】（2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试）已知：如图，梯形ABCD中，AD II BC，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F .求证：BCE也FDE .重、难点A D F【例3】（浙江省2008年初中毕业生学业考试 （湖州市）数学试卷）如图，在 ABC 中，D 是BC 边的中点，F , E 分别是AD 及其延长线上的点，CF II BE .求证： BDE 也 CDF .【例4】 如图， ABC 中，ABvAC , AD 是中线.求证： DAC< DAB .【例5】 如图，已知在 ABC 中，AD 是BC 边上的中线， E 是AD 上一点，延长 BE 交AC 于F , AF EF , 求证：ACBE.GA【例6】如图所示，在ABC和ABC中，AD、AD分别是BC、BC上的中线，且AB AB , AC AC , AD AD，求证ABC也ABC .E'【例7】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点, 于点G，若BG CF，求证：AD为ABC的角平分线.EF II AD交CA的延长线于点F，交EFC【例8】已知AD为ABC的中线，ADB , ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F .求证: BE CF EF .【例9】在Rt ABC中，A 90 ,点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED FD .以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？【例10】如图所示，在ABC中，D是BC的中点,2 AD2AB2ACDM垂直于DN，如果BM 2CN2DM 2DN 2，求证D【例10】（ 2008年四川省初中数学联赛复赛•初二组 ）在Rt ABC 中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足 DFE 90 .若AD 3 , BE 4，则线段 DE 的长度为 ____________________ .版块二、中位线的应用【例12】AD 是ABC 的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交 AC 于E .求证：AE -AC . 3【例11】如图所示, BAC DAE 90 , M 是BE 的中点, AB AC , AD AE ，求证AM CD .EAE EB 且 AE BE .【例13】如图所示，在 ABC 中，AB 求证CD 2EC •【例14】已知：ABCD 是凸四边形，且于N ，AC 和BD 交于G 点.【例15】在ABC 中,AC ,延长AB 到D ，使BD AB , E 为AB 的中点，连接 CE 、CD ,AC<BD . E 、F 分别是AD 、BC 的中点, 求证：/ GMN>/ GNM .ACB 90，AC 2BC，以BC为底作等腰直角EF 交 AC 于 M ; EF 交 BDBCD , E 是CD 的中点，求证:ABD E【例16】如图，在五边形ABCDE中，ABC AED 90 , BAC EAD ,F为CD的中点.求证：BF EF •【例17】（“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题）如图所示，P是ABC内的一点，PAC PBC，过P作PM AC于M ， PL BC于L，D为AB的中点，求证DM DL •E【例18】（全国数学联合竞赛试题）如图所示，在 ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F , 使DEDF .过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为 M 、N .求证：(1) DEM 也 FDN ; (2) PAE PBF .【例19】已知，如图四边形 ABCD 中，AD 线分别交于M 、N 两点.求证：BC , E 、F 分别是AB 和CD 的中点,AME BNE .【例20】（2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试）已知：在 ABC 中，BC AC ，动点D 绕 ABC 的 顶点A 逆时针旋转，且AD BC ,连结DC .过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、 BC 分别相交于点M 、N .FMAD 、EF 、BC 的延长⑴如图1,当点D 旋转到BC 的延长线上时，点 N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、 HF ,根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论 AMF BNE （不需证明）•⑵ 当点D 旋转到图2或图3中的位置时， AMF 与 BNE 有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明.1【例21】如图，AE 丄AB , BC 丄CD ，且AE=AB , BC=CD , F 为DE 的中点，FM 丄AC .证明：FM=—AC2【例22】（1991年泉州市初二数学双基赛题 ）已知：在厶ABC 中，分别以 AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN , P 是边BC 的中点.求证： PM =PN图1BD图3A11 / 12F ，AF 与EF 相等吗？为什么?【习题3】如右下图，在 ABC 中，若 B 2 C ，AD BC ， E 为BC 边的中点.求证： AB 2DE•【习题2】如图，已知在 ABC 中,AB AC , D 是BC 的中点，过A 作AE DE , AF FDC • DF ，且 AE AF •ABC 中，AD 是BC 边上的中线, E 是AD 上一点，且BE AC ，延长BE 交AC 于【习题1】如图，在等腰求证： EDB BMN CFAO是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E, F .【备选1】如图，已知AB=DC, AD=BC,求证：/ E=Z F【备选2】如图，ABC中，AB AC , BAC 90 , D是BC中点，ED FD , ED与AB交于E , FD与AC 交于F .求证：BE AF , AE CF .12 / 12。
第11讲.全等三角形中的倍长类中线.教师版
第十一讲全等三角形中的倍长类中线中考要求知识点睛三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．重、难点版块一、倍长中线【例1】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．AMDCB【解析】 如图所示，延长AM 到D ，使DM AM =，连结BD ，利用SAS 证得ACM ∆≌DBM ∆，∴BD AC = ABD ∆中，AD AB BD <+，∴2AM AB AC <+∴1()2AM AB AC <+【巩固】(2002年通化市中考题)在ABC ∆中，5,9AB AC ==，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？ 【解析】 中线倍长，27AD <<【例2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。
同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理以及中线的灵活应用。
为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化例题精讲求证：AC BE =．F ED C BA GFEDCBA【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连结BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB ∆∆≌∴AC GB =．G EAF ∠=∠又∵AF EF =，∴EAF AEF ∠=∠ ∴G BED ∠=∠∴BE BG =，∴BE AC =．【例3】 如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．F GE DCBAHAF GBE DC【解析】 延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．在CEF ∆和BEH ∆中 CE BE CEF BEH FE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG == ∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠ ∴AFG AGF ∠=∠ 又∵EF AD ∥∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠∴AD 为ABC ∆的角平分线．【例4】 如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．DCBAEABCD【解析】 延长AD 到E ，使AD DE =，连结BE ．在ADC ∆和EDB ∆中 AD ED ADC EDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC EDB ∆∆≌ ∴AC EB =，CAD BEA ∠=∠在ABE ∆中，∵<AB AC ，∴AB EB <∴<AEB EAB ∠∠，∴<DAC DAB ∠∠．(如果取AB 中点用中位线也可证，目前还不能)【例10】 如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB AB''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．E DCABB'A'C'D'E'【解析】 如图所示，分别延长AD 、A D ''至E 、E '，使DE AD =，D E A D ''''=．连接BE 、BE''，则2AE AD =，2A E A D ''''=． 因为AD A D ''=，所以AE AE''=． 在ADC ∆和EDB ∆中，AD ED =，ADC EDB ∠=∠，BD CD =， 故ADC EDB ∆∆≌，从而AC EB =，E CAD ∠=∠．同理，'A D C E D B '''''∆∆≌，则A C E B ''''=，E C A D ''''∠=∠．因为AC A C ''=，所以BE BE''=． 在ABE ∆和A B E '''∆中，AB AB''=，BE BE ''=，AE AE ''=， 所以ABE AB E '''∆∆≌，从而E E '∠=∠，BAE B A E '''∠=∠，故CAD E EC AD ''''∠=∠=∠=∠，则BAC BA C '''∠=∠． 在ABC ∆和ABC '''∆中，AB AB''=，BAC B A C ''∠=∠，AC A C ''=，故ABC A B C '''∆∆≌．【例5】 已知△ABC ，B ACB ∠=∠，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC于G ，求证GD =GE ．4321GEDCBAFE G D CBA【解析】 (等腰三角形、线段相等)(一)过E 作EF ∥AB ，交BC 的延长线于F ，则∠B =∠F ∵∠3=∠4 ，∠3=∠B ∴∠4=∠F ∴CE =EF 在△GEF 与△GDB 中， 12DB CE EF B F ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠⎩∴△GFE ≌△GBD ∴DG GE = 证明(二)4321FKGED CBA过D ，E 分别作直线DK ⊥CB ，EF ⊥CB ∵∠1=∠2 ∠2=∠B ∴∠1=∠B 又 ∵BD =CE ∴Rt △BDK ≌△CEF ∴DK =EF 又∵∠3=∠4．∴Rt △DKG ≌Rt △EFG ∴GD =GE 证明(三)F K1EGD C BA过D 点作DK ∥AC 交BC 于K过D 点作DF ∥BC 交AC 于F ∴ 四边形DKCF 是开行四边形 ∴ DK =FC ∠1=∠C ∵∠C =∠B ∴∠1=∠B ∴DB =DK =CE =CF ∴C 是EF 中点，∴BC ∥DF ∴G 是DE 中点，∴DG =EG 注(此题还有他法，可补充)【例6】 在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？F EDCBAGAE BDCF【解析】 延长FD 到点G ，使FD GD =，连结EG 、BG ．在CDF ∆和BDG ∆中 CD BD CDF BDG FD GD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CDF BDG ∆∆≌∴BG CF =，FCD GBD ∠=∠ ∵90A ∠=︒∴90ABC ACB ∠+∠=︒ ∴90ABC GBD ∠+∠=︒ 在EDF ∆和EDG ∆中 90ED ED EDF EDG FD GD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴EDF EDG ∆∆≌ ∴EF EG =故以线段BE 、EF 、FC 为边能构成一个直角三角形．【巩固】如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求证()22214AD AB AC =+．NMDCBAE NMDCBA【解析】 延长ND 至E ，使DE DN =，连接EB 、EM 、MN ．因为DE DN =，DB DC =，BDE CDN ∠=∠，则BDE CDN ∆∆≌． 从而BE CN =，DBE C ∠=∠．而DE DN =，90MDN ︒∠=，故ME MN =，因此2222DM DN MN ME +==， 即222BM BE ME +=，则90MBE ︒∠=，即90MBD DBE ︒∠+∠=． 因为DBE C ∠=∠，故90MBD C ︒∠+∠=，则90BAC ︒∠=．AD 为Rt ABC ∆斜边BC 上的中线，故12AD BC =．由此可得()22221144AD BC AB AC ==+．【例7】 已知AM 为ABC ∆的中线，AM B ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．MFECBANMFECBA【解析】 延长FM 到N ，使MN MF =，连结BN 、EN ．易证BNM ∆≌CFM ∆，∴BN CF =，又∵AM B ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ， ∴90EMF EMN ∠=∠= ，利用SAS 证明EMN ∆≌EM F ∆，∴EN EF =， 在EBN ∆中，BE BN EN +>，∴BE CF EF +>．【例11】 如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．MECBAFNO H ABCEM【解析】 如图所示，设AM 交DC 于H ，要证明AM CD ⊥，实际上就是证明90AHD ∠=︒，而条件BM M E=不好运用，我们可以倍长中线AM 到F ，连接BF 交AD 于点N ，交CD 于点O ． 容易证明AM E FM B ∆∆≌则AE FB =，EAF F ∠=∠，从而AE FB ∥，90ANF ∠=︒而90CAD DAB ∠+∠=︒，90DAB ABN ∠+∠=︒，故CAD ABN ∠=∠ 从而CAD ABF ∆∆≌，故D F ∠=∠ 而90D DON FOH F ∠+∠=∠+∠=︒ 故90AHD ∠=︒，亦即AM CD ⊥．【巩固】已知在ABC ∆中，AD 是中线，P 是AD 上的任意一点，CF AB ∥且交BP 的延长线于点F ，BF 交AC 于E ，求证2PB PE PF = ．EFPCB D ANMEFP CBDA【解析】 如图所示，延长AD 交FC 的延长线于点M ，使得MD DA =,在DM 上取点N ，使PD DN =，连接CM 、CN ．因为CF AB ∥，BD CD =，ADB MDC ∠=∠，故ADB ∆≌MDC ∆，AB CM =． 同理，CN BP =，CN PF ∥，故NC MCPF MF=． 同理，PE AENC AC=． 因为CF AB ∥，故AE AB AB AB MC AC AB CF MC CF FM FM ====++，从而NC PE PF CN =， 即2CN PE PF = ，则2PB PE PF = ．【例8】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【解析】 ∵点E 是DC 中点∴DE CE =又∵AD BC ∥，F 在AD 延长线上 ∴DFE CBE ∠=∠，FDE BCE ∠=∠ 在BCE ∆与FDE ∆中 EBC EFD ECB EDF CE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BCE FDE AAS ∆∆≌【例9】 (浙江省2008年初中毕业生学业考试(湖州市)数学试卷)如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．FEDCBA【解析】 ∵CF BE ∥，∴EBD FCD ∠=∠．又∵BDE CDF ∠=∠，BD CD =， ∴BDE CDF ∆∆≌．【例12】 (2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．图 6GEFD B CA 【解析】 如图、延长DF 至点G ，使得DF FG =，联结GB 、GE ．由AF FB =，有ADF BGF ∆∆≌ 3BG AD ⇒== ADF BGF ⇒∠=∠ AD GB ⇒∥180GBE ACB ⇒∠+∠=︒ 90GBE ⇒∠=︒5GE ⇒． 又DF FG =，EF DG ⊥ 5DE GE ⇒==．版块二、中位线的应用【例13】 AD 是ABC ∆的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：13AE AC =．FA D E CBFA DE G CB【解析】 取EC 的中点G ，连接DG 易得DG BE ∥，F 为AD 的中点，所以AE EG =，从而可证得：13AE AC =．【例14】 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．ED CB AF ABC EGAB EC【解析】 解法一：如图所示，延长CE 到F ，使EF CE =．容易证明EBF EAC ∆∆≌，从而BF AC =，而AC AB BD ==，故BF BD =．注意到CBD BAC ACB BAC ABC ∠=∠+∠=∠+∠，CBF ABC FBA ABC CAB ∠=∠+∠=∠+∠，故CBF CBD ∠=∠，而BC 公用，故CBF CBD ∆∆≌， 因此2CD CF CE ==．解法二：如图所示，取CD 的中点G ，连接BG ． 因为G 是CD 的中点，B 是AD 的中点，故BG 是DAC ∆的中位线，从而1122BG AC AB BE ===，由BG AC ∥可得GBC ACB ABC EBC ∠=∠=∠=∠，故BCE BCG ∆∆≌， 从而EC GC =，2CD CE =．【巩固】已知△ABC 中，AB =AC ，BD 为AB 的延长线，且BD =AB ，CE 为△ABC 的AB 边上的中线．求证CD =2CEEDCBA54321KE DCBA【解析】 (等边、中点、线段倍数)(一)延长CE 到K ，使CE =EK ，连接BK12AE EB EC EK =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△BEK AC =BK =BD ∠A =∠3 ∴AB =AC ∴∠5=∠ACB ∴∠KBC =∠3+∠5=∠A +∠ACB =∠4 BC =BC ∴△CKB ≌△CDB ∴CK =CD ∴ 2CE =CD【例15】 已知：ABCD 是凸四边形，且AC <BD ． E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD于N ，AC 和BD 交于G 点． 求证：∠GMN >∠GNM ．HABCDEFMNGG NMFE DCBA【解析】 取AB 中点H ，连接EH 、FH ． ∵AE =ED ，AH =BH∴EH ∥BD ，EH =12BD ∴∠GNM =∠HEF ∵AH =BH ，BF =CF ∴FH ∥AC ，FH =12AC ∴∠GMN =∠HFE ∵AC <BD ∴FH <EH ∴∠HEF <∠HFE∴∠GMN >∠GNM【例16】 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA FABCED【解析】 过E 作EF BC ∥交BD 于F135ACE ACB BCE ∠=∠+∠=︒ ∵45DFE DBC ∠=∠=︒ ∴135EFB ∠=︒又∵EF BC ∥，12EF BC =，12AC BC =∴EF AC =，CE FB = ∴EFB ACE ∆∆≌ ∴CEA DBE ∠=∠又∵90DBE DEB ∠+∠=︒ ∴90DEB CEA ∠+∠=︒ 故90AEB ∠=︒∴AE EB ⊥且AE BE =．【例17】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBANMEDF CBA【解析】 取AC 中点M ，AD 中点N ．连结MF 、NF 、MB 、NE ，则根据直角三角形斜边中线的性质及中位线的性质有12MF AD NE ==，12NF AC MB ==，M F AD ∥，NF AC ∥，∴DNF CAD CMF ∠=∠=∠，∵BM AM =，∴MBA CAB ∠=∠． ∴2BMC MBA CAB CAB ∠=∠+∠=∠．同理可证2DNE DAE ∠=∠． ∵BAC EAD ∠=∠，∴BMC END ∠=∠． ∴BMC CMF FND DNE ∠+∠=∠+∠，即BMF ENF ∠=∠，∴MBF NFE ∆∆≌，∴BF EF =．【例18】 (“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P 是ABC ∆内的一点，PAC PBC ∠=∠，过P 作PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于L ，D 为AB 的中点，求证D M D L =．LPMD CB A FEL PMDCBA【解析】 如图所示，取AP 、PB 的中点E 、F ，连接EM 、ED 、FD 、FL ，则有DE BP ∥且12DE BP =，DF AP ∥且12DF AP =．因为AM P ∆和BLP ∆都是直角三角形，故12ME AP =，12LF BP =，从而ED FL =，DF ME =．又因为M ED M EP PED ∠=∠+∠，D FL D FP PFL ∠=∠+∠，而22M EP M AP LBP PFL ∠=∠=∠=∠，且PED DFP ∠=∠，所以M ED D FL ∠=∠， 从而M ED D FL ∆∆≌，故D M D L =．【例19】 (全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE DF =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：(1) DEM FDN ∆∆≌； (2) PAE PBF ∠=∠．NMABCDEPF【解析】 ⑴ 如图所示，根据题意可知DM BN ∥且DM BN =，DN AM ∥且DN AM =，所以AMD APB DNB ∠=∠=∠．而M 、N 分别是直角三角形AEP ∆、BFP ∆的斜边的中点， 所以EM AM DN ==，FN BN DM ==， 又已知DE DF =，从而DEM FDN ∆∆≌． (2) 由(1)可知EMD DNF ∠=∠，则由AMD DNB ∠=∠可得AME BNF ∠=∠． 而AM E ∆、BNF ∆均为等腰三角形， 所以PAE PBF ∠=∠．【例20】 已知：在△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM ＝PN (1991年泉州市初二数学双基赛题)【解析】 证明：取AB 中点Q ，AC 中点R连结PQ ，PR ，MQ ，NRPQ ∥AC ，PQ ＝21AC ＝NR PR ∥AB ，PR ＝MQ ∠PQM ＝∠PRN(两边分别垂直)，BQP BAC PRC ∠=∠=∠ ∴△PQM ≌△NRP ， PM ＝PN【例21】 已知，如图四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M 、N 两点． 求证：AME BNE ∠=∠．A CDM FE N B A HCD M FE NB【解析】 连接AC ，取AC 中点H ，连接FH 、EH ．∵DF CF =，AH CH =，∴12FH AD ∥，12FH AD =，同理，12EH BC =，EH BC ∥∵AD BC =，∴EH FH =，∴H FE H EF ∠=∠ ∵FH AM ∥，EH BC ∥∴AM E H FE ∠=∠，HEF BNE ∠=∠，∴AME BNE ∠=∠【点评】“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似功效．【巩固】(2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试)已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．F图3图2图1F N MDCE B ANMDCE BAHF (N )DM C E BA⑴ 如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMF BNE ∠=∠(不需证明)． ⑵ 当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．HA B E CDMN F HA BE CDMN F【解析】 图2：AMF ENB ∠=∠图3：180AMF ENB ∠+∠=︒证明：在图2中，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ∵F 是DC 的中点，H 是AC 的中点∴H F AD ∥，12HF AD =∴AM F H FE ∠=∠同理，HE CB ∥，12HE CB =∴ENB HEF ∠=∠ ∵AD BC = ∴HF HE =， ∴H EF H FE ∠=∠ ∴ENB AMF ∠=∠证明图3的过程与证明图2过程相似．【例22】 如图，AE ⊥AB ，BC ⊥CD ，且AE =AB ，BC =CD ，F 为DE 的中点，FM ⊥AC ．证明：FM =12AC ． KN H A BCDEFMM FEDCBA【解析】 过点E 、D 、B 分别作AC 的垂线，垂足分别为H 、K 、N ．由基本图可知，△AEH ≌△BAN ，△BCN ≌△CDK ，故AH =BN =CK ，EH =AN ，DK =CN ．又EF =DF ，FM ⊥AC ，EH ⊥AC ，DK ⊥AC ，故FM =12(EH +DK )=12(AN +NC )=12AC【巩固】(2004全国数学联赛试题)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB 、CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ． 设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ． 求证：点M 为EF 的中点．LSRQ'P'K QP ABCDEFHGM llMGHFEDCBA【解析】 设l 与AD 、BC 的 交点分别为K 、L ．，过点E 、F 作l 的垂线，垂足分别为P 、Q ． 过点K 分别作AE 、DF 、AB 、DC 的平行线，分别交PE 、FQ 、BC 于点'P 、'Q 、R 、S ．∵ AK =DK ∴''EP FQ = 由基本图可知'PKP LRK ∆≅∆，'QKQ LSK ∆≅∆ 故''PP KL QQ ==，''''EP PP EP QQ FQ FQ =+=+= 从而可知EPM FQM ∆≅∆，故EM =FM ，即点M 为EF 的中点．【习题1】如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．DF ECBADBCFAE【解析】 本题相对例题简单一些．连结AD ，则AD BC ⊥．∵AE AF =，AD AD =，∴Rt Rt AED AFD ∆∆≌ ∴AD E AD F ∠=∠，∴EDB FDC ∠=∠．【习题2】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？家庭作业FED CBA【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连结BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB ∆∆≌．∴AC GB =．G EAF ∠=∠ 又∵BE AC =，∴BE BG =∴G BED ∠=∠，而BED AEF ∠=∠ ∴AEF FAE ∠=∠，故FA FE =．【习题3】如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．【解析】 如右下图，则取AC 边中点F ，连结EF 、DF ．由中位线可得，12EF AB =且B CEF ∠=∠．DF 为Rt ADC ∆斜边上的中线，∴DF CF =．∴CDF C ∠=∠，又∵DFE FDE CEF ∠+∠=∠，即2C DFE C ∠+∠=∠，∴D FE ED F ∠=∠，∴12DE EF AB ==，∴2AB DE =．FAB DEC【备选1】如图，已知AB =DC ，AD =BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 、BC 的延长线于E ，F ．求证：∠E =∠F【解析】 (提示：由△ABD ≌△CDB ，得∠1=∠2，过而△EOD ≌△FOB ，故∠E =∠F )【备选2】如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于F ．求证：BE AF =，AE CF =．ABCDE FFEDCB A【解析】 方法一：连结AD ．∵AB AC =，90BAC ∠=︒ ∴45B C ∠=∠=∠︒ ∵D 是BC 中点∴45BAD ∠=︒且AD BC ⊥ ∵ED DF ⊥∴90EDA ADF ∠+∠=︒ ∵90ADE EDB ∠+∠=︒ ∴BD E AD F ∠=∠在BDE ∆与ADF ∆中，AD BD =，45DAF B ∠=∠=︒，BD E AD F ∠=∠ ∴BD E AD F ∆∆≌∴BE AF =．∴AE CF =．月测备选。
初二《全等三角形——倍长中线法》讲课初稿
教学设计目的啊，就是构造一对对顶的全等三角形。
具体操作如下：，△ABC中，延长中线AD到E，使得AD=DE，连接BE，则得到一个新的△BED，那这个△BED与哪个三角形全等呢？为什么呢？同学们都答出来了，△BED与△CAD全等。
如何证明呢？那也很简单的。
因为AD=ED，D为BC中点，BD=CD，而∠ADC=∠EDB，根据SAS（边角边）就可以得出，△BED≌△CAD。
而△BED与△CAD全等了，又可以得出∠DAC=∠DEB，所以AC∥EB。
那么，老师再请同学们思考一下，在上图中，AB，AC与中线AD线段长度又有什么关系呢？我看有同学思考出来了，它们的关系是AB＋AC＞2AD。
如何证明呢？这个也很简单。
刚刚已经得出△BED≌△CAD，可以得出BE=CA。
在△ABE中，根据任意两边之和大于第三边，AB+BE＞AE。
又因为AE=2AD，BE=CA所以可以得出AB＋AC＞2AD。
因此，关于倍长中线法我们能总结以下3点：第一、看到中点，要想到用倍长中线法。
第二、倍长中线法可以构造出一对对顶的全等三角形。
第三、倍长中线法可以得出一对平行线。
三、倍长线法的一些基础应用。
接下来，我们就做一些比较基础，比较简单的倍长中线法的应用。
例1:已知△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=DC，求证：AB=AC分析：1.看到BD=DC（D 为BC中点）就要想到用倍长中线法2.倍长中线法，可得△BED≌△CAD可得AC=BE且∠2=∠13.要求证AB=AC则只需求AB=BE即∠3=∠2证明：延长AD至E, 令AD=DE，连接BE。
∵BD=DC，AD=DE，且∠ADC=∠EDB ∴△BED≌△CAD（SAS）∴BE=CA，∠2=∠1∵AD平分∠BAC∴∠3=∠1∴∠3=∠2∴BA=BE∵BE=CA∴AB=AC上面这道题是开胃菜，下面老师就稍微增加点难度。
例2:已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F. 求证：AF=EF.这道题老师请同学们先自己思考一下，咱们依旧用用倍长中线法，那么倍长哪条中线呢？然后再四人一组再讨论一下各自的证明过程。
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授课教案
教学标题
教学目标
教学重难点
上次作业检查
授课内容：—
一.热身训练 1. 如图，已知：AD 是BC 上的中线，且DF=DE 求证：BE // CF.
2. 如图，AE BC 交于点 M, F 点在AM 上，BE / CF, BE=CF 求证：人“是厶ABC 的中线.
3. AB=AC , DB=DC F 是AD 的延长线上的一点。
求证： BF=CF
4. 如图：AB=CD AE=DF CE=FB 求证：AF=DE
5. 已知：如图所示， AB = AD BC = DC E 、F 分别是 DC BC 的中点，求证： AE = AF.
二.知识梳理
1•中点的定义 2•中点的表示方法：等量关系、倍的关系、分的关系
3•三角形中线的作用：等分面积
全等） 三•典型例题
例1.（“希望杯”试题）已知，如图△ ABC 中, AB=5 AC=3则中线AD 的取值范围是 _____________ . 分析：①将AD 边放在某个三角形中，利用三边关系求出取值范围；
A ② 中线倍长法的具体应用：延长 AD 至M,使DM=AD 连接BM 利用SAS 证明三、 角形全等；
③ 将线段AC 转换成BM 在厶ABM 中利用三边关系求出 2AD 取值范 ——L \
中线倍长法证明全等 熟练掌握有中点为背景的全等三角形证明的方法 重点掌握中线倍长法模型的建立，能利用中线倍长法解决问题
4•全等三角形中中线的作用：倍长中线（延长中线至 *，连接**，利用SAS 证明三角形
例2.如图：在厶ABC中，BA=BC D是AC的中点。
求证：BDL
AC.
分析：中线倍长法，延长BD至M,使DM=BD连接AM,两次全
等，再证明角相等.
1
例3.已知：D是AB中点，/ ACB=90,求证：CD AB
2
分析：中线倍长法，延长CD至M,使DM=CD连接AM,
两次全等，解决线段分的证明
例4.已知，E 是AB 中点，AF=BD, BD=5, AC=7,求DC
分析：中线倍长法，E为中点，可倍长DE FE、CE至M （具体是哪条线段尝试之后再引导学生下结论），连接AM，利用SAS证明三角形全等，有部分等腰三角形的知识参与解题，可引导学生回忆三角形按边分类时所传授的等腰三角形的知识
D 四•课堂练习
1. 已知：AB=4, AC=2 D是BC中点，AD是整数,
2. 已知：/ 仁/2, CD=DE EF//AB，求证：EF：
五•课后反思：
1. 三角形全等证明的方法，注意两次全等的问题；
2. 有中点为背景参与的问题，常见思路是“中线倍长法”
1.如图，已知：AD是BC上的中线，且DF=DE求证：BE // CF.
2.如图，AE BC交于点M, F点在AM上，BE/ CF, BE=CF求证:
3. AB=AC , DB=DC F是AD的延长线上的一点。
求证：BF=CF
5.已知：如图所示，AB= AD BC= DC E、F分别是DC BC的中点，求证:
C 4.女口图：AB=C
D AE=DF CE=FB 求证：AF=DE
例1.（“希望杯”试题）已知，如图△ ABC中, AB=5 AC=3则中线AD的取值范围是______________
例2.如图：在厶ABC中，BA=BC D是AC的中点。
求证：BD丄AC.
1 例3.已知：D是AB中点，/ ACB=90°,求证：CD AB
2 例4.已知，E 是AB 中点，AF=BD, BD=5, AC=7,求DC
1.已知：AB=4, AC=2 D是BC中点，AD是整数，求AD
2.已知：/ 仁/2, CD=DE EF//AB，求证：EF=AC。