第九章 矩阵位移法-河海大学

3 12
-88.889 0.0 0.0 88.889 0.0 0.0
4 4
-5.268 11.852 11.852 17.78 0.0 0.0 5.268 11.852 11.852 35.556 0.0 0.0
5 6 5 6
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1 2 3 2 10 4 5 6
F F F
① G ② G ③ G
0 60.0 40.0 0.0 60.0 40.0 0 20.0 22.5 0.0 20.0 22.5 0 0 0 0 0 0
再把 F 转换到整体坐标中，由
7 8
e G
F L F
e G T T
e G
得
1 2 3
9
F 60.0 0.0 40.0 60.0 0.0 40.0
① G
1 2 3 4 5 6
F 0 20.0 22.5 0.0 20.0 22.5
二、支座反力
求解步骤： 1，将Fmi 转换至整体坐标系中； 2.根据单元自由度序号列阵将杆端力Fi叠 加至支座反力列阵中。
返回
§9 —6
解：1.建立坐标系与编号 2.可动结点的位移列阵为
例题
例1 设EA=常数，试用矩阵位移法分析图示的平面桁架。
3.可动结点的平衡方程为
K F
4.求
解：（1）建立坐标系和编号 单元划分、节点编号、节点位移或节点力编号，整体坐标系 及单元的局部坐标的方向如图2－21（b）所示。 （2）可动节点列阵为 （3）整体平衡方程
1 2 3 4 5 6
K FE
图2－21(b)
（4）各单元的劲度矩阵 ①各单元在局部坐标系中的劲度矩阵 ③ 由式（2－28）得 ①
五、解方程：
六、单元杆端力的计算：
位移法法中有叠加公式：
对杆端力写成矩阵形式：
Fmi ——局部坐标系中单元杆端内力列阵。
mi
——局部坐标系中单元杆端位移列阵。
由杆端内力画弯矩图、剪力图：
七、支座反力的计算：
由内力图：考虑支座结点平衡： 结点A： 结点B： 结点C： 结点D：
返回
§9—2 单元劲度矩阵
T
6.按”对号入座”原则，将ki叠加到
k 中。
例形成图示刚架可动结点劲度矩阵，E,I ,A为常数。
解： 1.编号，如图（b) 2.确定单元杆端自由度序号。
3.计算
kmi
4.计算单元转换矩阵
5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵
6.根据单元杆端自由度序号叠加
二、可动结点劲度矩阵性质
1.对称方阵 反力互等定理
EI=20EA，试用矩阵位移法分析
图示的平面刚架。 解： 1.建立坐标系与编号
2.可动结点的位移列阵为
3.可动结点平衡方程
4，求
（1）计算个单元的方向余弦和杆长：
（2）求
kmi
（3）求ki
(4)求
(5)求： （1）直接作用在结点上的荷载为
(2)作用在单元上的荷载
把FL沿整体坐标系方向分解，得
2
-15.0 75.556 0.0 11.852 17.78
3
-88.889
105.268 11.852
1 0.0 -5.268 11.852 2 2 10 0.0 11.852 17.78 3 96.386 0.0 15.0 4 0.0 105.268 11.852 5 15.0 11.852 75.556 6 0.0 0.0
单元绝对位
返回
§9—3 可动结点劲度矩阵
一、形成可动结点劲度矩阵的步骤
步骤： 1.对结构进行结点编号、单元标号、自由度编号： 2.确定单元杆端自由度序号（考虑约束条件）； 3.计算单元在局部坐标系中的劲度矩阵kmi 4.计算单元转换矩阵Ti 5.形成单元在整体坐标系中的劲度矩阵ki Ti kmi Ti
K
（1）计算机各单元的方向余弦和杆长：
（2）求 kmi
(3)求ki
单元（1）:Cx=0 Cy=1 杆长：l
同理：
（4）求 按照“对号入座“原则，由ki形成k哪
例如： 同理：
5.求：
对于桁架，一般只有结点荷 载，于是
得 6.求结点位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力
例
设 EI=常数，EA=常数，
整体分析（如：力的平衡） 一般在整体坐标系中讨论 两种坐标系中杆端力，位移分量之间的关系——转换矩阵
整体坐标系中：
局部坐标系中：
写成矩阵形式：
其中：
称为平面固接单元的转换矩阵。 同理：
思考： 给出平面梁单元，平面铰单元的转换矩阵
四、单元在整体坐标系中的劲度矩阵
——整体坐标系
——局部坐标系
从局部坐标系出发，两边前乘
k k
0.0 0.0 -100.0 0.0 0.0 100.0 0.0 7.5 15.0 0.0 -7.5 -15.0 15.0 40.0 0.0 15.0 20.0 ① EA 0.0 2 k ＝ 10 0.0 100.0 0.0 0.0 l1 100.0 0.0 0.0 7.5 15.0 0.0 7.5 15.0 0.0 -15.0 20.0 0.0 15.0 40.0 0.0 0.0 -100.0 0.0 0.0 100.0 0.0 5 .926 13.33 0.0 -5.926 -13.33 13.33 40.0 0.0 13.33 20.0 ② EA 0.0 2 k ＝ 10 0.0 0.0 100.0 0.0 0.0 l2 100.0 0.0 5.926 13.33 0.0 5.926 13.33 -13.33 20.0 0.0 13.33 40.0 0.0
例
解： （一）结点集中荷载
（二）单元荷载
1.求局部坐标单元固端力
2.转换到整体坐标
3.叠加
返回
§9—5 单元杆端内力和支座反力
一、单元杆端内力
1.计算公式
2.求解步骤 （1）形成单元局部坐标系下的单元劲度矩阵kmi （2）形成转换矩阵Ti
（3）形成杆端位移列阵 i
（4）形成固端力列阵FLi （5）计算单元最后杆端力， 先计算 在计算 或用 计算。
从而得
6.求结点位移
7.求杆端力Fmi
8.求支座反力 支座反力由下式
计算，得
9.内力图
例2 求图2-21(a)所示平面刚架的内力,已知各杆 长 l1
I 0.005m
4
A 0.05m2 ，E 2 106 kN m2 AB杆、CD杆杆
4m，BC杆杆长 l2 4.5m。
0.0 15.0 -7.5 0.0 15.0 1 10 7.5 0.0 100.0 0.0 0.0 -100.0 0.0 11 2 EA 12 15.0 0.0 40.0 15.0 0.0 20.0 3 2 k③ 10 l1 4 7.5 0.0 15.0 7.5 0.0 15.0 4 5 0.0 100.0 0.0 0.0 100 0.0 5 6 0.0 20.0 －15.0 0.0 40.0 6 15.0
4 5 6
1
2
3
4
5
6
0.0 15.0 7 7.5 0.0 100.0 0.0 0 8 0.0 20.0 EA 9 15.0 K R 7.5 0.0 15.0 l1 10 0 0.0 100.0 0.0 11 15.0 0.0 20.0 12
五、单元劲度矩阵的性质 1、kmi ki 为对称矩阵
反力互等定理: k支座发生单位位移时在m支座内引起的反力，等于m支座发 生单位位移时在k支座内引起的反例。
2、kmi ki 为奇异矩阵
不存在，即已知 物理意义： 已知结点力列阵 移。 单元相对位移 可求出 ，反之，已知 无法求出对应的 。
限制刚体位移
②各单元在整体坐标系下得单元劲度矩阵
0 1 0 ① ③ LT LT ＝ 0 0 0 0 1 ② ，LT I 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0
所以，由
k L kLT
T T
7
得
8 9 1 2 3
0.0 15.0 -7.5 0.0 15.0 1 7 7.5 2 8 0.0 100.0 0.0 0.0 -100.0 0.0 40.0 15.0 0.0 20.0 3 EA 9 15.0 0.0 ① 2 k ＝ 1 410 0.0 15.0 l1 7.5 0.0 15.0 7.5 2 0.0 100.0 0.0 0.0 100 0.0 5 6 3 15.0 0.0 20.0 15.0 0.0 40.0
一、杆件单元的空间位置
平面杆件单元i,整体坐标系oxyz,局部坐标系o'xmymzm
思考：考虑空间杆件单元。
二 单元局部坐标系的劲度矩阵
1.平面铰接单元
单元结点位移
单元杆端力
为表示方便，平面铰接单元常采用下述方法：
2.平面固接单元
单元结点位移
单元杆端力
单元劲度矩阵
三、单元转换矩阵
单元分析
一般在局部坐标系中进行
二、数字编号
1.结点编号 2.单元编号 3.结点位移编号
三、结点位移列阵
四、可动结点平衡矩阵方程
位移法典型方程
写成矩阵形式
可动结点平衡方程：
可动结点劲度矩阵 可动结点等效荷载列阵
（一） K 的建立
1.回顾位移法中计算Kij的过程 作单位弯矩图：
M 1 中结点B:
结点C:
M 2 中结点B：
2.非奇异矩阵
考虑了约束条件，排除了刚体位移
3.稀疏带状矩阵
只有临近结点之间才有相互影响
返回
§9—4 可动结点等效荷载列阵
一、直接作用在结点上的荷载
将结点集中荷载按自由度方向分解，将各荷载分量直接叠加到可 动结点荷载列阵中
二、作用在单元上的荷载
步骤： 1.求单元固端力； 2.转换至整体坐标系中； 3.按照单元杆端自由度序号叠加到可动结点等效荷载列阵中
第九章 矩阵位移法
§9-1 §9-2 §9-3 §9-4 §9-5 §9-6 矩阵位移法基本概念 单元劲度矩阵 可动结点劲度矩阵 可动结点等效荷载列阵 单元杆端力和支座反力 例题
§9-7
平面刚架计算程序
§9—1 矩阵位移法的基本概念
一、坐标系和符号规定 图示连续梁：
位移法求解基本系：
1.整体坐标系 x—y—z 2.结点位移、结点力等量值沿 坐标轴正向为正，反之为负。
1 2 3 4 5 6
1 2 3 10 2 4 5 6
(6) 整体等效节点荷载列阵 ①直接作用在节点上的荷载列阵
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
FED 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
②作用在单元上得固端力引起得等效荷载列阵 查载常数表，得单元在局部坐标系中得固端力列阵
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
k
②
88.889 0.0 1 0.0 5.268 2 0.0 11.852 EA 3 88.889 0.0 4 l1 5.268 5 0.0 11.852 6 0.0
1 2 10 11
0.0 11.852 35.556 0.0 11.852 17.78
结点C
2.将上述过程用矩阵表示 （1）局部坐标系； 单元杆端位移、杆端内力等量 值以局部坐标系正向为正，反之 为负。 （2） 单元杆端可能的杆端位移和杆端力； （3）单元位移引起的杆端内力；
（5） 结点平衡：
可动结点劲度矩阵由相交于结点的各单元劲 度矩阵相应元素叠加求得。
（二） F 的建立：
1 2 3 4 5 6
（5）整体劲度矩阵 根据对号入座原则，叠加出整体劲度矩阵如下
1
2
3
4
5
6
K
1 96.389 2 0.0 EA 3 15.0 l1 4 88.889 5 0.0 6 0.0
1
0.0 11.852 0.0 5.268 11.852
1.回顾位移法中求解FR1P 的过程： 作荷载弯矩图：
结点平衡 结点B： 结点C
2.将上述过程用矩阵表示： （1） 荷载引起的单元固端力： 单元1
单元2
单元3
FLi：单元固端力列阵。
(2)结点平衡：
结点B：
结点C：
结论：作用在单元上的荷载引起的等效荷载：由相交于结点的各单元 固端力列阵相应元素反号叠加求得。