数学高二(上)沪教版(数列的极限(三))教师版

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沪教版高中数学高二上册第七章数列的极限课件

极限不存在
2.5
2
1.5
系列1 系列2 1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
沪教版高中数学高二上册第七章数列的极限课件（公开课课件）
例3. 判断下列数列是否存在极限，若存在求出极限
n, n 5
(2)an
1 n
,n
6
存在极限，
lim
n
an
0
6
5
4
3
系列1
2
1
0
0
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6
8
10
12
an
0
(3) 1, 1,1, 1, , (1)n1,
极限不存在
例1. 判断下列数列是否存在极限，若存在求出极限
(4) 3,3,3, ,3,
存在极限，
lim
n
an
3
(5) 1, 2, 3, , n,
极限不存在
(6)
1 2
,
2 22
,
3 23
,
,
n 2n
,
存在极限，
lim
n
an
0
沪教版高中数学高二上册第七章数列的极限课件（公开课课件）
lim
n
1 n2
lim
n
2 n
0 2 lim 1 0 0 0
n n
（2）lim 3n 4 n n
lim(3 4) lim 3 lim 4
n
n
n n n
3 4 lim 1 3 0 3 n n
沪教版高中数学高二上册第七章数列的极限课件（公开课课件）

沪教版高二年级第一学期领航者第七章7.7数列的极限(3)

沪教版高二年级第一学期领航者第七章7.7数列的极限（3）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若()lim 21nn a →∞-存在，则实数a 的取值范围是______.2．()14732lim2462n n n→∞+++⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+______.3．()111lim 12231n n n →∞⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⨯⨯+⎣⎦______. 4．2222123lim n n n n n n →∞⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⎪⎝⎭______. 5．如果1131lim 33n n n n n a a ++→∞+=+，则实数a 的取值范围是_____二、单选题6．已知n S 是无穷等差数列1、3、5、的前n 项和，则2lim nn nS S →∞的值等于（） A ．14B ．1C ．2D ．47．cos sin lim 10cos sin 2n n n n n θθπθθθ→∞-⎛⎫=-≤≤ ⎪+⎝⎭成立的条件是（） A ．4πθ=B ．0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．,42ππθ⎛⎤∈⎥⎝⎦ D ．,42ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭8．若数列{}n a 的极限为A ，而数列{}n b 满足()()1,010000032,1000005nn n a n b a n ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，则数列{}n b 的极限为（）A ．AB ．25A C ．13A -D ．不存在三、解答题 9．求下列极限：（1）173lim 57n n n -→∞--；（2）()11lim ,0,n nn n n a b a b a b a b++→∞-≠≠+. 10．求下列极限：（1）222111lim 11123n n →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）2111lim 12n k n n n n n k →∞⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪+++⎝⎭. 11．已知{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 是其前n 项和，求1lim nn n S S →∞+. 12．若数列{}n a满足1a =)1n a n *+=∈N，如果lim nn a →∞存在，求lim nn a →∞的值.（提示：若lim n n a →∞存在为A，则nn =.）参考答案1．(]0,1 【解析】【分析】由题意可得出1211a -<-≤，从而可解出实数a 的取值范围. 【详解】由于()lim 21nn a →∞-存在，则1211a -<-≤，解得01a <≤.因此，实数a 的取值范围是(]0,1. 故答案为(]0,1. 【点睛】本题利用极限求参数的取值范围，要结合等比数列极限的存在与公比的关系进行求解，考查计算能力，属于基础题. 2．32【分析】先利用等差数列的求和公式将分式()147322462n n+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+进行化简，然后在分子和分母中同时除以n ，即可计算出所求极限值. 【详解】()()()132131473231222224622222n n n n n n n n n n +--+++⋅⋅⋅+--===++++⋅⋅⋅+++，因此，()1314732303lim lim 224622022n n n n n n→∞→∞-+++⋅⋅⋅+--===+++⋅⋅⋅+++. 故答案为32.【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时首先应该对所求分式进行化简，然后利用常用的数列极限值进行计算，考查计算能力，属于基础题.3．1 【分析】先利用裂项法求出()11112231n n ++⋅⋅⋅+⨯⨯+，然后利用常用数列的极限值可计算出所求极限. 【详解】()11111n n n n =-++，()111111111111223122311n n n n n ∴++⋅⋅⋅+=-+-++-=-⨯⨯+++，因此，()1111lim lim 1101122311n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+=-=-=⎢⎥ ⎪⨯⨯++⎝⎭⎣⎦. 故答案为1. 【点睛】本题考查数列极限的计算，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题. 4．12【分析】先利用等差数列的求和公式将2222123n n n n n +++⋅⋅⋅+化简，然后利用常用数列的极限值可计算出所求极限. 【详解】()22222211231*********n n n n n n n n n n n n n+++++++++⋅⋅⋅+====+，因此，22221231111lim lim 02222n n n n n n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：12. 【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时首先应该对所求分式进行化简，然后利用常用的数列极限值进行计算，考查计算能力，属于基础题. 5．【解析】试题分析：首先3a =时，结论成立，当3a ≠时，由题意1111()313limlim 333()3nn nn n n n n a aaa ++→∞→∞+++==++，则13a<，即33a -<<，综上33a -<≤．考点：数列的极限． 6．A 【分析】先利用等差数列的求和公式求出n S ，由此可计算出2lim nn nS S →∞的值. 【详解】由题意可知，等差数列1、3、5、的首项为1，公差为2，()2122n n n S n n -∴=+⨯=. 因此，()2221lim lim 42n n n n S n S n →∞→∞==. 故选A. 【点睛】本题考查数列极限的计算，同时也考查了等差数列的前n 项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 7．C 【分析】分2πθ=、0θ=和02πθ<<三种情况讨论，在02πθ<<时，在分式的分子和分母中同时除以sin n θ，利用弦化切的思想结合极限值可得出tan θ的取值范围，进而可得出θ的取值范围. 【详解】当2πθ=时，cos 0θ=，sin 1θ=，则cos sin 01lim lim 1cos sin 01n n n n n n θθθθ→∞→∞--==-++，合乎题意；当0θ=时，cos 1θ=，sin 0θ=，则cos sin 11lim lim 1cos sin 10n n n n n n θθθθ→∞→∞--==++，不合乎题意；当02πθ<<时，cos sin 11cos sin sin sin tan lim lim lim 11cos sin cos sin 1tan sin sin n n n n n n n n n n n n n n n nn θθθθθθθθθθθθθθ→∞→∞→∞---===-+++，则1lim0tan n n θ→∞=，tan 1θ∴>，此时,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 因此，θ的取值范围是,42ππ⎛⎤⎥⎝⎦. 故选C. 【点睛】本题根据极限的值求参数的取值范围，同时也涉及了弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题. 8．B 【分析】根据数列极限的定义以及数列{}n b 的通项公式可得出数列{}n b 的极限值. 【详解】由题意可得lim n n a A →∞=，且()()1,010000032,1000005n n n a n b a n ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，因此，222lim limlim 555n n n n n n b a a A →∞→∞→∞===，故选B. 【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉数列极限的定义与性质，考查计算能力，属于基础题.9．（1）7-；（2）见解析. 【分析】（1）在分式的分子和分母中同时除以17n -，利用常见数列的极限值可计算出所求极限；（2）分a b >和a b <，在a b >情况下，在分式的分子和分母中同时除以n a ，在a b <的情况下，在分式的分子和分母中同时除以n b ，然后利用常见数列的极限值计算出所求极限值. 【详解】（1）1111111173377370777limlim lim 755757011777n n n n n n n n n n n n n -----→∞→∞→∞-------====-----；（2）当a b >时，11111101lim lim lim 0nn nn nn nn n n n n n n n nn b a b a b a a a a b a b a b a b a b a a a ++++→∞→∞→∞⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====++⨯⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭；当a b <时，11111011limlim lim 0nnnn nnn nn n n n n n n n n a a b a bb b b a b a b a b b a a b b bb ++++→∞→∞→∞⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====-+⨯+⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列极限的计算，解题时要结合等比数列的极限进行计算，同时也要对代数式进行变形，考查计算能力，属于中等题. 10．（1）12；（2）()12k k +. 【分析】（1）将代数式22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中每个因式通分，然后将分子利用平方差公式进行因式分解，化简后在分式的分子和分母中同时除以n ，即可计算出所求极限；（2）将代数式变形为221111111111212k n n n n n n k n n n n n n k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，然后利用极限计算得出2111lim 1212n k n k n n n n k →∞⎛⎫---⋅⋅⋅-=+++ ⎪+++⎝⎭，利用等差数列的求和公式即可得出所求极限的值. 【详解】（1）()()222211111n n n n n n-+-∴-==， ()()()()2222221324111111112323n n n n ⨯⨯⨯⨯⨯-⨯+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦∴--⋅⋅⋅-=⎪⎪ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()22222221213411234112323n n n n n nn ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦==⨯⨯⨯⨯⨯⨯111222n n n+==+，因此，2221111111lim 111lim 0232222n n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-=+=+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）221111111111212k n n n n n n k n n n n n n k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()21221212k n n knn n n n n n n k n n n k⎡⎤=++=+++⎢⎥++++++⎣⎦，所以，21112lim lim 1212n n k n n kn n n n n n k n n n k →∞→∞⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅-=+++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭()112lim 12122111n k k k k k nn n →∞⎛⎫⎪+=+++=+++=⎪ ⎪+++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列极限的计算，在计算时要对表达式进行化简变形，然后利用常见数列极限进行计算，考查计算能力，属于中等题.11．11,11,01lim,1,1nn n q q S q S q q →∞+⎧-<≤≠⎪⎪=>⎨⎪⎪=-⎩不存在【分析】分1q =、11q -<<且0q ≠、1q >和1q =-四种情况讨论，求出n S 的表达式，并对代数式1n n S S +变形，利用常见数列极限值来计算出1lim nn n S S →∞+. 【详解】①当1q =时，1n S na =，所以，()11111limlim lim lim 1111101n n n n n n S na n S n a n n→∞→∞→∞→∞+=====++++； ②当11q -<<且0q ≠时，()111n n a q S q-=-，所以，()()11111111lim lim lim 111n n n n n n n n n a q S q q S q a q q++→∞→∞→∞+---==---10110-==-； ③当1q >时，()111n n a q S q-=-，所以，()()11111111limlim lim 111n n n n n n n n n a q S q qS q a q q++→∞→∞→∞+---==---1111011lim lim 110nnn nn n n n n nq q q qqq q q qq q +→∞→∞---====---； ④当1q =-时，若n 为奇数，则10n S +=，1nn S S +不存在，若n 为偶数，则0n S =，11n S a +=，则10nn S S +=，此时，1lim n n n S S →∞+不存在.综上所述，11,11,01lim,1,1nn n q q S q S q q →∞+⎧-<≤≠⎪⎪=>⎨⎪⎪=-⎩不存在.【点睛】本题考查等比数列前n 项和相关的极限的计算，解题时要对等比数列公比的取值进行分类讨论，结合等比数列的极限值进行计算，考查计算能力，属于中等题.12．lim 3n n a →∞= 【分析】可设lim n n a A →∞=，在等式1n a +=A 的方程，且有0A >，解出该方程即可得出lim n n a →∞的值. 【详解】设lim n n a A →∞=，由1n a +=，两边取极限得1lim n n n a +→∞=A =0A ∴>，在等式A =26A A =+，即260A A --=. 0A >，解得3A =，因此，lim 3n n a →∞=. 【点睛】本题考查数列极限的性质与计算，根据递推公式建立方程是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.。

高二数学上册 7.7《数列极限的概念》沪教版

数列极限的概念教材：数列极限的概念目的：要求学生第一从实例（感性）去熟悉数列极限的含义，体验什么叫无穷地“趋近”，然后初步学会用N-ε语言来讲明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无穷”来一个飞跃。

进程：一、实例：1当n 无穷增大时，圆的内接正n 边形周长无穷趋近于圆周长2在双曲线1=xy 中，当+∞→x 时曲线与x 轴的距离无穷趋近于0 二、提出课题：数列的极限考察下面的极限 1 数列1： ,101,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减少 ②但都大于0③当n 无穷增大时，相应的项n 101能够“无穷趋近于”常数0 2 数列2： ,1,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1③当n 无穷增大时，相应的项1+n n 能够“无穷趋近于”常数1 3 数列3： ,)1(,,31,21,1nn --- ①“项”的正负交织地排列，而且随n 的增大其绝对值减小②当n 无穷增大时，相应的项nn)1(-能够“无穷趋近于”常数引导观看并小结，最后抽象出概念：一样地，当项数n 无穷增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无穷地趋近于某个数a （即a a n -无穷地接近于0），那么就说数列{}n a 以a 为极限，或说a 是数列{}n a 的极限。

（由于要“无穷趋近于”，因此只有无穷数列才有极限）数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0三、例一（见教材）略练习：（见教材）四、有些数列为必存在极限，例如：n a a n n n =⋅-=或22)1(都没有极限。

例二以下数列中哪些有极限？哪些没有？若是有，极限是几？ 1．2)1(1n n a -+= 2．2)1(1nn a --= 3．)(R a a a n n ∈= 4．n a n n 3)1(1⋅-=+ 5．n n a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=355 解：1．{}n a ：0,1,0,1,0,1,…… 不存在极限2．{}n a ： ,0,52,0,32,0,2 极限为03．{}n a ： ,,,32a a a 不存在极限 4．{}n a ： ,431,23,3- 极限为05．{}n a ：先考察⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 35： ,8125,2755,95,35-- 无穷趋近于0 ∴ 数列{}n a 的极限为5五、关于“极限”的感性熟悉，只有无穷数列才有极限六、作业：补充：写出以下数列的极限：10.9,0.99,0.999,…… 2 n n a 21= 3 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-+n n 1)1(1 4 ,56,45,34,23 5 n n a 2141211++++=。

上海高中数学数列的极限

上海高中数学数列的极限第一篇：上海高中数学数列的极限7.6数列的极限课标解读：1、理解数列极限的意义；2、掌握数列极限的四则运算法则。

目标分解：1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列限地趋近于某个常数注：{an}的项an无a(即|ann-a|无限地接近于0)，那么就说数列{an}以a为极限。

a不一定是{a}中的项。

1lim=0limC=Cn→∞n2、几个常用的极限：①n→∞(C为常数)；②；③limqn=0(|q|<1)n→∞；3、数列极限的四则运算法则：设数列{an}、{bn}，当liman=an→∞，limbn=bn→∞时，n→∞limlim(an±bn)=a±b；lim(an⋅bn)=a⋅bn→∞ana=(b≠0)n→∞bbn；4、两个重要极限：①c>0⎧01⎪limc=⎨1c=0n→∞n⎪不存在c<0⎩|r|<1⎧0⎪nlimr=1r=1 ②n→∞⎨⎪不存在|r|>1或r=-1⎩问题解析：一、求极限：例1：求下列极限：2(1)lim4n+n+1lim3n3+nn→∞2n2+3(2)n→∞2n4-n(3)nlim→∞(n2+n-n)例2：求下列极限：(1)nlim→∞(1n2+4n2+73n-2n2+Λ+n2)；(2)lim1n→∞[2⨯5+15⨯8+18⨯11+Λ+1(3n-1)⨯(3n+2)]例3：求下式的极限：limcosnθ-sinnθn→∞cosnθ+sinnθ,θ∈(0,π2)二、极限中的分数讨论：例4：已知数列{an}是由正数构成的数列，a1=3，lgan=lgan-1+lgc，其中n是大于1的整数，c是正数。

(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；且满足2n-1-an(2)求lim的值。

n→∞2n+an+1三、极限的应用：1(1+)p-1n例5：已知p、q是两个不相等的正整数，且q≥2，求lim的值。

沪教版(上海)数学高二上册-7.7 数列极限的运算法则课件教学课件

课后作业：
1、练习册： P1819 A. 9,10,12 P20 B.1, 2,3
2、选作：
1
lim（
n
n
1 2 +1
+
n
2 2 +1
+
3； n2 +1
+...+
n
2m+1）,其中m为常数；
(2)已知lnim（2an +4bn） 1, 求lnim（an +bn）
lnim（3an -bn） 2,
当你的才华还撑不起你的野心时，你就该努力。心有猛虎，细嗅蔷薇。我TM竟然以为我竭尽全力了。能力是练出来的，潜能是逼出来的，习惯是养成的，我的成功是一步步走出来的。不要因为希望去坚持，要坚持的看到希望。最怕自己平庸碌碌还安慰自己平凡可贵。
+...+
3n-2） n2
一学生解答如下：
=
解：lim（ n 1
1 n2
+
4
n42
+
7 n2
+...+
7
3n-2） n2
lim lim lim ... lim
n n n n 2 n 2 n 2
n
3n-2 n2
0 0 0 ... 0 0
请你对这名学生的解答作出评价
课堂练习3：计算
脚踏实地过好每一天，最简单的恰恰是最难的。拿梦想去拼，我怎么能输。只要学不死，就往死里学。我会努力站在万人中央成为别人的光。行为决定性格，性格决定命运。不曾扬帆，何以至远方。人生充满苦痛，我们有幸来过。如果骄傲没有被现实的大海冷冷拍下，又怎么会明白要多努力才能走到远方。所有的豪言都收起来，所有的呐喊都咽下去。十年后所有难过都是下酒菜。人生如逆旅，我亦是行人。驾驭命运的舵是奋斗，不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。失败时郁郁寡欢，这是懦夫的表现。所有偷过的懒都会变成打脸的巴掌。越努力，越幸运。每一个不起舞的早晨，都是对生命的辜负。死鱼随波逐流，活鱼逆流而上。墙高万丈，挡的只是不来的人，要来，千军万马也是挡不住的既然选择远方，就注定风雨兼程。漫漫长路，荆棘丛生，待我用双手踏平。不要忘记最初那颗不倒的心。胸有凌云志，无高不可攀。人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的。流出来后，海绵才能吸收新的源泉。感恩生命，感谢她给予我们一个聪明的大脑。思考疑难的问题，生命的意义；赞颂真善美，批判假恶丑。记住精彩的瞬间，激动的时刻，温馨的情景，甜蜜的镜头。感恩生命赋予我们特有的灵性。善待自己，幸福无比，善待别人，快乐无比，善待生命，健康无比。一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道的开始。在你发怒的时候，要紧闭你的嘴，免得增加你的怒气。获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。骄傲是胜利下的蛋，孵出来的却是失败。没有一个朋友比得上健康，没有一个敌人比得上病魔，与其为病痛暗自流泪，不如运动健身为生命添彩。有什么别有病，没什么别没钱，缺什么也别缺健康，健康不是一切，但是没有健康就没有一切。什么都可以不好，心情不能不好；什么都可以缺乏，自信不能缺乏；什么都可以不要，快乐不能不要；什么都可以忘掉，健身不能忘掉。选对事业可以成就一生，选对朋友可以智能一生，选对环境可以快乐一生，选对伴侣可以幸福一生，选对生活方式可以健康一生。含泪播种的人一定能含笑收获一个有信念者所开发出的力量，大于个只有兴趣者。忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野、事业和成就，甚至一生。每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。懒惰像生锈一样，比操劳更消耗身体。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道挫折其实就是迈向成功所应缴的学费。在这个尘世上，虽然有不少寒冷，不少黑暗，但只要人与人之间多些信任，多些关爱，那么，就会增加许多阳光。一个能从别人的观念来看事情，能了解别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。没有人富有得可以不要别人的帮助，也没有人穷得不能在某方面给他人帮助。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。今天做别人不愿做的事，明天就能做别人做不到的事。到了一定年龄，便要学会寡言，每一句话都要有用，有重量。喜怒不形于色，大事淡然，有自己的底线。趁着年轻，不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练，才会让你真正学会谦恭。不然，你那自以为是的聪明和藐视一切的优越感，迟早会毁了你。无论现在的你处于什么状态，是时候对自己说：不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力。世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力。崇高的理想就像生长在高山上的鲜花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。海浪的品格，就是无数次被礁石击碎又无数闪地扑向礁石。人都是矛盾的，渴望被理解，又害怕被看穿。经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。生活可以是甜的，也可以是苦的，但不能是没味的。你可

数学高二沪教版教师版

（A ）0 （B ）12（C ） 1 （D ）2 解析：由112n n S S a +=+,且2112n n S S a ++=+作差得a n ＋2＝2a n ＋1又S 2＝2S 1＋a 1，即a 2＋a 1＝2a 1＋a 1 ? a 2＝2a 1故{a n }是公比为2的等比数列S n ＝a 1＋2a 1＋22a 1＋……＋2n －1a 1＝(2n －1)a 1则11121lim lim (21)2n n n n n n a a S a -→∞→∞==- 答案：B5、已知1,n n a a +是方程2103nn x c x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的两根，若11a =，求123c c c +++⋯+2n c +⋯的值。

【解析】通过方程的根与系数的关系可以得到数列{}n a 的递推式；由等比数列的定义判断，可以将问题转化为无穷递缩数列各项和问题。

【答案】2121111,33nn n n n n n n n a a a a a a a a +++++⎛⎫=∴== ⎪⎝⎭Q所以数列{}21n a -是以11a =为首项，13为公比的无穷递缩等比数列数列{}2n a 是以213a =为首项，13为公比的无穷递缩等比数列又1n n n c a a +=+6、无穷等比数列{}n a 满足()121lim 2n n a a a →∞++⋯+=，求首项1a 的变化范围。

【错解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知条件有1112a q =-，解方程得，112q a =- 又因为{}n a 为无穷等比数列，则1121q a =-< 所以101a <<【错解分析】错解中忽视了111120,2q a a =-≠≠即，应注意无穷等比数列{}n a 中lim n n S →∞存在的充要条件是公比q 满足01q <<；而lim n n a →∞存在的的充要条件是公比q 满足01q <<或1q =。

沪教版高中数学高二上册数列的极限名师课件PPT

沪教版高中数学高二上册数列的极限名师课件PPT【完美课件】
通过对下列数列的研究，分析当n无限增大时下
列数列的项 an 的变化趋势及共同特征:
（1）
1
n
递减无限趋近于0
（2）
n
n
1
递增无限趋近于1
（3）
1 2
n
摆动无限趋近于0
（4）an
1 1n4 n 1 n n5 n 1
的混乱局面称为数学的第二次危机。
• 在17世纪和整个18世纪由于微积分理论的产生及其在各个领域的广泛应用，使得微积分理论得到了飞速发展。但另一方面，整个微积分理论却建立在含糊不清的无穷小概念上。
• 达朗贝尔和柯西把极限概念作为微积分基础，
为无穷小量的整个运算提供了可靠的根据，为化解第二次数学危机做出了巨大贡献。
1 2100
•••
n
•••
1 n
•••
2
1 n
•••
2
an (1) 3 2
5 9 17
•••
4 8 16
1 2100 1 •••
1
n
1
•••
2
沪教版高中数学高二上册数列的极限名师课件PPT【完美课件】
判断an
2n 1 有没有极限，并说明理由. n
解：
an
2n 1 n
2
1 n
lim
思考
1.是不是所有的数列都有极限呢？
2.无穷项的常数列有极限吗？
3.(1)n 有极限吗？
4.
1 n
与
1 2
n
的极限都等于0，但趋近方式不同，
1 n
呈递减方式，

沪教版(上海)数学高二上册-7.7 数列的极限课件

7.7.1 数列的极限
嘉定区第一中学杨枝Biblioteka an(1)n 2bn
1 n
cn
( 1)n 2
• 有些烦恼都是自找的，因为怀里揣着过去而放弃了现在的努力。有些痛苦也是自找的，一直活在未来的憧憬里。决定一个人成就的，不是靠天，也不是靠运气，而是坚持和付重复的做，用心去做，当你真的努力了付出了，你会发现自己潜力无限！再大的事，到再深的痛，过去了就把它忘记，就算全世界都抛弃了你，——你依然也要坚定前行，因最大的底气。埋怨只是一种懦弱的表现；努力，才是人生的态度。不安于现状，不甘于勇于进取的奋斗中奏响人生壮美的乐间。原地徘徊一千步，抵不上向前迈出第一步；心不如撸起袖子干一次。世界上从不缺少空想家，缺的往往是开拓的勇气和勤勉的实干。疑和怯懦束缚，行动起来，你终将成为更好的自己。人生就要活得漂亮，走得铿锵。自是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于现状的平凡人。不谈以前的的坚持。人生就像舞台，不到谢幕，永远不要认输！努力是一种生活态度，和年龄无关只要你有前进的方向和目标，什么时候开始都不晚，负能量的脑袋不会给你正能量的人学最好的别人，做最好的自己。路是一步一步的走出来的，只有脚踏实地的往前走。不雨，坚持走下去，阳光灿烂的笑容，在风雨后等着你我。笑着走下去，一定会见到最美都是通过自身的努力，去决定生活的样子，每一次付出，都会在以后的日子一点点回报不会亏待努力的人，也不会同情假勒奋的人。别让未来的你怨恨今天的自己。耐心点，天，你承受过的疼痛会有助于你。世界不会在意你的自尊，人们看的只是你的成就。在切勿过分强调自尊。喜欢一个人，就是两个人在一起很开心；而爱一个人，即使不开心身体最重要，上网不要熬通宵。时间没有等我，是你忘了带我走，我们就这样迷散在陌此天各一方，两两相忘。心有多大，舞台就有多大。思考的越多，得到的越多。因为思福报不够的人，就会常常听到是非；福报够的人，从来就没听到过是非。因为清楚地明的，所以就选择了放弃；不知道这样做是对还是错，那么就让时间来裁决吧。时间没有带我走，我左手是过目不忘的萤火，右手里是十年一个漫长的打坐。少年的时候想逃家成家，成年的时候想离家，老年的时候想回家。生命中，不断的有人离开或进入，于是了，记住的遗忘了；生命中不断的有得到和失落，于是，看不见的看见了，遗忘的记住道路，只亲吻攀登者的足迹许多人企求着生活的完美结局，殊不知美根本不在结局，而学会宽恕就是学会顺从自己的心，“恕”字拆开就是“如心”。人生的道路是何其地漫人生道路之上，唯有不断地求索才能真正地感悟到人生的真谛。我爱你时，你说什么就你时，你说你是什么。人生是需要用苦难浸泡的，没有了伤痛，生命就少了炫彩和厚重闷的生活，有了汽车是闷气的生活；没有好车是羡慕的生活，有了好车是提防的生活。只是不想懂；有时候不是不知道，只是不想说出来；有时候不是不明白，而是明白了也于是就保持了沉默。真正的放弃是悄无声息的。别想一下造出大海，必须先由小河川开世界美好事情真的特别多，只是很容易擦肩而过。善待自己，幸福无比，善待别人，快命，健康无比。承认自己的伟大，就是认同自己的愚疑。每个人都有自己鲜明的主张和去改变他人，同样，也不要被他人所改变生活，匀速的是爱，不匀速则变成一种伤害。

沪教版高中数学高二上册第七章数列的极限课件3

第7章数列与数学归纳法 § 数列的极限
一、引例
本章讨论数列的通项公式、割圆术
递推公式；讨论两类最常二、概念
用的数列：等差数列和等比数列以及它们前n项和的
数列的极限
问题，并学习数列在实际三、练习
解决问题中的应用。
常用极限&判断
引例
如何计算出π的数值？用绳子和游标卡尺测量出半径和周长
再精确的测量，也会有误差！
收敛于A，记作
lim
n
an
A。
读作“n趋向于无穷大时， {an}的极限等于A”
代数式：
概念
唯一的无穷数列一个常数
an A(n )
lim
n
an
A
n要多大，有多大 n不是一个有限的值
描述{an}的变化趋势无限多项以后和A要多近，有多近
动态趋向的过程
区别an A
概念
讨论an和
lim
n
an的区别
一般地，在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列{an}中的an无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列{an}的极限，或叫做数列{an}收
敛于A，记作
。
再精确的测量，也会有误差！
描述{an}的变化趋势
——《九章算术》方田章圆田术刘徽注
一般地，在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列{an}中的an无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列{an}的极限，或叫做数列{an}收
1 刘徽（约公元225年—295年）
练习：判断下列数列的极限是否存在，
(1) lim n 2、数列的极限能否进行四则运算？
练习：判断下列数列的极限是否存在，
n n 一般地，在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列{an}中的an无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列{an}的极限，或叫做数列{an}收

沪教版(上海)数学高二上册-7.7 数列极限的运算法则课件精品课件PPT

方法：分子、分母同时除以n的最高次幂 (1) 如果 f(n) 的次数 = g(n) 的次数则极限为 _最__高__次__系__数__比__ (2)如果f(n)的次数 < g(n)的次数则极限为_0__ (3)如果f(n)的次数 > g(n)的次数则极限_不__存__在_
课堂练习1：填空
1.lim 1 _0 ___ n n
2. q 1时,lim qn _0__ n
3.c为常数,limc _c__ n
例1、求下列极限
1
lim
n
5
1 n
2lim 2n 1
n 3n 2
解：1 lim5 5,lim 1 0
n
n n
lim 5 1 lim 5 lim 1 n n n n n
5
3
lim
n
3n2 4n2
n 1
5
解：lim n
3n2 4n2
n
1
5
lim
3+
1 n
5 n2
n
4
1 n2
3 4
3
lim
n
3n2 4n2
n
1
5
变式1、lim n
3n 5 4n2 1
变式2、lim n
3n3 4n2
n 1
5
例1小结：
lim f (n) 型，其中f(n)，g(n)都是关于n的多项式 n g(n)
课后作业：
1、练习册： P1819 A. 9,10,12 P20 B.1, 2,3
2、选作：
1
lim（
n
n
1 2 +1
+
n
2 2 +1

沪教版(上海)数学高二上册-数列课件

能作为数集来认识吗？
沪教版（上海）数学高二上册- 数列课件
1, 3, 5, 7, 9，
n 1 a1 1 n 2 a2 3 n 3 a3 5 n 4 a4 7
n n an 2n 1
沪教版（上海）数学高二上册- 数列课件
一般地，
项的序数 1， 2， 3，4，
沪教版（上海）数学高二上册- 数列课件
一、已知通项公式，求特定项：
例1：根据下面的通项公式，写出数列的前4项：
1 an
1n
2n
,n
N*;
1 ，1 , 1 , 1 2 4 8 16
2 an n n 1, n N *; 2,6,12, 20
2018是不是这个数列的项？
第2017项呢？ a2017 4070306
11，3, 7，15，
2 3, 5, 9,17，
沪教版（上海）数学高二上册- 数列课件
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题组三（思考）：
1 2, 0, 2, 0, 2, 0,
21,1,1, 4,5, 6,
3 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0,
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n,
项
a1, a2 , a3 , a4 ,
, an ,
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对应法则函数VS数列对应法则
y f x,xD
an f n, n N *
函数值自变量
项
序数
从函数的观点看，数列可以看成以正整数集（或其
有限子集1, 2,3， , k）为定义域的函数an f n，
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7.7《数列的极限》教案(沪教版高二上)

7.7（1）数列的极限一、教学内容分析极限概念是微积分中最重要和最基本的概念之一，因为微积分中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，同时数列极限的掌握也有利于函数极限的学习，所以，极限概念的掌握至关重要.二、教学目标设计1．理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.2．观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力.3．利用刘徽的割圆术说明极限，渗透爱国主义教育，增强民族自豪感和数学学习的兴趣.三、教学重点及难点重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.难点：数列极限的定义的理解.四、教学用具准备电脑课件和实物展示台，通过电脑的动画演示来激发兴趣、引发思考、化解难点，即对极限定义的理解，使学生初步的完成由有限到无限的过渡，运用实物展示台来呈现学生的作业，指出学生课堂练习中的优点和不足之处，及时反馈.五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1、创设情境，引出课题1. 观察教师：在古代有人曾写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 哪位同学能解释一下此话意思？学生：一根一尺长的木棒，第一天取它的一半，第二天取第一天剩下的一半，…… ，如此继续下去，永远也无法取完.2. 思考教师：如果把每天取得的木棒长度排列起来，会得到一组怎样的数？学生： ΛΛΛ , 21 , , 81 , 41 , 21n 3．讨论教师；随着n 的增大，数列{}n a 的项会怎样变化？学生：慢慢靠近0.教师：这就是我们今天要学习的数列的极限----引出课题二、学习新课2、观察归纳，形成概念（1）直观认识教师：请同学们考察下列几个数列的变化趋势（a ）ΛΛ,101,,101,101,10132n ①“项”随n 的增大而减小 ②但都大于0③当n 无限增大时，相应的项n 101可以“无限趋近于”常数（b ）ΛΛ,)1(,,31,21,1nn--- ①“项”的正负交错地排列，并且随n 的增大其绝对值减小②当n 无限增大时，相应的项nn)1(-可以“无限趋近于”常数0 （c ） ΛΛ,1,,43,32,21+n n ①“项”随n 的增大而增大 ②但都小于1③当n 无限增大时，相应的项1+n n 可以“无限趋近于”常数1 教师：用电脑动画演示数列的不同的趋近方式：（a ）从右趋近（c ）从左趋近（b ）从左右两方趋近，使学生明白不同的趋近方式教师：上面的庄子讲的话体现了极限的思想，其实我们的先辈还会用极限的思想解决问题,我国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元前 263年创立的“割圆术”借助圆内接正多边形的周长，得到圆的周长就是极限思想的一次很好的应用.刘徽把他的操作方法概括这样几个字：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆和体，而无所失矣.”概念辨析教师：归纳数列极限的描述性定义学生：一般地，如果当项数n 无限增大时，数列{}n a 的项无限的趋近于某一个常数n 那么就说数列{}n a 以a 为极限.教师：是不是每个数列都有极限呢？学生1：（思考片刻）不是.如n a n =学生2：2n a n = n n a )1(-= 教师：请大家再看一下，下面的数列极限存在吗？如果有，说出极限.（a ）⎪⎩⎪⎨⎧-=n n n a n 11 n 是奇数（b ）无穷数列：Λ321ΛΛ,3333.0,,333.0,33.0,3.0n学生1：数列（a ）有极限，当n 是奇数时，数列{}n a 的极限是0，当n 是偶数时，数列{}n a 的极限是1.数列（b ）的极限是0.4.教师：有不同意见吗？学生2：数列（b ）的极限是0.34学生3：数列（b ）的极限不存在（这时课堂上的学生们都在纷纷议论，大家对数列（b ）的极限持有各自不同的观点，但对数列（a ）的极限的认识基本赞同学生1的观点.）教师：数列（a ）有极限吗？数列（b ）的极限究竟是多少？（学生们沉思）学生4：数列（a ）没极限，原因是极限的描述性定义中要求趋近与一个常数,数列（b ）的极限是31. 教师：回答的非常正确（用动画演示数列（b ）的逼近过程），同学们对（a ）判断错误的原因是对描述性定义还未很好的理解.对（b ）判断错误的原因是描述性定义的局限性导致的，数列（b ）随着n 的无限增大，它会趋近于0.4、0.34、0.334，但是接近到一定的程度就不在接近了，所以无限的接近必须有量化的表述.（2）量化认识教师：用什么来体现这种无限接近的过程呢？学生：用n n a 和a 之间的距离的缩小过程，即 a a n - 趋近0 教师：现在以数列n na nn )1(-=为例说明这种过程观察：距离量化：nn a n n 10)1(0=--=-，随着n 的增大，n 1的值越来越小，不论给定怎样小的一个正数（记为ε），只要n n 充分的大，都有n1比给定的正数小.教师：请同桌的两位同学，一个取ε，另一个找n .问题拓展学生：老师再来几个其它的数列教师：以上我们以提到的ΛΛΛ , 21 , , 81 , 41 , 21n 和ΛΛ,1011,,1011,1011,101132n ---- 为例，大家可以再操作一下.教师：（学生问答完毕）大家作了这项活动以后有什么感受？学生：只要数列有极限，对于给定的正数ε，总可以找到一项N a ，使得它后面的所有的项与数列的极限的差的绝对值小于ε.教师：顺理成章的给出数列极限的N -ε定义：一般地，设数列{}n a 是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数N n >，就有ε<-a a n ，那么就说数列{}n a 以a 为极限，记作a a n n =∞→lim ，或者∞→n 时a a n →. 教师：常数数列的极限如何？学生：是这个常数本身.教师：为什么？学生：因为极限和项的差的绝对值为0，当然比所有给定的正数小.三、巩固练习讲授例题已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n ① 把这个数列的前5项在数轴上表示出来.②写出n 1-n a 的解析式. ③⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n 中的第几项以后的所有项都满足10011<-n a ④指出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n n 的极限. 课堂练习第41至42的练习.四、课堂小结①无穷数列是该数列有极限的什么条件.②常数数列的极限就是这个常数.③数列极限的描述性定义.④数列极限的N -ε的定义.五、作业布置1．课本第42页习题2，3,42．根据本节课的学习，结合你自己对数列极限的体会，写一篇《我看极限》的短文，格式不限（本作业的意图是想把学生的态度、情感、价值观融入到所学的知识中去.）七、教学设计说明对于数列极限的学习，对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃，由于学生知识结构的局限性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，根据一般的认识规律和学生的心理特征，设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤，由浅入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使学生很好的理解极限的概念.。

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(32n +
-)n =5，求常数
变式练习：若3lim
2103n n an b n n →∞
⎛⎫---= ⎪
+⎝⎭
=5，求常数a 、b 、的值。

11
,39a b ==-
例3、设无穷等比数列{}n a 满足135218
lim()3
n n a a a a -→∞
+++
+=，求首项1a 的取值围。

解：2
112
88,01,0,133a q a q ⎛⎫=<<∴∈ ⎪-⎝⎭。

变式练习：在等比数列中，a 1>1,前项和S n 满足1
1
lim n n S a →∞
=
，那么a 1的取值围是……………………（）（A ）（1，＋∞）（B ）（1，4）（C ）（1，2）（D ）（1，2）
例4、以正方形ABCD 的四个顶点为圆心，以正方形的边长a 为半径，在正方形画弧，得四个交点1111,,,A B C D ，再在正方形1111A B C D 用同样的方法得到又一个正方形2222A B C D ，这样无限的继续下去，求所有这些正方形的面积之和（包括正方形ABCD ）.
解：（提示）2
2
1(31),23,2
n a a a q S +==-=
变式练习：设T 1，T 2，T 3……为一组多边形，其作法如下： T １是边长为1的三角形以T n 的每一边中间
3
1
的线段为一边向外作正三角形，然后将该1/3线段抹去所得的多边形为T n+1，如图所示。

令a n 表示T n 的周长，A(T n )表示T n 的面积。

(Ⅰ)计算T 1，T 2，T 3的面积A(T 1)，A(T 2)，A(T 3) (Ⅱ)求∞
→n lim (
11a +21a …+n
a 1)的值。

解：(Ⅰ)A(T 1)=
1
2
·1·1·sin60°=34
A(T 2)=3·
12·13·13·sin60°++A(T 1)=4312=33 A(T 3)=12·12·19·19·sin60°+A(T 2)=10
327
(Ⅱ)由分析知 a n =
43a n-1(T n 的边数是T n-1边数的4倍且每边是原来的1/4)故 a n =3·(43)n-1∵1n a =13·(4
3
)n-1
时该无穷等比数列前5
3)()
3
3
3
()
3
.. .专业. .。