第11章 两因素及多因素方差分析

变异来源 A因素 B因素 交互作用 误差 总变异
平方和 SSA SSB SSAB SSe SST
自由度 dfA dfB dfAB dfe dfT
均 方 MSA MSB MSAB MSe
F值 FA=MSA/MSAB FB=MSB/MSAB FAB=MSAB/MSe
5. 混合效应模型(设A为固定因素,B为随机因素) 为固定因素, 为随机因素) ① 统计模型
B1 B2 B2-B1
480 512 32 496 10 40 25 475 492 17 平均 如表,当A因素由A1水平变到A2水平时,A因素的主效应 主效应为A2 主效应 水平的平均数减去A1水平的平均数.即 A因素的主效应=492-475=17 同理 B因素的主效应=496-471=25 主效应也就是简单效应的平均, 主效应也就是简单效应的平均 如(32+2)÷2=17 , (40+10)÷2=25
其中要求:αi 服从N(0, (α β)ij 服从N(0, 服从N(0,σ2).
2 σαβ ); εij 为随机误差,相互独立,
σα ;βj 服从N(0, σβ );
2)
2
② 统计假设
2 2 2 零 设 01 :σα = 0; H02 :σβ = 0; H03 :σαβ = 0 假 为 H
备择假设为 上述各参数至少有一类不为零 总平方和与总自由度的分解(同固定效应模型) ③ 总平方和与总自由度的分解(同固定效应模型) ④ 期望均方
1 i= j =1
b
按因素的类型两因素或多因素方差分析可 分为固定模型,随机模型和混合模型三类,这三 类的数学模型,统计假设,统计量的计算,结果 的解释等方面有很大差异,我们分别加以介绍.
3. 固定效应模型 ①统计模型
, i =1 2,..., a; xijk = +αi + β j + (αβ)ij +εijk j =1 2,..., b , k =1 2,..., n ,
, i =1 2,..., a; xijk = +αi + β j + (αβ)ij +εijk j =1 2,..., b , k =1 2,..., n ,
其中要求:βj服从N(0,
εij为随机误差,相互独立,服从N(0,σ2).
2 2 σβ ); (α β)ij服从N(0,σαβ );
ab个水平组合即处理.
特点: 平等地位, 特点:试验因素A,B在试验中处于平等地位 平等地位 试验单位分成ab个组,每组随机接受一种处理,因 而试验数据也按两因素两方向分组.
一,两因素有重复观察值试验的方差分析 1. 主效应与交互作用 ① 简单效应 在某因素同一水平上, 另一因素不同
水平对试验指标的影响称为简单效应.简单效应实际上是特 简单效应实际上是特 殊水平组合间的差数. 殊水平组合间的差数. 表11-1日粮中加与不加赖,蛋氨酸雏鸡增重(g) 11- 日粮中加与不加赖,蛋氨酸雏鸡增重(g)
j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 k =1
SST = SSA + SSB + SSAB + SSe SSAB = SST SSA SSB SSe
各项平方和,自由度及均方的计算公式如下:
矫正数 总 A因素 B因素 B 交互作用 误差
均方为
平方和 C=x2…/abn SST=∑∑∑x2ijk -C SSA=1/(bn) ∑x2i . .-C SSB=1/(an) ∑x2 .j .-C SSAB=SST-SSA-SSB -SSe SSe= ∑∑∑x2ijk - 1/n ∑∑x2ij .
合计 平均 xi . xi. x1 . x2 . … xi . … x a. x..
x11 x21 … xi1 … xa1 x.1 x.1
x1. x2 .
… xi . …
xa .
平均 x. j
1 b 其 i = ∑xij , xi = ∑xij ; 中 x b j=1 j =1
a b 1 a x j = ∑xij , x j = ∑xij ; x = ∑∑xij a i=1 i=1 i=1 j =1 a
③ 总平方和与总自由度的分解
SST=SSA+SSB+SSAB+SSe dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe 其中SSAB ,dfAB为A因素与B因素交互作用平方和与自 由度.
∑∑∑(x
i=1 j=1 k=1 a i=1
a
b
n
2
ijk
x )
b a b a b n 2 2 2
= bn∑(xi x ) + an∑(x j x ) + n∑∑(xij xi x j + x ) + ∑∑∑(xijk xij )2
2. 两因素资料方差分析的数据模式 P137 表9-1
表 ij . = ∑xijk , xij . = ∑xijk / n 中 x
k =1 k =1 n n
xi .. = ∑∑xijk , xi .. = ∑∑xijk / bn = xi .. / bn
j =1 k =1 a n j =1 k =1 a n
FAB <1 FAB ≈1 , 明 互 用 存 , 时 将 或 时 说 交 作 不 在 此 可 MSAB ,MS e合并起来作为σ 2的估计量,以提高精确度. SSA + SSe 即 MS = , 然 利 MSe为 母 算 计 F 后 用 ' 分 计 统 量 dfe + df AB
' e
需 注 的 查 时 由 也 应 为 e + df AB 要 意 是 表 自 度 相 变 df
自由度 dfA dfB dfAB dfe dfT
均 方 MSA MSB MSAB MSe
F值 FA=MSA/MSAB FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe
二 两因素单独观察值试验的方差分析
A,B两个试验因素的全部ab个水平组合 中,每个水平组合只有一个观察值,全部试 验共有ab 个观察值.其数据模式如表11—2 所示.
交 叉 分 组 两 因 素 单 独 观 察 值 试 验 数 据 模 式
A 因素 B1
A1 A2 … Ai … Aa
合计x 合计 .j
B 因素
B2 … Bj x12 … x1j x22 … x2j … … … xi2 … xij … … … xa2 … xaj x.2 … x.j x.2 … x. j … … … … … … … … … Bb x1b x2b … xib … xab x.b x.b
第11章 两因素方差分析
Two-factor analysis of variance
本章主要内容
第一节 两因素交叉分组试验资料的方差分析 一 两因素有重复观察值试验的方差分析 二 两因素单独观察值试验的方差分析 三 举例 第二节 数据转换
第一节 两因素交叉分组资料的方差分析
设试验考察A,B两个因素,A因素分a个水平,B 因素分b个水平,所谓交叉分组是指A因素每个水平 与B因素的每个水平都要碰到,两者交叉搭配形成
A1 B1 B2 B2-B1 平均 470 480 10 475 A2 472 512 40 492 17 A2-A1 2 32 平均 471 496 25
由于因素水平的改变而引起的平均数的改变 ② 主效应 量称为主效应. 主效应. 主效应 A1 470 A2 472 A2-A1 2 平均 471
2 E(MSB ) = σ 2 + anσβ 2 E(MSAB ) = σ 2 + nσαβ
E(MSe ) = σ 2
统计量F ⑤ 统计量
MSAB MSA MSB FA = ; FB = ; FAB = MSAB MSe MSe
变异来源 A因素 B因素 交互作用 误差 总变异
平方和 SSA SSB SSAB SSe SST
其中,为总平均数;αi为Ai的效应;βj为Bj的效应; (α β)ij为Ai与Bj的互作效应;εijl为随机误差,相互独立,服 从N(0,σ2).且有:
∑α
i =1
a
i
= 0, ∑ β j = 0和∑ (αβ )ij = ∑ (αβ )ij = ∑∑ (αβ )ij = 0;
j =1 i =1 j =1 i =1 j =1
显而易见,A的效应随着B因素水平的不同而不同,反之 亦然.我们说A,B两因素间存在交互作用,记为A×B.
互作效应可由 (A1B1+A2B2-A1B2-A2B1)/2来估计. 表11—1 中的互作效应为: (470+512-480-472)/2=15 我们把具有正效应的互作称为正交互作用(协同作用); 正交互作用(协同作用) 正交互作用 把具有负效应的互作称为负交互作用(拮抗作用);互作 负交互作用(拮抗作用) 负交互作用 效应为零则称无交互作用 无交互作用.没有交互作用的因素是相互独 无交互作用 立的因素,此时,不论在某一因素哪个水平上,另一因素 的简单效应是相等的.
a b SSAB n E(MSAB ) = E[ ] =σ 2 + (αβ)i2 ∑∑ (a 1)(b 1) (a 1)(b 1) i=1 j=1
Байду номын сангаас
SSe E(MSe ) = E[ ] =σ 2 ab(n 1)
统计量F ⑤ 统计量
MSA MSB MSAB FA = ; FB = ; FAB = MSe MSe MSe
MSA=SSA/dfA MSAB =SSAB / dfAB MSB=SSB/dfB MSe=SSe/dfe
自由度 dfT=abn-1 df A=a-1 df A=b-1 dfAB=(a-1)(b-1) dfe=ab(n-1)
④ 期望均方
SSA bn a 2 E(MSA ) = E( ) =σ 2 + ∑αi a 1 a 1 i=1 SSB an b 2 2 E(MSB ) = E( ) =σ + ∑βi b 1 b 1 j=1
② 统计假设
零 设 01 :αi = 0; H02 :σβ = 0; H03 :σαβ = 0 假 为 H
2 2
备择假设为
上述各参数至少有一类不为零
③ 总平方和与总自由度的分解 同固定效应模型) (同固定效应模型)
④ 期望均方
bn a 2 2 2 E(MSA ) = σ + nσαβ + ∑αi a 1 i=1
b
n
b
n
x. j. = ∑∑xijk , x. j. = ∑∑xijk / an = x. j. / an
i=1 k =1 a b 1 i =1 k = a
x... = ∑∑∑xijk , x... = ∑∑∑xijk / abn
i=1 j =1 k =1 a 1 i=1 j = k =1
n
b
n
= ∑xi .. / abn = ∑x. j. / abn
变异来源 A因素 B因素 交互作用 误差 总变异
平方和 SSA SSB SSAB SSe SST
自由度 dfA dfB dfAB dfe dfT
均 方 MSA MSB MSAB MSe
F值 FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe
4. 随机效应模型 ① 统计模型
, i =1 2,..., a; xijk = +αi + β j + (αβ)ij +εijk j =1 2,..., b , k =1 2,..., n ,
交互作用(互作, ③ 交互作用(互作,interaction) ) 在多因素试验中, 一个因素的作用要受到另一个因素的 影响,表现为某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效 应不同,或者说,某一因素的简单效应随着另一因素水平的 变化而变化时,则称该两因素存在交互作用. B1 B2 B2-B1 平均 A1 470 480 10 475 A2 472 512 40 492 A2-A1 2 32 17 平均 471 496 25
b
a
b
a
b
② 统计假设
零 设 01 :αi = 0(i =1 , a) 假 为 H ,2, 02 : βi = 0( j =1 , b) H ,2, 03 : αβi = 0(i =1 , a, j =1 , b) H ,2, ,2,
备择假设为 上述各参数至少有一类不为零
2 2 E(MSA ) = σ 2 + nσαβ + bnσα 2 2 E(MSB ) = σ 2 + nσαβ + anσβ 2 E(MSAB ) = σ 2 + nσαβ
统计量F ⑤ 统计量
E(MSe ) = σ 2
MSA MSB MSAB FA = ; FB = ; FAB = MSAB MSAB MSe