第11章 两因素及多因素方差分析
多因素方差分析
多因素方差分析是对一个独立变量是否受一个或多个因素或变量影响而进行的方差分析。
SPSS调用“Univariate”过程，检验不同水平组合之间因变量均数，由于受不同因素影响是否有差异的问题。
在这个过程中可以分析每一个因素的作用，也可以分析因素之间的交互作用，以及分析协方差，以及各因素变量与协变量之间的交互作用。
该过程要求因变量是从多元正态总体随机采样得来，且总体中各单元的方差相同。
但也可以通过方差齐次性检验选择均值比较结果。
因变量和协变量必须是数值型变量，协变量与因变量不彼此独立。
因素变量是分类变量，可以是数值型也可以是长度不超过8的字符型变量。
固定因素变量(Fixed Factor)是反应处理的因素;随机因素是随机地从总体中抽取的因素。
[例子]研究不同温度与不同湿度对粘虫发育历期的影响，得试验数据如表5-7。
分析不同温度和湿度对粘虫发育历期的影响是否存在着显著性差异。
表5-7 不同温度与不同湿度粘虫发育历期表图5-6 数据输入格式2）启动分析过程点击主菜单“Analyze”项，在下拉菜单中点击“General Linear Model”项，在右拉式菜单中点击“Univariate”项，系统打开单因变量多因素方差分析设置窗口如图5-7。
图5-7 多因素方差分析窗口3）设置分析变量设置因变量:在左边变量列表中选“历期”，用向右拉按钮选入到“Dependent Variable：”框中。
设置因素变量:在左边变量列表中选“a”和“b”变量，用向右拉按钮移到“Fixed Factor(s):”框中。
可以选择多个因素变量。
由于内存容量的限制，选择的因素水平组合数(单元数)应该尽量少。
设置随机因素变量:在左边变量列表中选“重复”变量，用向右拉按钮移到“到Random Factor(s)”框中。
可以选择多个随机变量。
设置协变量：如果需要去除某个变量对因素变量的影响，可将这个变量移到“Covariate(s)”框中。
多因素方差分析
多因素方差分析1. 基本思想：用来研究两个及两个以上控制变量是否对观测变量产生显著影响。
可以分析多个控制变量单独作用对观测变量的影响（这叫做主效应），也可以分析多个控制因素的交互作用对观测变量的影响（也称交互效应），还可以考虑其他随机变量是否对结果产生影响，进而最终找到利于观测变量的最优组合。
根据观测变量（即因变量）的数目，可以把多因素方差分析分为：单变量多因素方差分析（也叫一元多因素方差分析）与多变量多因素方差分析（即多元多因素方差分析）。
一元多因素方差分析:只有一个因变量，考察多个自变量对该因变量的影响。
例如，分析不同品种、不同施肥量对农作物产量的影响时，可将农作物产量作为观测变量，品种和施肥量作为控制变量。
利用多因素方差分析方法，研究不同品种、不同施肥量是如何影响农作物产量的，并进一步研究哪种品种与哪种水平的施肥量是提高农作物产量的最优组合。
多元多因素方差分析：是对一元多因素方差分析的扩展，不仅需要检验自变量的不同水平上，因变量的均值是否存在差异，而且要检验各因变量之间的均值是否存在差异。
例如，用四个班级学生分别对两种教材、两种教学方法进行试验，除了要考虑着两种教材、两种教学方法的四种搭配以外，还要考虑四个班级学生的学习能力这些因素。
2. 原理：通过计算F统计量，进行F检验。
F统计量是平均组间平方和与平均组内平方和的比。
尸$控制您童H卜尸6小=的机竇量这里，把总的影响平方和记为SST它分为两个部分，一部分是由控制变量引起的离差，记为SSA组间离差平方和），另一部分是由随机变量引起的SS（组内离差平方和）。
即SST=SSA+SS组间离差平方和SSA是各水平均值和总体均值离差的平方和，反映了控制变量的影响。
组内离差平方和是每个数据与本水平组平均值离差的平方和，反映了数据抽样误差的大小程度。
通过F值看出，如果控制变量的不同水平对观测变量有显著影响，那观测变量的组间离差平方和就大，F值也大；相反，如果控制变量的不同水平没有对观测变量造成显著影响，那组内离差平方和就比较大，F值就比较小。
(完整word版)两因素方差分析.
两因素方差分析一、两因素方差分析中的基本概念1. 例1-1(pp1)：四种疗法治疗缺铁性贫血后红细胞增加数服用A药，则A＝2,否则A=1；服用B药，则B＝2,否则B=1两因素Stata数据输入格式命令anova x a b a*b其中a 表示A药疗效的主效应，b表示B药疗效的主效应，a*b表示A药与B药对疗效的交互作用结果如下结果表明：对于 =0.05而言H10:没有交互作用并且A药和B药疗效的主效应都没有差异H11：有交互作用或A药主效应有差异或B药主效应有差异F Model=98.75，P值<0.05，因此认为模型是有效的(或有交互作用或有主效应)。
H20:没有交互作用H21：有交互作用F A×B=36.75，P值=0.0003<0.05，因此A药与B药的疗效有交互作用，并且有统计意义。
H30：A药没有差异H31：A药主效应有差异F A=168.75，P值<0.05，A药的主效应有统计意义H40：B药没有差异H41：B药主效应有差异F B =90.75，P 值<0.05，B 药的主效应也有统计意义。
问题：模型是什么？ 模型：..()ab a b ab μμαβαβ=+++其中μab 是x 的总体均数，αa 称为A 因素的主效应，βb 称为B 因素的主效应，(αβ)ab 称为A 因素和B 因素对因变量x(观察指标变量)的交互作用。
2. 主效应的意义A 药B 药平均A 主效应表示未服用服用 未服用 μ11μ1211121.2μμμ+=1...1μμα=+服用 μ21 μ22 21222.2μμμ+= 2...2μμα=+ 平均1121.12μμμ+= 1222.22μμμ+= 11122122..4μμμμμ+++= B 主效应 .1..1μμβ=+ .2..2μμβ=+称α1和α2为A 因素的主效应，β1和β2为B 因素的主效应。
并且可以验证：α1＋α2＝0(即：α1＝－α2)以及β1＋β2＝0(β1＝－β2) 若α1＝α2(即α1=α2＝0)，则对应A 因素的主效应没有作用。
双因素和多因素方差分析
随机误差项平方和
a bn
SSe
（y ij k
y
）2
ij
i1 j 1 k 1
2、平方和的分解
与平方和相应的自由度分别为： 总自由度：dfT=abn-1 A因素处理间自由度：dfA=a-1 B因素处理间自由度：dfB=b-1 交互作用自由度：dfAB=(a-1)(b-1) 处理内自由度：dfe=ab(n-1) dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe
8
统计量F 24.68** 15.22** 5.904**
查F分布表： F0.95 (3,6) 3.24; F0.99 (3,6) 5.29; F0.95 (9,16) 2.54; F0.99 (9,16) 3.78
所以FA、FB、FC均达极显著，所以大白鼠增重与 添加剂A、B及其交互作用都有显著关系。
第一节 双因素方差分析概述
一、双因素试验汇中的几个基本概念
1、主效应（main effect）：各实验因素相对独立的 效应，该效应水平的改变会造成因素效应的改变， 如包装方式对果汁销售量的影响。
2、互作效应（interaction）：两个或多个实验因素的 相互作用而产生的效应。
3、无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方 差分析(Two-factor without replication)：两个因素 对试验结果。两个因素对试验数据的影响。
三、混合模型（以A为固定因素、B为随机因 素为例）
在混合模型中，A、B因素的效应为非可加性，
为固定i 效应，
为j 随机i j 效应
对A做检验时用随机模型，对B及AB交互效
应做检验时用固定模型。
双因素方差分析结果解读
双因素方差分析结果解读双因素方差分析（Two-wayANOVA）是一种分析数据的统计方法，它可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。
双因素方差分析的一个重要特点是它可以检验基于不同组别、不同资源或者不同情况下同一个总体上的差异。
它可以检验在多个组别之间存在差异、或者在不同组别之间存在偏差的情况。
本文将通过介绍双因素方差分析的原理、分析方法、结果解读方法，帮助读者更好地解读双因素方差分析的结果。
首先，双因素方差分析的原理是涉及两个不同的自变量，即因变量和一个或多个自变量。
因变量是一个连续的响应变量，而自变量则分为定类的自变量和定序的自变量，根据不同的实验需求采用不同的变量。
例如，定类的自变量可以用于比较基于性别或不同药物治疗后被试者的反应，定序的自变量则可用于比较基于疗程的不同反应。
其次，双因素方差分析需要构建一个双因素的实验单元，即一个自变量和一个因变量的实验设计，它可以确定每个组别之间的比较，比如在不同性别和不同处方药物治疗下被试者的反应。
双因素方差分析可以检验两个或多个因变量是否相对独立，以及独立或不独立的因变量是否存在差异。
最后，双因素方差分析的结果解读是比较重要的一步，它可以有效地解释出双因素实验单元下的差异或偏差，帮助研究者更好地做出他们的决策。
通常，根据双因素方差分析的结果可以检测出两个或多个自变量的差异，以及基于性别、时间、处方药物治疗等不同情况下的被试者的反应等。
只有当双因素方差分析的F值超过某一显著性水平的时候（通常为0.05或0.01），双因素方差分析的结果才被认为是显著的，可以通过结果解释和决策。
综上所述，双因素方差分析是一种非常有用的统计方法，可以检验同一总体的两个或多个变量之间的差异。
其中双因素方差分析原理，分析方法，以及结果解读方法都非常重要，有助于我们在解决实际问题时更好地解读双因素方差分析的结果，识别出不同组别，或者在不同组别之间存在的差异，从而发现新的实验结果，增加研究的学术价值。
多因素方差分析公式了解多因素方差分析的计算公式
多因素方差分析公式了解多因素方差分析的计算公式多因素方差分析公式——了解多因素方差分析的计算公式多因素方差分析是一种统计方法，用于分析多个因素对观察结果的影响。
它通过比较不同因素水平下的观察值差异来判断这些因素对实验结果的影响程度。
在多因素方差分析中，我们需要了解与计算一些重要的公式。
1. 多因素方差分析的总平方和（SS_total）公式：SS_total = SS_between + SS_within其中，SS_total是总平方和，表示所有观测值与总均值之间的偏离程度；SS_between是组间平方和，表示不同因素水平下的观测值与总均值之间的偏离程度；SS_within是组内平方和，表示同一因素水平下的观测值与该水平下的均值之间的偏离程度。
2. 多因素方差分析的组间平方和（SS_between）公式：SS_between = ∑(ni * (μi - μ)²)其中，ni是第i组的观测值个数，μi是第i组观测值的均值，μ为所有观测值的总均值。
3. 多因素方差分析的组内平方和（SS_within）公式：SS_within = ∑∑((Xij - μi)²)其中，Xij表示第i组的第j个观测值，μi为第i组观测值的均值。
4. 多因素方差分析的组间平均平方（MS_between）公式：MS_between = SS_between / (k - 1)其中，k为不同因素水平的个数。
5. 多因素方差分析的组内平均平方（MS_within）公式：MS_within = SS_within / (N - k)其中，N为总观测值的个数。
6. 多因素方差分析的F统计量公式：F = MS_between / MS_withinF统计量用于判断不同因素水平的均值之间的差异是否显著。
若F 值大于某个临界值，则认为不同因素水平的均值存在显著差异。
通过以上公式，我们可以计算出组间平方和、组内平方和、组间平均平方、组内平均平方和F统计量，从而进行多因素方差分析。
多因素分析
Sig. .000 .000 .000 .000 .000
注意：当因子A与B间的交互作用有统计学意 义时，对A（或B）的单独作用的解释须小心。 本例，用B药时，用A药病人比不同时用A药的 病人的红细胞数均数大，不用B药时，用A药 病人比不同时用A药的病人的红细胞数均数也 大，故可说明A药有效。但有时可能出现这种 情况，用B药时，用A药病人比不同时用A药的 病人的红细胞数均数大，不用B药时，用A药 病人比不同时用A药的病人的红细胞数均数小， 此时就不能简单地说A药有利于病人红细胞数 增加，需分别就用B药和不用B药两种情况说 明A药的作用。对B作用的作用的解释也是如 此。
三因子方差分析
例题 某研究者以大白鼠作试验， 观察指标是肝重与体重之比（5%）， 主要想了解正氟醚对观察指标的作用， 同时要考察用生理盐水和用戊巴比妥 作为诱导药对正氟醚毒性作用有无影 响，对不同性别大白鼠诱导的作用有 何不同，以及对不同性别大白鼠正氟 醚的作用是否相同。
A因子
不用 不用 不用 不用 用 用 用 用
总体均数
111 112 Байду номын сангаас21 122 211 212 221 222
Tes ts o f Bet ween -Subj ects Effe cts Dependent Variable: Y Type III Sum Source of Squares df Mean Square Corrected Model 4.218 a 7 .603 Intercept 769.081 1 769.081 A 2.017E-03 1 2.017E-03 B 7.707E-02 1 7.707E-02 C .799 1 .799 A * B 1.904 1 1.904 B * C 5.227E-02 1 5.227E-02 A * C 1.335 1 1.335 A * B * C 4.860E-02 1 4.860E-02 Error 2.685 16 .168 Total 775.984 24 Corrected Total 6.903 23 a. R Squared = .611 (Adjusted R Squared = .441)
双因素方差分析剖析
双因素方差分析剖析在双因素方差分析中，有两个主要的因素被研究。
这些因素可以是两个不同的处理条件、两个不同的处理时间、两个不同的处理剂量等。
同时，每个因素都可以有两个或多个水平（即取值范围）。
为了进行双因素方差分析，研究人员首先需要确定研究对象和目标变量。
然后他们需要确定每个因素的水平和变量的测量方法。
例如，如果他们想要研究两种不同的药物对于治疗一种疾病的效果，他们需要确定每种药物的剂量以及测量疾病症状的方法。
接下来，研究人员需要收集数据，并进行统计分析。
在双因素方差分析中，主要的统计指标是方差和F值。
方差用来衡量不同因素和不同水平之间的差异。
F值是方差之比，用来判断不同因素之间是否存在显著差异。
进行双因素方差分析之后，研究人员可以得出结论。
如果F值大于临界值，那么可以得出不同因素之间存在显著差异的结论。
如果F值小于临界值，那么就可以得出不同因素之间没有显著差异的结论。
此外，研究人员还可以通过进行后续的多重比较来进一步分析不同因素之间的差异。
常用的多重比较方法包括Tukey方法和Bonferroni方法。
然而，双因素方差分析也存在一些限制。
首先，它只能处理两个或多个因素对于一个或多个变量的影响。
如果有更多的因素需要考虑，就需要进行更复杂的分析方法。
其次，双因素方差分析假设变量的分布是正态分布的，并且各组之间的方差是相等的。
如果数据不符合这些假设，就需要采用其他的非参数方法进行分析。
总之，双因素方差分析是一种常用的统计方法，可以帮助研究人员研究两个或更多因素对于一个或多个变量的影响。
它可以帮助确定不同因素之间的重要性，并且可以探索不同因素之间的相互作用。
然而，研究人员需要在收集数据和进行分析时注意假设的前提条件，并且需要根据具体情况选择合适的统计方法。
多因素方差分析原理
107.634
.000
父母药物滥用
10.361
2
5.180
.911
.406
父母教养方式 * 父母药物滥用
26.238
6
4.373
.769
.597
Error
500.661
88
5.689
Total
30104.000
100
Corrected Total
2614.360
99
a. R Squared = .808 (Adjus ted R Squared = .785)
• 各实验处理之间的方差一致—即实验处理 内的方差彼此间无显著差异。
方差分析的几个概念和符号
• 离均差 • 离均差之和 • 离均差平方和（SS） • 方差（2 S2 ）也叫均方（MS） • 标准差：S • 自由度： df • 关系： MS= SS/ df
方差分析的步骤
• 一、求平方和 总平方和(SST) 组间平方和(SSB) 组内平方和(SSW) SST= SSW+ SSB
方差分析的基本思想
• 方差分析（ANOVA）是由英国统计学家 R.A.Fisher首创，为纪念Fisher，以F命名， 故方差分析又称 F 检验 （F test）。用于推 断多个总体均数有无差异。是一种典型的 还原论思想。
方差分析的基本思想
• 方差分析与t检验的区别 t检验只适宜检验两个平均数之间是否存在 差异。对于一个复杂的问题，t检验只能进 行多组平均数两两之间的差异检验。而方 差分析可以同时检验两个或多个平均数之 间的差异以及几个因素水平之间的交互作 用。
• 方差分析的主要功能是分析因变量的总变 异中不同来源的变异。
方差分析的基本假设
《双因素方差分析》课件
同样地，因素B对因变量的影响也是显著的，表 明在不同水平下，因变量的均值存在显著差异。
3
交互作用
分析结果表明，因素A和因素B之间存在显著的 交互作用，这种交互作用对因变量产生了显著影 响。
对未来研究的建议
扩大样本量
为了更准确地评估双因素方差分析的结果，建议在未来研究中扩大样本量，以提高分析 的稳定性和可靠性。
数据筛选
检查数据是否满足方差分析的前提假设，如正 态分布、方差齐性等。
数据编码
对分类变量进行适当的编码，以便在分析中使用。
模型拟合
确定模型
根据研究目的和数据特征，选择合适的双因素方差分析模型。
拟合模型
使用统计软件（如SPSS、SAS等）进行模型拟合，得到估计参数和模型拟合指标。
假设检验
检验主效应
考虑其他影响因素
除了因素A和因素B外，可能还有其他未考虑的因素对因变量产生影响。因此，未来的 研究可以考虑纳入更多的变量，以更全面地了解因变量的影响因素。
深入研究交互作用
双因素方差分析结果表明因素A和因素B之间存在交互作用。为了更深入地了解这种交 互作用的机制和效果，建议进行更详细的研究和探讨。
实际应用价值
主效应和交互效应检验
使用双因素方差分析来检验两个实验因素的 主效应和它们之间的交互效应。
结果解释
根据分析结果，解释实验因素对因变量的影 响以及交互作用的存在与否。
05 结论与建议
研究结论
1 2
因素A对因变量的影响
通过双因素方差分析，发现因素A对因变量的影 响显著，说明在因素A的不同水平下，因变量的 均值存在显著差异。
双因素方差分析的数学模型
双因素方差分析涉及两个实验因素，通常表示为A和B。
双因素方差分析方法
(
)
dfT , df A , df B , df E ,则
SS A df A MS A = ~ F ( ( a 1) , ( a 1)( b 1) ) FA = SS E df E MS E
SS B df B MS B = ~ F ( ( b 1) , ( a 1)( b 1) ) FB = SS E df E MS E
结论:工人对产品的产量有显著影响, 结论:工人对产品的产量有显著影响, 机器对产品的产量有极显著影响. 机器对产品的产量有极显著影响.
例1的上机操作 的上机操作
原始数据,行因素水平, 原始数据,行因素水平,列因素水平
对应例1 对应例 的数据输入方式
工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著. 工人对产品产量有显著影响,而机器对产品产量的影响极显著.
1 b 水平A α i = ∑ ij = i i 水平 i对试验结果的效应 a j =1 1 a 水平 β j = ∑ ij = i j 水平Bj对试验结果的效应 b i =1 试验误差 ε ij = X ij ij
特性: 特性:
∑ α i = 0;
i =1
a
β j = 0; ε ij ~ N ( 0, σ 2 ) ∑
SST = ∑∑ X ij X
i =1 j =1
a
b
(
)
2
可分解为: 可分解为:SST = SS A + SS B + SS E
SS A = b∑ X i. X
SS B = a ∑ X . j X
j =1 a b
a
i =1 b
(
)
2
称为因素A的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 A 对试验指标的影响. 称为因素B的离差平方和, 称为因素 的离差平方和, 的离差平方和 对试验指标的影响. 反映因素 B 对试验指标的影响.
方差分析课件-PPT
增重表就是选用S-N-K法作均数多重两两比较得结果:
本例按a=0、05水准,将无显著性差异得数归为一类 (Subset for alpha=0、05)。可见
品种5、2、3得样本均数位于同一个子集( Subset )内,说 明品种5、品种2、品种3得样本均数两两之间无显著差异; 品种3、4、1位于同一个Subset内,她们之间无显著差异;而 品种5、2与品种4、1得样本均数有显著差异。
即三组均数间差异极显著,即不同时期切痂对大鼠肝脏 ATP含量有影响。
LSD法多重比较:
“*”显著性标注 两组均数得差
•S-N-K法:本例按0、5水平,将无显著差异得均数归为一类。
•第一组与第三组为一类,无显著差异,它们与第二组之间均数差 异显著。
•LSD与S-N-K法,不同得两两比较法会有不同。
如欲了解就是否达到极显著差异,需要将显著水平框中得 值输入0、01。
例、 为了研究烫伤后不同时间切痂对大鼠肝脏 ATP得影响,现将30只雄性大鼠随机分成3组,每组 10只:A组为烫伤对照组,B组为烫伤后24小时切痂 组,C组为烫伤后96小时切痂组。全部大鼠在烫伤 168小时候处死并测量器肝脏ATP含量,结果如下。 问试验3组大鼠肝脏ATP总数均数就是否相同。
该12个观察值得总得均值为91、5,标准差为34、 48。
上图为品系、剂量间均值得方差分析(F检验)结果
由表中可知,品系得F=23、771,P=0、001<0、01,差异极显著;
剂量得F=33、537,P=0、001<0、01,差异极显著。说明不同品系与 不同雌激素剂量对大鼠子宫得发育均有极显著影响,故有必要进一步对 品系、雌激素剂量两因素不同水平得均值进行多重比较。
双因素方差分析
双因素方差分析标题：双因素方差分析的应用与解读摘要：本文通过介绍双因素方差分析的基本原理和方法，以及其在实际研究中的应用，帮助读者了解和理解该统计方法的概念和分析原理。
文章中还将详细探讨如何正确解读双因素方差分析结果，以及常见的误解和注意事项。
最后，本文将探讨该方法的局限性和发展前景，为读者提供一个全面的视角来评估该统计方法的实用性和适用性。
第一部分：引言双因素方差分析是一种常用的统计方法，用于研究两个或更多因素对某个变量的影响。
在实际研究中，我们常常需要探究不同因素对某一现象的综合影响，例如产品价格和广告投入对销售额的影响。
双因素方差分析能够帮助我们进行出色的统计分析，确保数据结果的准确性和可信度。
第二部分：双因素方差分析的基本原理和方法双因素方差分析是一种通过计算因素之间的差异来确定不同因素对某一现象的影响程度的方法。
它通过将数据分为不同的组别，并计算组间差异和组内差异，来判断不同因素是否对现象产生显著影响。
这种方法将数据集划分为两个或更多的因素组，然后通过计算组别间的方差和组内的方差来确定每个因素的影响程度。
第三部分：双因素方差分析的应用双因素方差分析在许多领域中得到了广泛应用。
例如，在医学研究中，我们可以使用双因素方差分析来确定一个新药物对不同性别和不同年龄组的病人的治疗效果。
在市场营销领域，我们可以使用双因素方差分析来探究不同价格和不同广告投入对产品销售额的影响。
在教育领域，我们可以使用双因素方差分析来研究不同教学方法和不同学生能力水平对学生成绩的影响。
这些例子仅仅是说明双因素方差分析的应用领域的一部分，该方法在实际研究中的应用潜力巨大。
第四部分：正确解读双因素方差分析结果正确解读双因素方差分析结果是使用该方法的关键。
首先，我们需要了解P值和显著性水平的概念。
P值表示观测到的差异出现在无关因素组中的概率。
显著性水平则是在假设检验中用来判断观测到的差异是否真实存在的标准。
其次，我们需要关注效应大小。
多因素方差分析.完美版PPT
SSB
1 b anj1
x2 . j.
x2 ...
abn
SSSTn1
a i1
b
xi2j.
j1
x.2.. abn
S A S B S S S T S A S S B ,S S e S S T S S SS T
计算步骤
计算排列如下表：
表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行
的平均
xij., xi.., x. j.
E(Me)SE(a(S bn eS1))2
检验H01，H02，H03的统计量
检验两个主效应及一个交互效应的下述三个统计量中， 分母全部采用MSe即可。 检验H01，H02，H03的统计量分别为：
FA
MS A MS e
,
FB
MS B MS e
FAB
MS AB MSe
从前述的各均方期望可知，只有当各H0成立时，上述三 个分子才是2的无偏估计量，此时各统计量均服从F分布；若 某个H0不成立，则相应的分子将有偏大的趋势，从而使对应 的统计量也有偏大的趋势，因此可用F分布上单尾分位数进行 检验。
选择最适发酵条件
原
料
种
类
30℃
(A)
温 度（B） 35℃
40℃
1 41 49 23 25 11 13 25 24 6
22 26 18
2 47 59 50 40 43 38 33 36 8
22 14 18
3 35 53 50 43 38 47 44 55 33 26 29 30
固定因素
本题中显然温度是一个因素，原料种类是另一个因素。这 两个因素各有三个水平。由于它们的影响都是可控制、可重复 的，因此都是固定因素。在同样温度、原料下所做的几次实验 应视为重复，它们之间的差异是由随机误差所造成的
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统计量F ⑤ 统计量
E(MSe ) = σ 2
MSA MSB MSAB FA = ; FB = ; FAB = MSAB MSAB MSe
③ 总平方和与总自由度的分解
SST=SSA+SSB+SSAB+SSe dfT=dfA+dfB+dfAB+dfe 其中SSAB ,dfAB为A因素与B因素交互作用平方和与自 由度.
∑∑∑(x
i=1 j=1 k=1 a i=1
a
b
n
2
ijk
x )
b a b a b n 2 2 2
= bn∑(xi x ) + an∑(x j x ) + n∑∑(xij xi x j + x ) + ∑∑∑(xijk xij )2
b
n
b
n
x. j. = ∑∑xijk , x. j. = ∑∑xijk / an = x. j. / an
i=1 k =1 a b 1 i =1 k = a
x... = ∑∑∑xijk , x... = ∑∑∑xijk / abn
i=1 j =1 k =1 a 1 i=1 j = k =1
n
b
n
= ∑xi .. / abn = ∑x. j. / abn
交 叉 分 组 两 因 素 单 独 观 察 值 试 验 数 据 模 式
A 因素 B1
A1 A2 … Ai … Aa
合计x 合计 .j
B 因素
B2 … Bj x12 … x1j x22 … x2j … … … xi2 … xij … … … xa2 … xaj x.2 … x.j x.2 … x. j … … … … … … … … … Bb x1b x2b … xib … xab x.b x.b
j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 k =1
SST = SSA + SSB + SSAB + SSe SSAB = SST SSA SSB SSe
各项平方和,自由度及均方的计算公式如下:
矫正数 总 A因素 B因素 B 交互作用 误差
均方为
平方和 C=x2…/abn SST=∑∑∑x2ijk -C SSA=1/(bn) ∑x2i . .-C SSB=1/(an) ∑x2 .j .-C SSAB=SST-SSA-SSB -SSe SSe= ∑∑∑x2ijk - 1/n ∑∑x2ij .
A1 B1 B2 B2-B1 平均 470 480 10 475 A2 472 512 40 492 17 A2-A1 2 32 平均 471 496 25
由于因素水平的改变而引起的平均数的改变 ② 主效应 量称为主效应. 主效应. 主效应 A1 470 A2 472 A2-A1 2 平均 471
2. 两因素资料方差分析的数据模式 P137 表9-1
表 ij . = ∑xijk , xij . = ∑xijk / n 中 x
k =1 k =1 n n
xi .. = ∑∑xijk , xi .. = ∑∑xijk / bn = xi .. / bn
j =1 k =1 a n j =1 k =1 a n
显而易见,A的效应随着B因素水平的不同而不同,反之 亦然.我们说A,B两因素间存在交互作用,记为A×B.
互作效应可由 (A1B1+A2B2-A1B2-A2B1)/2来估计. 表11—1 中的互作效应为: (470+512-480-472)/2=15 我们把具有正效应的互作称为正交互作用(协同作用); 正交互作用(协同作用) 正交互作用 把具有负效应的互作称为负交互作用(拮抗作用);互作 负交互作用(拮抗作用) 负交互作用 效应为零则称无交互作用 无交互作用.没有交互作用的因素是相互独 无交互作用 立的因素,此时,不论在某一因素哪个水平上,另一因素 的简单效应是相等的.
其中,为总平均数;αi为Ai的效应;βj为Bj的效应; (α β)ij为Ai与Bj的互作效应;εijl为随机误差,相互独立,服 从N(0,σ2).且有:
∑α
i =1
a
i
= 0, ∑ β j = 0和∑ (αβ )ij = ∑ (αβ )ij = ∑∑ (αβ )ij = 0;
j =1 i =1 j =1 i =1 j =1
第11章 两因素方差分析
Two-factor analysis of variance
本章主要内容
第一节 两因素交叉分组试验资料的方差分析 一 两因素有重复观察值试验的方差分析 二 两因素单独观察值试验的方差分析 三 举例 第二节 数据转换
第一节 两因素交叉分组资料的方差分析
设试验考察A,B两个因素,A因素分a个水平,B 因素分b个水平,所谓交叉分组是指A因素每个水平 与B因素的每个水平都要碰到,两者交叉搭配形成
交互作用(互作, ③ 交互作用(互作,interaction) ) 在多因素试验中, 一个因素的作用要受到另一个因素的 影响,表现为某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效 应不同,或者说,某一因素的简单效应随着另一因素水平的 变化而变化时,则称该两因素存在交互作用. B1 B2 B2-B1 平均 A1 470 480 10 475 A2 472 512 40 492 A2-A1 2 32 17 平均 471 496 25
合计 平均 xi . xi. x1 . x2 . … xi . … x a. x..
x11 x21 … xi1 … xa1 x.1 x.1
x1. x2 .
… xi . …
xa .
平均 x. j
1 b 其 i = ∑xij , xi = ∑xij ; 中 x b j=1 j =1
a b 1 a x j = ∑xij , x j = ∑xij ; x = ∑∑xij a i=1 i=1 i=1 j =1 a
, i =1 2,..., a; xijk = +αi + β j + (αβ)ij +εijk j =1 2,..., b , k =1 2,..., n为随机误差,相互独立,服从N(0,σ2).
2 2 σβ ); (α β)ij服从N(0,σαβ );
2 E(MSB ) = σ 2 + anσβ 2 E(MSAB ) = σ 2 + nσαβ
E(MSe ) = σ 2
统计量F ⑤ 统计量
MSAB MSA MSB FA = ; FB = ; FAB = MSAB MSe MSe
变异来源 A因素 B因素 交互作用 误差 总变异
平方和 SSA SSB SSAB SSe SST
变异来源 A因素 B因素 交互作用 误差 总变异
平方和 SSA SSB SSAB SSe SST
自由度 dfA dfB dfAB dfe dfT
均 方 MSA MSB MSAB MSe
F值 FA=MSA/MSAB FB=MSB/MSAB FAB=MSAB/MSe
5. 混合效应模型(设A为固定因素,B为随机因素) 为固定因素, 为随机因素) ① 统计模型
a b SSAB n E(MSAB ) = E[ ] =σ 2 + (αβ)i2 ∑∑ (a 1)(b 1) (a 1)(b 1) i=1 j=1
SSe E(MSe ) = E[ ] =σ 2 ab(n 1)
统计量F ⑤ 统计量
MSA MSB MSAB FA = ; FB = ; FAB = MSe MSe MSe
自由度 dfA dfB dfAB dfe dfT
均 方 MSA MSB MSAB MSe
F值 FA=MSA/MSAB FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe
二 两因素单独观察值试验的方差分析
A,B两个试验因素的全部ab个水平组合 中,每个水平组合只有一个观察值,全部试 验共有ab 个观察值.其数据模式如表11—2 所示.
B1 B2 B2-B1
480 512 32 496 10 40 25 475 492 17 平均 如表,当A因素由A1水平变到A2水平时,A因素的主效应 主效应为A2 主效应 水平的平均数减去A1水平的平均数.即 A因素的主效应=492-475=17 同理 B因素的主效应=496-471=25 主效应也就是简单效应的平均, 主效应也就是简单效应的平均 如(32+2)÷2=17 , (40+10)÷2=25
b
a
b
a
b
② 统计假设
零 设 01 :αi = 0(i =1 , a) 假 为 H ,2, 02 : βi = 0( j =1 , b) H ,2, 03 : αβi = 0(i =1 , a, j =1 , b) H ,2, ,2,
备择假设为 上述各参数至少有一类不为零
FAB <1 FAB ≈1 , 明 互 用 存 , 时 将 或 时 说 交 作 不 在 此 可 MSAB ,MS e合并起来作为σ 2的估计量,以提高精确度. SSA + SSe 即 MS = , 然 利 MSe为 母 算 计 F 后 用 ' 分 计 统 量 dfe + df AB
' e
需 注 的 查 时 由 也 应 为 e + df AB 要 意 是 表 自 度 相 变 df
MSA=SSA/dfA MSAB =SSAB / dfAB MSB=SSB/dfB MSe=SSe/dfe
自由度 dfT=abn-1 df A=a-1 df A=b-1 dfAB=(a-1)(b-1) dfe=ab(n-1)
④ 期望均方