高三数学下学期4月月考试题 理
2024学年吉林省长春市第一五一中学高三下学期月考四(期末考试)全国卷1数学试题
2024学年吉林省长春市第一五一中学高三下学期月考四（期末考试）全国卷1数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足31ii z=+，则z =（ ）A ．1122i + B ．1122-+i C ．1122i - D ．1122i -- 2．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B ．24C ．2log 3D ．223．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格 4．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2}2{|0B x x x =-+>，则AB =( )A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0,1,2--5．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤7．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．8．已知数列{}n a 对任意的*n N ∈有111(1)n n a a n n +=-++成立，若11a =，则10a 等于（ ）A ．10110B ．9110C ．11111D ．122119．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M 且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．0个D ．无数个10．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．23⎫+∞⎪⎪⎝⎭B ．23⎛ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(311．已知a >0，b >0，a +b =1，若 α=11a b a bβ+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．5B ．52C ．52-D ．-5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省中山市小榄中学高三数学理月考试题含解析
广东省中山市小榄中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 有极值点x 1，x 2，且f （x 1）=x 1＜x 2，则关于x 的方程3（f （x ））2+2af （x ）+b=0的不同实根个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6参考答案：A【考点】函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断． 【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用．【分析】求导数f′（x ），由题意知x 1，x 2是方程3x 2+2ax+b=0的两根，从而关于f （x ）的方程3（f （x ））2+2af （x ）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案． 【解答】解：f′（x ）=3x 2+2ax+b ，x 1，x 2是方程3x 2+2ax+b=0的两根，由3（f （x ））2+2af （x ）+b=0，则有两个f （x ）使等式成立，x 1=f （x 1），x 2＞x 1=f （x 1）， 如下示意图象： 如图有三个交点， 故选A ．【点评】考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．2. 函数f (x )＝－x 2＋(2a －1)|x |＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞B ．＜a ＜C ．a ＞D ．a ＜ 参考答案：C3. 已知函数，设，则是 （ ）A.奇函数，在上单调递减B.奇函数，在上单调递增C.偶函数，在上递减，在上递增D.偶函数，在上递增，在上递减参考答案：B 略4. 若命题“或”是真命题，“且”是假命题，则（ ▲ ）A.命题和命题都是假命题B.命题和命题都是真命题C.命题和命题“”的真值不同 D.命题和命题的真值不同参考答案：D 略5. 在等比数列中，若，则.参考答案：略6. 三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8，侧视视图的面积为__________.A. 8B. 4C.D.参考答案：D7. 已知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为A.B.C.D. 2参考答案：A 8. 已知，“”是“函数在上为减函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件参考答案：D试题分析：若，则，可知充分性不成立；若函数在上为减函数，则，故不成立，必要性不成立.考点：充分必要性．9. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若则B ．若则C ．若则D ．若则参考答案：D10. 对于函数，若存在常数,使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是 ( ) A ．B .C.D.参考答案：【知识点】抽象函数及其应用． A 解：对于函数，若存在常数,使得取定义域内的每一个值，都有，则称为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a ，a≠0，选项B 、C 、D 函数没有对称轴；函数f （x ）=cos （x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项A 正确． 故选：A ．【思路点拨】由题意判断f （x ）为准偶函数的对称轴，然后依次判断选项即可．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于.参考答案：略12. 若实数满足条件则的最大值为_____.参考答案：4试题分析：由约束条件作出可行域区域图，令目标函数，则，先作13. 直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则________.参考答案：214. 已知数列 (n)的公差为3，从中取出部分项（不改变顺序）a1,a4,a10,…组成等比数列，则该等比数列的公比是参考答案：215. 已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为 .参考答案：略16. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值___________;参考答案：【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】3 解析：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3．故答案为：3．【思路点拨】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．17. 设，则等于．参考答案：，所以，故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2023-2024学年江苏省镇江市高三下学期4月月考数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年江苏省镇江市高三下学期4月月考数学模拟试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{ln 10},21,x A x x B y y x A=-<==-∈，则A B ⋃=（）A.()1,2 B.()1,3 C.()1,3- D.()1,-+∞【正确答案】B【分析】化简集合,A B ，根据并集的定义求A B ⋃.【详解】因为不等式()ln 10x -<的解集为()1,2，所以()1,2A =，函数21,x y x A =-∈的值域为()1,3，所以()1,3B =，所以()1,3A B = ，故选：B.2.函数()πln cos(2)2f x x x =+的图象可能为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】先利用函数的奇偶行排除选项B,D ，再利用特殊值即可求解.【详解】因为函数()πln cos(2)ln sin 22f x x x x x =+=-，定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且()ln sin(2)ln sin 2()f x x x x x f x -=---==-，所以函数()f x 为奇函数，图像关于原点对称，故排除选项B,D ；当(0,1)x ∈时，ln 0x <，sin 20x >，所以()ln sin 20f x x x =->，故排除选项C .故选.A3.已知,αβ为两个不同的平面，,m n 为两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m nB.若,m αβα⊥⊥，则//m βC.若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥D.若,//m αβα⊥，则m β⊥【正确答案】C【分析】根据面面平行的性质定理可得选项A 的正误；考虑直线m 是否在平面β内可得选项B 的正误；选项C 根据面面垂直的判定定理可得正误；选项D 考虑直线m 与平面β的位置关系可得正误.【详解】对于选项A ，缺少,m n 共面的条件，因此得不到//m n ，直线,m n 还可以互为异面直线，故A 错误；对于选项B ，直线m 还可以在平面β内，故B 错误；对于选C ，由,,m n m n αβ⊥⊥⊥得,m n 分别为,αβ的垂线，两个平面的垂线互相垂直则这两个平面互相垂直，故C 正确；对于选项D ，直线m 与平面β或平行，或相交，或直线在平面内，故D 错误.故选：C.4.已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A =“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则()P A =（）A.712B.2945 C.2150D.2950【正确答案】D【分析】分类讨论甲盒中随机取出一个球的颜色，根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解.【详解】若甲盒中随机取出一个球为白球的概率为25，放入乙盒，此时乙盒中有5个白球，3个红球，2个黑球，再取出一个非白球的概率为51102=；若甲盒中随机取出一个球为红球的概率为25，放入乙盒，此时乙盒中有4个白球，4个红球，2个黑球，再取出一个非红球的概率为63105=；若甲盒中随机取出一个球为黑球的概率为15，放入乙盒，此时乙盒中有4个白球，3个红球，3个黑球，再取出一个非黑球的概率为710；故()21231729525551050P A =⨯+⨯+⨯=.故选：D.5.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，半焦距为c ．在椭圆上存在点P 使得1221sin sin a cPF F PF F =∠∠，则椭圆离心率的取值范围是（）A.)1,1B.)1,1-C.()1-D.(1⎤-⎦【正确答案】B【分析】由正弦定理及椭圆定义得11211221sin sin 2PF PF PF F c a PF F PF a PF ∠===∠-，得12acPF a c=+，结合()1,PF a c a c ∈-+，得关于e 的不等式，从而求出e 的范围.【详解】由1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，得11211221sin sin 2PF PF PF F c a PF F PF a PF ∠===∠-，得12ac PF a c=+，又()1,PF a c a c ∈-+，则2aca c a c a c-<<++，∴()2222a c ac a c -<<+，即2210e e +->，又()0,1e ∈，∴)1,1e ∈-．故选：B ．6.已知函数()()2sin (0,R)f x x ωϕωϕ=+>∈在区间7π51π,1260⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为（）A.810,33⎛⎤⎥⎝⎦ B.830,311⎛⎤⎥⎝⎦C.510,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.530,311⎛⎤ ⎥⎝⎦【正确答案】B 【分析】由74π12π3f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得出函数()f x 的对称中心，结合已知的单调区间，限定ω的范围，由函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，再得到ω的一个范围，取两个范围的交集即可.【详解】()f x 在区间7π51π,1260⎛⎫⎪⎝⎭上单调，7π3π3π7π51π,,12441260⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f ，()f x \的对称中心为2π,03⎛⎫⎪⎝⎭，且51π2π11π2π7π5π6036031260-=>-=，T 11π460∴≥，即1115T π≥，即2π11π15ω≥，30011ω∴<≤.又()f x 的对称中心为2π,03⎛⎫⎪⎝⎭，2π03⎛⎫∴= ⎪⎝⎭f ，()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，相邻两个零点之间的距离为2T ，五个零点之间即2T ，六个零点之间即52T ，只需2π13π2π523632T T +<≤+即可，即81033ω<≤，又30011ω<≤ ，830311ω∴<≤.故选：B .7.已知ABO 中，1OA =，2OB =，1OA OB ⋅=-，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，则（）A.5277OD OA OB=+B.3477OD OA =+C.2577OD OA OB=+ D.4377OD OA =+ 【正确答案】A【分析】根据1OA OB ⋅=-求得120AOB ︒∠=，再用余弦定理求得AB =，利用等面积法求得7OD =，勾股定理求得7AD=，从而27AD AB = ，最后分解为已知向量即可.【详解】cos 2cos 1,OA OB OA OB AOB AOB ⋅=∠=∠=- 即1cos 2AOB ∠=-，又因为0180AOB ︒︒<∠<，所以120AOB ︒∠=.在AOB 中，根据余弦定理可得：2222cos1207AB OA OB OA OB ︒=+-⋅⋅=，即AB =，根据三角形面积公式11sin12022AOB S AB OD OA OB ︒=⋅=⋅⋅ ，解得OD =，7AD ∴==，27AD AB ∴= ，()22527777OD OA AD OA AB OA OB OA OA OB ∴=+++-===+ .故选：A8.若函数()ln f x x =与()()10g x ax a =->的图像有且仅有一个交点，则关于x 的不等式()433x f x a --<-的解集为（）A.(),4-∞ B.()4,+∞ C.()3,4 D.()3,5【正确答案】C【分析】将条件()f x 与()g x 只有1个交点转换为函数()ln 1h x x ax =-+只有1个零点，参数分离求出a ，再构造函数()()4ln 331x k x x -=-+-，利用其单调性求解即可.【详解】()f x 与()g x 只有1个交点等价于函数()ln 1h x x ax =-+只有1个零点，即ln 1x a x+=只有1个解，令()ln 1x p x x +=，则()2ln xp x x-='，()10p '=，当01x <<时，()()0,p x p x '＞单调递增，当1x >时，()()0,p x p x '<单调递减，并且()0p x >，所以()()max 11p x p ==，()2ep -<，函数()p x 的大致图像如下图：0,1a a >∴= ，原不等式为：()4ln 313x x --<-，即()4ln 3310x x --+-<，令()()4ln 331x k x x -=-+-，显然()k x 在3x >时是增函数，又()40k =，∴()0k x <的解集是34x <<.故选：C.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9.已知事件A ，B 满足()0.5P A =，()0.2P B =，则（）A.若B A ⊆，则()0.5P AB =B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B +=C.若A 与B 相互独立，则()0.9P AB = D.若()|0.2P B A =，则A 与B 相互独立【正确答案】BD【分析】对于A ，由题意可得()()P AB P B =，从而即可判断；对于B ，由互斥事件的概率计算公式计算即可；对于C ，先求得()0.8P B =，再根据独立事件的计算公式计算即可；对于D ，判断()()()P AB P A P B =⋅是否成立即可.【详解】解：对于A ，因为()0.5P A =，()0.2P B =，B A ⊆，所以()()0.2P AB P B ==，故错误；对于B ，因为A 与B 互斥，所以()()()0.50.20.7P A B P A P B +=+=+=，故正确；对于C ，因为()0.2P B =，所以()10.20.8P B =-=，所以()0.50.80.4P AB =⨯=，故错误；对于D ，因为()|0.2P B A =，即()0.2()P AB P A =，所以()0.2()0.1P AB P A =⨯=，又因为()()0.50.20.1P A P B ⨯=⨯=，所以()()()P AB P A P B =⋅，所以A 与B 相互独立，故正确.故选：BD10.设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（）A.若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B.若数列{}n S 有最小项，则0d >C.若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D.若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【正确答案】BD【分析】取特殊数列判断A ；由等差数列前n 项和的函数特性判断B ；取特殊数列结合数列的单调性判断C ；讨论数列{}n S 是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误；对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意*N n ∈，均有0n S >.故若对任意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确．故选：BD11.已知圆22:4O x y +=，下列说法正确有（）A.对于R m ∀∈，直线()()211740+++--=m x m y m 与圆O 都有两个公共点B.圆O 与动圆22:()()4C x k y -+-=有四条公切线的充要条件是2k >C.过直线40x y +-=上任意一点P 作圆O 的两条切线,PA PB （,A B 为切点），则四边形PAOB 的面积的最小值为4D.圆O 上存在三点到直线20x y +-=距离均为1【正确答案】BC【分析】对于选项A ，转化为判断直线恒过的定点与圆的位置关系即可；对于选项B ，转化为两圆外离，运用几何法求解即可；对于选项C ，由2PAOB OAP S S == ，转化为求||OP 最小值即可；对于选项D ，设圆心到直线的距离为d ，比较r d -与1的关系即可.【详解】对于选项A ，因为(21)(1)740m x m y m +++--=，即：(27)40m x y x y +-++-=，所以2703401x y x x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，所以直线恒过定点(3,1)，又因为22314+>，所以定点(3,1)在圆O 外，所以直线(21)(1)740m x m y m +++--=与圆O 可能相交、相切、相离，即交点个数可能为0个、1个、2个.故选项A 错误；对于选项B ，因为圆O 与动圆C 有4条公切线，所以圆O 与圆C 相离，又因为圆O 的圆心(0,0)O ，半径12r =，圆C 的圆心()C k ，半径22r =，所以12||OC r r >+4>，解得.||2k >故选项B 正确；对于选项C ，1122||||2||22PAOB OAP S S OA PA OA ==⨯⨯⨯=⨯⨯=△，又因为O 到P 的距离的最小值为O 到直线40x y +-=的距离，即：min ||OP ==所以四边形PAOB 的面积的最小值为4=.故选项C 正确；对于选项D ，因为圆O 的圆心(0,0)O ，半径12r =，则圆心O 到直线20x y +-=的距离为d ==所以121r d -=<，所以圆O 上存在两点到直线20x y +-=的距离为1.故选项D 错误.故选：BC.12.如图，点M 是棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A 上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）A.不存在点M 满足CM ⊥平面1C BDB.存在无数个点M 满足1CM AD ⊥C.当点M 满足1113A M A D =uuuu r uuu r 时，平面1BD M 截正方体所得截面的面积为2D.满足12MD MD =的点M 的轨迹长度是2π9【正确答案】BCD【分析】对于A ：根据线面垂直关系可得11AC C BD ⊥平面，分析判断；对于B ：根据线面垂直关系可得111AD A DCB ⊥平面，分析判断；对于C ：根据平行线的性质以及利用空间向量分析运算求截面，进而可求截面面积；对于D ：利用空间向量求点M 的轨迹，进而求点M 的轨迹长度.【详解】对于选项A ：连接11,AC AC ，因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，∵1AA ABCD ⊥平面，且BD ⊂平面ABCD ，所以1A A BD ⊥，1AC A A A ⋂=，1,AC A A ⊂平面1A AC ，所以BD ⊥平面11A ACC ，且1AC ⊂平面11A ACC ，可得1BD AC ⊥，同理可证11BC AC ^，1BD BC B = ，1,BD BC ⊂平面1C BD ，所以11AC C BD ⊥平面，又点M 是面11ADD A 上的一个动点（包含边界），所以当M 与A 1重合时，1,CM C BD ⊥平面故A 错误；对于选项B ：连接11,A D B C ，11CD ADD A ⊥侧面，111AD ADD A ⊂侧面，则1CD AD ⊥，又因为11AD A D ⊥，1A D DC D = ，111,A D DC A DCB ⊂平面，所以111AD A DCB ⊥平面，可知当M 在线段1A D 上时，有1,CM AD ⊥故存在无数个点满足1CM AD ⊥，故B 正确；对于选项C ：延长1D M 交1D E 于点E ，∵1113A M A D =uuuu r uuu r，则M 为线段1A D 靠近点1A 的三等分点，且1A A 1D D ，则11112A E A M D D DM ==，则E 为线段1A A 的中点，如图，以D 点为原点建立空间直角坐标系，则()()110,0,1,1,1,0,1,0,2D B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得()111,1,1,0,1,2BD BE ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭uuu r uur ，设平面1BD M 的法向量为(),,n x y z = ，则1012n BD x y z n BE y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z =，则1,1y x ==，即()1,1,2n =，设平面11BD M CC F =I ，点()0,1,F c ，则()1,0,BF c =-uu u r，则120n BF c ⋅=-+=r uu u r，解得12c =，则10,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()1,1,0EF =- ，可得()()()11111100BD EF ⋅=-⨯-+-⨯+⨯=uuu r uu u r ，即1BD EF ⊥uuu r uu u r ，且1BD EF ===uuu r uu u r故截面1BED F面积111222S BD EF =⨯⨯==uuu r uu u r ，故C 正确；对于选项D ：因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为l ，所以设()()()1,0,,0,0,0,0,0,1,M x z D D 所以(),0,MD x z =-- ，()1,0,1MD x z =--，因为12MD MD =)01,01,x z =≤≤≤≤化简得：2244220,13933x z x z ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点M 的轨迹是一段以40,0,3N ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为23的圆弧，设圆弧与111,A D DD 分别交于点,P Q ，取0x =，则23z =，即23DQ =；取1z =，则33x =，即1D P =；则111,33PD D N ==，则111tan PD PND D N ∠==且1π0,2PND ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，即1π3PND ∠=，∴轨迹长度是2π2π339⨯=，故D 正确．故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设平面向量a ，b 的夹角为60︒，且2a b == ，则a 在b上的投影向量是______.【正确答案】12b【分析】根据题意，求得cos 601a = ，进而求得a 在b 上的投影向量，得到答案.【详解】由题意知，平面向量a ，b的夹角为60︒，且2a b == ，则cos 601a =，所以则a 在b 上的投影向量为112b b b ⨯=.故12b 14.若直线l ：y kx b =+为曲线()e xf x =与曲线()2e ln g x x =⋅的公切线（其中e 为自然对数的底数，e 2.71828≈⋯），则实数b=___________.【正确答案】0或2e -##2e -或0【分析】设切点坐标，求导，根据切线方程的求解，分别得到()f x ，()g x 的切线方程，由两条切线方程相同可联立方程即可求出切点横坐标，进而可求解.【详解】根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求b .设l 与()f x 的切点为()11,x y ，则由()e x f x '=，有()111:e 1e x xl y x x =+-.同理，设l 与()g x 的切点为()22,x y ，由()2e g x x'=，有()2222e :e ln 1l y x x x =+-.故()()1122212e e 1e e ln 1,x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，①②由①式两边同时取对数得：12212ln ln 1=1x x x x =-⇒--③，将③代入②中可得：()()121e 01e x x --=，进而解得121,e x x =⎧⎨=⎩或122,1x x =⎧⎨=⎩.则:e l y x =或22e e .y x =-故0b =或2e -.故0或2e -15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若3PD =，π3APD BAD ∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球的体积为______.【正确答案】36π【分析】根据棱锥的性质，证明PA 的中点就是三棱锥P AOD -的外接球球心，得出半径后可求体积．【详解】取PA 中点M ，DA 中点E ，连接,ME EO ，则//ME PD ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以ME ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 是菱形，则AO OD ⊥，所以E 是AOD △的外心，又PD ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥，所以M 到,,,P A D O 四点距离相等，即为三棱锥P AOD -的外接球球心．又3PD =，π3APD ∠=，所以36πcos 3PA ==，所以3MA MP ==，所以三棱锥P AOD -的外接球体积为34π336π3V =⨯=．故36π．16.已知点P 是椭圆22:14x C y +=上一点，椭圆C 在点P 处的切线l 与圆22:4O x y +=交于A ，B 两点，当三角形AOB 的面积取最大值时，切线l 的斜率等于_______【正确答案】22±【分析】根据面积公式分析可得当AOB 是等腰三角形，面积最大，此时点O 到切线l 的距离等于d =.解法一：设切线l 的方程，根据点到直线的距离和直线与椭圆相切分别可得()22222141,m k m k =+=+，求解即可；解法二：设点P 的坐标为00(,)x y ，切线l 的方程为0014x xy y +=，结合点到直线的距离公式运算求解.【详解】∵圆22:4O x y +=的圆心()0,0O ，半径2r =，设()0,πAOB θ∈∠=，则Δ11sin 22sin 2sin 222AOB S OA OB θθθ=⋅=⨯⨯⨯=≤，当且仅当sin 1θ=，即π2θ=时，等号成立，当π2θ=时，AOB 是等腰三角形，此时点O 到切线l的距离等于d =解法一：设切线l 的方程为y kx m =+，即0kx y m -+=，=，整理得：()2221m k =+①联立方程2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222(41)8440k x kmx m +++-=，由相切得：()()2222Δ64164110,k m k m =-+-=整理得：2241m k =+②由①②得：()222141=k k ++，解得2k =±.解法二：设点P 的坐标为00(,)x y ，切线l 的方程为0014x x y y +=，即00104x xy y +-==，整理得22001612x y =+，∵点P 在椭圆上，则220014x y +=，则22002200141162x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2020831,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以切线l的斜率00242x k y =-==±.故答案为.2±四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6a c +=，()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+.（1）求边b 的大小；（2）求ABC 的面积的最大值.【正确答案】（1）2b =；（2）.【分析】（1）先利用三角恒等变换化简得3sin sin sin B A C =+，再利用正弦定理化简即得解；（2）先利用基本不等式求出9ac ≤，再利用余弦定理求出cos B 得到sin B ，即得解.【小问1详解】()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+ ，则3sin sin sin cos cos sin sin sin()B A A B A B A A B =++=++，A +B +C =π，∴3sin sin sin B A C =+，∴由正弦定理可得36b a c =+=，∴2b =.【小问2详解】6a c +=，6a c ∴=+≥9ac ≤（当且仅当3a c ==时等号成立），2222()2416cos 22a c b a c ac acB ac ac ac+-+---∴===，可得sin B ===11sin 22S ac B ac ∴==⨯=≤=（当且仅当3a c ==时等号成立）.∴ABC的面积的最大值为18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12n n S n S n++=，11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 为等比数列，数列{}n c 满足112nn n n n a c a a b +++=⋅⋅，若22b =，10123452b b b b b =，求证.121n c c c ++⋅⋅⋅+<【正确答案】（1）n a n =，n *∈N （2）证明见解析.【分析】（1）先由累乘法求得n S ，再根据n a 与n S 的关系即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）先由条件求得数列{}n b 的通项公式，即可得到n c ，然后根据裂项相消法即可证明.【小问1详解】因为12n n S n S n ++=，则3124123213451,,,,,12321n n n n S S S S S n n S S S S n S n ---+=====-- ，累乘可得，()113451123212n n n S n n S n n ++=⨯⨯⨯⨯⨯=-- ，2n ≥所以()1,22n n n S n +=≥，又111S a ==符合式子，所以()1,2n n n S n *+=∈N ，当2n ≥时，()()2211122n n n n n S--+--==，所以两式相减可得1n n n a S S n -=-=，2n ≥，又11a =符合上式，所以n a n =，n *∈N 【小问2详解】因为数列{}n b 为等比数列，22b =，且10123452b b b b b =，设数列{}n b 的公比为q ，则()51022b q =，即()51022q =，所以2q =，则12n n b -=所以()()121112212n n n nn c n n n n -+==-+⋅⋅+⋅，即()1211111111144121232212n n n c c c n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()11112nn =-<+⋅19.在直角梯形11AA B B 中，11∥A B AB ，1AA AB ⊥，11126AB AA A B ===，直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周得到如下图的圆台1A A ，已知点,P Q 分别在线段1,CC BC 上，二面角111B AA C --的大小为θ．（1）若120θ=，123CP CC =，⊥AQ AB ，证明：PQ ∥平面11AA B B ；（2）若90θ= ，点P 为1CC 上的动点，点Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AAC C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C --的余弦值．【正确答案】（1）证明见详解（2，28989【分析】（1）构造面面平行来推线面平行，作QE ∥AB 交AC 于E ，连接PE 即证面PEQ ∥面AB 1即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求出PQ 与平面11AAC C 所成最大角时的P 点位置，求其正切，再求二面角即可.【小问1详解】如图所示，过Q 作QE ∥AB 交AC 于E ，连接PE ，过C 1作C 1F ∥A 1A ，交AC 于F ，∵120θ= ，结合圆台的特征知30BAC ∠= ，又∵⊥AQ AB，解三角形得12AQ QC BQ ====，故12CQ CE BQ AE ==，即2CE =，∵123CP CC =，由题意易知四边形11AC CA 为直角梯形，∴113AF AC FC ===，123EC PC FC CC ==，故11PE C F A A ∥∥，∵QE ⊄面11A B BA ，AB ⊂面11A B BA ，∴QE ∥面11A B BA ，同理PE ∥面11A B BA ，又QE PE E QE PE =⊂ ，、面PQE ，∴面PEQ ∥面11A B BA ，PQ ⊂面PEQ ，∴PQ ∥平面11AA B B ，得证；【小问2详解】如图，结合圆台的特征，当90θ= 时，此时1A A AB AC 、、两两垂直，故以A 为中心，以AB 、AC 、AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，则()()()()16,0,0,0,6,0,0,3,6,3,3,0B C C Q ，设[]1,0,1CP CC λλ=∈ ，则()()00,36,600,3,6CP λλλ=---=-，()()()3,3,00,3,63,33,6PQ CQ CP λλλλ=-=---=--，易知x 轴⊥面11A ACC ，不妨取()1,0,0m =作为面11A ACC 的一个法向量，设PQ 与平面11AAC C 所成角为π,0,2αα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则sin cos ,3PQ m α===，即当15λ=时，sin α取得最大值，此时α为最大角，tan 2α==，设此时面APQ 的一个法向量为(),,n x y z =，易得()2763,3,0,0,,55AQ AP ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，则330276055n AP x y n AQ y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令9z =，则2,2y x =-=，即()2,2,9n =-，由图可知该二面角的平面角为锐角，设其为φ，故289cos cos ,89m n φ===，故PQ 与平面11AAC C，此时二面角Q AP C --的余弦值为28989.20.某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔5人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.（1）若1班代表队从甲箱中抽取了2个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着2班代表队答题，2班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知2班代表队从乙箱中取出的是选择题，求1班代表队从甲箱中取出的是2个选择题的概率；（2）经过预赛，成绩最好的6班代表队和18班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛6班代表队获胜的概率为35，18班代表队胜的概率为25，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为25，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量X ，求随机变量X 的数学期望()E X .【正确答案】（1）2049（2）()537125E X =.【分析】（1）根据古典概型概率公式、全概率公式可得2班代表队从乙箱中取出1个选择题的概率，然后根据条件概率公式计算即可；（2）由题意知：X 的可能取值为3，4，5，分别计算对应的概率，利用数学期望的公式计算()E X .【小问1详解】设事件A 为“2班代表队从乙箱中取出1个选择题”，事件1B 为“1班代表队从甲箱中取出2个都是选择题”，事件2B 为“1班代表队从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件3B 为“I 班代表队从甲箱中取出2个题都是填空题”则1B 、2B 、3B 彼此互斥，且123=B B B Ω ，因为25128C 5()C 14P B ==，1153822C C 15()C 28P B ==，22338C 3()C 28P B ==所以16(|)9P A B =，25(|)9P A B =，34(|)9P A B =，()()()()()()()1122335615534714928928912P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=⨯+⨯+⨯=，所求概率即是A 发生的条件下1B 发生的概率：111156()()(|)20149(|)7()()4912P B A P B P A B P B A P A P A ⨯====.【小问2详解】由题意知：X 的可能取值为3、4、5，两班代表队打完三局恰好结束比赛的基本事件有{三局6班胜}，{三局18班胜}，而第一局比赛6班获胜的概率为35，则第一局比赛18班获胜的概率为25，又胜者在接下来一局获胜的概率为25，所以3222221284(3)55555512512525P X ==⨯⨯+⨯⨯=+=，当4X =时，前三局{两局6班胜，一局18班胜，最后6班胜}，{两局18班胜，一局6班胜，最后18班胜}，最后6班胜概率为1232233323233132++555555555555625P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，最后18班胜概率为2332223322233108++555555555555625P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，所以13210848(4)625625125P X ==+=，则有57(5)1(4)(3)=125P X P X P X ==-=-=，综上，44857537()34525125125125E X =⨯+⨯+⨯=.21.已知双曲线C .2213x y -=（1）若点P 在曲线C 上，点A ，B 分别在双曲线C 的两渐近线1l 、2l 上，且点A 在第一象限，点B 在第四象限，若AP PB λ=，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB 面积的最大值；（2）设双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过左焦点1F 作直线l 交双曲线的左支于G 、Q 两点，求2GQF △周长的取值范围.【正确答案】（1）3（2）,3⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【分析】（1）易得两渐近线12:,:33l y x l y x ==-，设()()1122100,,,,0,,33A x x B x x x P x y ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据AP PB λ= ，将P 点的坐标用12,,x x λ表示，再根据点P 在曲线C 上，可得12,,x x λ的关系，再根据1sin 2AOB S OA OB AOB =∠△化简整理即可得解；（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，设()()3344,,,Q x y G x y ，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，根据线l 交双曲线的左支于G 、Q 两点求出k 的范围，再根据弦长公式求出QG ，再根据2GQF △周长为2242QF GF QG a QG ++=+，从而可得出结论.【小问1详解】双曲线C ：2213x y -=的两渐近线1233:,:33l y x l y x ==-，设()()1122100,,,,0,,33A x x B x x x P x y ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由AP PB λ=，得01012020,,33x x y x x x x y λ⎛⎫⎛⎫--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0120012033x x x x y x x y λλ⎧-=-⎪⎛⎫⎨-=-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，所以120120131x x x x x y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⋅⎪+⎩，因为点P 在曲线C 上，所以212212311331x x x x λλλλ+⎛⎫ ⎪⎛⎫-+⎝⎭-⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭，整理得()212314x x λλ+=，12,OA x OB x ====，因为直线1233,33l l k k ==-，所以直线1l 的倾斜角为π6，所以π3AOB ∠=，()212111sin 22344AOB S OA OB AOB x x λλλλ+⎫=∠==⋅=++⎪⎝⎭，令()11,,23f x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则()()()221111x x f x x x +-'=-=，当113x ≤<时，()0f x '<，当12x <≤时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，又()1105,2332f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()max 11033f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以当13λ=时，()max 433AOB S = ；【小问2详解】()12,0F -，设()()3344,,,Q x y G x y ，若直线l 的斜率不存在时，则:2l x =-，在2213x y -=中，令2x =-，得33y =±，则3QG =，2GQF △周长为22163423QF GF QG a QG ++=+=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，联立()22213y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，消y 得()222213121230k x k x k ----=，因为直线l 交双曲线的左支于G 、Q 两点，所以()()()2222223422342130Δ12413123012013123013k k k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪⎪=----->⎪⎪⎨+=<⎪-⎪--⎪=>⎪-⎩，得213k >，2GQF △周长为2242QF GF QG a QG++=+==+22113k k+=+-22131k k +=+-()2214313331kk-+=-213331k=+⋅-，因为213k>，所以2310k->，所以2133313k+⋅>-，所以2GQF△周长的范围为3⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭，综上所述，2GQF△周长的取值范围为163,3⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦.方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：1、几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；2、函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.22.已知函数()()lnf x x n x=+.（1）若1n=，求函数()()()()12g x f x k x k=-->的零点个数，并说明理由；（2）当0n=时，若方程()f x b=有两个实根12,x x，且12x x<，求证.213e2e123b x x b-+<-<++【正确答案】（1）3，理由见解析（2）证明见解析【分析】（1）先求导数，构造函数2()ln1kh x x kx=+-+，利用导数研究单调性和图象的大致走势，结合零点存在定理和单调性可得答案；（2）先找出曲线()y f x=的两条切线，利用切线与y b=的交点证明213e232x bx-<++-，再利用割线与y b=的交点证明21e1x x b->+.【小问1详解】当1n=时，()()1lnf x x x=+，()()()()21ln 11ln 1k g x x x k x x x k x ⎛⎫=+--=++- ⎪+⎝⎭，显然1x =是()g x 的一个零点，令2()ln 1k h x x k x =+-+，则()()()22222112()11x k x k h x x x x x +-+'=-=++()0x >；设()()2221x x k x ϕ=+-+()0x >，因为2k >，其对应方程的判别式()420k k ∆=->，所以()0x ϕ=有两个根，设为12,x x ，则1212220,1x x k x x +=->=；不妨设1201x x <<<，令()0h x '>，则()()120,,x x x ∞∈⋃+；令()0h x '<，则()12,x x x ∈；所以()h x 在区间()()120,,,x x +∞单调递增，在区间()12,x x 单调递减，又1201x x <<<，所以12()(1)0()h x h h x >=>；又当x 无限趋近于正无穷大时，()h x 也无限趋近于正无穷大；当x 无限趋近于0时，()h x 无限趋近于负无穷大；根据零点存在定理和函数单调性、连续性可知()h x 在()()120,,,x x ∞+各有一个零点，所以()g x 总共有3个零点.【小问2详解】证明：先证右半部分不等式：213e 232x b x -<++-；因为()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，所以333(1)0,(e )3e ,(1)1,(e )2f f f f ---''==-==-；可求曲线()y f x =在3x e -=和1x =处的切线分别为31:2e l y x -=--和2:1l y x =-；设直线y b =与直线1l ，函数()f x 的图象和直线2l 交点的横坐标分别为1122,,,,x x x x ''则312e ,1,2b x x b -+''=-=+则332121e e 23(1)(22b b x x x x b --+++''-<-=+--=；因此213e 232x b x -<++-.再证左半部分不等式.21e 1x x b ->+设取曲线上两点11(,(1,0)e e A B -，用割线:OA y x =-，1:(1)e 1AB y x =--来限制21x x -，设直线y b =与直线1(1)e 1,y x y x =---=的交点的横坐标分别为34,x x ，则1342x x x x <<<，且3x b =-，4(e 1)1,x b =-+所以2143(e 1)1()e 1x x x x b b b ->-=-+--=+.综上可得213e 2e 123b x x b -+<-<++成立.方法点睛：导数证明不等式的方法常有：（1）最值法：移项构造函数，通过求解最值来证明；（2）放缩法：通过构造切线或割线，利用切线放缩或者割线放缩来证明.。
四川省成都市石室阳安学校2023-2024学年高三下学期4月月考数学(理)试题
D． b < a < c
二、填空题 13．一组样本数据12,15,12,13,18,10,16,19,15,12 的众数为 ，中位数为 ．
14．已知定义域为[1- 3a, a +1] 的奇函数 f ( x) = x3 + bx2 + x ，则 f (3x + b) + f ( x + a) ³ 0
的解集为_______．
答案第21 页，共22 页
【详解】对于
A，由题意可知
P
(
AÈ
B)
=
P
(
A)
+
P
(B)
-
P
(
AB )
=
1 2
+
2 3
-
P
(
AB )
=
5 6
，
所以
P
(
AB
)
=
1 3
=
P
(
A)
×
P
(
B
)
，所以事件
A
与
B
相互独立，即
A
正确；
对于 B，由独立性检验的基本思想可知其正确；
对于 C，由题意可知 D (h ) = 4D (x ) ，故 C 错误；
四川省成都市石室阳安学校 2023-2024 学年高三下学期 4
月月考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在复平面内，复数
z1
，
z2
对应的向量分别是
uuur OA
，
uuur OB
2021年高三第四次月考数学(理)试题
2021年高三第四次月考数学（理）试题参考公式：线性回归方程中系数计算公式:，其中表示样本均值．第Ⅰ卷一、选择题（本题共8小题；每小题5分，共40分）1．下列命题正确的是（）A．B．C．是的充分不必要条件 D．若,则2．复数z=（a²-1）+（a+1）i，（a∈R）为纯虚数，则的取值是（）A．3 B．-2 C．-1 D．13．在等腰中，，，则( ）A．（-3，-1）B．（-3,1）C．D．（3,1）4．已知在等比数列中，，则等比数列的公比q的值为（）A．B．C．2 D．85．为调查中山市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间x（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10000名中学生参加了此项活动，下图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是（）A．3800 B．6200 C．0.62D．0.386．已知直线,平面,且,给出下列命题:①若∥，则m⊥；②若⊥，则m∥;③若m⊥，则∥；④若m∥，则⊥其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．若，则的值为 （ ） A ． B ． C ． D ．8．已知是定义在上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件： ①的值域为M ，且M ⊆；②对任意不相等的，∈， 都有|－|<|－|．那么，关于的方程=在区间上根的情况是 （ ）A ．没有实数根B ．有且仅有一个实数根C ．恰有两个不等的实数根D ．实数根的个数无法确定第Ⅱ卷二、填空题：（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9~13题）9．若实数x ，y 满足的最小值为3，则实数b 的值为10．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种(用数字作答). 11．抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为 12．已知函数，对定义域内任意，满足，则正整数的取值个数是13．某商店经营一批进价为每件4元的商品，在市场调查时得到，此商品的销售单价x 与日销售量y 之间的一组数据满足：，，，，则当销售单价x 定为（取整数） 元时，日利润最大．（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________． 15．（几何证明选讲选做题）如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16．（本小题满分12分）设，且满足 （1）求的值．（2）求的值．17（本小题满分12分）某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为，(＞)，且不同种产品是否受欢迎相互独立。
重庆市第一中学2019届高三下学期4月月考(理)数学试题(解析版)
2019年重庆一中高2019级高三下期月考理科学数学一、选择题1.设集合2{log 1}A x x =≤，集合2{|20}B x x x =+-<，则A B U 为（ ）A. (0,1)B. (2,2]-C. (,2]-∞D. (2,1)- 【答案】B【分析】先通过解不等式得出集合,A B ，然后再求A B U .【详解】由2log 1x ≤得，02x <≤，即(]0,2A =.由220x x +-<得，21x -<<，即()2,1B =-.所以(]2,2A B =-U故选：B【点睛】本题考查解对数不等式和二次不等式以及集合的并集运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()2201913z i i +=+，则||z =（ ）A. B. C. 14 D. 【答案】A【分析】由2019450433i i i i ⨯+==-=先求出复数z ，然后再求||z .【详解】由2019450433i i i i ⨯+==-=.所以由()2201913z i i +=+得：()213z i i -=+即()23z i i -=+，故：33122i i z i +-==-所以||2z == 故选：A【点睛】本题考查复数的运算，复数的模长的计算，属于基础题.3.设函数31log (1),1()1,12x x x f x x -->⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩…，则(1)f =（ ）A. 0B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【分析】根据函数的表达式直接将(1)f 的值代出可求出答案. 【详解】由函数的表达式有111(1)12f -⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于基础题.4.已知第一象限内抛物线24y x =上的一点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12，则点Q 的坐标为（ ）A. (1,2)-B. (1,2)C.D. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】设()(),0,0Q x y x y >>，根据抛物线的定义以及题目条件可得12x x +=，从而求出Q 点的坐标.【详解】抛物线24y x =的准线方程为：1x =-.设()(),0,0Q x y x y >>，则点Q 到y 轴的距离为x ，点Q 到准线的距离为1x +.根据抛物线的定义有：点Q 到焦点的距离为1x +.又点Q 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的12. 所以12x x +=，得1x = ，则2y =即(1,2)Q故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义的运用，属于基础题.5.我国古代数学著作《孙子算经》中记有如下问题：“今有五等诸侯，其分橘子六十颗，人別加三颗”，问：“五人各得几何？”其意思为：“现在有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.”根据这个问题，下列说法错误的是（ ）A. 得到橘子最多的诸侯比最少的多12个B. 得到橘子的个数排名为正数第3和倒数第3的是同一个人C. 得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12D. 所得橘子个数为倒数前3的诸侯所得的橘子总数为24。
渭南市重点中学2024年高三(下)4月月考数学试题试卷
渭南市重点中学2024年高三（下）4月月考数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知1111143579π≈-+-+-，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A ．121i n =-- B ．12i i =-+ C ．(1)21ni n -=+D ．(1)2ni i -=+2．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．323．已知,a b 为非零向量，“22a b b a =”为“a a b b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．6．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ）A ．98B ．78C ．12D ．62567．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD ⋅+=（ ）A ．52B ．4C ．2D ．13+8．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数4()()12x F x f x x+=+-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A ．9B ．10C ．18D ．209．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ） A 3B ．23C ．12D 610．已知平面向量a b ，满足21a b a ＝，＝,与b 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥+－，则实数λ的值为（ ） A ．7-B ．3-C ．2D ．311．已知向量a ，b 夹角为30，()1,2a =，2b = ，则2a b -=( ) A ．2B ．4C ．3D ．2712．已知y ax b =+与函数()2ln 5f x x =+和2()4g x x =+都相切，则不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的面积为（ ）A ．2πB ．3πC ．6πD ．12π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
西藏自治区林芝市第一中学2024届高三下学期第一次月考(4月)数学试题试卷
西藏自治区林芝市第一中学2024届高三下学期第一次月考（4月）数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数2sin cos ()20x x xf x x =+在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．2．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值3．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．4．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( )A 15- B 51+ C 51- D 51+51- 5．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．26．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．21+B ．12C ．21D ．21-8．已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．39．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ）A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-10．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（ ）A ．221155x y -=B ．221515x y -=C ．221312y x -=D ．221217y x -=11．已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．{}2x x >-B ．{}22x x -<<C ．{}22x x -≤<D ．{}2x x <12．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x <<C ．{|2}x x >D ．{}1x x >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南京市宁海中学2023届高三下学期4月月考数学试题
值时， DNA 的数量 X n 与扩增次数 n 满足 lg Xn n lg1 p lg X0 ，其中 p 为扩增效率，
X 0 为 DNA 的初始数量.已知某被测标本 DNA 扩增10 次后，数量变为原来的100 倍，那么
该样本的扩增效率 p 约为（ ）
(参考数据：100.2 1.585 ，100.2 0.631)
cos nx Pn (cos x) ，这些多项式 Pn (t) 称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．则 （）
A． P3(t) 4t3 3t C． a1 a2 a2 an 2
B．当 n 3 时， a0 0 D． sin18 5 1
4
三、填空题
13．已知点
试卷第 2 页，共 7 页
给出下列说法，其中正确的是（ ） A．从 2016 年至 2020 年国内生产总值逐年递增； B．从 2016 年至 2020 年国内生产总值增长速度逐年递减； C．从 2016 年至 2020 年第三产业增加值占国内生产总值比重逐年递增； D．从 2016 年至 2020 年第二产业增加值占国内生产总值比重逐年递减．
BN 分别交 e C ：x2 y 12 1于异于点 B 的点 P ，Q ，设直线 PQ 的斜率为 k2 ，直线 BM ，
BN 的斜率分别为 k3, k4 ． ①求证： k3 k4 为定值； ②求证：直线 PQ 过定点. 22．已知函数 f (x) ln(2x 1) m(2x 1) 1 . （1）若 y f (x) 在 x 2 处的切线与直线 3x y 2017 0垂直，求 y f (x) 的极值； （2）若函数 y f (x) 的图象恒在直线 y 1的下方. ①求实数 m 的取值范围； ②求证:对任意正整数 n 1，都有 ln[(2n)!] 4n(n 1) .
广西桂林市临桂区第三中学2024届高三下学期4月月考数学试卷
广西桂林市临桂区第三中学2024届高三下学期4月月考数学试卷一、单选题1．一组数据2，3，3，4，4，4，5，5，6，6的中位数是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．32．如果椭圆221(8)89x y k k +=>-+的离心率为12e =，则k =（ ）A ．4B ．4或54- C ．45- D ．4或45-3．在等差数列{}n a 中，91110a a +=，则数列{}n a 的前19项之和为（ ） A ．98B ．95C ．93D ．904．设b 、c 表示两条直线，α、β表示两个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//b α，c α⊂，则//b c B ．若b α⊂，//b c ，则c α⊂ C ．若//c α，αβ⊥，则c β⊥D ．若//c α，c β⊥，则αβ⊥5．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ） A ．24B ．48C ．60D ．726．若动点P 在221y x =+上移动，则点P 与点()0,1Q -连线的中点的轨迹方程是（ ） A ．24y x = B ．22y x = C ．241y x =+ D ．221y x =-7．若2cos sin 1cos 2sin αααα+=--，则tan2α=（ ）A ．43B ．43-C ．34-D ．348．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，圆222:O x y a +=与E的一条渐近线的一个交点为M .若212MF F =，则E 的离心率为（ ）AB C D二、多选题9．关于函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,下列选项错误的有（ ）A ．函数()f x 最小正周期为πB ．表达式可写成5πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 的图像关于直线11π12x =-对称10．若12,z z 为复数，则（ ）A ．1212z z z z +=+B ．1212z z z z =C ．11nn z z =D ．1111z z z z =11．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足：()()()1f x y f x f y -=-+．且()10f =，当0x >时，()1f x <．则下列选项正确的是（ ） A ．()01f = B ．()22f =-C ．()1f x -为奇函数D ．()f x 为R 上的减函数三、填空题12．已知集合{}221,,0A a a =-，{}1,5,9B a a =--，若满足{}9A B ⋂=，则实数a 的值为．13．已知一个球的表面上有四点A 、B 、C 、D ，BD =60BAD ∠=o ，90BCD ∠=o ，平面ABD ⊥平面BCD ，则该球的表面积为. 14．已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128a b+的最小值为.四、解答题15．已知函数()2ln (,)f x ax b x a b =+∈R 的图象在点()1,m 处的切线方程为670x y +-=．(1)求m 的值和函数()f x 的解析式； (2)求函数()f x 的单调区间和极值．16．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答，试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)设所取的2道题乙类题道数为X ，求X 的分布列和数学期望.17．如图，已知四棱锥P-ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC=AD=2DC=2CB,E 为PD 的中点. （I ）证明：CE ∥平面PAB ；（II ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值18．已知抛物线C ：24y x =上有一动点()00,P x y ，00x >，过点P 作抛物线C 的切线l 交y 轴于点Q ．(1)判断线段PQ 的垂直平分线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由； (2)过点P 作l 的垂线交抛物线C 于另一点M ，若切线l 的斜率为k ，设PQM V 的面积为S ，求Sk的最小值． 19．数列n A ： ()12,,,2n a a a n L ≥满足： ()11,2,,k a k n <=L ．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k N =∈， |k n ≤k j S S >， 0,1,,1}j k L =-．（Ⅰ）对数列5A ： 0.3-， 0.7， 0.1-， 0.9， 0.1，求集合5E ； （Ⅱ）若集合{}12,,,(1n m E k k k m =>L ， 12)m k k k L <<<，证明：()111,2,,1i i k k S S i m +-<=-L ；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．。
2023北京四中高三下学期4月月考数学试卷及答案
2023北京四中高三4月月考数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．（4分）已知集合A＝{x|1＜2x＜4}，B＝{x∈Z|x≥1}，则A∩B＝（）A．（1，2] B．[1，2] C．{1，2} D．{1}2．（4分）复数的模|z|＝（）A．B．2 C．D．13．（4分）设l，m是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l∥α，l∥β，则α∥βC．若l⊥α，m⊥α，则l∥m D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β4．（4分）设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0D．若0＜a 1＜a2，则6．（4分）已知2023a＝2035，2035b＝2023，c＝log20502023，则（）A．a c＜b c B．c a＜c bC．log a c＞log b c D．log c a＞log c b7．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上的动点．若A（﹣a，0），B（a，0），a≠0，则的最大值为（）A．16 B．12 C．8 D．68．（4分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0），在区间[a，b]上是增函数，且f（a）＝﹣A，f（b）＝A，则函数g（x）＝A cos（ωx+φ）在[a，b]上（）A．单调递增B．单调递减C．最大值为A D．最小值为﹣A9．（4分）明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术﹣﹣“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则tan2α＝（）A．B．C．D．10．（4分）给定函数f（x），若数列{x n}满足，则称数列{x n}为函数f（x）的牛顿数列．已知{x n}为f（x）＝x2﹣x﹣2的牛顿数列，，且a1＝1，x n＞2（n∈N+），数列{a n}的前n项和为S n．则S2023＝（）A．22023﹣1 B．22024﹣1C．D．二、填空题共5小题，每小题525分.11．（5分）已知抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣1，则p＝．12．（5分）（1+2x）5的展开式中x3项的系数为．13．（5分）已知双曲线的渐近线与圆x2+y2﹣4y+3＝0相切，则a＝．14．（5分）能够说明“若a＞b，则＜”是假命题的一组非零实数a，b的值依次为、．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是空间中任意一点．给出下列四个结论：①若点P在线段AD1上运动，则始终有C1P⊥CB1；②若点P在线段AA1上运动，则过P，B，D1三点的正方体截面面积的最小值为；③若点P在线段AD1上运动，三棱锥D﹣BPC1体积为定值；④若点P在线段A1B上运动，则AP+PD1的最小值为．其中所有正确结论的序号有．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．（1）求角B的大小；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：a＝4，b＝3；条件②：c﹣a＝1，；条件③：c＝3，．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．（13分）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．18．（14分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC中点，A1D⊥平面ABC，平面BB1D与棱A1C1交于点E，AA1＝AC＝2，AB＝BC．（1）求证：BB1∥DE；（2）若B1C与平面A1ABB1所成角的正弦值为，求三棱锥C﹣ABB1的体积．19．（15分）已知F1，F2分别为椭圆E：的左、右焦点，点M（0，﹣1）为椭圆的一个顶点，△F1MF2是顶角为120°的等腰三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）过点M分别作直线MA，MB交椭圆E于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2＝4，求证：直线AB过定点．20．（15分）已知函数f（x）＝sin x﹣（x+a）cos x，函数g（x）＝，其中a∈R．（1）讨论函数f（x）在（0，π）上的单调性；（2）当a≥0时，证明：曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）有且只有一个公共点．21．（15分）已知集合M＝{1，2，3，⋯，n}（n∈N*），若集合．且对任意的b∈M，存在a i，a j∈A（1≤i≤j≤m），使得b＝λ1a i+λ2a j其中λ1，λ2∈{﹣1，0，1}，则称集合A为集合M的一个m元基底．（1）分别判断下列集合A是否为集合M的一个二元基底，并说明理由；①A＝{1，5}，M＝{1，2，3，4，5}；②A＝{2，3}，M＝{1，2，3，4，5，6}．（2）若集合A是集合M的一个m元基底，证明：m（m+1）≥n；（3）若集合A为集合M＝{1，2，3，⋯，19}的一个m元基底，求出m的最小可能值，并求出当m取最小值时M的一个基底A．参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
高三数学月考试题附答案
高三数学月考试题附答案本大题共有12道小题，每小题5分，共60分1.已知集合 , ,则 BA. B. C. D.2. 下列函数中既是奇函数，又在上单调递增的是 CA. B. C. D.3. 给出两个命题:命题命题“存在”的否定是“任意”;命题：函数是奇函数.则下列命题是真命题的是 CA. B. C. D.4.若函数fx=x2-ax- a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于 DA.-1B.1C.-2D. 25 已知函数是函数的导函数，则的图象大致是 AA. B. C. D.6.已知命题p：x2+2x-3>0;命题q：x>a，且的一个充分不必要条件是，则a的取值范围是BA.-∞，1]B.[1，+∞C.[-1，+∞D.-∞，-3]7.7. 已知函数fx=mx2+m-3x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是 BA.0，2B.-∞，1]C.-∞，1D.0，2]8.若fx=ax，x>1，4-a2x+2，x≤1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为CA.1，+∞B.4，8C.[4，8D.1，89. 已知函数y=fx是定义在R上的偶函数，且当时，不等式成立，若a=30.2 f30.2，b= logπ2 flogπ2， c= f ，则，，间的大小关系 AA. B. C. D.10. 已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞上单调递增.若实数a满足f +f ≤2f2，则a的取值范围是DA.-∞，4]B. 0，4]C.D.11.文已知是奇函数，则 AA..14B. 12C. 10D.-811. 理若函数的大小关系是 CA. B.C. D.不确定12.已知函数y=fx为奇函数，且对定义域内的任意x都有f1+x=-f1-x.当x∈2，3时，fx=log2x-1.给出以下4个结论：其中所有正确结论的为 A①函数y=fx的图象关于点k，0k∈Z成中心对称;②函数y=|fx|是以2为周期的周期函数;③函数y=f|x|在k，k+1k∈Z上单调递增;④当x∈-1，0时，fx=-log21-x.A.①②④B.②③C.①④D.①②③④本大题共有4道小题，每小题5分,共20分13.已知实数满足则的最大值__-4_______14. 已知，则函数在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 .15. 若函数满足且时， ,函数 ,则函数在区间内零点的个数有__12_个.16. 存在区间，使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数：① ;② ;③ ; ④其中存在“ 稳定区间”的函数有②__③_ .把所有正确的序号都填上本大题共有5道小题，每小题12分,共60分17.本小题满分12分设向量，，其中，，函数的图象在轴右侧的第一个最高点即函数取得最大值的点为，在原点右侧与轴的第一个交点为 .Ⅰ求函数的表达式;Ⅱ在中，角A，B，C的对边分别是，若，且，求边长 .解：解：I因为， -----------------------------1分由题意， -----------------------------3分将点代入，得，所以，又因为 -------------------5分即函数的表达式为 . --- ------------------6分II由，即又 ------------------------8分由，知，所以 -----------------10分由余弦定理知所以 ----------------------------------- -----------------12分18.文本小题满分12分为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：评估的平均得分全市的总体交通状况等级不合格合格优秀Ⅰ求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级;Ⅱ用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.【解析】：Ⅰ6条道路的平均得分为 .-----------------3分∴该市的总体交通状况等级为合格. -----------------5分Ⅱ设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过”. -----7分从条道路中抽取条的得分组成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件. -----------------9分事件包括，，，，，，共个基本事件，∴ .答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为 .------12分18.理本小题满分l 2分在2021年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题.规定：至少正确回答其中2题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答;考生乙每题正确回答的概率都为23，且每题正确回答与否互不影响.I分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望;II试用统计知识分析比较两考生的通过能力.解析：I设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η，则ξ的可能取值为1，2，3，Pξ=1=C14C22C36=15 ，Pξ=2=C24C12C36=35，Pξ=3=C34C02C36=15，∴考生甲正确完成题数的分布列为ξ 1 2 3P 153515Eξ=1×15+2×35+3×15=2. ………………………………………..4分又η～B3，23，其分布列为Pη=k=Ck3•23k•133-k，k=0，1，2，3;∴Eη=np=3×23=2. ………………………………………6分II∵Dξ=2-12×15+2-22×35+2-32×15=25，Dη=npq=3×23×13=23，∴Dξ∵Pξ≥2=35+15=0.8，Pη≥2=1227+827≈0.74，∴Pξ≥2>Pη≥2. (10)分从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当;从回答对题数的方差考查，甲较稳定;从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验通过能力较强.………………12分19理在四棱锥中，平面，是的中点，, , .Ⅰ求证： ;Ⅱ求二面角的余弦值.解：Ⅰ取的中点 ,连接 , ,则∥ .因为所以.………………………………1分因为平面，平面所以又所以⊥平面……………………………………………………………3分因为平面 ,所以⊥ ;又∥ ，所以 ;又因为 , ;所以⊥平面……………………………………………………………5分因为平面，所以…………………… ……6分注：也可建系用向量证明Ⅱ以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .则 , , ， , ,， .………………………………………………8分设平面的法向量为，则所以令 .所以. ……………………9分由Ⅰ知⊥平面 , 平面 ,所以⊥ .同理⊥ .所以平面所以平面的一个法向量. …………………10分所以，……………………11分由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. ……………………12分19.文在四棱锥中，平面，是的中点， ,， .Ⅰ求证：∥平面 ;Ⅱ求证： .证明：Ⅰ取的中点 ,连接 , .则有∥ .因为平面，平面所以∥平面.……………………2分由题意知 ,所以∥ .同理∥平面.…………………4分又因为平面 , 平面 ,所以平面∥平面 .因为平面所以∥平面. ……………………………………………………………6分Ⅱ取的中点 ,连接 , ,则∥ .因为 ,所以.………………………………… ……7分因为平面，平面，所以又所以⊥平面……………………………………………………………9分因为平面所以⊥又∥ ，所以又因为 ,所以⊥平面……………………………………………………………11分因为平面所以………………………………………………………………12分20. 本小题满分12分已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切..Ⅰ求椭圆C的标准方程;Ⅱ若直线与椭圆C相交于A、B两点，且，判断△AOB的面积是否为定值?若为定值，求出定值;若不为定值，说明理由.【解析】：1由题意知，∴ ，即，又，∴ ，故椭圆的方程为 4分II设，由得12分21.文已知函数，其中a∈R.1当时，求曲线在点处的切线的斜率;2当时，求函数的单调区间与极值.解：1当a=0时，fx=x2ex，f′x=x2+2xex，故f′1=3e.所以曲线y=fx在点1，f1处的切线的斜率为3e. …4分2f′x=[x2+a+2x-2a2+4a] ex令f′x=0，解得x=-2a，或x=a-2，…6分由a≠23知，-2a≠a-2.以下分两种情况讨论：①若a>23，则-2ax -∞，-2a -2a -2a，a-2 a-2 a-2，+∞f′x + 0 - 0 +fx 极大值极小值所以fx在-∞，-2a，a-2，+∞上是增函数，在-2a，a-2上是减函数.函数fx在x=-2a处取得极大值为f-2a，且f-2a=3ae-2a.函数fx在x=a-2处取得极小值为fa-2，且fa-2=4-3aea-2. …9分②若a<23，则-2a>a-2，当x变化时，f′x，fx的变化情况如下表： x -∞，a-2 a-2 a-2，-2a -2a -2a，+∞f′x + 0 - 0 +fx 极大值极小值所以fx在-∞，a-2，-2a，+∞上是增函数，在a-2，-2a上是减函数.函数fx在x=a-2处取得极大值fa-2，且fa-2=4-3aea-2.函数fx在x=-2a处取得极小值f-2a，且f-2a=3ae-2a. …12分21. 理已知函数 .1 当时，证明：在上， ;2求证： .解：1 根据题意知，f′x=a1-x x x>0，当a>0时，fx的单调递增区间为0,1]，单调递减区间为1，+∞;当a<0时，fx的单调递增区间为1，+∞，单调递减区间为0,1];当a=0时，fx不是单调函数.所以a=-1时，f x=-ln x+x-3，在1，+∞上单调递增，所以fx>f1 ，即fx>-2，所以fx+2>0. …………6分2 由1得-ln x+x-3+2>0，即-ln x+x-1> 0，所以ln x则有0∴ln 22•ln 33•ln 44•…•ln nn < 12•23•34•…•n-1n=1nn≥2，n∈N*. …12分请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.本小题满分10分选修4-1：几何证明选讲直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD.Ⅰ 求证：直线AB是⊙O的切线;Ⅱ若tan∠CED=12，⊙O的半径为3，求OA的长.解：1证明：连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥OB，又∵OC是圆的半径，∴AB是圆的切线. ……4分2∵ED是直径，∴∠ECD=90°，∴∠E+∠EDC=90°，又∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E，又∠CBD=∠EBC，∴△BCD∽△BEC，∴BCBE=BDBC⇒BC2=BD•BE，又tan∠CED=CDEC=12，△BCD∽△BEC，BDBC=CDEC=12，设BD=x，则BC=2x，∵BC2=BD•BE，∴2x2=xx+6，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=2+3=5. ……10分23.本题满分10分选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线 t为参数，为参数.Ⅰ化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;Ⅱ过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求 .解：⑴曲线为圆心是，半径是1的圆.曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆.……4分⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为为参数将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以……………10分24.本小题满分10分选修4—5：不等式选讲已知函数，且的解集为 .Ⅰ求的值;Ⅱ若，且，求证： .解：Ⅰ因为，所以等价于，…2分由有解，得，且其解集为. …4分又的解集为，故.…5分Ⅱ由Ⅰ知，又，…7分∴ ≥ =9.9分或展开运用基本不等式∴ ….10分感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2021年高三第四次月考试题 数学(理) Word版含答案
2021年高三第四次月考试题数学（理） Word版含答案数学（理科）南雅中学高三数学备课组组稿一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则满足的集合个数是（）2.是直线与直线平行的（）3.若向量满足//，且，则（）4.已知函数：，当时，下列选项正确的是 ( )5.已知平面外不共线的三点到α的距离都相等,则正确的结论是( )A.平面必平行于B.平面必与相交C.平面必不垂直于D.存在△的一条中位线平行于或在内6．已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，则等于（）3 47.平面上动点满足，，,则一定有（）8.在等差数列中，，，记数列的前项和为，若对恒成立，则正整数的最小值为（）5 4 3 2二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在极坐标系中，曲线的焦点的极坐标 .的平分线分别交、于点、.则的度数= .11．若存在实数使成立，求常数的取值范围。
（二）必做题（12-16题）12. 计算：= 。
13．已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是 。
14.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有 种不同的排法。
（用数字作答） 15.定义：，其中是虚数单位，，且实数指数幂的运算性质对都适应。
若，，则 ． 16.已知函数 其中,。
（1）若在的定义域内恒成立，则实数的取值范围 ；（2）在（1）的条件下，当取最小值时，在上有零点，则的最大值为 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知函数，.求:（1）函数的最小值及取得最大值的自变量的集合； （2）函数的单调增区间. 高 考 资 源 网 18. （本小题满分12分） 如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）中，平面侧面，,，且满足. （1）求证：； （2）求点的距离；（3）求二面角的平面角的余弦值。
广西壮族自治区柳州市市第三十五中学2021年高三数学理月考试题含解析
广西壮族自治区柳州市市第三十五中学2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数为非零常数，则的图像满足（）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于原点对称 D．关于直线轴对称参考答案：A2. 过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于、两点，是坐标原点，当时，直线的斜率的取值范围是A. B.C. D.参考答案：D略3. 如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是( )A. B.21C. D. 24参考答案：A4. 已知函数的图象与直线恰好有一个交点．设，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B． C．D．参考答案：D5. 在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，则在方向上的投影为( ) A． B． C．1 D．2参考答案：C试题分析：根据条件可判断△ABC为正三角形，利用投影为公式计算．试题解析：解：∵在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=120°，∴∠B=60°，∴△ABC为正三角形，∴？=2×2cos60°=2∴在方向上的投影为==1，故选：C考点：平面向量数量积的含义与物理意义．点评：本题考查了平面向量的数量积的运算，及应用，属于容易题．6. 在矩形中，，，点为矩形内一点，则使得的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D7.函数图象如图，则函数的单调递增区间为（）A． B． C．D．参考答案：D8. 为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4参考答案：B由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则球的表面积是（）A．B．C．D．参考答案：答案：D10. 已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点到两旗杆顶点的仰角相等,则点的轨迹是( )A.椭圆B.圆C.双曲线D.抛物线参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若双曲线的左焦点为，右顶点为，为的左支上一点，且，则的离心率是．参考答案：412. （6分）（2015?丽水一模）设函数f（x）=则f（﹣log32）= ；若f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．参考答案：；【考点】：分段函数的应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：由﹣1≤﹣log32≤1，代入第一个解析式，计算即可得到f（﹣log32）；通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．解：由﹣1≤﹣log32≤1，则f（﹣log32）===，当t∈[﹣1，1]，所以f（t）=3t∈[，3]，又函数f（x）=则f（f（t））=3（不成立）或f（f（t）=﹣?3t，因为f（f（t））∈[0，1]，所以0≤﹣?3t≤1，即≤3t≤3，解得：log3≤t≤1，又t∈[﹣1，1]，由于t=1，f（1）=3，f（f（1））不成立，则实数t的取值范围[log3，1）；当1＜t＜3时，f（t）=﹣?t∈（0，3），由于f（f（t））∈[0，1]，即有0≤≤1或0≤﹣?（﹣t）≤1，解得t∈?或1≤t≤．即有t的取值范围为（1，]．综上可得t的范围是．故答案为：，．【点评】：本题考查分段函数的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．13. 已知数列的最小值为。
2020-2021学年湖北省武汉市中国地质大学附属中学高三数学理月考试卷含解析
2020-2021学年湖北省武汉市中国地质大学附属中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数,,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最小值为（）A、11B、10C、9D、8参考答案：B2. 已知回归直线的斜率的估计值是1．23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是A．B．C．D．参考答案：C【分析】根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息，即可得到结果．【详解】由条件知，，设回归直线方程为，则.∴回归直线的方程是故选：C3. 某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（）A．60 B．90 C．150 D．120参考答案：B【考点】计数原理的应用．【分析】先分组5个尖子生分为（2，2，1），再分配即可．【解答】解：5个尖子生分为（2，2，1），故其分组的方法有=15种，再分配给3名教师，共有15A33=90种，故选：B．4. 已知函数，则不等式的解集为（）A．(－∞,－1)∪(3,+∞)B．(－∞,－3)∪(1,+∞)C．(－3,－1)∪(－1,1) D．(－1,1) ∪(1,3)参考答案：C当时，，故其在内单调递增，又∵函数定义域为，，故其为偶函数，综上可得在内单调递减，在内单调递增且图象关于轴对称，即等价于且，即不等式的解集为，故选C.5. 函数（）A.在上递增，在上递减B.在上递增，在上递减C.在上递增，在上递减D.在上递增，在上递减参考答案：A略6.△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上的两个定点，正东方向射出的太阳光线与地平面成40°角，为了使遮阳阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为（）A．75° B．50°C．60° D．45°参考答案：答案:B7. 双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点P，其中C1与C3有一个共同的焦点，若M为F1P的中点，则双曲线C1的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出P的坐标，代入抛物线方程，从而求双曲线的离心率．【解答】解：|OF1|=c，|OM|=a，|F1M|=b，又∵M为PF1的中点，∴|PF2|=2|OM|=2a，|PF1|=2b，∵C1与C3有一个共同的焦点，∴p=2c，设P（x，y），则x+c=2a，∴x=2a﹣c，∵c?y M=ab，∴y M=，∴y P=，代入抛物线方程可得=4c（2a﹣c），∵e＞1，∴e=．故选A．【点评】本题考查了学生的作图能力及分析转化的能力，考查了学生数形结合的思想应用，同时考查了双曲线的定义，属于中档题．8. 直线与圆的位置关系是(A)相切(B)相离(C)相交(D)不确定参考答案：C9. 已知过点（﹣2，0）的直线与圆O：x2+y2﹣4x=0相切与点P（P在第一象限内），则过点P且与直线x﹣y=0垂直的直线l的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C． x+y﹣2=0 D．x+y﹣6=0参考答案：B【考点】圆的切线方程．【分析】求出P的坐标，设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，求出c，即可求出直线l的方程．【解答】解：由题意，切线的倾斜角为30°，∴P（1，）．设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，可得c=﹣4，∴直线l的方程为x+y﹣4=0，故选B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．10. 若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1参考答案：D【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵f（x）=，f（f（1））=1，∴f（1）=lg1=0，f（f（1））=f（0）=0+==a3=1，解得a=1．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质及定积分的性质的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数满足，，且在区间上单调，则的值有_________个.参考答案：9【分析】由，，结合正弦函数图像的特征可知（），由正弦函数最小正周期公式可得，因为在区间上单调可得范围，从而求出的整数解的个数，得到值的个数。
河南省滑县2024学年高三下学期第一次月考(数学试题-理)试卷
河南省滑县2024学年高三下学期第一次月考（数学试题-理）试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020212．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅的最大值为（ ） A ．714-B ．24-C ．514-D ．30-3．若复数1a iz i-=+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()0,∞+4．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．16B ．48C ．96D ．1285．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．6．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A 2B ．2C ．1D 37．(),0F c -为双曲线2222:1x yE a b-=的左焦点，过点F 的直线与圆22234x y c +=交于A 、B 两点，（A 在F 、B 之间）与双曲线E 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，若FA BP =，且23100OA OB c ⋅=-，则双曲线E 的离心率为（ ） A 5B ．52C 5D ．58．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ）A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<< D ．116a >9．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36B ．72C ．36-D ．36±10．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个A ．170B ．10C ．172D ．1211．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦ 12．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ）A ．512π B ．56π C ．6πD ．12π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024学年福建省宁德市第二中学高三下学期4月考(数学试题)试卷
2024学年福建省宁德市第二中学高三下学期4月考（数学试题）试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．232．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（ ）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 3．已知函数2()ln(1)f x x x-=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( ) A ．112V B ．18VC ．16VD ．19V5．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ） A ．23B ．43C ．83D ．1636．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=8．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A ．10B ．3C ．5D ．29．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．10010．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．11．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A ．12ω=B ．6282f π+⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省太原重点中学2014届下学期高三年级4月月考数学试卷(理科,有答案)
山西省太原重点中学2014届下学期高三年级4月月考数学试卷（理科） 有答案第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}062≤-+=x x x A ,集合B 为函数11-=x y 的定义域，则=B A （ ）A.B.C.D.2．若复数z 满足：34iz i =+，则(=z ）A ．1B ．2C ．5D ．5 3.将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ）A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈C ．sin()()212x y x R π=-∈ D ．5sin()()224x y x R π=+∈ 4.下列命题中正确命题的个数是( )（1）对于命题2:,10p x R x x ∃∈++<使得，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++>； （2）3=m 是直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 互相垂直的充要条件；(3)已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为ˆy＝1.23x ＋0.08(4) 曲线2y x =与y x =所围成图形的面积是120()S x x dx =-⎰A.2B.3C.4D.1 5．定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的s 值，则552cos 2tan 34ππ⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为A ．4B ．3C ．2D ．―16. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为c b a ,,，且4524==B c ，，面积2=S ，则b 等于( )A.2113B.5C.41D.25 7. 若将函数5)(x x f =表示为552210)1()1()1()(x a x a x a a x f +++++++= ，其中5210,,,,a a a a 为实数，则=3a （ ）.A. 15B.5C. 10D.208. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |，x ∈[－π，π]，lg x ，x >π，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是( )A ．(0，π)B ．(－π，π)C ．(lg π，1)D ．(π，10)9. 若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知正项数列{1b n}为“调和数列”，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，则b 4·b 6的最大值是 ( )A ．10B ．100C ．200D ．40010．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为抛物线21116y x =+与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A ．22182x y -=B ．22128x y -= C ．2214x y -= D ． 2214y x -= 11. 如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（ ） A.50种 B.51种 C.140种 D.141种12. 如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：①平面MENF ⊥平面BDD B ''；②当且仅当x =12时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数； ④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中假命题．．．的序号为（ ） A ．①④ B ．②C ．③D ．③④第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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四川省成都市双流区2017届高三数学下学期4月月考试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2共4页，共4页．满分150分．考试时间120分钟．第I 卷（共60分）一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2|0A x x x =-≤，函数()()lg 1f x x =-的定义域为B ,则AB =（ ）A ．[]0,1B ．(],0-∞C ．[)0,+∞D ．[)0,12.已知复数()z i a bi =+（a ，b R ∈），则“z 为纯虚数”的充分必要条件为（ ） A ．220a b +≠B ．0ab =C ．0a =，0b ≠D ．0a ≠， 0b =3.1,01b a c <<<<若，则（ ）A. log log a b c c <B. log log c c a b <C. c c a b <D. b a c c <4．函数log (3)2a y x =-+过定点P ，且角a 的终边过点P ，则si n 2c o s2αα+的值为（ ）A ．75B ．65C ．2D ．35．我国南宋数学家秦九韶（约公元12021261-年）给出了求()n n N *∈次多项式1110nn n n a x a xa x a --++++，当0x x =时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为3232103210(())a x a x a x a a x a x a x a +++=+++，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值． A ．432234x x x x ++++B ．4322345x x x x ++++C ．3223x x x +++D ．32234x x x +++6.在双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的两条渐近线上各取一点P 、Q ，若以线段PQ 为直径的圆总过原点，则C 的离心率为（ ）A ．3 B7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．223π- B ．423π-C ．53π D ．22π-8.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><满足0)1(=-f ，则（ ）A ．(1)f x -一定是偶函数B ．(1)f x -一定是奇函数 C.(1)f x +一定是偶函数 D ．(1)f x +一定是奇函数9. 已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，以F 为圆心，且与l 相切的圆与抛物线C 相交于点A ，B ，则AB =（ ）1.2A B ．1 C ．2 D ．410．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N （﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） 附“若2(,)XN μσ，则P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）=0.6826．p （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）=0.9544”．A ．1193B ．1359C ．3413D ．2718 11.设函数()()4211xg x x xe =--+-，若不等式()()2g x g ax >对一切[)(]1,00,1x ∈-恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()(),11,a ∈-∞-+∞ B ，()1,1a ∈- C.()1,a ∈-+∞ D. ()1,a ∈+∞12．已知△ABC 中，4AB =，且满足BC =，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A B ．3 C ．2 D ．第II 卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置）13．已知向量,3OA AB OA ⊥=，则OA OB = ． 14．5(12)x y --的展开式中不含x 的项的系数和为 ．15．设x ，Ry ∈，则不等式组0,0,20,x y x y y ⎧⎪+-⎨⎪⎩厖……表示的平面区域的面积为________．16为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,118a =，设2log n n b a =，且417b =． （Ⅰ）求证：数列{}n b 是公差为2-的等差数列； （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值．18．某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（API ）的监测数据，结果统计如表：（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提 供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的 空气严重污染与供暖有关”？（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为0,(0100)400,(100300)2000,(300)x y x x ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩,试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K 2=19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11ABB A ， 且12AA AB ==． （I ）求证：AB BC ⊥；（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成角的大小为30， 求锐二面角1A AC B --的大小．20．（本小题满分12分）动点(,)M x y 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线4x =的距离的比是1∶2，记点M 的轨迹为C .（I ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）对于定点(1,0)F '-，作过点F 的直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，求△ABF '的内切圆半径的最大值.21．（本小题满分12分） 设函数21()ln (1)2a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0.（I ）求b ；（Ⅱ）若存在01x ≥，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围． 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程C 1B 1A 1CBA在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：4x y +=，曲线2C ：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）， 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （I ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线l ：θα=（0ρ>）分别交1C ，2C 于,A B 两点， 求||||OB OA 的最大值． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|||f x x x a =-+-（R a ∈）. （I ）若2a =，求不等式()2f x >的解集；（Ⅱ）若对于任意的[1,3]x ∈-，[1,2]a ∈，都有()f x t x +…恒成立，求实数t 的取值范围.2014级高三4月月考试题 参考答案及评分标准一、选择题12.D 解：依题意，设CA=b ，则BC=b ，又AB=4，由余弦定理得：cosA===﹣，∴cos 2A=（﹣）2=+﹣1，∴sin 2A=1﹣cos 2A=2﹣﹣．∵S △ABC =AB•ACsinA=×4bsinA=2bsinA ，∴S 2△ABC =4b 2sin 2A=4b 2（2﹣﹣）=48﹣（b 2﹣16）2，当b 2=16，即b=4时，4、4、4能组成三角形，∴S 2max =48，∴S max =4．二、填空题13． 9 14． -1 15．7616．如图，将三棱锥补成一个正方体，其棱长为1，则木球毛坯体积最小时应为正方体的外接球，此时直径为=，体积为．故答案为：．三、解答题17解：（Ⅰ）证明：设等比数列{a n }的公比为q ，则b n+1﹣b n =log 2a n+1﹣log 2a n ==log 2q ，因此数列{b n }是等差数列． 又b 11=log 2a 11=3，b 4=17，又等差数列{b n }的公差， 即b n =25﹣2n ．即数列{b n }是以﹣2为公差的等差数列．… （Ⅱ）设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，则n==（24﹣n ）n=﹣（n ﹣12）2+144，于是当n=12时，S n 有最大值，最大值为144．18解：（Ⅰ）根据题设中的数据得到如下2×2列联表：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K2=≈4.575．∵4.575＞3.841∴由95%的把握认为：“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”（Ⅱ）任选一天，设该天的经济损失为X元，则：P（X=0）=P（0≤x≤100）= P（X=400）=P=，P（X=2000）=P（x＞300）=∴E（X）=0×+400×+2000×=560．∴该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望为30×E（X）=16800元．19．（本小题满分12分）20．（本小题满分12分）21．（本小题满分12分）解：（1）f′（x）=（x＞0），∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+，∴=．①当a时，则，则当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，即，解得；②当a＜1时，则，则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，而=+，不符合题意，应舍去．③若a＞1时，f（1）=，成立．综上可得：a的取值范围是．22．（本小题满分10分）23．（本小题满分10分）。