2_2行列式的性质
2行列式的性质
L a3n = a31 M O M an1 L ann
L 1
n −1 n − 2 a32 a33 M M an 2 an 3
L 1 L a3n = ( n + 1)( A11 + A12 + L + A1n ) O M L ann
故 A11 + A12 + L + A1n = 1
a11 a12 L a1n a11 a12 L a1n M M M M M M M L bin + cin = bi1 bi2 L bin + ci1 ci2 L cin M M M M M M M L ann an1 an2 L ann an1 an2 L ann
a1n
0+3 0 −1 0 3 1 3+ 4 2 0+0 ? 0 1 3 0 0 2 0 3 0 0 0 3 3 1 0 1 + 1 0 0 3 2 1 0 3 3 1 0 3 4 0 1 0
k =1
n
ki
A kjΒιβλιοθήκη D,i = j = 0, i ≠ j
a i1 A j1 + a i 2 A j 2 + L + a in A jn = 0 ( i ≠ j )
a11 M ai1
证明:设 D = M a j1
a12 L a1n M O M ai 2 M L ain M
*
a11 M ai1 D = M
行列式按任意行（ 三 行列式按任意行（列）的展开 定理3: 定理 设 D 为 n 阶行列式， Aij 为行列式元素 aij
的代数余子. 则
ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + L + ain Ain = D
2行列式的性质
( i1 ji js jn )
a1 1 asji aijs ainn
j1 jn Pn
( i1 js ji jn )
a1 1 aijs asji ainn
D.
一次对换改变排列的奇偶性
5
.
性质2.两行相等,其值为零. 证明两个相同的行互换，由性质1值反号， 但其实它还是原来的行列式，故行列式的 值等于其相反数，非零莫属。
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a 11 a21 a31
a 12 a 22 a 32
a 13 a . 23 a 33
11
性质6 一行加另一行k倍，其值不变。
为了书写简短,用ri表示第行ai1,ai2,ai3, kri表示 每个元 素k倍, ri +rj表示对应元素相加.
证明
r1 r3
2 4 4
D
1 3 0
2 5
2 5
18
1 2 3 0
2 3 2 4 3 8
3 2 3
2 4 ( 2r1 ) 4 ( 3r1 ) 2 8 5
19
2 5
1 2 0 1 0 0 8 4
6 2 2
1 2 0 1 0 0 8 4
3 8
2 8
6 2 ( 8r2 ) 2 5 ( 4r2 ) 3 8 2 8
1 0
1 0 0
0 a2
a3 0
0 an
a2 an
26
a1 a1 B a1 a1 1 a1 1 1
1 a2 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 0
1 0
1 0 0 1 0 0
1[1].2_行列式的性质与计算
![1[1].2_行列式的性质与计算](https://img.taocdn.com/s3/m/3a5085d7b14e852458fb5783.png)
性质４ 若行列式的某一列（ 的元素都是两数之和. 性质４: 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和
a11 a 21 例如: 例如 D = M a n1
a12 a 22 M an2
′ L ( a1 i + a1 i ) L a1 n L (a 2 i + a ′ i ) L a 2 n 2 M M ′ L (a ni + a ni ) L a nn
1 −1 2 − 3 1 0 −2 1 −5 3 r2 ↔ r4 − 0 2 0 4 −1 0 0 −1 0 − 2 0 0 2 2 −2
⊕
1 −1 2 − 3 1 0 −2 1 −5 3 r3 + r2 − 0 0 1 −1 2 0 0 −1 0 − 2 0 0 2 2 −2
⊕
r4 + r3
1 0 −0 0 0
r2 + 3r1 2 0 4 3 −5 7 4 − 4 10
−2 − 14 − 10
1 6 2
1 × (− 2 ) −1 2 −3 0 −1 0 −2 ⊕ r2 + 3r1 2 0 4 1 −2 3 − 5 7 − 14 6 4 − 4 10 − 10 2 1 0
(− 4 ) ×
r3 − 2r1
⊕
1 −1 2 0 0 −1 0 2 0
−3 0 4
1 × (− 3 ) −2 ⊕ −1 6 2
3 − 5 7 − 14 4 − 4 10 − 10
1 −1 2 − 3 1 0 0 −1 0 − 2 r4 − 3r1 0 2 0 4 −1 r5 − 4r1 0 −2 1 −5 3 0 0 2 2 −2
= 0.
定理1.2: 阶行列式 的任意一行（列）的元素与其对应 阶行列式D 的任意一行（ 定理 的代数余子式乘积之和等于D 某一行（ 的代数余子式乘积之和等于 ；某一行（列） 的元素与另一行（ 的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子 式乘积之和等于０ 式乘积之和等于０.
行列式的性质与计算方法
行列式的性质与计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，是矩阵的一个标量。
它可以用来描述线性方程组的解的情况，也可以用来判断矩阵是否可逆等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质和计算方法。
一、行列式的性质1. 行列式与转置矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列调换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
如果行列式的元素都是实数，那么它的值不会受转置操作的影响，即$\left|A\right|=\left|A^{T}\right|$2. 行列式的行列互换行列式的行列互换是指将行列式的任意两行或两列互换位置，得到的新行列式称为原行列式的行列互换。
行列互换会改变行列式的符号，即$\left|A\right|=-\left|A_{i j}\right| \text { , } i \neq j$其中$A_{i j}$表示将矩阵$A$的第$i$行和第$j$列删除后得到的$(n-1)\times(n-1)$矩阵的行列式。
3. 行列式的元素线性组合如果一个行列式的某一列（或某一行）减去另一列（或行）的$k$倍，得到的新行列式的值等于原行列式的值乘以$k$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}}+k a_{j} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}}& {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{i}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} &{a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{i}} & {a_{i}} & {\cdots} & {a_{j}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots}& {\vdots} \\ {a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} &{a_{j}}\end{array}\right|$4. 行列式的行列成比例如果一个行列式的某两行或某两列成比例，那么该行列式的值为$0$，即$\left|\begin{array}{cccc}{a_{1}} & {a_{2}} & {\cdots} & {a_{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\ {k a_{i 1}} & {k a_{i 2}} & {\cdots} & {k a_{i n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\vdots} \\{a_{j}} & {a_{j}} & {\cdots} & {a_{j}}\end{array}\right|=0$其中$\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)$和$\left(a_{j 1},a_{j 2}, \cdots, a_{j n}\right)$是比例行列式的两行，$k$是一个非零实数。
二阶行列式的性质与应用
二阶行列式的性质与应用行列式是线性代数中的一个重要概念，常常用于解决各种数学问题。
其中，二阶行列式是最简单的一类行列式，在理解行列式的性质和应用时起到了关键作用。
本文将介绍二阶行列式的性质以及在实际问题中的应用。
一、二阶行列式的定义和性质二阶行列式可以表示为一个2×2的矩阵，一般形式为： | a b || c d |其中a、b、c、d为实数。
二阶行列式的计算公式为：ad - bc，即行列式中左上方元素与右下方元素之积减去右上方元素与左下方元素之积。
二阶行列式满足以下性质：1. 二阶行列式的值与对角线上元素的位置无关，即交换对角线上的元素不会改变行列式的值。
2. 二阶行列式的值与对角线上元素的符号有关，当对角线上的元素相等时，行列式的值为0，当对角线上的元素不等时，行列式的值为非零数。
3. 二阶行列式的行和列可以任意交换，不会改变行列式的值。
二、二阶行列式的应用二阶行列式的应用广泛存在于各个领域，下面介绍其中的两个典型应用。
1. 二阶线性方程组的求解二阶行列式可以用于求解二元线性方程组。
设有二元线性方程组：ax + by = mcx + dy = n将上述方程组的系数矩阵表示成二阶行列式的形式：| a b | | x | | m || | | | = | || c d | | y | | n |根据二阶行列式的性质可知，当行列式的值不为零时，方程组存在唯一解；当行列式的值为零时，方程组可能存在无穷多个解或无解。
2. 二阶行列式在几何中的应用二阶行列式在几何中有重要的几何意义，常用于计算平面上两个向量所夹的有向面积。
设有两个向量u = (u₁, u₂)和v = (v₁, v₂)，则二阶行列式 | u₁ u₂ | 计算得到的值表示u、v所夹有向面积的两倍。
| v₁ v₂ |这个性质对于计算平面上的多边形的有向面积十分有用。
通过将各边的向量表示成坐标形式，可以利用二阶行列式求解多边形的有向面积。
行列式的性质及展开式
1
1
d2 d d 1
a
b abcd
c
d
11
1 a2 a
a
1 1 b2
1
1 c2
1
b
b 1
13
c
c
1
1 d2
1 d
d
11 1 a2 a
11 1 b2 b
1Leabharlann 1 c21 c11 d2
1 d
0.
一、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
pkk
对 D2 作运算 ci kc j ,把 D2 化为下三角形行列式
q11 设为 D2
qn1
0 q11 qnn .
pnk
对 D 的前 k 行作运算 ri krj，再对后 n 列作运 算 ci kc j ,把 D 化为下三角形行列式
p11
0
D
pk1 c11
an1 L (ani kanj ) L anj L anj
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
1 1 2 3 1 3
3 3 7 9 5 例１ D 2 0 4 2 1
3 5 7 14 6 4 4 10 10 2
bj1 bj2 L bjn M MMM
ai1 ai2 L ain M MMM
an1 an2 L ann
bn1 bn2 L bnn an1 an2 L ann
2-2.1(行列式的性质1—性质3)--线性代数PPT
bi1 ci1 bi 2 ci 2 bin cin
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
bi1 bi2 bin ci1 ci2 cin
an1 an2 ann an1 an2 ann
§2.2 行列式的性质与计算
证
左 按 第 i行 展 开 (bi1 ci1 ) Ai1 (bin cin ) Ain
(bi1 Ai1 bin Ain ) (ci1 Ai1 cin Ain )
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
bi1 bi 2
det A ak1 Ak1 ak 2 Ak 2 akn Akn , (k i, j)
Mkl(l=1,…,n): n-1阶行列式, 有两行元对应相等
Akl 0 (k 1, ..., n) det A 0
§2.2 行列式的性质与计算
性质3
a11
a12
a1n
推论 detA的某一行全为零 det A 0
性质2 detA 的第i行元素与第j行元素对应相等
即 aik = ajk , i≠j, k=1,…, n det A 0
证 对行列式的阶n用数学归纳法 1o: n=2, 显然. 2o: 设结论对n-1阶行列式成立, 对n阶行列式, 按第k(i, j)行展开:
0
ann
a1,n1
a2,n1
0
a11
a a nn n1,n1
an1,n1
a12
a1,n2
a22
a2,n2
行列式的性质
a 11 c i + kc a 21
j
a 12 a 22 an2
a 1 i + ka 1 j a 2 i + ka 2 j a ni + ka nj
3
4
r3 r2
2 1 3 5
2 1 0 0
3 1 11 9
3 1 4 8
4 4 14 10
4 4 10 2
r3 × ( 1) 0 r2 × ( 1) 0
0
r3 3r2
1 0 0 0
0 0 0
2 1 0 0
2 1 0 0
3 1 8 4
3 1 4 0
4 4 2 10
4 4 10 22
r4 r3 1
(-1) a1 p1 a2 p2 aipi a jp j anpn = (-1) a1 p1 a2 p2 a jp j aipi anpn
t' t ''
经过一次对换结果如此, 经过一次对换结果如此,经过多次对换结果当然 还是如此.于是,经过若干次对换,使得: 还是如此.于是,经过若干次对换,使得:列标排列 p1 p2 pi p j pn 逆序数为 )变为标准排列(逆序数为 (逆序数为t)变为标准排列( 0);行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列, );行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列 );行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列, q1q2,其逆序数为 ,则有 其逆序数为s, qn (-1) a 设此排列为 a a
D = 3 4 1 5 0 1 2 2 2 1 3 2 5 3 4 4
§2 行列式的性质与计算
j (1) ( j j j ) a1 j (aij j j
1 2 n 1 1 2 n
i
biji ) anjn
a11 a12 a1n a11 a12 a1n ( 1) ( j j j ) a1 j aij anj j j j ai 1 ai 2 ain bi 1 bi 2 bin ( j j j ) ( 1) a1 j bij anj j j j an1 an 2 ann an1 an 2 ann
a1 p1 aip j a jpi anpn
p p (1) p p
( p1 p j pi pn )
D
§2 行列式的性质与计算
推论1 如果行列式中有两行（列）相同，那么
该行列式为零． 比如：
1 2 3 1 2 3 4 5 6
r1 r2
1 2 3 1 2 3 4 ห้องสมุดไป่ตู้ 6
3、再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下 的低一阶行列式； 4、如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式， 这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
§2 行列式的性质与计算
二、应用举例
例1. 计算行列式
0 1 D 1 2 2 2 0 0
1 1 2 1
1 0 1 1
2 2 0 0 1 1 1 3 0 1 1 1 2 2 2 4
§2 行列式的性质与计算
a b c d a ab abc abcd r3 r2 ( 1) 0 a 2a b 3a 2b c 0 a 3a b 6a 3b c
a 0 r2 r1 ( 1) 0 0
a r4 r3 ( 1) 0 0 0
第二讲行列式的性质展开定理
a (n 1)b(a b)n1.
0 ab
三、小结
行列式的6个性质(行列式中行与列具有同 等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也 同样成立).
计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用 性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行 列式的值．
例 计算
x a1 a2 a3 an a1 x a2 a3 an Dn1 a1 a2 x a3 an . a1 a2 a3 a4 x
an1 an2 ann
an1 an2 ann
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面． 推论 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零．
请问若给行列式的每一个元素都乘以同一数 ｋ，等于用 乘以此行列式.
例1 a11 a12 a13 a21 a22 a23 2 a31 a32 a33
a1n a2n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
1 1 D
1 2 1
D DT
DT 1 1 1 2
1
(DT )T D
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
思考题
计算4阶行列式
a2
1 a2
a
1 a
1
D
b2 c2
1 b2
1 c2
b c
11 b 11 c
d
2
1 d2
d
1 d
1
已知 abcd 1
思考题解答
解
a2 a 1 1
a
b2 b 1 1
线性代数2-2节_方阵行列式的性质
3 1 1
1 3 1 1
1 r1 r2 1 1 r1 r3 0 1 r1 r4 0 0 3
例3 计算 a b c d a ab abc abcd 。 D a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
注:
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 b b b 1 2 3 0 0 0 0 0 0
1 bn 0 0
习题课教程P44例16对本题有另一解法.
三、小结
1.行列式的5个性质及三个推论 (行列式中行与列具有同等的地位,行列式 的性质凡是对行成立的对列也同样成立).
推论2.3 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式等于零.
例如
1 7 5 1 7 5
6 6 2 0, 6 6 2 性质5 消法变换不改变行列式的值。即若 B=P(i,j[k])A或B= A P(i,j[k])，则|B|=|A|.
此性质由性质1及推论2.3即得。
6 6 2 0, 3 3 1
a11b1n a12b2 n a1nbnn a21b1n a22b2 n a2 nbnn an1b1n an 2b2 n annbnn
D=
O
即
D
A
C
E O
,
从而有
其中 C = ( cil ) , cij = ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj , 故 C = AB。 再对 D 的行作 rj ↔ rn+j （j = 1, 2, … , n ），有 E O n D (1) , A C
2.2 行列式的性质
2
1
2
0
0 1
1 1 2
0 1 1
2 2 0
×1 ×(-2)
2 1 10
2 1 10
1 1 0 2
1 1 1 2
0 1 1 2
×1
×3
0 1 1 2
0 1 1 2
0 0 2 4 ×(-1)
0 3 1 4
0 0 2 2
二、行列式的计算举例
第2章 方阵的行列式 18
如 a1 b1 c1 2 1
a2 b2 c2 3 0
a3 b3 c3 1 5
a1 2 1
b1 2 1
a2 3 0 b2 3 0
a 3 1 5
b31 5
c1 2 1 c2 3 0
c3 1 5
一、行列式的性质
第2章 方阵的行列式 15
性 质5 行列式某一行(列)的所有元素乘以同一数，加到 另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变．
一、行列式的性质
第2章 方阵的行列式 16
证明
a11
L
ai1 kas1 L
as1 L
an1
a11 a12 LL
ai1 ai2
L L
as1 as 2 LL
an1 an 2
a12
L
a1n
LLL
ai2 kas2 L ain kasn LLL
as 2
L
asn
LLL
an 2
L
ann
L a1n LL
对列也成立
a1 b1 2 1 a2 b2 3 0 a3 b3 1 5
a1 2 1 b1 2 1 a2 3 0 b2 3 0
行列式的运算法则公式
行列式的运算法则公式1.行列式的性质：(1)交换定理：对于n阶行列式，将其行与列调换，则行列式的值不变。
(2)对角线法则：对于n阶行列式，行标和列标的和为偶数，则行列式的值为主对角线上各元素的乘积之和；行标和列标的和为奇数，则行列式的值为主对角线上各元素的乘积之差。
2.行列式的递推公式：(1)二阶行列式：对于2阶行列式，行列式的值等于左上角元素乘以右下角元素，减去右上角元素乘以左下角元素。
(2)三阶行列式：对于3阶行列式，行列式的值等于三个主对角线上元素的乘积之和，减去三个副对角线上元素的乘积之和。
3.行列式的初等变换：(1)行(列)交换：交换两行(列)，行列式的值不变。
(2)行(列)倍乘：将其中一行(列)的元素乘以k，行列式的值乘以k。
(3)行(列)倍加：将其中一行(列)的k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。
4.行列式的倍数的性质：(1)行(列)成比例：若有两行(列)是成比例的，则行列式的值为0。
(2)带公因子：若行(列)中存在公因子，可提出公因子，行列式的值等于公因子乘以去掉公因子的行列式的值。
5.行列式的秩：(1)非零行列式：对于非零行列式，如果有r行(列)成线性相关，则行列式的值为0。
(2)对角行列式：对于对角行列式，主对角线上的元素均不为0，则行列式的值等于主对角线上各元素的乘积。
6.行列式的乘改定义：(1) 行列式的乘积定义：两个行列式A和B的乘积定义为C=AB，其中C的元素为C_ij = ∑(A_i1*B_1j)，即A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
(2)顺序可交换：行列式的乘法满足顺序可交换，即AB=BA。
7.行列式的乘积规则：(1)两个行列式的乘积的维数：如果A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，则AB的维数为m×p。
(2)AB的行列式的值：如果AB的行列式的值存在，且A的行行列式的值不为0，B的列行列式的值不为0，则AB的行列式的值等于A的行列式的值乘以B的行列式的值。
2-2行列式的性质与计算
行元全相等，所以
Akl 0 (k 1,..., n), 故det A 0.
例1
123
| A | 1 0 1
1 2 1
，求a11 A31 a12 A32 a13 A33，a21 A31 a22 A32 a23 A33 .
1.换行反号 , 2.倍乘 , 3.倍加 .
三、三种为零 ：
1.有一行全为零 ,
3.有两行成比例 .
2.有两行相同 ,
四、一种分解 .
五、 DT D .
二. 行列式的计算
1 4 1 4
例. 计算 2 1 4 3
(2)
D
(2)
4 2 3 11
解.
30 9 2
7 0 7 18
设对于n-1阶结论成立，对于n阶：
1
1
1
1
0
x2 x1
x3 x1
Vn 0 x2 ( x2 x1) x3 ( x3 x1)
0 x2n2 ( x2 x1) x3n2 ( x3 x1)
x2 x1
x3 x1
x2 ( x2 x1 )
x3 ( x3 x1 )
a11
a12a1nbi1 ci1 bi 2 ci 2 bin cin
an1
an2
ann
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
bi1 bi 2 bin ci1 ci 2 cin
行列式概要
a11 a12 a1n
a21
a22
a2n
＝ai1 Ai1
ai 2
Ai 2
ain
Ain
an1 an2 ann
Aij表示所有含有aij的项在提出公因子aij之后的代数和
a11 a12 a13 a21 a22 a23
行列式按某行展开
a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a21 a22
表示代数和 a11a22 a12a21 称为二阶行列式, 即
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
二元一次方程组
a11a22 a12a21 0,
的唯一解 为
aa2111xx11
a12 a22
x2 x2
b1 b2
b1 a12
a11 b1
x1
b2 a11
a22 , a12
性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
a11
a12
a1n
a11 a12 a1n
ai1
ai 2
ain
ai1 ai2 ain
ak1 cai1 ak 2 cai2 akn cain
ak1 ak 2 akn
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain ＝k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
推论 :如果行列式中某一行为零，那么行列式为零。
性质3
a11
a12
b1 c1 b2 c2
an1
an2
a11 a12 a1n a11
b1 b2 bn c1
an1 an2 ann an1
初数数学中的行列式公式详解
初数数学中的行列式公式详解行列式是初等数学中非常重要的概念之一，它在线性代数、线性方程组以及向量空间等领域具有广泛的应用。
本文将详细解析行列式的定义、性质和相关公式，帮助读者更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义行列式是一个方阵的标量量，它的值为一个数。
对于一个n阶方阵A=[a[i,j]]，它的行列式记为|A|或det(A)。
行列式的计算需要按照一定的规则进行，下面将介绍常用的行列式计算方法。
二、行列式的计算方法1. 一阶行列式对于一个1×1的行列式，例如A=[a]，它的值就是a。
2. 二阶行列式对于一个2×2的行列式，例如A=[a11,a12;a21,a22]，它的值可以通过交叉相乘再相减的方法进行计算：|A|=a11·a22-a12·a21。
3. 三阶及以上的行列式对于三阶及以上的方阵，可以使用拉普拉斯展开或三角形法则进行计算。
拉普拉斯展开的思想是：把一个n阶行列式按照某一行（或列）的元素展开，然后递归地计算这些元素的(n-1)阶行列式，直到计算到二阶行列式为止。
三、行列式的性质行列式具有多种重要的性质，下面将介绍几条常用的性质。
1. 行列互换性质行列式的值不变，当互换它的任意两行（或两列）时。
2. 行列式倍乘性质行列式中的一行（或一列）的每个元素都乘上同一个数k，行列式的值也同样乘以k。
3. 行列式的展开性质行列式可以按任意一行（或一列）展开，得到的结果相同。
4. 行列式的转置性质一个方阵与其转置阵的行列式相等。
5. 行列式的相似性质相似矩阵的行列式相等。
四、常见的行列式公式1. 三阶行列式的展开式对于一个三阶行列式A=[a[i,j]]，可以使用拉普拉斯展开进行计算：|A|=a11·a22·a33+a12·a23·a31+a13·a21·a32-a13·a22·a31-a12·a21·a33-a11·a23·a32。
2.行列式的性质和展开
ain a jn ain ann
ain ain 0 ain ann
推论 如果行列式中两行(列)相同，则行列式值为0，即：
性质4 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘 以同一数 k 等于用数k乘此行列式，即：
a12 ai 2 ai 2 an 2
ain ain a jn ann
ain ain ain ann
a11 a j1 ai1 an1
a11 ai1 ai1 an1
a12 a j2 ai 2 an 2
ai1 bi1 ai 2 bi 2 ain bin ai1 ai 2 ain bi1 bi 2 bin
性质3 互换行列式的两行(列) 则行列式变号即
a11 ai1 a j1 an1
a11 ai1 ai1 an1
a12 ai 2 a j2 an 2
a b 0 例3 a b满足什么条件时有 b a 0 0 ？ 1 0 1 解 a b 0 b a 0 a2b2 1 0 1
若要a2b20 则a与b须同时等于零 因此当a0且b0时 给定的行列式等于零
r4r3 r3r2 解 D r2r1 a b c d abc 0 a ab 0 a 2ab 3a2bc 0 a 3ab 6a3bc r4r3 a b c d r3r2 0 a ab abc 0 0 a 2ab 0 0 a 3ab a b c d r4r3 0 a ab abc a4 0 0 a 2ab 0 0 0 a
性质4行列式的某一行列中所有的元素都乘以同一数推论如果行列式中有两行列成比例则行列式值为0性质5把行列式的某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上去行列式不变a是任意的n阶矩阵对于n阶的初等阵e有deteadetedeta以及detaedetadete推论利用上述的性质和推论结合特殊类型的行列式的结果可以计算一般的行列式
线性代数与解析几何 课后答案 (代万基 廉庆荣)第二章书后习题2
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1, A , B , C , D 1 0 0 0 0 1 , 0 0 0 1
A D B C .从中可以看到，不能把行列式的所有结论都推广到分块矩阵。
a a x1 xn
a x2 a 0 0
a x1
a 0 x3 a 0
1
k 1
a xk a
0 0 0
(1
k 1
n
n a ) ( xk a ) xk a k 1
xn a
an
（4）
(a 1)n
(a n)n (a n )n 1 ( 1) an 1
习题 2-4
1. (1) 4
(2) 2
(3) 0
(4) 10
2.
O
B
A O
( 1)mn 6 ,
O
B
A C
( 1)mn 6 ,
D B A O
( 1)mn 6.
提高题 2-4
O O C O B ( mn ) k C ( 1)mn mk nk A B C 1. O B O ( 1) A O A O O
3
对矩阵进行初等变换时，关心的是用何种变换进行化简，最后化成何种形式。 3. k 和 l 需满足
k l a ，解方程组可求出 k 和 l . kl b
习题
2-3
n ( n 1) 2
1. (1) ( 1)
n!
(2) ( 1)
n ( n 1) 2
(3) 1 ( 1)1n x1 x2
提高题 2-2
第2讲 行列式性质
… ………
… ………
an1 an2 … ann
an1 an2 … ann
性质4 如果行列式有两行(列)的对应元素成
比例，则此行列式的值为零
15 6
例1 D= 2 3 8 =0
4 6 16
例2 设
a11 a12 a13
6a11 2a12 10a13
a21 a22 a23 =1，求 3a21 a22 5a23 。
123
例2 计算行列式的值 D= ○3 1 2 ○2 ○3 1
化成上三角式
解
123
123
D= 0 5 7 =- 0 1 5 =-
123
0 1 5
=18
0 1 5
0 5 7
0 0 18
r2 3r1 r3 2r1
r2 r3
120 1 例3 计算行列式的值 D= 1 3 5 0
r2 r1 r4 r1
a31 a32 a33
3a31 a32 5a33
解：
6a11 2a12 10a13 3a21 a22 5a23 3a31 a32 5a33
3a11 a12 5a13 2 3a21 a22 5a23
3a31 a32 5a33
a11 a12 a13 2(3)5 a21 a22 a23
a31 a32 a33
第二讲 行列式的性质
一 行列式的性质（6条） 二 一些特殊的行列式
行列式的转置：
第1行变为第1列， 第2行变为第2列,
… 第n行变为第n列
将行列式D的同号数的行换为同号数的列得到
的行列式称为D的转置行列式，记为DT或D
a11 a12 … a1n
D=
a21 …
a22 …
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0 0
0 x an
( x a i ) ( x a i ).
i 1 i 1
n
n
Page 22
评注 本题利用行列式的性质，采用“化零” 的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式． 化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多 的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零 的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数 化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则 应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到 化为三角形行列式之目的．
3 9 2 14
1 3 5 1 6
解
D 2 3
0 5
4 7
4 4 10 10 2 1 1 2 3 1
0 r2 3r1 2
0 0
1 4 7
0 2 14 10
2 1 6 2
Page 12
3 5
4 4 10
1 1 2 0 0 1 r2 3r1 2 0 4 7 3 5
a n1
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
Page 7
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零． 证明 a11
a12 a1n
a11
a12 a1n
a i 1 a i 2 a in
a i 1 a i 2 a in
x
a1
a2
a1 x a 2 D n 1 a1 a 2 x a 3 a n . a1 a 2 a 3 a 4 x
a3 an a3 an
Page 19
解 将第2,3,, n 1列都加到第一列，得
x ai x ai
i 1 n i 1 n i 1 n
1 a1 p1 aip j a jpi anpn ,
其中1i j n 为自然排列 , 为排列 p1 pi p j pn 的逆序数.
设排列 p1 p j pi pn 的逆序数为 1 ,则有
Page 5
1 1 , 故 D1 1 a1 p aip a jp anp
将第1列的( a 1)倍加到第2列，将第1列的 ( a２)倍加到第3列， , 将第1列的( a n )倍加到最 后一列，得
Page 21
1 1
1 0 0 1 x a1 0 n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 a1 x a 2 i 1 1 a 2 a1 a 3 a 2
即当 k i , j 时, bkp akp ; 当 k i , j 时,
bip a jp , b jp aip ,
于是
D1 1 b1 p1 bipi b jp j bnpn
1 a1 p1 a jpi aip j anpn
3 0 2 14 10
1 2 2 1 6 2
4 4 10
4
r2 2r1
1 1 2 0 0 1 0 2 0 7 3 5
3 0 4 14
1 3 2 1 6 2
Page 13
4 4 10 10
r3 3r1
1 3 2 0 4
0 0 0 4 6 1 1 2 3 1 0 2 1 5 3 r5 4r4 0 0 1 1 2 2 1 6 12. 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6
Page 16
a b
例2 计算 n 阶行列式
b a b
b b a b
1
1 1 j i
n
D. 证毕
例如
1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2
1 7 6 6 3 5
7 1 5 2 6 6 2. 5 3 8 8
5
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D D, D 0.
1 x1 y1 x1 ( y2 y1 ) Dn x1 ( yn y1 )
1 x2 y1 x2 ( y2 y1 ) x2 ( yn y1 )
1 xn y1 xn ( y2 y1 ) . xn ( yn y1 )
Page 24
第2行与第n行成比例，故 Dn 0. 说明 把行列式的某一行（列）的k倍加到其余 各行（列）是常用的方法之一。
Page 9
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． a11 a1i a1 j a1n 例如 a 21 a 2 i a 2 j a 2 j k
a n1 a ni a nj a nj a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n a21 (a2 i ka2 j ) a2 j a2 j ri krj an1 (ani kanj ) anj anj
Page 3
故
D DT .
证毕
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式 b11 b12 b1n
是由行列式 D detaij 互换 i , j 两行得到的,
Page 4
b21 b22 b2 n D1 , bn1 bn 2 bnn
k kai 1 kai 2 kain a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
kD
交换两行
kD 0
Page 8
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和. a a (a a ) a
b b b a
b b b a
D b
b b 解 将第 2,3,, n 都加到第一列得
a n 1b a n 1b b a b b b b a b
D a n 1b a n 1b
Page 17
a ( n 1)b 1 1 1 a (n 1)b b ab
1 1
b a b b b ab
b b b b a b b a b
0
ab
n1 a (n 1)b (a b) .
0
Page 18
例3
计算
T
a n1 an 2
ann
行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等.
Page 2
证明
记 D detaij 的转置行列式
b11 b12 b1n b21 b22 b2 n T D , bn1 bn 2 bnn
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1 x1 y1 1 x1 y2 例4 计算Dn 1 x1 yn
其中n>2.
1 x2 y1 1 x 2 y2 1 x 2 yn
1 xn y1 1 x n y2 . 1 x n yn
解 第1行的(-1)倍分别加到第2,3,, n行，得
Page 25
三、小结
行列式的6个性质 (行列式中行与列具有同 等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也 同样成立). 计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利 用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算 得行列式的值．
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思考题
计算4阶行列式
1 a 2 a 1 2 b 2 b D 1 2 c 2 c 1 2 d 2 d
2
a b c d
1 a 1 b 1 c 1 d
1 1 1 1
已知 abcd 1
Page 27
思考题解答
解
a D
2
a b c d
b2 c2 d2
1 a 1 b 1 c 1 d
1 1 1 1
1 a2 1 2 b 1 c2 1 d2
a b c d
1 a 1 b 1 c 1 d
1 1 1 1
Page 28
a abcd b c d
0.
1 1 1 1
1 a2 1 2 b 1 c2 1 d2
1 a a 1 b b 13 1 c c 1 d d
1 1 1 1
1 a2 1 2 b 1 c2 1 d2
1 a 1 b 1 c 1 d
Page 6
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 kai 1
a12 a1n
a11
a12 a1n
kai 2 kain k a i 1 a i 2 a in a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn
r4 4r1
1 1 2 3 1 0 0 1 0 2 0 0 2 0
1 1 0 2 0 0 0 2 0 0
0 1 2
2 1 0 1 2
4 5 2
3 5 4 0 2
1 3 2
1 3 1 2 2
Page 14
0 2
r2 r4
r3 r2
1 1 0 2 0 0 0 0 0 0
§2.2 行列式的性质
一、行列式的性质
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
二、应用举例
三、小结
4
1
2
1
一、行列式的性质