附合导线坐标差平差法

1.2 附合导线间接平差与精度评定
1.2.1 误差方程式列立
对于图1，其误差方程式列立过程如下。 （1）计算各待定点近似坐标 x0i ，y0i ； （2）计算各测边近似方位角近似边长；
T ioj
= arctg
yoj － yoi xoj － xoi
Sjok = (xk －xj )2 + (yk －yj )2 （7）
1 导线测量常规平差的原理
以图1为例，介绍条件平差与间接平差原理。
图1
1.1 附合导线条件平差与精度评定 1.1.1 条 件方程式列立
7
7
∑ Vβi +TAB +∑ β i－7×180°－TCD = 0
i=1
i=1
∑ ∑ －1
ρ
6
(yc －yi ) Vβi +
i=1
6 cosTi VSi + fx′ = 0
法方程及其解见式 11 和式 12 形式。
2.4 附合导线坐标差平差程序的编制 附合导线坐标差平差程序的编制主要步骤：导
线图形信息文件编制；程序流程图（参见图 3 ）； 程序结构图；界面设计。
项目
序号 1 2 3 4
5
6
7
8
表 1 观测值表
№ .1 Mar.2003
β
253 57 03 162 54 44 198 28 06 240 05 57 189 07 09 191 24 36 165 30 52 243 00 01
2003年3月
┆
Vs6
=
－
∆ xo67 so67
δ
x
6
－
∆ yo67 so67
δ y 6 +S067－
S6 （Βιβλιοθήκη Baidu）
1.2.2 法 方程式的组成与解算
由以上误差方程可写成矩阵形式
V＝Bδx + l
（10）
组成法方程
Nδx + U ＝ 0 （ 11）
式中
N ＝BTPB ，U ＝BTP l
cosT( i，j )－Δx ( i，j )
如图2所示，全钻仪从已知点1开始，测定各边 △x，△y及各点坐标，最后闭合于已知点3，对于 图2，产生坐标闭合差。对于图1，产生坐标闭合差 和方位角闭合差。此种情况下观测值为△x，△y，
d Δy ( i，j )= sinT(υ，j )·ds ( i，j ) +S ( i，j ) ·
9161.7443（.7443） 9300.8975（.8976）
结果分析 ： 从两种方法所得结果对比分析可以看出，最大 差值仅为0.1 mm，因此可以认为是一致的，说明 该坐标差程序是可以使用的。 3.2 算 例二 现有一坐标附和导线，其与算例一中图 4 的区 别在于没有观测最后一个转折角，观测数据和已知 点坐标同算例一。 算例二平差结果（括号内为按方向条件平差的 结果）参见表 4。
QLL —— 导线边方向角的协方差阵； QΔΔ—— 导线边的坐标差观测值的协方差
阵。
取测角中误差 mβ/ 2 作为单位权中误差，则
对方向值而言Q Ri = 1，对边长而言：
QS i
=
2m
2 S
m
2 β
,
11
第1 期 2003 年3 月
矿 山 测 量 MINE SURVEYING
求出QΔΔ，则 P∆∆ = Q－∆∆ 1
（3）列出各待定边的坐标方位角改正数方程
δTij
=
ρ″∆ yojk (sojk)2
δxj－
ρ″∆ xojk (sojk)2
δyj－
ρ″∆ yojk (sojk)2
δ
x
k
+
ρ″∆ yojk (sojk)2
δyk
（8）
（4 ）列出观测值误差方程
Vβ1 = δT12 +( T12 －T1B－β1 ) Vβ2 = δT23 －δT21＋( T23 －T21－β 2 )
┆
Vβ7 =－δT76 +(T70 －T76－β7 )
Vs2
Vs1 = =－
+
∆ xo12 so12
∆ xo23 so23
δ
xδ2x－2 +∆syo2∆3o2s3yo12o1δ2
δ y2 y2+
+S012－S1
∆ xo23 so23
δ
x
3+
∆ yo23 so23
δ
y3
+So23
－S2
第1期
矿山测量
i=1
∑ ∑ －1
ρ
6
(xc －xi ) Vβi +
i=1
6 sinTi VSi + fx′ = 0
i=1
（1）
式中
Ti—— 导线第 I 边的方位角。
f
′ x =
xA
+
6
∑
∆ xi
－xc
，
f
′y =
yA
+
6
∑
∆ yi
－yc
i=1
i=1
1.1.2 法方程式组成与解算
AV + W = 0
（2）
y 9578.655 8744.337 9420.179 9950.980 8785.0508(.0509) 8785.9599(.9600) 8863.1235(.1235) 9029.2026(.2027) 9161.7441(.7442) 9300.8974(.8974)
4结 论
通过对以上算例进行的坐标差平差结果与按方 向条件平差结果的比较，可以看出其结果是一致 的。因此证明了本坐标差平差方法和程序的正确 性，说明了坐标差平差方法是可行的。这给用全站 仪进行导线测量提供了平差方法，因为很多情况下 全站仪导线测量提供的是坐标差观测值，此时可以 应用本文的方法和程序以坐标差为观测值进行平 差。
第1期 2003年3 月
矿 山 测 量 MINE SURVEYING
附合导线坐标差平差法
№.1 Mar.2003
王晓英 张华海（中国矿业大学环测学院 江苏 徐州 221008）
摘 要 文 中依据导线测量条件平差和坐标平差的基本原理，导出了导线测量按坐标差平差的原理和实际应用公式，并编 制 了相应的计算程序。通过实例计算，证明了导线测量按坐标差平差方法的正确性和实际上的可行性。
表 3 平差结果
图3
3 算例分析 3.1 算例一 ：
现有一附合导线如下图4（ 见 文 献[2] 第 536 页）。
图4
12
no
x
y
1
1192.4593
9578.6555
2
1743.742
8744.337
3
2285.991
9420.179
4
1438.495
9950.9807
5
1873.5906（.5907）
cosT( i，j )d ( T0+R2－R1+……) +S ( i，j)·
sinT( i，j )－Δy ( i，j )
（18）
对于图1 ，
因此平差即为坐标差平差。
2.2 以坐标差作为观测值列立误差方程式
以图2 为例，各导线边坐标差为
∆x
(1,
4
)
=
^
x
^
4 －x
1，
∆
y
(1,
4
)
=
^
y4
^
－y
1
^
┇
δ∆x(8,3) =－δ x8 +(x3 －x°8 )－Δx°(8,3) ， δ∆y(8,3) =－δ y8 +(y3 －y°8 )－Δy°(8,3) （15）
对于图1，应增加两个误差方程式： δ∆xCD =(x D －xC )－ΔSCD·cosT°CD δ∆yCD =(y D －yC )－ΔSCD·cosT°CD
（16）
式中 T°CD —— 由TAB 推算出的近似方位角。
2.3 观测值Δx ( i，j )，Δy ( i ，j)权的确定
解算法方程，即可求得未知数
因为Δx ( i，j )，Δy ( i ，j)由测边，测角计算
δx ＝－(BTPB )－1 BTP l （12）
1.2.3 精度评定
m0 = ±
式中
2.1 实际应用例
T ( i，j )—— 边Sij 的方位角； Ri —— 推算T ( i，j )时用到的角方向值。 则
d Δx ( i，j )= cosT(υ，j )·ds ( i，j ) －S ( i，j ) ·
图2
sinT( i，j )d ( T0+R2－R1+……) +S ( i，j )·
8785.0507（.0508）
6
2034.6038（.6039 ）
8785.9597（.9598）
7
2261.3451（.3451）
8863.1235（.1236）
8
2293.9420（.9421）
9029.2028（.2028）
9
2298.5337（.5337）
10 2275.4310（.4310）
关键词 附合导线 坐标差 条件平差 坐标平差
导线测量一般是用经纬仪测量转折角，用测 距仪测量边长。导线平差按常规的平差方法是按方 向（或按角度）条件平差或坐标平差。目前，用全 站仪进行导线测量时，除了能提供边长和角度观测 值外，还提供导线边的坐标差。然而，按坐标差进 行平差在现有的教科书中尚未见到描述。本文探讨 用坐标差作为观测值进行导线测量的平差方法，以 便在实际应用中参考。
^
∆ x (4, 5 ) = x 5 －x 4，
^
^
∆ y (4, 5 ) = y 5 －y 4
┇
┇
^
^
^
^
∆ x (8, 3 ) = x 3 －x 8， ∆ y (8, 3 ) = y 3 －y 8（14）
式中
d Δx CD =－S·sinTd ( T0+R2－R1+…… ) d Δy CD =－S·cosTd ( T0+R2－R1+…… )（19）
S —— 已知边长。
由此可写成矩阵形式为：
Δ= AL + W
QΔΔ= AQLL AT 式中
（20 ）
坐标差误差方程式为： δ∆x(1,4) = δ x4 +(x°4 －x1)－Δx°(1，4) ， δ∆y(1,4) = δ y4 +(y°4 －y1)－Δy°(1，4) ；
δ∆x(4,5) = δ x5 －δx4+(x°5 －x°4 )－Δx°(4，5) ， δ∆y(4,5) = δ y5 －δy4+(y°5 －y°4 )－Δy°(4，5) ；
参考文献
[1] 吴俊旭等编 . 控制网测量平差 . 北京：测绘出版社，1988 [2] 吴俊旭等编.PC-1500 机BASIC 程序统计与测量计算程
序 . 北京：测绘出版社，1988 [3] 张凤举等编著. 控制测量学. 北京：煤炭工业出版社，
1999 [4] 龚沛曾等编 . VB 程序设计 . 北京：高等教育出版社
第1 期
表 4 平差结果
矿山测量
2003 年 3 月
有一些算例，因篇幅所限，不再列入。
no 1 2
3 4 5 6 7 8 9 10
x 1192.459 1743.742 2285.991 1438.495 1873.5907(.5907) 2034.6040(.6040) 2261.3454(.3454) 2293.9431(.9432) 2298.5352(.5352) 2275.4323(.4323)
结果分析： 对照分析可以看出，坐标差平差结果和按方 向条件平差结果是完全一致的，进一步证明了程序 编制的正确性。 算例一与算例二结果分析比较： 算例一与算例二不同之处在于，算例一中为坐 标方向附合导线，而算例二中导线由于未测最后一 个转折角仅为坐标附合导线。条件平差时算例一比 算例二多一个方位角条件，因此，算例一所算得的 未知点坐标精度应高于算例二。在坐标差平差中， 对于算例一则可以如前面坐标差平差设计思想中所 叙述的那样，增加两个已知边的坐标差误差方程 式。实际结果也证明了该种处理方法的正确性。还
N ＝ AP－1AT （3）
NK +W ＝0 （4）
10
∴ K = －N －1W
（5）
V ＝ P －1AT K （6）
观测值加上改正数即得平差值
1.1.3 精度评定
m0 = ±
V T PV γ
式中
γ—— 多余观测个数。
V n
T PV －t
（13）
式中：n 为观测值个数；t 为未知数的个数。
2 附合导线按坐标差平差原理
而得，因此 Δx ，Δy 的权应以边、角的权确定。 Δx ( i，j ) =S ( i，j)·cosT ( i，j ) = S ( i ，j)·cos ( T0+R2－R1+…… ) Δy ( i，j ) =S ( i，j)·sinT ( i，j ) = S ( i ，j)·sin ( T0+R2－R1+…… ) （17）
s
136.082 161.016 239.512 169.248 132.621 141.058 119.748
表 2 已知数据表
点号
X
Y
1
1192.4593
9578.6555
2
1743.7420
8744.337
3
2285.991
9420.179
4
1438.4950
9950.9807
平差结果（括号内为按方向条件平差的结果） 参见表 3。
第一作者简介 王晓英，女，1981 年出生，2002 年于中国 矿业大学环境与测绘学院获学士学位，现在中国矿业大学环 境与测绘学院攻读硕士学位。
（收稿日期：2002 年 9 月 27 日）
（上接第 15 页） 2.4 测量放线与施工用线
测量放线即根据施工进度用经纬仪或坡度规 分段给出腰线M′ A和 A′Ｎ′；施工用线即在腰线 方向上每前进一米定出一点，然后根据过该点的 掘进坡度或掘进坡度与腰线的夹角用半圆仪定出 掘进方向，并在法线方向上丈量该点到底、顶板 的距离，以此指导施工。