全国高中数学优秀课评选：《9.6空间向量的夹角和距离公式》教学设计教案或说明
用空间向量研究距离和夹角问题说课
用空间向量研究距离和夹角问题说课空间向量是指具有大小和方向的向量，通常用来描述物体在三维空间中的位置和运动。
在数学和物理学中，空间向量经常被用来研究距离和夹角的问题。
我将从距离和夹角两个方面来阐述空间向量的相关知识。
首先，让我们来谈谈空间向量的距离问题。
在三维空间中，两个点的距离可以通过它们对应的空间向量来计算。
假设有两个点A 和B，它们分别对应空间向量OA和OB，那么点A和点B之间的距离可以表示为向量AB的模长。
具体而言，向量AB的模长可以通过以下公式计算，|AB| = √((x_B x_A)^2 + (y_B y_A)^2 + (z_Bz_A)^2)，其中(x_A, y_A, z_A)和(x_B, y_B, z_B)分别是点A和点B的坐标。
这个公式实质上就是三维空间中两点之间的距离公式，它利用空间向量的坐标表示来计算点之间的距离。
其次，让我们来探讨空间向量的夹角问题。
在三维空间中，两个向量的夹角可以通过它们的数量积来计算。
假设有两个向量a和b，它们的夹角θ可以通过以下公式计算，cosθ = (a·b) / (|a||b|)，其中a·b表示a和b的数量积，|a|和|b|分别表示a和b的模长。
这个公式实质上就是利用数量积的定义来计算两个向量之间的夹角，从而可以通过空间向量的坐标表示来求解夹角问题。
总的来说，通过空间向量的研究，我们可以很好地解决距离和夹角问题。
通过对空间向量的坐标表示和数量积的运用，我们可以准确地计算两点之间的距离和两向量之间的夹角，这对于数学和物理学中的问题都具有重要的意义。
希望通过这样的说课，能够让学生更好地理解和运用空间向量的相关知识。
用空间向量研究距离、夹角问题(第一课时)-高中数学获奖教案
1.4.2用空间向量研究距离、夹角（第一课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1. 能利用投影向量得到点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．2. 能用向量方法解决点到直线、平行线间、点到平面、直线到平面（直线与平面平行）、平行平面间的距离问题．3. 结合一些具体的距离问题的解决，体会向量方法在研究距离问题中的作用，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.二、教学重难点1. （重点）利用投影向量推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．.2. （难点）利用投影向量统一研究空间距离问题.三、教学过程1.公式的推导1.1复习回顾【实际情境】如图，在空间中任取一点，作，.问题1：（1）怎样表示向量方向上的单位向量？（2）如何作出向量在向量方向上的投影向量？（3）怎样用单位向量表示向量在向量方向上的投影向量及投影向量的模？【活动预设】学生回忆已学的概念、讨论交流．【预设的答案】（1）； （2）过点作垂直于直线，垂足为，向量即为向量在向量方向上的投影向量；（3），即，.【设计意图】投影向量的概念是一个比较抽象的概念，不易被学生理解，而本节课距离公式的推导主要依赖于投影向量.投影向量的几何意义、代数表示及模，既体现了几何直观，又体现了代数定量刻画，从而提供了研究距离的方法. 复习回顾求任意非零向量方向上的单位向O OM = a ON = b b u a b u a b ||b u =b M 1MM ON 1M 1OMab 1=cos=cos |)|(OM θθ |a |u |u u =a |u a u 1=()OM a u u 1||=||OM a u x量，及投影向量的相关知识点，以便于学生更好的参与后续公式的推导过程，以及对公式的理解，进而突破难点.1.2探究思考，提炼公式探究一：已知直线的单位方向向量，是直线上的定点，P 是直线外一点.如何利用这些条件求点到直线的距离？【活动预设】结合已有知识，小组讨论思考，每组选出代表回答. 连接，得到向量在直线直线上的投影向量，表示投影向量，求.进而利用勾股定理，可以求出点到直线的距离.【预设的答案】如图，设，则向量在直线上的投影向量.在中，由勾股定理，得.【设计意图】学生多思考，多发言，老师引导学生实现问题的转化，让学生经历公式的推导过程， 发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养.问题2：若与直线垂直，点到直线【预设的答案】若与直线垂直，则.问题3：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点以及直线，l u A l l P l AP APl AQAQ ||AQ P l PQ AP = a AP l |cos |cos |()AQ PAQ PAQ =∠=∠= a |u a |u |u a u u Rt AQP △PQ ==AP l P l AP l 0= a u ||||PA PQ ==P l那么点应该如何确定？【预设的答案】 点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度不会随着点的变化而变化，故点可以是直线上的任意一点.问题4：求解距离的过程中是否需要确定垂线段的垂足？【预设的答案】不需要，只需要参考向量和直线的单位方向向量.【设计意图】通过问题串，引导学生继续深入理解用空间向量的方法解决点到直线距离问题的方法，理解利用向量求解点到直线距离问题时，只需该点和直线上的任意一点确定的参考向量，不必确定垂足的位置，体会向量方法的的优越性.教师讲授：要理解公式中各字母的含义，明确点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.因此，求解点到直线距离问题时，只需直线的方向向量及直线上的任意一点，这样得到参考向量或， 再求得直线的单位方向向量带入公式即可.问题5：求点到直线距离的主要有哪些方法？【预设的答案】(1)作点到直线的垂线,点到垂足的距离即为点到直线的距离；(2)在三角形中用等面积法求解；(3)向量法，即点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.思考：类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行线间的距离？【预设的答案】在其中一条直线上任取一点，将求两条平行直线之间的距离转化为求点到另一条直线的距离.【设计意图】根据已有知识类比学习，引导学生明确平行直线间的距离的求法：转化为一条直线上的任一点到另一条直线的距离，让学生感悟转化思想，化未知为已知．为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，在思想方法上做铺垫.A A A l P l P l A P l l l A AP PA P P2探究二 已知平面的法向量为,是平面内的定点，是平面外一点.过点作出平面的垂线，交平面于点.类比点到直线距离的研究过程，如何用向量表示？【预设的答案】如图,向量在直线上的投影向量是，且. 问题6：点到平面的距离应该怎样表示？【预设的答案】 . 【设计意图】 教师提出问题串，类比点到直线距离的研究过程，合作探究，得到点到平面的距离公式，让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中，平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观，又提供了代数定量刻画.在这个过程中，向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利.问题7： 在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点以及平面，那么点应该如何确定？求解距离的过程中是否需要找出点在平面内的投影以及垂线段？【预设的答案】点可以是平面内的任意一点.不需要找出点在平面内的投影以及垂线段.【活动预设】教师提出问题串，引导学生思考，加深对公式的理解，教师总结.αn A αP αP αl αQ AP QP APl QP |cos QP AP PAQ =∠ n ||n |P α|||||||||cos |||||AP QP AP PAQ ⋅=∠= n n n n P αA P αA αPα教师讲授：求解点到平面距离问题时，理解公式中各字母的含义，只需平面的法向量及平面内的任意一点，这样得到“参考向量”，明确点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比，即参考向量与法向量方向上的单位向量的数量积取绝对值.【设计意图】 类比点到直线距离的研究方法，以类似的方法研究点到平面的距离，使学生学会距离公式的同时，体会数学中常见的研究问题的方法“类比”.思考：如果直线与平面平行，如何求直线与平面的距离？如何求两平行平面之间的距离？【预设的答案】 先证明直线与平面平行或面面平行，再转化为点到平面的距离.【设计意图】 通过对所提问题的思考，引导学生明确直线到平面的距离以及两平行平面的距离的求法：都可以转化为点到平面的距离．师生共析，将平行于平面的直线和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，得到统一的向量表达式，进一步体会转化的思想.问题8：求点到平面的距离主要有哪些方法？【预设的答案】 (1)作点到平面的垂线,点与垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法，即点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比.2.初步应用，解决问题例1 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.(1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离.P αααA l α1111ABCD A B C D -E 11A B F AB B 1AC FC 1AEC【活动预设】学生分析解题思路，教师给出解答示范.让学生注意到点在直线上，因此，可以选择作为参考向量.事实上，可以选择直线上的任意一点和确定“参考向量”，另外，让学生注意到平面的法向量不唯一.【预设的答案】解：以为原点， ，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，,,,,. （1） 取，，则 ，． 所以，点到直线． (2) 因为，所以，又面，面，所以平面，所以点到平面的距离，即为直线到平面的距离．设平面的法向量为，则 所以 所以取，则，,所以，是平面的一个法向量,又因为， A 1AC AB 1AC F 1AEC 1D 11D A 11D C 1D D x y z (1,0,1)A (1,1,1)B (0,1,1)C 1(0,1,0)C 1(1,,0)2E 1(1,,1)2F (0,1,0)AB = 1(1,1,1)AC =-- 1(0,,1)2AE =- 11(1,,0)2EC =- 1(1,,0)2FC =- 1(0,,0)2AF = (0,1,0)AB == a 11||1,1,1)AC AC ==-- u 21=a ⋅=a u B 1AC ==11(1,,0)2FC EC ==- 1//FC EC FC ⊄1AEC 1EC ⊂1AEC //FC 1AEC F 1AEC FC 1AEC 1AEC (,,)x y z =n 10,0.AE EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 10,210.2y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩2,.y z x z =⎧⎨=⎩1z =1x =2y =(1,2,1)=n 1AEC 1(0,,0)2AF =所以点到平面的距离为即直线到平面【设计意图】通过典型例题，使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法，体会向量方法再解决距离问题中的作用，渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程,并注意培养学生规范的解题能力.追问： 求两种距离的步骤是怎样的？【活动预设】学生结合具体实例及公式特征，尝试总结解题步骤，教师总结.【预设的答案】点到直线的距离 ：第一步：建系，在直线上任取一点 (注：选择特殊便于计算的点)，求“参考向量(或)”的坐标. 第二步： 依据图形先求出直线的单位方向向量.第三步：带入公式求解.点到面的距离 :第一步：建系，选择“参考向量”；第二步：确定平面的法向量；第三步： 带入公式求值.【设计意图】总结求解距离问题的步骤，培养学生抽象概括的数学素养.3. 梳理归纳，感悟本质思考：回顾这节课的学习，我们学习了哪些内容？用的是什么方法？【预设的答案】本节课我们一起应用空间向量及其运算研究了求空间中的距离问题，包括两点间的距离，点到直线的距离，平行直线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等，结合投影向量、勾股定理以及向量数量积运算等，我们得到F 1AEC ||||AF ⋅== n n FC 1AEC P l l A AP PA l u P αAP αn了这些距离问题的计算公式，并通过例题的解决，体会了公式的使用，在很多问题中，我们需要建立空间直角坐标系，求出点的坐标，以及直线的方向向量、平面的法向量的坐标表示，代入公式进行计算．我们用类比和转化的研究方法，把要解决的五个距离问题转化为两个距离问题，几何问题转化为向量问题，求解距离转化为向量运算，在此过程中提升直观想象、数学运算和逻辑推理等数学学科核心素养．教师讲授：本节课的学习你体会到向量方法解决立体几何问题的“三步曲”吗？与用平面向量解决平面几何问题的 “三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的 “三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面, 把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.四、课后作业1．在棱长为的正方体中，点到平面的距离等于_________；直线到平面的距离等于________；平面到平面的距离等于__________．2．已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ）ABCD3．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）A ．B ．C ．D ． 4．如图，在棱长为的正方体中，求平面与平面的距离．11111ABCD A B CD -A 1B C CD1AB 1DA 1CB l (2,3,1)A (0,1,1)=n ()4,3,2P l α()2,2,1=--n ()1,3,0A -α()2,1,4P -α1038310311111ABCD A B C D -1A DB 11D CB【设计意图】作业中的4个题目，包括了求点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及两平行平面间的距离等主要的距离问题，尤其突出训练了本节课的重点以及难点，即点到直线、点到平面的距离.这样可以使学生巩固课上所学习的知识，提升对公式的应用能力.。
空间向量的坐标运算-夹角和距离公式(教案说明)
空间向量的坐标运算-夹角和距离公式教案说明江西省宜丰中学熊星飞一、教材在本章节中的地位及作用1．向量的坐标运算是在空间向量的运算（加减法运算、实数与向量的积，空间向量的基本定理的基础上，用坐标对几何图形进行量化，通过对运算来掌握向量的关系和性质；2．向量的运夹角和距离公式是在空间向量的坐标及坐标运算的基础上，对向量的夹角和距离进行的一种运算，是空间解析几何的基础；3．本节内容渗透了转化、化归、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材；4．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生抽象思维及空间想象的能力。
5．课时安排空间向量的坐标运算共分4个课时（第一课时：空间直角坐标系；第二课时：空间向量的直角坐标运算；第三课时：空间向量夹角与距离公式的掌握及简单运用；第四课时：空间向量的坐标运算综合运用。
本节课是第三课时（夹角与距离公式的掌握及简单运用）二、教学目标1．知识目标：能把实际问题转化为立体几何的问题，立体几何问题再用坐标运算进行解决；2．能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．3．情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．4．知识教学点（1）．掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式；（2）．会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直；（3）．会运用向量的夹角公式求异面直线所成的角。
三、教学重点与难点1．教学重点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用。
2．教学难点：异面直线所成的角与空间两向量夹角的关系。
四、教学方法与手段1．教学方法为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，本节课采用对比学习、启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质。
空间向量高中数学教案
空间向量高中数学教案
一、教学目标：
1.认识空间向量的基本概念和性质；
2.掌握空间向量的表示方法和运算规律；
3.能够应用空间向量解决实际问题。
二、教学重点：
1.空间向量的定义和表示方法；
2.空间向量的加法和减法；
3.空间向量的数量积和夹角公式。
三、教学内容：
1.空间向量的概念和表示方法：
（1）空间向量的定义；
（2）空间向量的表示方法：坐标表示、分量表示；
2.空间向量的加法和减法：
（1）向量的加法和减法规律；
（2）向量相等的条件；
3.空间向量的数量积和夹角公式：
（1）向量的数量积定义和性质；
（2）向量夹角的余弦公式。
四、教学过程：
1.导入：通过一个实际问题引入空间向量的概念；
2.讲解：讲解空间向量的定义、表示方法、运算规律和性质；
3.练习：让学生进行一些空间向量的计算练习；
4.拓展：引导学生应用空间向量解决实际问题；
5.总结：对本节课所学内容进行总结回顾。
五、课后作业：
1.完成课上未完成的练习题；
2.阅读相关教材知识，做一些拓展练习；
3.思考并总结今天所学内容，准备下节课的复习。
六、教学反思：
通过本节课的教学设计，学生能够掌握空间向量的基本概念和运算方法，锻炼学生的空间思维能力，提高解决问题的能力。
在教学过程中要注重引导学生主动思考和探究，激发学生学习的兴趣和积极性。
用空间向量研究距离、夹角问题(第二课时)-高中数学获奖教案
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第二课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学内容两条直线所成的角，直线与平面所成角，两个平面的夹角.二、教学目标1、理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成角.2、理解直线与平面所成角与直线的方向向量和平面的法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成角.3、理解二面角大小与两个平面法向量夹角之间关系，会用向量方法求二面角的大小.4、让学生体验向量方法在解决立体几何问题中的作用.5、通过本节学习，提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养．三、教学重点与难点重点：利用向量的数量积研究两条直线所成的角、直线与平面所成角、两个平面的夹角.难点：根据问题的条件选择适当的基底.四、教学过程设计导入问题：与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势.本节我们用空间向量研究夹角问题，你认为可以按怎样的顺序展开研究.师生活动：学生独立思考、小组讨论后，通过全班讨论达成对研究路径的共识，即：直线与直线所成的角直线与平面所成的角平面与平面所成的角.设计意图：明确研究路径，为具体研究提供思路.1.典型例题，求解直线与直线所成的角例7 如图1.4-19，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，求直线和夹角的余弦值.用向量方法求解几何问题时，首先要用向量表示问题中的几何元素.对于本问题，如何用向量表示异面直线和？它们所成的角可以用向量之间的夹角表示吗？追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？师生活动：首先教师分析题目的条件：已知正四面体的棱长和棱与棱之间夹角，和是中线，其模长可求，与其他棱的夹角也是确定的，这些条件都有利用向量基底的选取.接着在学生回答的基础上，教师补充后形成共识：求异面直线和的夹角时，只要用基底向量表示它们的方向即可，这样，异面直线和的夹角，可以转化为求向量与向量的夹角.为此，选择为基底并表示向量，. 在此基础上，将此问题推广到一般，学生思考后作答，教师对学生的回答给予补充.梳理出将立体几何问题转化成向量问题的途径：途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题；途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题.实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底.→→ABCDM N ，BC AD , AM CN AM CN AM CN AM CN AM CN MA CN {},,CA CB CD MA CN追问2：请你通过向量运算，求出向量，夹角的余弦值，进而求出直线和夹角的余弦值. 师生活动：学生利用向量的数量的数量积求出向量，夹角的余弦值，从来解决问题. 解：化为向量问题 以为基底，则， 设向量夹角为，则直线和夹角的余弦值为.进行向量运算， 而都是正三角形，所以， 所以，， 回到图形问题所以，直线和夹角的余弦值为. 小结：研究立体几何问题要注意转化思想，将立体几何问题化为向量问题进行向量运算回到图形，解决立体几何问题.追问3：回顾问题1的求解过程，你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成的角的一般方法吗？ 师生活动：教师引导学生梳理，得出：将直线与直线所成的角转化成直线的方向向量的夹角，进而利用向量的数量积求解.也就是说，若异面直线所成的角为，其方向向量分别为，则 在此基础上，教师板书下面的过程，让学生进一步认识用向量方法解决几何问题的基本步骤：几何问题向量问题向量运算几何解释设计意图：通过用向量方法求解一个空间直线与直线所成角的具体问题，归纳得出用向量方法求解直线与直线所成角的角度的一般方法.MA CN AM CN MA CN {,}CA CB CD，12MA CA CM CA CB =-=- 11.22CN CA CD =+ MA CN 和θAM CN θcos CN MA ⋅= 1122CA CD ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭ 12CA CB ⎛⎫- ⎪⎝⎭211112424CA CA CB CD CA CD CB =-⋅+⋅-⋅ 2181418121=-+-=ACD ABC ∆∆和MA CN == 2cos 3θAM CN 32⇒⇒12,l l θ,u v cos cos ,.u v u v u v u v u vθ⋅⋅=<>== →→→2.类比研究，求解直线与平面、平面与平面所成的角问题2：你能用向量方法求问题1中的直线与平面所成的角吗？一般地，如何求直线和平面所成的角？追问：这个问题的已知条件是什么？如何将几何问题转化成向量问题？师生活动：教师引导学生分析已知条件，明确平面的法向量在解决直线与平面所成角的问题中的关键作用，将直线与平面所成的角转化成直线的一个方向向量与平面的一个法向量的夹角，进而利用向量的数量积求解.进一步地，师生共同给出求直线与平面所成角的步骤和方法.即将直线与平面所成的角转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，从而得到直线与平面所成角的一般表达式 其中，为直线的方向向量，为平面的法向量.设计意图：通过本问题的解决，让学生体会法向量在求解直线与平面所成角时的关键作用，并得出一般的求解直线和平面所成角的量表达式.问题3：类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为应如何合理定义两个平面所成的角？进一步地，如何求平面和平面的夹角？师生活动：教师给出两个相交平面的图形，让学生类比已有的空间基本元素所成角的定义，给两个平面所成的角下定义.教师可以追问学生：“角度是度量方向差异的量，那么决定平面方向的是什么？”从而启发学生用两个平面的法向量刻画两个平面所成的角.在学生讨论、交流的基础上，教师小结如下：如右图，平面和平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面和平面的夹角. 类似两条异面直线所成的角，若平面，的法向量分别是，，则平面和平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面和平面的夹角为，则 追问1：如何求平面的法向量？师生活动:学生思考、回答后，师生共同总结求平面法向量的方法：在平面内找两个不共线的向量和，设平面的法向量为，则 AB BCD AB BCD AB BCD sin cos ,.u n u n u n u n u nα⋅⋅=<>== u n αβ090αβαβ2n1n αβ1n 2n αβθ1212121212cos cos ,.n n n n n n n n n n θ⋅⋅=<>== a b (),,n x y z = 0,0.n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩根据这个不定方程组，可以求得一个法向量. 教师在学生回答的基础上进一步指出，求得的是法向量中的一个，不是所有的法向量，但所有法向量可以用表示，即.追问2：你能说说平面与平面的夹角与二面角的区别和联系吗？师生活动：学生思考、回答，教师与学生共同总结.二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围是；而平面和平面的夹角是指平面和平面相交，形成的四个二面角中不大于的二面角.设计意图：引导学生类比已有的空间基本元素所成角的定义，建立平面与平面的夹角的概念，并进一步利用向量方法得到求解两个平面夹角的表达式.结合法向量的求解，使学生体验不定方程组的“通解”和“特解”之间的关系，体会一般性寓于特殊性之中的道理.通过对平面与平面的夹角和二面角的辨析，使学生对平面与平面的夹角的理解更加深入.3.巩固应用，解决立体几何中的角度问题例8 如图1.4-22，在直棱柱中，，，，为中点，分别在棱，上，，.求平面与平面夹角的余弦值.师生活动：教师引导学生先分析题意，明确解题思路，再让学生独立解答，教师根据学生的解答板书补充，其中重点关注法向量的求法.为了保证解题规范，教师展示学生的解答，并适当完善学生板书.设计意图：通过例题巩固平面与平面所成的角的求解方法，进一步理解法向量的夹角和两个平面所成角的关系，进一步体会向量方法解决立体几何问题的一般步骤.分析：平面与平面夹角可以转化为平面与平面法向量的夹角.解：转化为向量问题以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系，设平面法向量为，平面法向量为，平面与平面夹角即为，的夹角或其补角.进行向量运算平面的一个法向量为.()0000,,n x y z = ()0000,,n x y z = (),,n x y z = ()0000,,n x y z = 0n kn = θ0θπ≤≤αβαβ090111C B A ABC -2==CB AC 31=AA 090=∠ACB P BC R Q ，1AA 1BB AQ Q A 21=12RB BR =PQR 111C B A PQR 111C B A PQR 111C B A 1C C C B C A C 11111，，轴轴、轴、z y x 111C B A 1n PQR 2n PQR 111C B A 1n 2n 111C B A )1,0,0(1=n由题意，，，，，.设，则即 所以 令得，则 回到图形问题设平面与平面夹角为，则， 即平面与平面. 小结：用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；通过向量的运算，研究点、线、面之间的位置关系和它们之间距离、夹角等问题；把向量运算的结果“翻译”成相应的几何问题.4.归纳小结教师引导学生回顾本节课的学习内容，回答下面的问题：（1）这节课主要学习了哪些内容？（2）研究这些内容主要用了什么方法？（3）用向量方法解决立体几何问题的一般步骤是什么？设计意图：师生共同小结本节课学习的内容和学习过程，通过小结，让学生体会到，直线、平面间的角度刻画了它们的方向的差异，因而可用方向向量或法向量“代表”直线或平面，从而将直线、平面间的角度问题转化为相应的求相应的方向向量、法向量的夹角.进一步体会用向量方法解决立体几何问题的一般步骤.5.布置作业教科书习题1.4第9，10题.五、目标检测设计教科书练习第1，2，3，4题.设计意图：考查利用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的能力.)310(，，P )202(，，Q )120(，，R )112(--=，，PQ )210(-=，，PR 2(,,)n x y z =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,022PR n PQ n ⎩⎨⎧=-=--,02,02z y z y x ⎪⎩⎪⎨⎧==,2,23z y z x 2z =)2,4,3(2=n 121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>===⋅PQR 111C B A θ12cos cos ,n n θ=<>=PQR 111C B A 38P。
空间向量的夹角和距离公式(讲课)
| AM| 5 30 6.故 点 A到 直 线 EF的 距 离 为6.
2 10 4
4
课堂练习：
1 . 若 正 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 边 长 为 1 , E , F 分 别 是
C C 1 , D 1 A 1 的 中 点 . 求 ( 1 ) < F E , F A , ( 2 ) 点 A 到 直 线 E F 的 距 离 .
四、课堂小结：
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。
作业与练习
P74：1、2、4
A B (x 2 x 1,y 2 y 1,z2 z 1 )
|A B |A BA B(x 2 x 1 )2 (y 2y 1 )2 (z2 z1 )2
d A ,B(x 2 x 1 )2 (y 2y 1 )2 (z2 z1 )2
（2）.两个向量夹角公式
cosa,b ab
a1b1a2b2a3b3
;
|a||b| a12a22a32 b12b22b32
cosFE,FA 30.
4
10
课堂练习：
1 . 若 正 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 的 边 长 为 1 , E , F 分 别 是
C C 1 , D 1 A 1 的 中 点 . 求 ( 1 ) < F E , F A , ( 2 ) 点 A 到 直 线 E F 的 距 离 .
D
O
A
x
C
y
|BE1|
1 47,|DF1|
高中数学教学备课教案向量的应用空间向量的夹角和平面与空间曲面的位置关系
高中数学教学备课教案向量的应用空间向量的夹角和平面与空间曲面的位置关系高中数学教学备课教案向量的应用：空间向量的夹角和平面与空间曲面的位置关系一、引言数学中的向量概念是重要且基础的内容之一，在高中数学教学中，向量的应用更是不可或缺的一部分。
本教案将针对向量的应用进行备课，并重点探讨空间向量的夹角以及平面与空间曲面的位置关系。
二、空间向量的夹角1. 概念解析空间中的两个向量之间可以通过夹角进行描述。
向量的夹角是指两个向量之间的夹角，可以通过向量的点乘和模的乘积来求解。
2. 夹角的定义设有两个非零向量u和v，它们之间的夹角θ满足cosθ = (u·v) / (|u|·|v|)。
3. 夹角的性质- 夹角θ的范围为0 ≤ θ ≤ π。
- 夹角θ为锐角时，cosθ > 0；夹角θ为直角时，cosθ = 0；夹角θ为钝角时，cosθ < 0。
- 若向量u和v平行，则夹角θ为0或π。
4. 夹角的应用夹角的概念在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在力学中，如果两个力的夹角为0，则它们的方向相同；如果夹角为π，则它们的方向相反。
三、平面与空间曲面的位置关系1. 平面与曲面的交线平面和曲面之间的交线是理解平面与曲面的位置关系的重要概念之一。
2. 平面与柱面的位置关系- 当平面与柱面平行时，它们之间没有交点。
- 当平面与柱面相交时，它们的交线在柱面上。
3. 平面与锥面的位置关系- 当平面与锥面平行时，它们之间没有交点。
- 当平面与锥面相交时，它们的交线在锥面上。
4. 平面与球面的位置关系- 当平面与球面相切时，它们的交线是球面上的一条切线。
- 当平面与球面相交时，它们的交线是球面上的一条曲线。
四、教学案例为了加深学生对空间向量的夹角和平面与空间曲面的位置关系的理解，可以通过以下教学案例进行讲解和演示。
教学案例1：给定一个平面和一个空间曲面，让学生利用向量的知识求解它们的位置关系，并用图形进行说明。
高中高三数学《空间向量及其应用》教案、教学设计
1.教学活动设计：将学生分成若干小组，针对空间向量相关知识，设计具有挑战性的问题，让学生进行小组讨论。
2.教学内容：
-设计问题：如空间向量的线性组合、线性相关性的判断等；
-小组讨论：学生在小组内部分享观点，共同探讨解决问题的方法。
3.教师引导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，关注学生的讨论进展，适时给予提示和建议。
-学生自主总结：让学生用自己的语言描述空间向量的概念、坐标表示、线性运算等。
3.教师引导：引导学生从知识、方法和情感等方面进行总结，提升学生的综合素质。
4.学生参与：学生积极参与总结过程，分享自己的学习心得和感悟，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对空间向量的理解，提升学生的解题能力，特布置以下作业：
作业要求：
1.学生需认真对待每一次作业，确保作业质量；
2.提交作业前，相互检查，确保答案正确，书写规范；
3.教师将对作业进行认真批改，并及时给予反馈，学生应认真对待教师的评价和建议；
4.鼓励学生在完成作业的过程中，积极思考、探索，形成自己的解题思路和方法。
2.增强学生解决问题的信心，让学生在面对复杂问题时，能够运用所学知识进行分析、求解；
3.培养学生良好的学习习惯，如预习、复习、总结等，提高学习效率；
4.培养学生的团队合作精神，使学生认识到团队合作的重要性，学会与他人共同解决问题。
二、学情分析
本章节面向的是高中三年级学生，他们在前两年的数学学习中，已经掌握了平面向量的基本概念与运算，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。在此基础上，学生对空间向量的学习具备以下特点：
4.学生参与：让学生观察三维坐标系，尝试用自己的语言描述空间向量的特点。在此基础上，引导学生讨论空间向量在现实生活中的应用。
高中高三数学《空间向量》教案、教学设计
3.运用案例教学法，结合实际生活中的空间几何问题，激发学生学习兴趣，提高学生运用空间向量解决实际问题的能力。
4.引导学生运用数形结合思想，将空间向量与空间几何图形相结合，培养学生直观想象和逻辑思维能力。
5.设计丰富的课堂练习，让学生在实际操作中掌握空间向量的运算方法和技巧。
-已知空间向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$和$\vec{b} = (4, 5, 6)$，求向量$\vec{a} + \vec{b}$、$\vec{a} - \vec{b}$和$3\vec{a} - 2\vec{b}$的坐标表示。
-设点A(2, 3, 4)和点B(5, 6, 7)，向量$\vec{v} = (x, y, z)$，若$\vec{v}$与向量$\vec{AB}$垂直，求$\vec{v}$的坐标。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生探索空间几何问题的热情。
2.培养学生严谨求实的科学态度，让学生在解决问题的过程中，体验数学的简洁美和逻辑美。
3.培养学生勇于挑战困难、克服挫折的精神，增强自信心。
4.引导学生认识到数学知识在科学技术、生产生活中的重要应用，增强学生的社会责任感和使命感。
（二）教学设想
1.针对教学重点和难点，采用以下教学策略：
-通过引入生动的实际案例，激发学生学习兴趣，引导学生从二维空间向三维空间过渡；
-采用多媒体教学手段，如动画、模型等，帮助学生建立空间想象力，降低学习难度；
-设计层次分明的教学活动，逐步引导学生掌握空间向量的性质、运算和应用；
-加强课堂练习，及时反馈，针对学生的错误进行有针对性的指导。
2.教学过程设想：
向量夹角高中数学教案模板
教学目标：1. 知识与技能：（1）理解向量夹角的概念，掌握向量夹角的计算方法。
（2）学会运用向量夹角解决实际问题，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
2. 过程与方法：（1）通过观察、比较、分析，引导学生发现向量夹角的规律。
（2）通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学学习的兴趣，培养良好的学习习惯。
（2）让学生体会到数学与生活的密切联系，提高学生的综合素质。
教学重难点：1. 教学重点：向量夹角的计算方法，向量夹角的几何意义。
2. 教学难点：向量夹角的性质，向量夹角的应用。
教学准备：1. 教师准备：多媒体课件、教学案例、相关习题。
2. 学生准备：提前预习向量夹角相关知识，准备好相关笔记。
教学过程：一、导入1. 复习向量的概念、向量的运算，引导学生回顾向量在几何、物理等领域的应用。
2. 提出问题：如何描述两个向量之间的夹角？二、新课讲授1. 向量夹角的定义：在平面内，两个向量的夹角是指它们之间的夹角。
2. 向量夹角的计算方法：（1）利用数量积公式：co sθ = (a·b) / (|a|·|b|)，其中a、b分别为两个非零向量。
（2）利用投影公式：cosθ = (b在a上的投影) / (|b|)。
3. 向量夹角的性质：（1）向量夹角的取值范围：[0, π]。
（2）向量夹角的对称性：若a·b = k，则b·a = k。
（3）向量夹角的非负性：若a·b > 0，则θ为锐角；若a·b = 0，则θ为直角；若a·b < 0，则θ为钝角。
三、例题讲解1. 例1：已知向量a = (1, 2)，b = (2, -1)，求向量a与向量b的夹角。
2. 例2：已知向量a = (3, 4)，b = (-1, 2)，求向量a与向量b的夹角。
四、课堂练习1. 完成课本上的练习题，巩固向量夹角的相关知识。
《空间向量的夹角和距离公式》教案及说明
15 15 BE1 0, ,30 , DF1 0, ,30 . 2 2
15 15 30 30 15 BE1 DF1 2 2 . cos BE1 , DF1 17 15 17 15 17 BE1 DF1 2 2
d A, B ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
a
O
b
B( x2 , y2 , z2 )
y
2、夹角公式 设 a x1 , y1 , z1 , b x2 , y2 , z2 ，
x
则 a OA, b OB a b cos a, b a b
G 1 2 , 9 , 1 B 5 ,
3 0,, 3 0 , 0
GB 182 212 152 3 110.
45 (2)解:如图， B 30,30, 0 , E1 30, ,30 2 15 D 0, 0, 0 , F1 0, ,30 . 2
MN AC1 cos MN , AC1 MN AC1
24 30 18 30 30 30 30 2
30
2
302 30 2
2 6 . 5
此题所求的是空间两条直线所成角的余弦值，而不是两个空间向量夹角的余弦 值，两者有什么区别？我们又如何转化为本题的结论？ (三)学生互动 巩固提高 变式训练:实际上,我们刚刚就是在一个正方体中讨论两点间的距离 , 两条直线所成的 角,而在正方体中还有许多的点与线, 例 2： （1）若 G 为 MN 的中点，求 GB 两点间的距离. （2）若 B1 E1 D1 F1
用空间向量研究距离夹角问题教案
用空间向量研究距离夹角问题教案摘要：一、引言1.背景介绍：空间向量在实际生活中的应用2.文章目的：研究距离夹角问题二、空间向量基础知识1.空间向量的定义2.空间向量的表示方法3.空间向量的基本运算三、距离夹角问题的定义和计算方法1.空间两点距离的计算2.空间向量夹角的计算3.夹角与距离的关系四、空间向量在距离夹角问题中的应用1.示例：求解空间中两个点之间的距离和夹角2.算法步骤和实现3.代码示例和解释五、总结与展望1.空间向量在距离夹角问题中的应用2.未来研究方向和拓展正文：一、引言在现实生活中，我们经常会遇到空间中两点之间的距离和夹角问题，例如在建筑、机械、航天等领域。
空间向量作为一种有效的工具，可以很好地解决这类问题。
本文将围绕空间向量，探讨如何研究距离夹角问题。
二、空间向量基础知识1.空间向量的定义空间向量是指具有大小和方向的量，它可以表示空间中的一个点或者一个物体。
空间向量通常用有序的三元组（x，y，z）表示，其中x、y、z分别代表空间坐标轴上的分量。
2.空间向量的表示方法空间向量可以用图形表示，如直线、箭头等，也可以用坐标表示。
在二维平面中，空间向量可以用二维向量表示；在三维空间中，空间向量可以用三维向量表示。
3.空间向量的基本运算空间向量的基本运算包括加法、减法、数乘、向量点积、向量叉积等。
这些运算在三维空间中与二维平面中的运算类似，只是在计算过程中需要考虑三个分量。
三、距离夹角问题的定义和计算方法1.空间两点距离的计算空间两点之间的距离可以通过空间向量运算求解。
设点A和点B的向量分别为a和b，则两点之间的距离dis=|a-b|，其中|·|表示向量的模。
2.空间向量夹角的计算空间向量a和向量b之间的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ=a·b/(|a||b|)，其中·表示向量的点积，||表示向量的模。
3.夹角与距离的关系空间中两点的距离和夹角密切相关。
当两向量平行时，夹角为0或π，距离为0或正无穷；当两向量垂直时，夹角为90°，距离为两向量模的乘积的平方根。
空间向量的坐标运算-夹角和距离公式(教案说明)
空间向量的坐标运算-夹角和距离公式教案说明江西省宜丰中学熊星飞一、教材在本章节中的地位及作用1．向量的坐标运算是在空间向量的运算（加减法运算、实数与向量的积，空间向量的基本定理的基础上，用坐标对几何图形进行量化，通过对运算来掌握向量的关系和性质；2．向量的运夹角和距离公式是在空间向量的坐标及坐标运算的基础上，对向量的夹角和距离进行的一种运算，是空间解析几何的基础；3．本节内容渗透了转化、化归、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材；4．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生抽象思维及空间想象的能力。
5．课时安排空间向量的坐标运算共分4个课时（第一课时：空间直角坐标系；第二课时：空间向量的直角坐标运算；第三课时：空间向量夹角与距离公式的掌握及简单运用；第四课时：空间向量的坐标运算综合运用。
本节课是第三课时（夹角与距离公式的掌握及简单运用）二、教学目标1．知识目标：能把实际问题转化为立体几何的问题，立体几何问题再用坐标运算进行解决；2．能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．3．情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．4．知识教学点（1）．掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式；（2）．会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直；（3）．会运用向量的夹角公式求异面直线所成的角。
三、教学重点与难点1．教学重点：模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用。
2．教学难点：异面直线所成的角与空间两向量夹角的关系。
四、教学方法与手段1．教学方法为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，本节课采用对比学习、启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质。
空间向量求夹角及距离 教案-2022届高三上学期数学一轮复习
利用空间向量求夹角及距离【教学目标】一、利用空间向量求夹角【知识点】1.两条异面直线所成的角（1）定义：设,a b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线////a a b b ''，，则a '与b '所夹的角叫做a 与b 所成的角．（2）范围：两异面直线所成角θ的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦.（3）向量求法：设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为1l ，2l ，其夹角为ϕ，则有 1212cos cos l l l l θϕ⋅==⋅2.直线与平面所成的角（1）定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．（2）范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （3）向量求法：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l n θϕ⋅==．3.二面角（1）定义：是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.（2）二面角的取值范围是[]0,π．（3）二面角的向量求法：①若AB CD 、分别是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB 与CD 的夹角(如图①)．②设12n n ，分别是二面角l αβ--的两个面αβ，的法向量，则向量1n 与2n 的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．此时，设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．注意事项：①两个平面的夹角范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，二面角的范围为[]0,π. ②选取平面法向量时，若两法向量同时指向二面角的内侧或外侧，则两个法向量的夹角大小与二面角互补；若分别指向不同的两侧，则两个法向量的夹角大小与二面角相等.【例题讲解】★★☆例题1．如图,四边形ABCD 为菱形,120ABC ∠=︒,,E F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,2BE DF =,AE EC ⊥.（1）证明:平面AEC 平面AFC .（2）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.【答案】(1)连结BD,设BD∩AC=G,连结EG,FG,EF.由BE ⊥平面ABCD,AB=BC 可知AE=EC.又AE ⊥EC,所以EG=√3,且EG ⊥AC.从而EG 2+FG 2=EF 2,所以EG ⊥FG.又AC∩FG=G,可得EG ⊥平面AFC.又因为EG ⊂平面AEC,所以平面AEC ⊥平面AFC. (2)如图,以G 为坐标原点,分别以GB →,GC →的方向为x 轴,y 轴正方向,|GB →|为单位长度,建立空间直角坐标系G -xyz.由(1)可得(,,)A 0-30,(,,)E 102,(,,)F 2-102,(,,)C 030， 所以(,,)AE =132,(,,)CF 2=-1-32. 故cos ,||||AE CF AE CF AE CF ⋅3<>==-3. 所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33 ★★☆练习1. 如图, 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ,且2AB AD ==,13AA = , 120BAD ∠=︒.求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值；【答案】在平面ABCD 内，过A 作Ax ⊥AD ，∵AA 1⊥平面ABCD ，AD 、Ax ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥Ax ，AA 1⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以Ax 、AD 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．∵2AB AD ==，13AA =，120BAD ∠=︒，∴000A （，，），()3,1,0A -，()3,1,0C ，()0,2,0D ， ()10,0,3A ，()13,1,3C ．()13,1,3A B =--()13,1,3AC =，()3,3,0DB =-，()10,2,3DA =-．111111,7A B AC A B AC A B AC ⋅==AC 1所成角的余弦值为★★☆例题2.如图,长方体1111ABCD A B C D -中,116,10,8AB BC AA === ,点,E F 分别在1111,A B D C 上,114A E D F == ,过点,E F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.（1）在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由).（2）求直线AF 与平面α所成角的正弦值.【答案】(1)交线围成的正方形EHGF 如图:（2）作EM ⊥AB,垂足为M,则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8.因为四边形EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10.以D 为坐标原点,DA →的方向为x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE →=(10,0,0),HE →=(0,-6,8). 设(,,)n x y z =是平面EHGF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00HE n FE n ,⎩⎨⎧=+-=086010z y x .所以可取)3,4,0(=n，又)8,4,10(-=AF，故1554|||||||,cos|=⋅=><AFnAFnAFn.所以AF与平面EHGF所成的角的正弦值1554.★★☆练习1.在平行四边形ABCD中，1AB BD CD===，,AB BD CD BD⊥⊥.将ABD∆沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如下图.（1）求证:AB CD⊥；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.【答案】(1)∵平面ABD⊥平面BCD，且两平面的交线为BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD；(2)过点B在平面BCD内作BE BD⊥，如图，由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴,AB BE AB BD⊥⊥，以B为坐标原点原点，以,,BE BD BA分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意，得(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0)B C D，11(0,0,1),(0,,)22A M则11(1,1,0),(0,,),(0,1,1)22BC BM AD===-，设平面MBC的法向量000(,,)x y z=n，则BCBM⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn，即00001122x yy z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1z=，得平面MBC 的一个法向(1,1,1)=-n ， 设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，则6sin cos ,3ADAD AD θ⋅=<>==⋅n n n ， 即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63 ★★☆练习 2. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点,,D E N 分别为棱,,PA PC BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==,2AB =.（1）求证：//MN 平面BDE ；（2）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长.【答案】如图，以A 为原点，分别以AB ，AC ，AP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，4，0），P （0，0，4），D （0，0，2），E （0，2，2），M （0，0，1），N （1，2，0）.（1）证明：DE =（0，2，0），DB =（2，0，2-）.设(,,)x y z =n ，为平面BDE 的法向量，则00DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20220y x z =⎧⎨-=⎩.不妨设1z =，可得(1,0,1)=n .又MN =（1，2，1-），可得0MN ⋅=n .因为MN ⊄平面BDE ，所以MN //平面BDE .（2）解：依题意，设AH =h （04h ≤≤），则H （0，0，h ），进而可得(1,2,)NH h =--，(2,2,2)BE =-.由已知，得2|||22|7|cos ,|21||||523NH BE h NH BE NH BE h ⋅-<>===+⨯，整理得2102180h h -+=，解得85h =，或12h =.所以，线段AH 的长为85或12.★★☆例题3. 如图, 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ,且2AB AD ==,13AA = , 120BAD ∠=︒. 求二面角1B A D A --的正弦值.【答案】在平面ABCD 内，过A 作Ax ⊥AD ，∵AA 1⊥平面ABCD ，AD 、Ax ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥Ax ，AA 1⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以Ax 、AD 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． ∵2AB AD ==，13AA =，120BAD ∠=︒，∴000A （，，），()3,1,0A -，()3,1,0C ，()0,2,0D ， ()10,0,3A ，()13,1,3C ． 设平面BA 1D 的一个法向量为(),,n x y z =，由100n DB n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得，取3x =，得233,1,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭； 取平面A 1AD 的一个法向量为()1,0,0m =．3cos ,4m nm n m n ⋅== ∴二面角B ﹣A 1D ﹣A 的正弦值为74．★★☆练习 1. 如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.（1）求证：111//C M A ADD ；（2）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =，求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.【答案】（1）连接1AD1111D C B A ABCD -因为为四棱柱，11//D C CD 所以 11D C CD = 又M 因为为AB 的中点，1=AM 所以，AM CD //所以,AM CD = 11//D C AM 所以,11D C AM =，11D AMC 所以为平行四边形，11//MC AD 所以 又111ADD A M C 平面因为⊄ 111ADD A AD 平面⊂111//ADD A AD 平面所以（2）方法一：11//B A AB 因为 1111//D C B A ，共面与所以面1111D ABC M C D 作AB CN ⊥,连接N D 1，则NC D 1∠即为所求二面角方法二：作AB CP ⊥于p 点，以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为y 轴，1CD 为z 轴建立空间坐标系， 1111(1,0,0),(,C D D M ==所以设平面M D C 11的法向量为111(,,)n x y z =1(0,2,1)n =所以显然平面ABCD 的法向量为2(1,0,0)n =12121215cos,55n nn nn n⋅<>===所以，显然二面角为锐角，所以平面MDC11和平面ABCD所成角的余弦值为555515321523cos11====∠NDNCCND所以★★☆练习2.如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：//PB平面AEC；（2）设置1AP=，3AD=，三棱锥P ABD-的体积34V=，求A到平面PBD的距离．（3）设二面角D AE C--为60︒，1AP=，3AD=，求三棱锥E ACD-的体积．证明：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，四边形ABCD是矩形，AC∴和BD互相平分，O是BD的中点，E是PD的中点，OE∴是PBD∆的中位线，//PB OE∴，OE∈平面ACE，PB⊂/平面ACE，//PB∴平面ACE．解：（2）底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，1AP=，3AD=，三棱锥P ABD-的体积34V=，111332ABCV S PA AB AD AP∆∴=⨯=⨯⨯⨯⨯，即3346AB=，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，23(2PB =，，(0PD =，，(0PA =，设平面PBD 的法向量(n x =，y ，)z ，则3230n PB x n PD y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，取x =，得(2,3,3)n =，到平面PBD ||3||493PA n n =++）设AB t =(0，0，0)，(C t ，(0AE =，，(AC t =，3，0)，(0AD =，平面ADE 的法向量(1n =，0，0)， 设平面ACE 的法向量(m x =，y ，)z ，32m AC tx m AE y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩3(m t =-，二面角D AE C --为60︒，23||cos60||||3m n t m n t ︒==+，解得32t =，AB ∴12AD CD ⨯=⨯★★☆例题 4. 如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点．（1）证明：直线//CE 平面PAB（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o 45,求二面角M AB D --的余弦值. 【答案】（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴12EF AD ∥．又∵90BAD ABC ∠=∠=︒，∴//BC AD ． 又∵12AB BC AD ==，∴12BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴//CE BF ．又∵BF PAB ⊂面，∴//CE PAB 面（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系． 设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，，，(010)D ，，， (003)P ，，．M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=︒，∴MBM '△为等腰直角三角形． ∵POC △为直角三角形，33OC OP =，∴60PCO ∠=︒． 设MM a '=，33CM a '=，313OM a '=-．∴31003M a ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，． 2222316101332BM a a a a ⎛⎫'=++=+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭．∴321132OM a '=-=-． ∴21002M ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭，，，261022M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， 261122AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 11602y z +=，∴(062)m =-，，(020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，(001)n =，，．10,5m n m n m n⋅<>==⋅AB D -的余弦值为★★☆练习1. 如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，90ABC ∠=︒，//AD BC ，侧面SCD ∆为钝角三角形，CD SD =，平面SCD ⊥平面ABCD ，点M 是棱SA 上的动点，12AB AD BC ==． （1）求证：平面MBD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60︒，是否存在点M ，使得二面角A BD M --？若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ， 设AB AD a ==，则2BC a =，所以222BD CD BC +=，即BD CD ⊥，又平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD ⋂平面ABCD CD =，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面SCD ， 因为BD ⊂平面MBD ， 所以平面MBD ⊥平面SCD ．过点S 作SH CD ⊥，交CD 的延长线于点H ，连接AH ，因为平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD ⋂平面ABCD CD =，SH ⊂平面SCD ， 所以SH ⊥平面ABCD ，故DH 为斜线SD 在底面ABCD 内的射影，SDH ∠为斜线SD 与底面ABCD 所成的角，即60SDH ∠=︒，在ADH ∆中，45ADH BCD ∠=∠=︒，cos AD DH ADH ∠所以222AH DH AD +=，从而90AHD ∠=︒， 过点D 作//DF SH ，则DF ⊥平面ABCD ， 所以DB 、DC 、DF 两两垂直，以点D 为原点，DB 、DC 、DF 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以2(2SA =，(2DB a =，(0DS =，设(2SM SA λλ==6)a ，λ∈所以2(2DM DS SM =+=22a -，， 设平面MBD 的法向量为(n x =，y 00n DB n DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0x =3(1)λ-，所以(0n =，3(1)λ-因为DF ⊥平面ABCD ，所以不妨取平面ABD 的法向量(0m =，0，1)， n <，||||||||3(1n m m n m >==， 是棱SA 的中点时，二面角备注：本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角和二面角的求法，熟练掌握线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．★★☆例题5. 如图，等腰直角三角形ABC 所在的平面与半圆弧AB 所在的平面垂直，AC AB ⊥，P 是弧AB 上一点，且30PAB ∠=︒．（1）证明：平面BCP ⊥平面ACP ；（2）若Q 是弧AP 上异于A 、P 的一个动点，当三棱锥C APQ -体积最大时，求二面角A PQ C --的余弦值．【解答】（1）证明：AB AC ⊥，平面ABC ⊥平面ABP ，平面ABC ⋂平面ABP AB =，AC ∴⊥平面ABP ，AC BP ∴⊥， AB 是半圆弧的直径，AP BP ∴⊥，又ACAP A =，BP ∴⊥平面APC ，又BP ⊂平面PBC ， ∴平面BCP ⊥平面ACP ．）解：13C APQ APQ V S AC -∆=，∴当APQ ∆的面积最大时，棱锥C APQ -的体积最大，故当三棱锥C APQ -体积最大时，Q 为AP 的中点，以A 为原点，以AC ，AB 为x ，y 轴建立空间直角坐标系如图所示：∴(4CP =-，(0QP =，的法向量为(n x =，y 0n CP n QP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即可得(3n =，0，4)，又(1m =，0，0)是平面3,||||19191m n m n m n >===⨯二面角A PQ C --的余弦值为★★☆练习1. 已知，如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2AB PA ==，PA ⊥平面ABCD ，E ，M 分别是BC ，PD 中点，点F 在棱PC 上移动． （1）证明无论点F 在PC 上如何移动，都有平面AEF ⊥平面PAD ；（2）当直线AF 与平面PCD 所成的角最大时，求二面角F AE M --的余弦值．【解答】（1）证明：连接AC ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，ABC ∴∆为正三角形，E 是BC 的中点，AE BC ∴⊥，又//AD BC ，AE AD ∴⊥，PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，PA AE ∴⊥，PAAD A =，PA 、AD ⊂平面PAD ，AE ∴⊥平面PAD ，AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PAD ．（2）解：由（1）知，AE 、AD 、AP 两两垂直，故以AE 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，0，0)，∴(3PC =，(0PD =，，(0AP =，设(3PF PC λλ==，则(3AF AP PF λ=+=1(m x =，y 1132m PC x m PD y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩3=，∴(1m =，3，3)， 设直线AF 与平面PCD 所成的角为θ， AF <，233232||||||||3AF m m AF m λλλ+->==2最大，此时F 为PC 的中点，即2∴3(2AF =1)，(3AE =，0，0)，(0AM =，设平面AEF 的法向量为1(n a =，11332n AE a n AF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩令2b =，则0a =，1c =-，∴1(0n =，2，1)-， 同理可得，平面AEM 的法向量2(0n =，1，1)-， 1n <，12212||||5n n n n n >==由图可知，二面角F AE M --为锐角，★★☆练习2.如图，已知AC BC ⊥，DB ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，过点D 且垂直于DB 的平面α与平面BCD 的交线为l ，1AC BD ==，BC =2AE =．（1）证明：l ⊥平面AEC ；（2）设点P 是l 上任意一点，求平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值．【解答】（1）证明：因为BD α⊥，BD ⊥平面ABC ，所以//α平面ABC ， 又α⋂平面BCD l =，平面ABC ⋂平面BCD BC =，所以//BC l ， 因为EA ⊥平面BCA ；所以BC AE ⊥，又BC AC ⊥，AEAC A =，所以BC ⊥平面AEC ，从而l ⊥平面AEC ．（2）作//CF AE ，以点C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线分别为x 轴和y 轴，CF 为z 轴，建立直角坐标系C xyz -，法向量分别为：(m x =，y ，)z ，(n r =，s ，)t ，则(AP a =，1-，1)，(0AE =，0，2)，(0AC =，1-，，(3CD =m ⊥平面PAE (1m =，，所以(1n =，0，11,|221m n a >=，当且仅当所以平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值为60︒．★★☆例题 6. 在平面α内的四边形ABCD （如图1)，ABC ∆和ACD ∆均为等腰三角形，其中2AC =，AB BC ==，AD CD ==ABC ∆和ACD ∆均沿AC 边向上折起（如图2)，使得B ，D 两点到平面α的距离分别为1和2．（Ⅰ）求证：BD AC ⊥；（Ⅰ）求二面角A BD C --余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接BO ，DO ，AD CD =，AB BC =， DO AC ∴⊥，BO AC ⊥，又BODO O =，AC ∴⊥平面BOD ，又BD ⊂平面BOD ， AC BD ∴⊥．（Ⅰ）解：分别过B ，D 作平面α的垂线，垂足分别为E ，F ，则E ，O ，F 三点共线， 由（Ⅰ）可知AC ⊥平面BOD ，AC EF ∴⊥，3OB =1OE ∴=，1OF =，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示：则(1A ，0，0)，(0B ，1，1)，(1C -，0，0)，(0D ，1-，2)， 则(0BD =，2-，1)，(1AB =-，1，1)，(1CB =，1，1)，设平面ABD 的法向量为1(m x =，1y ，1)z ，平面BCD 的法向量为2(n x =，2y ，2)z ，则m BD m AB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，n BD n CB⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即11111200y z x y z -+=⎧⎨-++=⎩，22222200y z x y z -+=⎧⎨++=⎩，令11y =可得(3m =，1，2)，令21y =可得(3n =-，1，2)， 4,||||14mn m n m n ->==⨯由图形可知二面角A BD C --为锐二面角， BD C -的余弦值为★★☆练习1. 如图1，在ABC ∆中，AB ==34ABC π∠=，D 为AC 的中点，将ABD ∆沿BD 折起，得到如图2所示的三棱锥P BCD -，二面角P BD C --为直二面角．（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）设E 为PC 的中点，3CF FB =，求二面角C DE F --的余弦值．【解答】解：（1）证明：在ABC ∆中，2222cos 20AC AB BC AB BC ABC=+-∠=， D 为AC 1()2BD BC BA =+，∴2221(2)14BD BC BA BC BA =++=1BD ∴=，222BD BC CD +=，BC BD ∴⊥，二面角P BD C --为直二面角，∴平面BCD ⊥平面PBD ，因为平面BCD ⋂平面PBD BC =，BC ⊂面BCD ，BC ∴⊥平面PBD ，BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ．（2）解：以B 为坐标原点，BC 为x 轴，BD 为y 轴，过点B 作垂直于平面BDC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0B ，0，0)，(2C ，0，0)，(0D ，1，0)，(0P ，2，2)，设，3CF FB =，E ∴∴(2,1,0)CD =-，(1,0,1)DE =，1(,2DF =-设平面CDE 的法向量为(,,)m x y z =，平面DEF 的法向量为(n a =，b ，)c ．20CD m x y DE m x z ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩，可得(1,2,1)m =-， 12DF n a b DE n a c ⎧=-⎪⎨⎪=+=⎩，可得1(1,,1)2n =-11cos ,3964m n +<>==． ∴二面角C DE F --的余弦值为6．二、利用空间向量求距离【知识点】 点到点的距离点A 与点B之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算． 点到线的距离 在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,PA n d PA PA n n⋅=〈〉=.点到面距离点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,PA n d PA PA n n⋅=〈〉=★★☆例题1.如图直角梯形OABC 中，π2COA OAB ∠=∠=，2OC =，1OA AB ==，SO ⊥平面OABC ，1SO =，求O 到平面SBC 的距离． 【答案】以O 为坐标原点建立空间直角坐标系()000O ，， ()100A ，， ()020C ，， ()110B ，， ()001S ，，()=1,1,0BC - ()=0,2,-1SC ()=1,1,0OB设面SBC 的法向量为()=,,n x y z 解得()=1,1,2n ，OB n n⋅=63★☆☆练习1．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB 1BC =，2PA =，E 为PD 的中点．（1）求cos ,AC PB 〈〉的值； （2）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥平面PAC ，并求出N 到AB 和AP 的距离．【解答】解：（1）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，(3,1,0)AC =，(3,0,PB =337,14||||47AC PB AC PB AC PB 〈〉===（2）设在侧面PAB 内找一点(N a ，0，)c ，使NE ⊥平面PAC ， (0，12，1)，(NE a =-，(0AP =，，(3,1,0)AC =2(13NE AP NE AC ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩3(6，0，1)到AB 的距离为6★★☆练习2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，E 为PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（Ⅰ）求证：平面AEF ⊥平面PBC ； （Ⅰ）求点B 到平面PCD 的距离．【解答】（Ⅰ）证明：PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PA BC ∴⊥，又BC AB ⊥，PA AB A =，BC ∴⊥平面PAB ，BC AE ∴⊥，PA AB =，E 为PB 中点， AE PB ∴⊥，又BCPB B =，AE ∴⊥平面PAB ，又AE ⊂平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面PAB ．（Ⅰ）解：//AB CD ，AB ⊂/平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，//AB ∴平面PCD ，B ∴到平面PCD 的距离等于A 到平面PCD 的距离，取PD 的中点G ，连接AG ，PA ⊥平面ABCD ，PA CD ∴⊥，又CD AD ⊥，ADPA A =，CD ∴⊥平面PAD ，CD AG ∴⊥，PA AD =，G 是PD 的中点，AG PD ∴⊥，又PDCD D =，AG ∴⊥平面PCD ，PA AD =知识点要点总结：【课后练习】【巩固练习】★★☆1.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >。
高中数学向量夹角讲解教案
高中数学向量夹角讲解教案一、教学目标：1. 掌握向量夹角的概念；2. 能够通过向量的坐标表示求解夹角；3. 能够应用向量夹角解决实际问题。
二、教学重点：1. 向量夹角的概念理解；2. 向量的坐标表示求解夹角。
三、教学难点：1. 夹角的计算方法；2. 实际问题的应用。
四、教学内容：1. 向量夹角的概念；2. 向量夹角的计算方法；3. 实际问题的应用。
五、教学步骤：1. 引入：通过生活中的实际例子引入向量夹角的概念，引发学生对夹角的思考；2. 概念解释：解释向量夹角的定义和计算方法，引导学生理解夹角的概念；3. 计算练习：让学生通过计算来掌握夹角的求解方法，包括向量的坐标表示和夹角的计算公式；4. 实际问题：设计一些实际问题让学生应用向量夹角的知识解决，加深对夹角的理解和应用能力；5. 总结提升：总结向量夹角的重点和难点，引导学生对夹角的理解进一步深化。
六、课堂练习：1. 已知向量\( \overrightarrow{a} = (3,-1), \overrightarrow{b} = (-2,4) \)，求两向量的夹角；2. 已知向量\( \overrightarrow{m} = (1,2), \overrightarrow{n} = (3,4) \)，求两向量的夹角；3. 某飞机以向量\( \overrightarrow{v} = (-5,3) \)的速度直线飞行，求飞机的航线与地面水平线的夹角。
七、教学反思：通过这节课的教学，学生是否掌握了向量夹角的基本概念和计算方法？如何帮助学生更好地理解和应用夹角的知识？下节课如何设计更有效的练习和应用题目？对于向量夹角这一知识点是否还有其他更深入的拓展和应用？。
向量夹角高中数学教案模板
向量夹角高中数学教案模板
课时安排：2课时
教学目标：学生能够理解向量的夹角概念，掌握计算向量夹角的方法，能够应用向量夹角解决相关问题。
教学重点：向量的夹角概念，计算向量夹角的方法。
教学难点：解决向量夹角问题时的思维逻辑。
教学准备：教科书、教具、黑板、彩色粉笔。
教学步骤：
第一步：导入
1.引导学生回顾向量相关知识，复习向量的定义和性质。
2.提出问题：如何定义向量的夹角？为什么要研究向量夹角？
第二步：讲解
1.介绍向量的夹角概念，向量夹角的定义。
2.说明向量夹角的计算方法，包括向量点积的定义及性质。
3.演示如何计算两个向量的夹角，通过实例讲解计算步骤。
第三步：练习
1.让学生自行计算给定向量的夹角。
2.设计一些应用题，让学生运用所学知识解决实际问题。
第四步：总结
1.复习本节课的重点内容，强化学生对向量夹角的理解。
2.总结向量夹角的计算方法和应用技巧。
第五步：作业
1.布置相关作业，巩固学生对向量夹角的掌握。
2.鼓励学生在课后多进行练习，加深理解和记忆。
教学反思：本节课注重向量夹角的概念与计算方法的讲解，通过实例演示和练习巩固学生的学习。
需要注意引导学生在应用题中灵活运用所学知识解决问题，培养其解决实际问题的能力。
班会课教案设计高中数学
高中数学向量夹角大小教案
一、教学目标：
1. 理解向量的概念和性质；
2. 掌握向量夹角的定义及计算方法；
3. 能够运用向量夹角的概念解决相关问题。
二、教学重点：
1. 向量的夹角概念；
2. 向量夹角的计算方法。
三、教学难点：
1. 根据向量坐标计算向量夹角；
2. 解决实际问题中的向量夹角。
四、教学内容：
1. 向量的定义和性质；
2. 向量夹角的概念及计算方法；
3. 向量夹角在几何问题中的应用。
五、教学方法：
1. 讲授结合例题分析，引导学生理解概念；
2. 通过实际问题演练，巩固计算方法；
3. 小组讨论，共同解决相关问题。
六、教学过程：
1. 引入：通过引导学生思考两个向量的夹角是什么，为什么要计算夹角引入本课内容。
2. 讲解：介绍向量夹角的定义，计算方法及性质。
3. 练习：辅导学生进行一些简单的例题练习，帮助理解概念和方法。
4. 拓展：引导学生思考如何运用向量夹角解决实际几何问题。
5. 实践：让学生自行解决一些需要用到向量夹角的问题。
6. 总结：总结本节课的内容，强调重点难点。
7. 布置作业：布置相关的作业，巩固所学内容。
七、教学资源：
1. 教材教具：教科书、黑板、彩色笔、直尺等；
2. 多媒体设备：投影仪、电脑等。
八、教学评价：
1. 学生课堂参与度；
2. 课后作业完成情况；
3. 学生对向量夹角的理解程度。
九、教学反思：
1. 针对学生的问题和掌握情况及时调整教学方法；
2. 细化教学目标，确保学生能够理解和掌握所学知识。
《空间向量的夹角》教学设计
空间向量的夹角》教学设计第二册（下） “空间向量的坐标运算”第三课时蒋敏慧一、教材分析1、教材的地位与作用 本节课是在已完成了 “平面向量的数量积公式、夹角公式，空间向量的坐标表示， 向量的数量积”等内容的教学以后进行的，是《空间向量的坐标运算》的第 3 课时，是空间 向量在立体几何中的简单应用。
这节课的教学， 为向量在数学和物理上的综合运用奠定了基 础。
按照传统方法解立体几何题， 需要有较强的空间想象能力、 演绎推理能力以及作图能力， 学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。
用向量法处理立体几何问题， 把对空间图形的 研究从“定性推理”转化为“定量计算” ，有助于学生克服空间想象力的障碍而顺利解题。
2、教学重点难点 重点：空间向量夹角公式及其坐标表示法；选择恰当的方法求两条异面直线的夹角。
难点： 两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹角之间的区别； 恰当的构建空间直角坐 标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标。
关键：建立恰当的空间直角坐标系， 正确写出空间向量的坐标， 将几何问题转化为代数问题。
二、教学目标1、知识目标：①使学生掌握空间向量的夹角公式及其简单应用； ②提高学生选择恰当的方法求两条异面直线夹角的技能；2、能力目标：① 在与平面向量的夹角公式的比较基础上，培养学生观察、分析、类比转化的能力；② 通过对空间几何图形的探究， 使学生会恰当地建立空间直角坐标系； 通过空间向量的 坐标表示法的学习，使学生经历对空间图形的研究从“定性推理”到“定量计算”的转化过 程，从而提高分析问题、解决问题的能力。
3、情感目标：① 通过自主探究与合作交流的教学环节的设置， 现学生的主体地位；② 通过数形结合的思想和方法的应用， 让学生感受和体会数学的魅力， 培养学生“做数学”的习惯和热情。
三、教学方法与手段1、 教学方法：采用启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价等授课方式， 充分发挥学生的主体地位，营造生动活泼的课堂教学氛围。
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9．6空间向量的夹角和距离公式
三维目标：
知识与技能： ⒈使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度公式、
夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式
解决有关问题；
⒉使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而提高
分析问题、解决问题的能力.
过程与方法： 通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使学生在
积极活跃的思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”.
情感、态度和价值观：⒈通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习
热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；
⒉通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的
魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情.
教学重点：夹角公式、距离公式．
教学难点：数学模型的建立．
关键： 将生活中的问题转化为数学问题，建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空
间向量的坐标.
教具准备：多媒体投影，实物投影仪.
教学过程：
(一) 创设情境,新课导入
2008年5月16日，南昌可以说是万人空巷,大家都把自己的爱国热情聚集在圣火的传递上，让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的南昌大学，其中途经我市雄伟而壮观的生米大桥,为记录传递过程，我校派了小记者在船上进行全景拍摄,出现了这么一个问题.
引例:在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面）
求（1）6s 后火炬手与小船的距离？ C 1
（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?
（不考虑火炬手与小船本身的大小）.
今天我们从另一个角度来分析这个问题.
分析:建立数学模型
问题（1）转化为:如何求空间中两点间的距离?
问题（2）转化为：如何求空间中两条直线所成角的余弦值？
1、空间两点间的距离公式
111222(,,)(,,),A x y z B x y z 已知：，则 ()212121,,AB x x y y z z =---
(AB AB AB x =⋅= ,A B d =2、夹角公式
设()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，
则,a OA b OB =
=
cos ,a b
a b a b ⋅<>==
(二)例题示范，形成技能
例1: 在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面）
求（1）6s 后火炬手与小船的距离？
（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?
（不考虑火炬手与小船本身的大小）.
解：建立如图空间直角坐标系， x y z O 111(,,)
A x y z 222(,,)
B x y z a a b
则 ()()130,0,0,0,30,30A C
()()0,18,30,24,0,0M N ；
（1）24MN =
=
（2）()()124,18,30,30,30,30MN AC =--=-. 111cos ,MN AC MN AC MN AC ⋅〈〉=⋅
243018303030
5
⨯-+-⨯+-⨯==- 此题所求的是空间两条直线所成角的余弦值，而不是两个空间向量夹角的余弦值，两者有什么区别？我们又如何转化为本题的结论？
(三)学生互动 巩固提高
变式训练:实际上,我们刚刚就是在一个正方体中讨论两点间的距离, 两条直线所成的角,而在正方体中还有许多的点与线,
例2：（1）若G 为MN 的中点，求GB 两点间的距离.
（2）若1111114
A B B E D F ==，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值． (1)解：设G 点的坐标为(,,)G x y z ，则 ()12
D G D M D N =+ ()()10,18,3024,0,02=+⎡⎤⎣⎦
()12,9,15
=. ∴()()12,9,
15,30
,30,0
G B , GB ∴==
(2)解:如图，()14530,30,0,30,,302B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
(
)1150,0,0,0,,302D F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
1115150,,30,0,,3022BE DF ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 111111cos ,BE DF BE DF BE DF ⋅
〈〉=⋅1515303015.1722
⎛⎫-⨯+⨯ ⎪== 请在上面例题的基础上,各编一个关于求夹角和距离的题目.
拓展提高:我们知道平面上到两点距离相等的点的轨迹是一条直线,那么猜想空间上到两点距离相等的点的轨迹是一个平面,我们能不能把它表示出来呢?
例3:求到M ，N 两点距离相等的点),,(z y x P 的坐标x 、y 、z 满足的条件． 解: 点),,(z y x P 到M ，N 两点距离相等,
则
P M P N =
=化简,得
435540
x y z --+= 即到到M ，N 两点距离相等的点的坐标点(,,)x y z 满足的条件是
435540
x y z --+= (四)概括提炼，总结升华
求空间两点间的距离 求空间两条直线的夹角
(五)布置作业，探究延续
1．课本P 42习题9.6 ⒎
⒏ ⒐
2．请同学们各编写一道关于求夹角和距离的题目,并解答.
M N
P
3．思考题：引例:何时小船与火炬手之间的距离最短?
(六)板书设计：。