全国高中数学优秀课评选：《9.6空间向量的夹角和距离公式》教学设计教案或说明

9．6空间向量的夹角和距离公式

三维目标：

知识与技能： ⒈使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度公式、

夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式

解决有关问题；

⒉使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而提高

分析问题、解决问题的能力.

过程与方法： 通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使学生在

积极活跃的思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”.

情感、态度和价值观：⒈通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习

热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；

⒉通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的

魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情.

教学重点：夹角公式、距离公式．

教学难点：数学模型的建立．

关键： 将生活中的问题转化为数学问题，建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空

间向量的坐标.

教具准备：多媒体投影，实物投影仪.

教学过程：

(一) 创设情境,新课导入

2008年5月16日，南昌可以说是万人空巷,大家都把自己的爱国热情聚集在圣火的传递上，让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的南昌大学，其中途经我市雄伟而壮观的生米大桥,为记录传递过程，我校派了小记者在船上进行全景拍摄,出现了这么一个问题.

引例:在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面）

求（1）6s 后火炬手与小船的距离？ C 1

（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?

（不考虑火炬手与小船本身的大小）.

今天我们从另一个角度来分析这个问题.

分析:建立数学模型

问题（1）转化为:如何求空间中两点间的距离?

问题（2）转化为：如何求空间中两条直线所成角的余弦值？

1、空间两点间的距离公式

111222(,,)(,,),A x y z B x y z 已知：，则 ()212121,,AB x x y y z z =---

(AB AB AB x =⋅= ,A B d =2、夹角公式

设()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，

则,a OA b OB =

=

cos ,a b

a b a b ⋅<>==

(二)例题示范，形成技能

例1: 在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面）

求（1）6s 后火炬手与小船的距离？

（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?

（不考虑火炬手与小船本身的大小）.

解：建立如图空间直角坐标系， x y z O 111(,,)

A x y z 222(,,)

B x y z a a b

则 ()()130,0,0,0,30,30A C

()()0,18,30,24,0,0M N ；

（1）24MN =

=

（2）()()124,18,30,30,30,30MN AC =--=-. 111cos ,MN AC MN AC MN AC ⋅〈〉=⋅

243018303030

5

⨯-+-⨯+-⨯==- 此题所求的是空间两条直线所成角的余弦值，而不是两个空间向量夹角的余弦值，两者有什么区别？我们又如何转化为本题的结论？

(三)学生互动 巩固提高

变式训练:实际上,我们刚刚就是在一个正方体中讨论两点间的距离, 两条直线所成的角,而在正方体中还有许多的点与线,

例2：（1）若G 为MN 的中点，求GB 两点间的距离.

（2）若1111114

A B B E D F ==，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值． (1)解：设G 点的坐标为(,,)G x y z ，则 ()12

D G D M D N =+ ()()10,18,3024,0,02=+⎡⎤⎣⎦

()12,9,15

=. ∴()()12,9,

15,30

,30,0

G B , GB ∴==

(2)解:如图，()14530,30,0,30,,302B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭

(

)1150,0,0,0,,302D F ⎛⎫ ⎪⎝⎭

.

1115150,,30,0,,3022BE DF ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

. 111111cos ,BE DF BE DF BE DF ⋅

〈〉=⋅1515303015.1722

⎛⎫-⨯+⨯ ⎪== 请在上面例题的基础上,各编一个关于求夹角和距离的题目.

拓展提高:我们知道平面上到两点距离相等的点的轨迹是一条直线,那么猜想空间上到两点距离相等的点的轨迹是一个平面,我们能不能把它表示出来呢?

例3:求到M ，N 两点距离相等的点),,(z y x P 的坐标x 、y 、z 满足的条件． 解: 点),,(z y x P 到M ，N 两点距离相等,

则

P M P N =

=化简,得

435540

x y z --+= 即到到M ，N 两点距离相等的点的坐标点(,,)x y z 满足的条件是

435540

x y z --+= (四)概括提炼，总结升华

求空间两点间的距离 求空间两条直线的夹角

(五)布置作业，探究延续

1．课本P 42习题9.6 ⒎

⒏ ⒐

2．请同学们各编写一道关于求夹角和距离的题目,并解答.

M N

P